AulaTeorica 11_Método da Substituição

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Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Método da 
Substituição
2
Método da Substituição
� Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F ’(x) = f(x).
� Suponhamos que g seja outra função derivável tal 
que a imagem de g esteja contida no domínio de F.
� Podemos considerar a função composta F0g.
� Pela regra da cadeia, temos:
[ ] )())(()())(( ))(( '''' xgxgfxgxgFxgF ⋅=⋅=
isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) . g’(x).
2
3
Método da Substituição
∫∫ +==⋅ cuFduufdxxgxgf )()()())(( '
� Temos, então:
[ ] )())(()())(( ))(( '''' xgxgfxgxgFxgF ⋅=⋅=
� Fazendo u = g(x), du = g’(x)dx, teremos:
4
Exemplo 1:
?
1
2
 2 =+∫
dx
x
x
� Calcular a integral:
∫∫ +==⋅ cuFduufdxxgxgf )()()())(( '
???)(???)( ' ==⇒==
dx
du
xguxg
Mudança de variáveis
3
5
Exemplo 1:
?
1
2
2 =+∫
dx
x
x
� Calcular a integral :
∫∫ +==⋅ cuFduufdxxgxgf )()()())(( '
xdxduxu 21 2 =⇒+=
Mudança de variáveis
6
Exemplo 1:
( ) cxcu
u
dudx
x
x
++=+==
+ ∫∫
2
2 1ln ln 1
2
∫∫ +==⋅ cuFduufdxxgxgf )()()())(( '
xdxduxu 21 2 =⇒+=
Calculando a integral
4
7
Exemplo 2:
?cos.2 =∫ xdxxsen
� Calcular a integral :
xdxdusenxu cos=⇒=
Mudança de variáveis
8
Exemplo 2:
xdxdusenxu cos=⇒=
c
xsen
c
uduuxdxxsen +=+== ∫∫ 33
 cos . 
33
22
Calculando a integral
5
9
Exemplo 3:
?)7( =+∫ dxxsen
� Calcular a integral :
dxduxu =⇒+= 7
Mudança de variáveis
10
Exemplo 3:
dxduxu =⇒+= 7
cxcudusenudxxsen ++−=+−==+ ∫∫ )7cos(cos)7(
Calculando a integral
6
11
?
 cos
sen 
 tg == ∫∫ dxx
xdxx
Exemplo 4:
� Calcular a integral :
dxxduxu sen cos −=⇒=
Mudança de variáveis
12
cu
u
dudx
x
xdxx +−=−== ∫∫∫ ln 
 cos
sen 
 tg 
∫∫ +==⋅ cuFduufdxxgxgf )()()())(( '
dxxduxu sen cos −=⇒=
Mudança de variáveis
Calculando a integral
Exemplo 4:
7
13
Exemplo 5:
?)53( 8 =−∫ x
dx
� Calcular a integral :
dudxdxduxu
3
1353 =⇒=⇒−=
Mudança de variáveis
14
Exemplo 5:
c
x
c
uduu
u
du
x
dx
+
−
−
=+





−
===
−
−
−
∫∫∫ 7
7
8
88 5321
1
73
1
3
131
53 )(
/
)(
Calculando a integral
8
15
Exemplo 6:
?)21()21(2 22242 =−=−=−∫ ∫ ∫ dtttdtttdttt
� Calcular a integral :
dutdttdtdutu
4
1421 2 −=⇒−=⇒−=
Mudança de variáveis
16
Exemplo 6:
∫ ∫∫
−
=−=−
4
.)21()21( 2/122 duutdttdttt
dutdttdtdutu
4
1421 2 −=⇒−=⇒−=
ctc
uduu +−−=+−=−= ∫
2/32
2/3
2/1 )21(
6
1
2/34
1
4
1
Calculando a integral
9
17
Exemplo 7:
� Calcule a integral:
( ) ( )
?fazer que O 
! Tabela na temNão 
?1sen 1 2
•
•
=++∫ dxxx
18
)()(de vemque)(
))(()( e )(
)()()())((
''
'
xgxg
dx
d
u
dx
ddxxgdu
xgfufxgu
cuFduufdxxgxgf
==⇒⇒=
==
+==⋅ ∫∫
� Método de Substituição:
( ) ( ) ?1sen 1 2 =++∫ dxxx
Exemplo 7:
10
19
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
 variáveisde mudança a faça1sen 1
12)( 
12 1 
 1 
?1sen 1
)()()())((
2
'
2
2
2
'
⇒++
+=⇒=
+=+=
+=
=++
+==⋅
∫
∫
∫∫
dxxx
dxxdudxxgdu
xx
dx
d
u
dx
d
xu
dxxx
cuFduufdxxgxgf
Exemplo 7:
20
( ) ( )
( ) cxcu
duuduu
dxxx
++−=+−=
==
=++
∫∫
∫
2
2
1cos
2
1
cos
2
1
 
