AulaTeorica_Integrais Definidas e Indefinidas

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1
1
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Integrais
2
Conteúdos da Aula
� Soma de Riemann;
� Integral Definida;
� Função Primitiva;
� Integral Indefinida;
� Teorema Fundamental do Cálculo;
� Integral Indefinida;
� Cálculo de Áreas.
2
3
Área
� Matemática da antiguidade: Método da Exaustão
“Aproximar a figura dada por meio de outras, cujas 
áreas são conhecidas”.
ATn
4
Exemplo 1:
� Encontrar a área do círculo:
3
5
Exemplo 1:
s triângulode quantidade a é 
 triângulodo área a é
 polígono do área a é
:onde
⇒
⇒
⇒
⋅=
n
A
PA
AnA
n
n
T
nn
Tn
� Resolvendo:
6
Exemplo 1:
 triângulodo altura 
 triângulodo base 
:onde
2
⇒
⇒
⋅
=
n
n
nn
T
h
l
hlA
n
� Resolvendo:
4
7
Exemplo 1:
nn
n
nnnn
n
Tn
nlp
p
hphl
nA
AnA
n
=
⇒
⋅
=
⋅
⋅=
⋅=
polígono do perímetro
:pois
22
� Resolvendo:
8
Exemplo 1:
2
2
2lim
:Temos
2
:Quando
r
rrA
rh
rp
n
n
n
n
n
pi
pi
pi
=
⋅
=
=
≅
+∞→
∞→
� Resolvendo:
Comprimento da
circunferência
Área do círculo
5
9
Área
� Região plana S: Soma de Riemann
10
Área
� Região plana S: Soma de Riemann
Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas
pelos métodos de geometria elementar.
6
11
Área
� Região plana S: Soma de Riemann
n = 4 n = 8
12
Área
� Região plana S: Soma de Riemann
A soma das áreas dos n retângulos é:
( ) ( ) ( )
( ) i
n
i
in
nnn
xcfS
xcfxcfxcfS
∆=
∆++∆+∆=
∑
=1
2211
 
...
Soma de Riemann
7
13
Área
� Definição:
Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em 
[a, b]. A área sob a curva y = f(x), de a até b, é 
definida por:
( )∑
=
→∆
∆=
n
i
ii
xmáx
xcfA
i 10
lim
onde para cada i = 1, ... n, ci é um ponto 
arbitrário do intervalo [xi-1, xi].
14
Distâncias
tempovelocidadedistância ×=
� Velocidade constante:
� Quando a velocidade varia:
( ) m 44s 2
s
m
 22 =×





8
15
Distâncias
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m. 624.1
s 2
s
m
 222s 2
s
m
 981s 2
s
m
 661
s 2
s
m
 261s 2
s
m
 87s 2
s
m
 22
=
=×





