GQ2 AULA 7 EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS

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AULA 7 
EXERCÍCIOS COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
1. Calcule a soma dos seguintes números complexos z1 = 10 + 2i, z2 = 5 – 3i e z3 = – 9 + 5i 
Vamos organizar os números complexos para somar de forma separada as partes reais e as 
partes imaginárias: 
z1 + z2 + z3 
(10 + 2i) + (5 – 3i) + (– 9 + 5i) 
(10 + 5 – 9) + (2 – 3 + 5)i 
6 + 4 i 
Portanto, a soma dos complexos z1, z2 e z3 é igual a 6 + 4i. 
 
2. Calcule a subtração destes dois números complexos: z1 = 12 – 3i e z2 = 15 + 2i. 
Organizando os números complexos para efetuar a subtração entre eles: 
z1 – z2 
(12 – 3i ) – (15 + 2i) 
(12 – 15) + (– 3 – 2)i 
– 3 – 5i 
A diferença dos complexos z1 e z2 é igual a – 3 – 5i. 
 
3. Dado z = (2 + i) · (1 + i) · i, pergunta-se qual o valor do conjugado de z ? 
(1) Um conjugado de um nº complexo é um nº que possui a mesma parte imaginária com o mesmo 
módulo com o sinal contrário, mantendo a mesma parte real. 
(2) Primeiramente vamos fazer as multiplicações necessárias em z: 
z = (2 + i) · (1 + i) · i 
z = (2 + 2i + i + i²) · i 
z = (2 + 3i – 1) · i 
z = (1 + 3i) · i 
z = i + 3i² 
z = i + 3 · (– 1) 
z = – 3 + i 
Para encontramos a forma mais simples de z, basta alterar o sinal da parte imaginária para 
termos seu conjugado: z = – 3 – i 
4. Se z1 = x + yi e z2 = (1 + i) quais os valores de x e de y para que z1 . z2 = 2 
Realizando a multiplicação pedida, temos: 
(x + yi) · (1 + i) 
x + yi + xi + yi² 
x + yi + xi + y(– 1) 
(x – y) + (x + y)·i 
O produto (x + yi) · (1 + i) equivale a (x – y) + (x + y)·i. 
 
5. Se z = x + yi é um número complexo, calcule o produto (x + yi) · (1 + i) = 2 para que a 
igualdade seja verdadeira. 
Podemos considerar que 2 escrito na forma complexa equivale a 2 + 0i. Como já determinamos o 
produto (x – y) + (x + y)·i, basta que na equação abaixo igualemos as partes reais e também as 
partes imaginárias: 
(x – y) + (x + y)·i = 2 + 0i 
Parte Real → x – y = 2 
Parte Imaginária → x + y = 0 
Podemos montar um sistema com as equações encontradas e resolvê-lo pelo método da adição: 
 
 
Substituindo o valor encontrado de x na equação da parte imaginária, temos: 
x + y = 0 → 1 + y = 0 → y = – 1 
 
Portanto, para que tenhamos (x + yi) · (1 + i) = 2, é necessário que x = 1 e y = – 1. 
 
6. Qual o resultado da diferença entre a multiplicação e a divisão dos números z1 = 4 + 3i e z2 = 12 + 9i. 
Forma retangular 
z1 → 
 
z2 → 
 
 
Multiplicação: X = z1 z2 = r1 r2 θ1 θ2 = 5 x 17,5 36,8º + 30,9º = 87,5 67,7º 
Divisão: Y = z1 / z2 = r1 / r2 θ1 - θ2 = 5 / 17,5 36,8º - 30,9º = 0,28 5,9º 
x – y = 2 
x + y = 0 
2 x = 2 → x = 1 
534 221 =+=r º8,36
4
31
1 ==
−tgθ
5,17915 222 =+=r º9,30
15
91
2 ==
−tgθ
X em coordenadas retangulares 
a1 = 87,5 cos 67,7º = 87,5 x 0,38 = 33,16 
b1 = 87,5 sen 67,7º = 87,5 x 0,93 = 80,93 
 
Y em coordenadas retangulares 
a2 = 0,28 cos 5,9º = 0,28 x 0,99 =0,27 
b2 = 0,28 sen 5,9º = 0,28 x 0,10 = 0.04 
 
Subtração X – Y = 33,16 – 0,27 + j (80,93 – 0,04) = 32,89 – j 80,89 
Logo X – Y = 32,89 – j 80,89 
 
7. Qual é o resultado da soma entre z = 20 30º e seu conjugado z ? 
Se o nº complexo é z = 20 30º o seu conjugado é z = 20 - 30º 
Como a soma deve ser feita em coordenadas retangulares, trata-se então de transformar esses dois 
números que estão em coordenadas polares em coordenadas retangulares. 
 
 e tal que z = a + jb e z = a - jb 
a = 20 cos 30º = 20 x 0,866 = 17,32 
b = 20 sen 30º x 0,5 = 20 x 0,5 = 10 
 
z = 17,32 + j10 e z = 17,32 – j10 
z + z = 17,21 + 17,32 + j(10 – 10) = 2 x 17,32 = 34,64 
z + z= 34,64 
X = 33,16 + j 80,93 
Y = 0,27 + j 0,04 
a = r . cos θ 
 b = r . sen θ 
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