Cap 2 Eletromag

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LEI DE COULOMB E INTENSIDADE 
DE CAMPO ELÉTRICO
Prof Thiago Coelho
ELETROMAGNETISMO
Introdução
• Objetivos
• Apresentar princípios básicos da eletricidade em termos de análise 
vetorial
• Introduzir o conceito de campo elétrico estático no vácuo
• Aplicação: Tubo de raios catódicos
Lei Experimental de Coulomb
• Q1 e Q2 (em C) – Quantidades positivas ou negativas 
de carga
• R (em m) – Distância entre as cargas
• F (em N) – Força 
• k – constante de proporcionalidade
2
21
R
QQ
kF 
Lei Experimental de Coulomb
• Constante de proporcionalidade
• 0 (em F/m) – Permissividade do espaço livre
• Coulomb notou que a força atua ao longo de uma 
linha unindo as duas cargas 
• Força de atração  cargas de sinais contrários
• Força de repulsão  cargas de sinais iguais
04
1

k 912
0 10
36
1
10854,8  


Lei Experimental de Coulomb
• Na forma vetorial
• Exemplo 2.1: Sejam duas cargas Q1=3x10
-4C em M(1,2,3) e 
Q2=-10
-4C em N(2,0,5) no vácuo. Calcular a força em Q2 por Q1
122
120
21
2
4
â
R
QQ
F



12
12
12
12
12
rr
rr
R
R
â 






vetor unitário
Intensidade de Campo Elétrico
• Uma carga provoca a formação de um campo elétrico no 
espaço, que exerce força sobre outra carga
• Seja Qt uma carga de teste, definimos campo elétrico 
como 
• Medido em N/C ou V/m
• R é a magnitude do vetor R, segmento de reta orientado da carga Q
ao ponto onde E é desejado
• âR é o vetor unitário na direção de R
t
t
Q
F
E


 Râ
R
Q
E
2
04


Intensidade de Campo Elétrico
• Em coordenadas cartesianas com Q na 
origem
zyx zâyâxârR 

222 zyx
zâyâxâ
a
zyx
R




 
  












 zyx â
zyx
z
â
zyx
y
â
zyx
x
zyx
Q
zyxE
222222222222
04
,, 

Intensidade de Campo Elétrico
• Em coordenadas esféricas com Q na origem
rrâR 

  râ
r
Q
rE
2
04
,,

 

Intensidade de Campo Elétrico
• Exemplo
• Para uma carga localizada no ponto 
encontrar o campo no ponto genérico
zyx âzâyâxr '''' 

zyx zâyâxâr 

Intensidade de Campo Elétrico
• As forças de Coulomb são lineares
• Princípio da superposição é válido
• Para n cargas pontuais o campo resultante será
  
 

n
m
m
m
m â
rr
Q
rE
1
2
04



Intensidade de Campo Elétrico
• Exemplo
1E2E
3E
RE
Intensidade de Campo Elétrico
• E2.2)
• Seja uma carga de –0,3C em A(25,-30,15) em cm e outra de 
0,5 C em B(-10,8,12), determine o campo elétrico na origem e 
no ponto P(15,20,50).
CAMPO ELÉTRICO E DISTRIBUIÇÃO 
VOLUMÉTRICA DE CARGA
Prof Thiago Coelho
Introdução
• Objetivos
• Mostrar o cálculo da carga a partir da densidade volumétrica de 
carga
• Apresentar equações para o campo devido a uma distribuição de 
cargas
• Estudar o campo em uma linha de cargas
Revisão
• Lei de Coulomb
• Campo elétrico em r devido a uma carga 
pontual em r’
• Campo elétrico em r devido a n cargas 
pontuais em r’
122
120
21
2
4
â
R
QQ
F



'
'
'4
2
0
rr
rr
rr
Q
E 








  
 

n
m
m
m
m â
rr
Q
rE
1
2
04


 m
m
m
rr
rr
â 




Densidade volumétrica de cargas
• Geralmente, a engenharia elétrica não está 
interessada no fenômeno no nível do elétron
• Fenômenos macroscópicos tais como voltagem no circuito, carga 
no capacitor, corrente na antena
• É mais interessante definir uma distribuição 
volumétrica de carga
• Um corpo carregado pode ser representado por 
infinitas cargas pontuais confinadas dentro do 
seu volume, com cada carga ocupando um 
elemento diferencial de volume
Densidade volumétrica de cargas
• O campo elétrico resultante em um ponto r do 
espaço é dado pela soma de infinitas cargas 
pontuais resultando em uma integral volumétrica
• Define-se a densidade volumétrica de cargas v
como a quantidade de carga por unidade de 
volume
• Unidade: C/m3
Densidade volumétrica de cargas
• Podemos considerar que v é constante em uma 
pequena região do espaço contendo um volume 
v, de modo que a carga Q contida na região 
será
• Matematicamente, podemos definir v como
vQ v 
v
Q
v
v