+×





+×





+
+×





+×





+×





16
Distâncias
9
17
Distâncias
( ) ( ) ( ) m. 738.1s 1
s
m
 312...s 1
s
m
 15s 1
s
m
 22 =×





++×





+×





Podemos melhorar a 
estimativa tomando
intervalos de tempos 
menores
18
Distâncias
� Quais são as diferenças?
10
19
Distância
( )∑
=
→∆
∆=
n
i
ii
tmáx
tcv
i 10
limDistância
�A grandeza distância não 
é igual a área.
�Apenas o valor numérico 
é igual.
Soma de Riemann
20
Integral Definida
( )∑∫
=
→∆
∆=
n
i
ii
xmáx
b
a
xcfdxxf
i 10
lim)(
� Definição:
Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e 
seja P uma partição qualquer de [a, b]. 
A integral definida de f de a até b, é denotada por:
∫
b
a
dxxf )(
é dada por:
11
21
Integral Definida
∫∫∫ ==
b
a
b
a
b
a
dssfdttfdxxf )()()(
superior limite
inferior limite 
integração de limites os são e 
)( 
=
=
∫
b
a
ba
dxxf
b
a
Podemos usar qualquer símbolo para representar a variável
independente
22
Integral Definida
∫
b
a
dxxf )(
12
23
Integral Definida
( )∑∫
=
→∆
∆=
n
i
ii
xmáx
b
a
xcfdxxf
i 10
lim)(
24
Integral Definida
∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(� Definição:(a) Se a > b, então:
(b) Se a = b e f(a) existe, então: 0)( =∫
a
a
dxxf
� Teorema:
Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável 
em [a, b].
13
25
Integral Definida: Propriedades
∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()( 
� Proposição:
Se f é integrável em [a, b] e k é um número real 
arbitrário, então k f é integrável em [a, b] e
� Proposição:
Se f e g são funções integráveis em [a, b], então 
f + g é integrável em [a, b] e
[ ] ∫∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
26
Integral Definida: Propriedades
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
� Proposição:
Se a < c < b e f é integrável em [a, c] e em [c, b],
então f é integrável em [a, b] e
� Proposição:
Se f é integrável e se f(x) ≥≥≥≥ 0 para todo x em [a, b],
então
0)( ≥∫
b
a
dxxf
14
27
Integral Definida: Propriedades
∫∫ ≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
� Proposição:
Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) ≥≥≥≥ g(x)
para todo x em [a, b], então:
� Proposição:
Se f é uma função contínua em [a, b], então:
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
28
Integral Definida: Propriedades
( ) ( )cfabdxxf
b
a
−=∫ )(
� Proposição:
Se f é uma função contínua em [a, b], existe um 
ponto c entre a e b tal que:
Área do retângulo de 
base (b-a) e altura f(c)
15
29
Função Primitiva
)()(' xfxF =
� Definição:
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da 
função f(x) em um intervalo I, se, para todo x ∈∈∈∈ I, 
temos:
cxFxG += )()(
� Proposição:
Seja F(x) uma função primitiva da função f(x).
Então, se c é uma constante qualquer, a função 
G(x) também é primitiva de f(x).
30
� Proposição:
Se f’ (x) se anula em todos os pontos no intervalo I, 
então f é constante em I.
� Proposição:
Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no 
intervalo I, então existe uma constante c tal que 
G(x) - F(x) = c, para todo x ∈∈∈∈ I.
Função Primitiva
16
31
Integral Indefinida
� Definição:
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c
é chamada integral indefinida da função f(x) e é 
denotada por
)()()()( ' xfxFcxFdxxf =⇔+=∫
32
Integral Indefinida: Propriedades
� Proposição:
Sejam f, g: I →→→→ IR e K uma constante. Então:
( ) ∫∫∫
∫∫
+=+
=
dxxgdxxfdxxgxfii
dxxfKdxxfKi
)( )( )()( )(
)()( )(
17
33
Teorema Fundamental do Cálculo
∫=
x
a
dttfxG )()(
� Proposição:
Seja f uma função contínua num intervalo fechado 
[a, b]. Então a função G: [a, b] →→→→ IR, definida por:
tem derivada em todos os pontos x ∈∈∈∈ [a, b] que é dada por:
)()(
seja,ou ),()('
xfdttf
dx
d
xfxG
x
a
=
=
∫
Permite relacionar as operações de derivação e integração
34
Teorema Fundamental do Cálculo
)()()( aFbFdttf
b
a
−=∫
)()()()( aFbFxFxdxf b
a
b
a
−==∫
� Teorema:
Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva 
de f neste intervalo, então:
Ou simplesmente: )()(' xfxF =
18
35
Exemplo 2:
( )∫
∫
∫
=+−
=
=
1
0
23
2
0
3
1
? 14 )(
? cos )(
? )(
dxxxiii
dttii
xdxi
pi
� Calcular as integrais definidas:
36
Exemplo 2:
� Resolvendo (i):
4
2
1
2
91
2
13
2
1
2
1
 )( 22
3
1
3
1
2
=−=⋅−⋅==∫ xxdxi
� Calcular as integrais definidas:
.)( de primitiva uma é 
2
1)( 2 xxfxxF ==
19
37
Exemplo 2:
� Resolvendo (ii):
10sen 
2
sen sen cos )(
2
0
2
0 =−==∫
pi
pi
pi
tdttii
� Calcular as integrais definidas:
38
Exemplo 2:
� Resolvendo (iii):
( )
( )
12
1
 
