Cap 5 e 6

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Condutores, dielétricos e 
capacitância
Prof Thiago Coelho
Cap 5
Introdução
• Objetivos
– Aplicar métodos anteriores a materiais condutores 
e dielétricos
– Definir corrente elétrica e densidade de corrente 
elétrica
Corrente e densidade de corrente
• Corrente
– Cargas elétricas em movimento
– Medida em Ampère
– Definida como a taxa de movimento de cargas que 
passam em um dado ponto de referência em C/s
– 1 A = 1C de carga que passa por um plano de 
referência em 1s
– Movimento de cargas positivas, embora a condução 
em metais seja feita por elétrons
dt
dQ
I 
Corrente e densidade de corrente
• Densidade de corrente
– É um vetor com unidade de A/m2
– Integrando a componente de 
perpendicular a área S temos a 
corrente total que passa por esta área
– pode estar relacionada à velocidade da 
densidade volumétrica de cargas no ponto.
J

J

Sd

J

 
S
SdJI

J

Corrente e densidade de corrente
• Relação entre rv e
– No caso de um cubo de cargas em movimento no eixo 
x, durante o intervalo Dt, o volume que ultrapassa um 
plano paralelo zy é
J

t
Q
I
D
D
D
vQ vDD r
xSv DDD
Corrente e densidade de corrente
– Então
– Em geral
– Ex 5.1: mA/m2
– Determine em
– Determine a corrente total que flui para fora da 
faixa cilindrica 
t
x
S
t
Q
I v
D
D
D
D
D
D r
xSQ v DDD r
xvv
S
I
r
D
D
vJ v

r
r rr aazJ 

22 cos410 
J

 2;30;3  zr
8,22;20;3  zr
v

é velocidade!
Continuidade de corrente
• Princípio da conservação de cargas
– Cargas não podem ser criadas nem destruídas, 
embora quantidades iguais de cargas positivas e 
negativas possam ser simultaneamente criadas
• Equação da continuidade
– Fluxo de cargas que sai de uma superfície fechada é 
igual a taxa com que a carga total dentro da 
superfície diminui
dt
dQ
SdJI I
área
 

Forma integral da
equação da continuidade 
Continuidade de corrente
• Equação da continuidade
– Pelo teorema da divergência
– Se a superfície não varia com o tempo
 
vol
v
volárea
dv
dt
d
dt
dQ
dvJSdJ r
Forma pontual da
equação da continuidade 
 


vol
v
vol
dv
t
dvJ
r
t
J v



r
Continuidade de corrente
• Equação da continuidade
– A carga por segundo (corrente) que diverge de um 
pequeno volume é igual à taxa de diminuição da 
carga por unidade de volume em cada ponto
t
J v



r
Continuidade de corrente
• Equação da continuidade
– E5.2:
– Calcule:
a) a corrente total pela superfície
na direção
b) A densidade volumetrica de cargas, se a 
velocidade de carga em for 2x106 m/s 
c) A velocidade das cargas se dens vol. For -2000 
C/m3 em 
zazJ
 5,1610
m1,0z
m200 r 
za
 m1,0z
m15,0z
Condutores metálicos
• Materiais condutores apresentam elétrons livres que podem 
se movimentar na direção oposta de um campo elétrico
• Elétrons livres são elétrons ligados aos últimos orbitais 
atômicos que se liberam da atração do núcleo
• A força exercida em um elétron por um campo elétrico será
onde -e é a carga do elétron
• No espaço livre, o elétron aceleraria aumentando sua
velocidade e sua corrente (corrente de convecção)
EeF


Condutores metálicos
• No metal, o elétron se choca com os átomos de modo a
adquirir uma velocidade média constante (velocidade de
deriva)
onde e é a mobilidade elétrica [m
2/Vs]
• Sabemos que
• Temos que a densidade de corrente devido ao movimento de 
elétrons em um condutor na presença de um campo elétrico é
onde re é a densidade volumétrica de carga de elétrons livres
Ev ed


dv

vJ v

r
EJ ee

r
Condutores metálicos
• Podemos definir condutividade elétrica como
– Medida em Siemens por metro (S/m), onde S é A/V
– Inverso da resistividade
• A condutividade elétrica é característica do material de modo 
que
• Condutores metálicos obedecem relação linear 
– Condutividade é constante para grandes intervalos de
– Se esta propriedade se mantém para todas as direções, o material é 
chamado de material isotrópico
– Senão, ele é chamado de material anisotrópico
eer 
EJ