 sen 
2
1
 sen 
2
1
 
1sen 1
Exemplo 7:
11
21
Integração de Funções Trigonométricas
� Integrais indefinidas da função tangente e cotangente
“Resolvidas usando o método da substituição”
( )
∫ ∫
∫ ∫
+==
+=+=+−=
=
−
cudu
u
uduu
cucucu
du
u
uduu
sen ln
sen 
cos
 cotg
e
seclncoslncosln
cos
sen 
 tg
1
22
Exemplo 8:
� Calcule a integral:
?fazer que O 
! Tabela na temNão 
?tg
•
•
=∫ dx
x
x
12
23
)()(de vemque)(
))(()( e )(
)()()())((
''
'
xgxg
dx
d
u
dx
ddxxgdu
xgfufxgu
cuFduufdxxgxgf
==⇒⇒=
==
+==⋅ ∫∫
� Método de Substituição:
Exemplo 8:
?tg =∫ dx
x
x
24
 variáveisde mudança a façatg
2
1)( 
2
1
 
 
?tg
)()()())((
'
'
⇒
=⇒=
==
=
=
+==⋅
∫
∫
∫∫
dx
x
x
dx
x
dudxxgdu
x
x
dx
d
u
dx
d
xu
dx
x
x
cuFduufdxxgxgf
Exemplo 8:
13
25
Exemplo 8:
cxcu
duuduu
dx
x
x
+=+=
==
=
∫∫
∫
sec2ln sec2ln 
 tg2 tg2 
tg
26
Integração de Funções Trigonométricas
� Integral indefinida da função secante
“Aplicando o método da substituição após artifício”
( )
( )
cuucv
v
dvduu
duuuudv
uuv
du
uu
uuuduu
++=+==
+⋅=⇒
+=⇒
+
+
=
∫ ∫
∫ ∫
 tg seclnln sec
 sec tg secEntão
 tg secFazemos
 tg sec
 tg sec sec
 sec
2
14
27
Exemplo 9:
� Calcule a integral:
( )
?fazer que O 
! Tabela na temNão 
?5sec
•
•
=−∫ dxx pi
28
)()(de vemque)(
))(()( e )(
)()()())((
''
'
xgxg
dx
d
u
dx
ddxxgdu
xgfufxgu
cuFduufdxxgxgf
==⇒⇒=
==
+==⋅ ∫∫
� Método de Substituição:
Exemplo 9:
( ) ?5sec =−∫ dxx pi
15
29
( )
( )
( )
 variáveisde mudança a faça5sec
5)( 
5 5 
5 
?5sec
)()()())((
'
'
⇒−
=⇒=
=−=
−=
=−
+==⋅
∫
∫
∫∫
dxx
dxdudxxgdu
x
dx
d
u
dx
d
xu
dxx
cuFduufdxxgxgf
pi
pi
pi
pi
Exemplo 9:
30
Exemplo 9:
( )
( ) ( ) cxx
cuu
duuduu
dxx
+−+−=
++=
==
=−
∫∫
∫
pipi
pi
5 tg5secln
5
1
 
 tgsecln
5
1
 
 sec
5
1
 sec
5
1
 
5sec
16
31
Integração de Funções Trigonométricas
� Integral indefinida da função cossecante
“Aplicando o método da substituição após artifício”
( )
( )[ ]
( )
cuucv
v
dvduu
duuuu
duuuudv
uuv
du
uu
uuuduu
+−=+==
⋅−=
−−⋅−=⇒
−=⇒
−
−
=
∫ ∫
∫ ∫
 cotg coseclnln cosec
 cotg cosec cosec 
 cosec cotg cosecEntão
 cotg cosecFazemos
 cotg cosec
 cotg cosec cosec
 cosec
2
2