010
3
40
4
1
3
4
4
 
 4 14 )(
1
0
1
0
31
0
4
1
0
1
0
1
0
23
1
0
23
−=
−+




−−





−=+⋅−=
+−=+− ∫∫ ∫∫
x
xx
dxdxxdxxdxxxiii
� Calcular as integrais definidas:
20
39
Cálculo de Áreas
� Caso I: Cálculo da área da figura plana limitada pelo 
gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, 
onde f é contínua e f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b].
∫=
b
a
dxxfA )(
Área:
40
Exemplo 3:
� Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e 
o eixo dos x.
∫=
b
a
dxxfA )(
21
41
Exemplo 3:
� Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e 
o eixo dos x.
∫∫
∫
∫
−−
−
−=
=−=
==
2
2
2
2
2
2
2
2
4 
)4( 
)(
dxxdx
dxx
dxxfA
b
a
42
Exemplo 3:
� Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e 
o eixo dos x.
( )
3
32
 
3
4 
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
=
=





−=
=−=
−
−
−−
∫∫
x
x
dxxdxA
22
43
Cálculo de Áreas
∫=
b
a
dxxfA )(
� Caso II: Cálculo da área da figura plana limitada pelo 
gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, 
onde f é contínua e f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ [a, b].
Área:
44
Exemplo 4:
� Encontre a área limitada pela curva y = – 4 + x2
e o eixo dos x.
∫=
b
a
dxxfA )(
23
45
Exemplo 4:
∫ ∫
∫
∫
− −
−
−=
=−=
==
2
2
2
2
2
2
2
2
4 
)4( 
)(
dxdxx
dxx
dxxfA
b
a
� Encontre a área limitada pela curva y = – 4 + x2
e o eixo dos x.
46
Exemplo 4:
a. u. 
3
32
 
3
32
 
4
2
2
2
2
2
=
=
−
=
=−= ∫ ∫
− −
dxdxxA
� Encontre a área limitada pela curva y = – 4 + x2
e o eixo dos x.
24
47
Exemplo 5:
� Encontre a área da região S, limitada pela curva 
y = sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2pipipipi.
???=A
48
Exemplo 5:
� Encontre a área da região S, limitada pela curva 
y = sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2pipipipi.
∫∫ +=+=
d
c
b
a
dxxfdxxfAAA )()(21
25
49
Exemplo 5:
� Encontre a área da região S, limitada pela curva 
y = sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2pipipipi.
=−+−=
=+=
=+=
∫∫
∫∫
pi
pi
pi
pi
pi
pi
2
0
2
0
coscos 
 sen sen 
)()(
xx
dxxdxx
dxxfdxxfA
d
c
b
a
50
Exemplo 5:
� Encontre a área da região S, limitada pela curva 
y = sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2pipipipi.
a. u. 4 
coscos
2
0
=
=−+−=
pi
pi
pi
xxA
26
51
Cálculo de Áreas
∫∫ −=
b
a
b
a
dxxgdxxfA )()(
� Caso III: Cálculo da área da figura plana limitada 
pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x = b, 
onde f e g são funções contínuas [a, b] e f(x) ≥ g(x), 
∀ x ∈ [a, b].
Área:
52
Cálculo de Áreas
� Caso III: Cálculo da área da figura plana limitada 
pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x = b, 
onde f e g são funções contínuas [a, b] e f(x) ≥ g(x), 
∀ x ∈ [a, b].
27
53
Exemplo 6:
� Encontre a área limitada por y = x2 e y = x + 2.
∫∫ −=
b
a
b
a
dxxgdxxfA )()(
54
Exemplo 6:
� Encontre a área limitada por y = x2 e y = x + 2.
a. u. 
2
9
3
2
2
 
2 
)2(
2
1
3
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
=−+=
=−+=
=−+=
−
−
−
−−−
−−
∫∫∫
∫∫
x
x
x
dxxdxxdx
dxxdxxA
28
55
Exemplo 6:
� Encontre a área limitada pelas curvas y = x3 e 
y = x.
∫∫ −=
b
a
b
a
dxxgdxxfA )()(
56
Exemplo 6:
� Encontre a área limitada pelas curvas y = x3 e 
y = x.
a. u. 
2
1
4224
 
 
)()(
1
0
41
0
20
1
20
1
4
1
0
3
1
0
0
1
0
1
3
1
0
3
0
1
3
=−+−=
=−+−=
−+−=
−−
−−
−
∫∫∫∫
∫∫
xxxx
dxxxdxxdxdxx
dxxxdxxxA