Forma pontual da Lei de Ohm
EJ

 e 
Condutores metálicos
• A condutividade é função da temperatura
– Para temperaturas de poucos K, a resistividade 
tende a zero 
– Propriedade chamada de supercondutividade
– Maior a temperatura, maior vibração dos átomos, 
menor velocidade de deriva, menor mobilidade, 
menor condutividade e maior resistividade
Condutores metálicos
• Seja um condutor cilíndrico no qual é aplicado um campo 
elétrico uniforme
• Há uma densidade de 
corrente de forma 
que a corrente total é
• Como o campo é constante, a diferença de potencial entre as 
extremidades do condutor é
JSSdJI
S
 

ELVLELELdELdEV abba
a
b
a
b
ab  

Condutores metálicos
• Do cálculo da corrente total
• Então
• R é definida como resistência elétrica e é medida em ohm (W)
• Pode ser interpretada como resistência à passagem de 
elétrons
• R aumenta com o comprimento e diminui com a 
condutividade e com a área
S
I
J  S
I
L
V
S
I
EJ 

I
S
L
V

 RIV
S
L
R  então 

Lei de Ohm
Condutores metálicos
• Exemplo 5.1: Dado um fio de cobre #16 (σ=5,8x107S/m) com 
uma milha de comprimento (1609 m) e diâmetro 1,291 mm 
de diâmetro.
– Determine a resistência R
– Para uma corrente de 10 A, calcule J e a diferença de potencial nas 
extremidades do fio
Introdução
• Objetivos
– Apresentar os três tipos de materiais
• Condutores
• Dielétricos (Isolantes)
• Semicondutores
Bandas de Energia
Condutores
• Materiais com grande quantidade cargas livres (elétrons)
• Dentro do condutor 
– Se houvesse campo as cargas se moveriam (Lei de Ohm)
• rv=0 dentro do condutor
• Cargas residem na superfície
• Condutor é um equipotencial
0 
A
B
BA LdEVV

0E

-
-
-
-
1E

-
-
+
+
+
+
+
+
0E

000  DDE v
 r
Condutores e condições de fronteira
• E na borda?
• Campo elétrico pode ser decomposto em componentes 
normal e tangencial
– Tangencial é nulo, pois não há movimento de cargas
– Densidade de fluxo tangencial também é nula
– DN (C/m
2)= rS (C/m
2)
Condutores e condições de fronteira
• Considerando um percurso fechado abcda
– Como dentro o campo elétrico é nulo
– Fazendo Dh0
 
a
d
d
c
c
b
b
a
LdE 0

0
22
,, 
D

D
D
h
E
h
EwE aNbNt
00 D tt EwE
Condutores e condições de fronteira
• Considerando um pequeno cilindro (Lei de Gauss)
– Campo elétrico no interior e tangencial são nulos, logo teremos apenas a 
primeira integral
 
ladobasetopo
SdDQ

SNSN DSQSD rr DD
SNE r 0
Condutores e condições de fronteira
• Em condições estáticas, superfície condutora é uma
equipotencial, já que Et=0 e a densidade de fluxo que deixa a
superfície é igual a densidade superficial de carga
• Em resumo
vácuo
condutor
Na

NSN
NN
t
t
aD
DE
D
E


r





0
0
0
Condutores e condições de fronteira
• E5.5: 
Dado o campo potencial no espaço livre 
V=100senh 5x sen5y V, e o ponto P(0,1; 0,2; 0,3), calcule em P:
– V 
– E
– |E|
– |ρs| caso P esteja posicionado na superfície de um condutorMétodo das imagens
• Dipolo elétrico
– Existe um plano infinito de potencial nulo na metade
da distância entre as cargas
– Duas cargas iguais e opostas podem ser substituídas
por uma carga simples e um plano condutor sem
afetar o campo acima da superfície V=0
Método das imagens
• E5.6: Um plano condutor perfeito está
localizado no espaço livre em x=4, e uma
linha de cargas infinita e uniforme de 40
nC/m posiciona-se ao longo da reta x=6, y=3.
Seja V=0 no plano condutor. Em P(7, -1, 5),
calcule:
a) V
b) E
Dielétricos
• São materiais que possuem pouca ou nenhuma condutividade
• Não possuem cargas livres (cargas podem mudar ligeiramente 
posição mas não há condução)
• Modeladas matematicamente como um Dipolo 
• Pela ação de um campo elétrico externo, a energia potencial é 
armazenada como uma mola pelo deslocamento das posições 
das cargas positivas e negativas
Dielétricos
• Os dipolos assim constituídos são denominados cargas de 
polarização, pois os elétrons não são livres
• Momento do dipolo
• Para um volume Dv com n dipolos por unidade de volume
• Polarização (no limite e por unidade de volume)
(C.m) dQp