 0
lim
Densidade volumétrica de cargas
• A carga diferencial dQ contida em um elemento 
diferencial de volume será
• Podemos obter a carga total de um corpo fazendo
dvdQ v

vol
vdvQ 
Densidade volumétrica de cargas
• Exemplo: Calcular carga no corpo
Distribuição volumétrica de carga e 
campo elétrico
• Campo elétrico em r devido a uma distribuição 
volumétrica de carga
• E2.4) Calcule a carga total no volume indicado
b)
c)Calcule a carga total no universo, dado que 
2
2
r
e r
v


 6,022 senzv 
 
 
 



vol
v dv
rr
rr
rr
r
rE '
'
'
'
'
4
1
2
0




 

42
0
1,00



z


Campo elétrico de uma linha de cargas
• Considerando uma linha de carga de dimensão infinita no eixo z, 
determine o campo elétrico em r
• Usando a geometria cilíndrica, o
campo elétrico só tem
componentes na direção â
• A densidade de carga de um
filamento retilíneo é dada em C/m 
e a carga total é obtida através de 
uma integral simples
 dlQ l
Campo elétrico de uma linha de cargas
• Campo elétrico para uma linha paralela ao eixo z que passa pelo 
ponto (x’, y’)
• Substituímos  pela distância
do ponto a linha
  R
l a
R
rE

02


 
   
   
   22220 ''
''
''2 yyxx
ayyaxx
yyxx
rE
yxl








Campo elétrico de uma linha de cargas
• E2.5)
• Duas linhas de carga uniforme e infinitas de 5nC/m estão 
situadas ao longo dos eixos x e y. Determine o campo elétrico 
no espaço livre em
• PA(0,0,4)
• PB(0,3,4)
CAMPO ELÉTRICO DE 
UMA LÂMINA DE 
CARGAS
Introdução
• Objetivos
• Estudar o campo elétrico em uma lâmina de cargas
• Aplicação: antenas e linha de transmissão planares e capacitores 
de placas paralelas
Densidade superficial de carga
• Densidade superficial de carga s
• Medida em C/m2
• Distribuição de carga
• Q – Pontual
• L – Linha
• s – Superfície
• v – Volume
Campo elétrico de uma lâmina de cargas
• Considere uma lâmina de cargas no plano yz
• Geometria
• O campo não pode variar com
y nem z devido à simetria
• Só existe campo na direção x, Ex
• Anteriormente, para uma
linha de cargas, um conjunto
de cargas pontuais
• Agora vamos considerar a
lâmina como um conjunto
de linhas de carga
Campo elétrico de uma lâmina de cargas
• A direção é sempre normal à lâmina e para fora
• Se P estiver no semi-eixo 
negativo
• O campo é constante em 
módulo e direção
• Independe da distância ao
plano
N
S âE
02



02
S
xE 
Campo elétrico para diversas lâminas de 
cargas
• Considere agora outra lâmina de cargas em x=a com 
densidade superficial de carga negativa -s
• É possível encontrar o campo elétrico total somando a 
contribuição de cada lâmina
• Para x>a
• Para x<0
x
S âE
02



x
S âE
02


 0  EEE

x
S âE
02



x
S âE
02

 0  EEE

Campo elétrico para diversas lâminas de 
cargas
• Para 0<x<a
• Capacitor de placas paralelas com ar entre elas
• Se as dimensões das placas forem suficientemente maiores que a 
separação
• Expressão pode ser usada para cálculo do campo em ponto distante 
das bordas
• O campo fora do capacitor é desprezível
x
S âE
02



x
S âE
02



x
S âEEE
0

 

Campo elétrico para diversas lâminas de 
cargas
• E2.6)
• Três lâminas de cargas infinitas e uniforme estão localizadas 
no espaço livre na seguinte configuração
• 3nC/m2 em z=-4
• 6nC/m2 em z=1
• -8nC/m2 em z=4
• Determine a intensidade de campo elétrico nos pontos
• (2, 5, -5)
• (4, 2, -3)
• (-1, -5, 2)
• (-2, 4, 5)
Lista de Exercícios
• 2.1, 2.5, 2.7, 2.9, 2.13, 2.16, 2.17, 2.19, 2.21, 
2.22, 2.23, 2.25