+
-
d

+Q
-Q

D


vn
i
itotal pp
1

)(C/m 
1
lim 2
1
0

D

D D

vn
i
i
v
p
v
P

Dielétricos
• Surgem cargas de polarização
• Dentro do material dielétrico, a densidade de fluxo 
aumenta
• Em muitas circunstâncias
onde ce é a susceptibilidade elétrica
PED

 0
+ + + + + + +
- - - - - - -
–
+ 
–
+ 
–
+ 
–
+ 
–
+ 
–
+ 
–
+ 
–
+ 
EP e

c0
Dielétricos
• Densidade de fluxo
onde  é a permissividade elétrica
• Permissividade relativa ou constante dielétrica
– É a relação entre a permissividade elétrica com a permissividade do 
vácuo
– Usando R do material, não é preciso fazer considerações sobre 
dipolos, momentos do dipolo, polarização ou susceptibilidade
 ED e

c  10 ED


 eR c

  1
0
Dielétricos
• E5.8) Uma placa de material dielétrico tem uma constante
dielétrica relativa de 3,8 e contém uma densidade de fluxo
elétrico uniforme de 8nC/m2. Se o material for sem
perdas, calcule:
a) E
b) P
Dielétricos e condições de fronteira
• O que ocorre na interface entre dois dielétricos (1 e 2)?
• Considerando um percurso fechado
– Fazendo Dh0
– Densidade de fluxo
02,1, DD wEwE tt
0 LdE

2,1, tt EE 
2
2,
1
1,

tt DD

2
1
2,
1,



t
t
D
D
Dielétricos e condições de fronteira
• Considerando um pequeno cilindro (Lei de Gauss)
– Campo elétrico tangencial é constante, logo teremos apenas a 
primeira e a segunda integral
– Para um dielétrico perfeito (rS=0)
 
ladobasetopo
SdDQ

SQSDSD SNN DDDD r2,1,
22,11,  NN EE 
SNN DD r 2,1,
2,1, NN DD 
Dielétricos e condições de fronteira
• Refração
– Podemos decompor
– Se 1>2 então q1 q2
D

2,22111, coscos NN DDDD  qq
2
1
22
11
2,
1,
sen
sen


q
q

D
D
D
D
t
t
221112 sensen qq DD 
2
1
2
1
tan
tan


q
q

21 DD 
21 EE 
Dielétricos e condições de fronteira
• E na fronteira entre um dielétrico e um condutor?
• Temos configuração de cargas igual a fronteira 
condutor-vácuo, assim a demonstração e os resultados 
são os mesmos
• Em resumo dielétrico
condutor
Na

NSN
NN
t
t
aD
DE
D
E


r





0
0
Dielétricos e condições de fronteira
• E6.2: Seja a região z < 0 composta de material 
dielétrico uniforme para o qual R1=3,2, 
enquanto a região z > 0 é caracterizada por 
R2=2. Seja
Calcule: 
• DN,1
• Dt,1
• Dt,1
• D1
 q1
2
1 nC/m 705030 zyx aaaD


• P1
• DN,2
• Dt,2
• D2
• P2
• q2
Capacitância
• Considere dois condutores mergulhados em um dielétrico 
perfeito
• Condutores M2 com carga positiva Q na superfície e M1 com 
carga negativa -Q na superfície
• Só existe componente de campo
na direção normal às superfícies
condutoras 
• Cada condutor é uma superfície
equipotencial
• O fluxo e o campo estão dirigidos
de M2 para M1
Capacitância
• Definimos capacitância como a razão entre a magnitude da 
carga total em ambos os condutores e a magnitude da 
diferença de potencial entre os condutores
• V0 é encontrado deslocando uma carga de teste 
positiva da superfície negativa para a positiva
• C independe do potencial e da carga total 
(Lei de Gauss), sendo função somente das 
dimensões físicas e da permissividade do dielétrico














LdE
SdE
LdE
SdD
V
Q
C SS





0
0V
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
E

D

d

+-
SrS
r
Capacitância
• Capacitância é medida em Farads (C/V)
– Normalmente valores pequenos (F, nF, pF)
• Considerando duas placas paralelas infinitas
de condutores idênticos e distribuição uniforme
de carga rS e as condições de fronteira
• Energia armazenada
d
S
V
Q
C


0
0V
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
E

D

d

+-
SrS
r
SQ Sr dEdV S

r
0
2
222
0 0
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1

r

r

r d
d
S
SddydSdvEW SS
S d
S
vol
E   
Capacitância
• Energia armazenada
• Um parâmetro de qualidade do dielétrico do 
capacitor é o campo máximo aplicado sem 
ocorrer a ruptura do dielétrico
• Ex: Calcule C de um capacitor de placas
paralelas com R=6, placa com área 10in
2 e 
separadas por 0,01in. Qual a energia 
armazenada
se V0=2V (1 in = 2,54 cm)
0V
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
E

D

d

+-
SrS
r
C
Q
QVCVWE
2
0
2
0
2
1
2
1
2
1

Exemplos de capacitância
• Capacitor coaxial
– Diferença de potencial
– Carga total
– Capacitância
a
b
V Lab ln
2
r

LQ Lr
 ab
L
C
ln
2

Exemplos de capacitância
• Capacitor esférico de raios a e b (b>a)
– Diferença de potencial
– Carga total
– Capacitância
– Se b
Q
ba
C
11
4










ba
Q
Vab
11
4
aC 4
Exemplos de capacitância
• Capacitor de placas paralelas com dielétricos 
1 e 2
221121 dEdE
Q
VV
Q
V
Q
C




S
d
S
d
S
dQ
S
dQ
Q
C
2
2
1
1
2
2
1
1
1





21
11
1
CC
C


Capacitores em série
Exemplos de capacitância
• Capacitor de placas paralelas com dielétricos 
1 e 2
21
2121 CC
V
Q
V
Q
V
QQ
V
Q
C 


Capacitores em paralelo
VVV  21
21 CCC 
1S 2S
1 2
d
Exemplos de capacitância
• E6.4) Calcule a permissividade relativa do material 
dielétrico presente em um capacitor de placas paralelas 
se:
a) S=0,12 m2, d=80 μm, V0=12 V e o capacitor contém 1 μuJ 
de energia
b) A densidade de energia armazenada é 100 J/m3, V0=200 V 
e d=45 μm
c) E=200 kV/m, ρs=20 μC/m
2 e d=100 μm
Exemplos de capacitância
E6.5) Calcule a capacitância de:
a) Um cabo coaxial de 35B/U de 30,4 cm de comprimento, 
que possui um condutor interno de 2,654 mm de 
diâmetro, um dielétrico de polietileno (εr=2,26), e um 
condutor externo que possui diâmetro interno de 1,73cm
b) Uma esfera condutora de raio 2,5 mm, coberta por uma 
camada de polietileno de 2 mmde espessura, envolvida 
por uma esfera condutora de raio de 4,5 mm
c) Duas placas condutoras retangulares, de 1 cm por 4 cm, 
com espessura desprezível, entre as quais estão três 
camadas de dielétrico, cada uma de 1 cm por 4 cm e de 
0,1 mm de espessura, possuindo constantes dielétricas de 
1,5, 2,5 e 6.
Lista de exercícios
• 5.1, 5.2, 5.3, 5.5, 5.9, 5.11, 5.13, 5.15, 5.17, 5.18, 5.20, 5.23, 5.28,
5.30, 5.31, 5.32, 5.34, 5.36, 5.37, 5.38, 5,40, 5.41, 5.42, 5.45
Exercícios
• Encontre a queda de tensão em cada dielétrico na figura abaixo,
dado que εr1=2 e εr2=5. O raio do condutor interno r1 vale 2 cm e
do condutor externo 2,5 e a interface dielétrica se encontra no
meio da distância entre os condutores