Aula 22 - Medidas de Dispersão e Variabilidade - Menor

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Unidade 2 ± Tópicos de Estatística Descritiva 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 
Estatística I 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 1 
Tópicos de Estatística Descritiva 
Unidade 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 2 
‡ Interpretar os resultados das medidas de posição de um 
conjunto de dados; 
‡ Calcular a média aritmética, mediana e moda de um 
conjunto de dados; 
‡ Determinar as separatrizes (quartis, decis e percentis) de 
um conjunto de dados; 
‡ Interpretar os resultados das medidas de dispersão, 
variabilidade, assimetria e curtose de um conjunto de 
dados; 
‡ Determinar as medidas de dispersão, variabilidade, 
assimetria e curtose de um conjunto de dados. 
Objetivo da Unidade 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 3 
‡ Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central. 
‡ Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade. 
‡ Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose. 
Aulas da Unidade 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 4 
Medidas de Dispersão e Variabilidade 
Aula 2.2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Interpretar os resultados das medidas de dispersão e 
variabilidade de um conjunto de dados; 
± Determinar as medidas de dispersão e variabilidade 
de um conjunto de dados. 
Objetivo 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 6 
‡ Introdução 
‡ Medidas de dispersão: 
± Amplitude total 
± Desvio Médio 
± Variância 
± Desvio Padrão 
± Coeficiente de Variação 
‡ Exercícios 
Roteiro 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 7 
Introdução 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 8 
Média: 5,65 
Média: 5,65 
‡ As medidas de dispersão ou variabilidade 
servem para verificarmos a representatividade 
das medidas de posição (média aritmética, 
mediana e moda), pois, é muito comum 
encontrarmos séries que, apesar de terem a 
mesma média, são compostas de maneira 
distinta. 
Introdução 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 9 
‡ Dispersão ou Variabilidade 
± É a maior ou menor diversificação dos valores de 
uma variável, em torno de um valor de tendência 
central tomado como ponto de comparação. 
Introdução 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 10 
‡ Para qualificar os valores de uma dada variável, 
ressaltando a maior ou menor dispersão entre 
esses valores e a sua medida de posição, a 
Estatística recorre às medidas de dispersão. 
Introdução 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 11 
‡ Dessas medidas estudaremos: 
± a amplitude; 
± o desvio médio; 
± a variância; 
± o desvio padrão; e 
± o coeficiente de variação. 
Introdução 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 12 
Amplitude Total 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 13 
1, 2, 3, ....., n ‡ É a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
± AT = xmáx ± xmín 
Amplitude Total 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 14 
‡ Exemplo: 
± Determine a amplitude do conjunto de dados abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Amplitude Total 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 15 
‡ Solução: 
± 1º passo: ordenar os dados 
9 3, 7, 7, 10, 10, 14, 15, 18, 21, 21, 21, 23 
± 2º passo: determinar xmín e xmáx 
9 xmín = 3 
9 xmáx = 23 
± 3º passo: determinar a amplitude total 
9 AT = xmáx ± xmín = 23 ± 3 ֜ AT = 20 
Amplitude Total 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 16 
‡ Importante: Quanto maior a amplitude total, 
maior é a dispersão dos valores da variável. 
‡ A utilização da Amplitude Total como medida de 
dispersão é muito limitada, pois, sendo uma 
medida que depende apenas dos valores 
externos, é instável, não sendo afetada pela 
dispersão dos valores internos. 
Amplitude Total 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 17 
Desvio Médio 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 18 
1, 2, 3, ..,x,..., n 
‡ O desvio médio é a média aritmética dos 
desvios considerados em módulo (valor 
absoluto). 
‡ Cada desvio é calculado pela diferença entre o 
valor dado xi e a média do conjunto de valores x. 
± di = xi - ݔҧ 
Desvio Médio 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 19 
‡ O desvio médio é dado por: Ȃ ܦ௠ ൌ σ ௗ೔ כ௙೔௡ Ȃ ܦ௠ ൌ σ ௫೔ି௫ҧכ௙೔௡ 
‡ onde: 
± fi é a frequência relativa de cada valor do conjunto de 
dados; 
± di é o desvio de cada valor do conjunto de dados; e 
± n é o total de valores do conjunto de dados (n = ¦ fi). 
Desvio Médio 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 20 
‡ Exemplo: 
± Determine o desvio médio do conjunto de dados 
abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Desvio Médio 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 21 
‡ Solução 
± 1º passo: calcular a média 
dos dados Ȃ ݔҧൌ σ ௫೔כ௙೔σ ௙೔ 
± O quadro ao lado ajuda a 
fazer a conta: 
9 ¦ xi * fi = 170 
9 ¦ xi = 12 
9 ݔҧൌ ଵ଻଴ଵଶ ൌ ͳͶǡͳ͸͹ 
xi fi x1 * fi 
3 1 3 
7 2 14 
10 2 20 
14 1 14 
15 1 15 
18 1 18 
21 3 63 
23 1 23 
soma 12 170 
média 14,167 
Desvio Médio 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 22 07/09/2013 
‡ Solução 
± 2º passo: calcular os 
desvios de cada valor 
± di = xi - ݔҧ 
xi ࢞ഥ di = x1 - ࢞ഥ 
3 14,167 -11,167 
7 14,167 -7,167 
10 14,167 -4,167 
14 14,167 -0,167 
15 14,167 0,833 
18 14,167 3,833 
21 14,167 6,833 
23 14,167 8,833 
Desvio Médio 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 23 07/09/2013 
‡ Solução 
± 3º passo: calcular o desvio 
médio Ȃ ܦ௠ ൌ σ ௗ೔ כ௙೔௡ 
± ¦ |di| * fi = 68,000 
± n = ¦ fi = 12 Ȃ ܦ௠ ൌ σ ௗ೔ כ௙೔௡ ൌ ଺଼ଵଶ ൌ ͷǡ͸͸͹ 
di |di| fi |di| * fi 
-11,167 11,167 1 11,167 
-7,167 7,167 2 14,334 
-4,167 4,167 2 8,334 
-0,167 0,167 1 0,167 
0,833 0,833 1 0,833 
3,833 3,833 1 3,833 
6,833 6,833 3 20,499 
8,833 8,833 1 8,833 
Soma 12 68,000 
Desvio Médio 5,667 
Desvio Médio 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 24 07/09/2013 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 25 
V2 s2 
‡ O desvio médio utiliza a função módulo que, 
devido às suas propriedades específicas, é de 
dificil tratatamento matemático. 
‡ Deste modo, os estatísticos desenvolveram a 
variância, a qual é uma medida de dispersão 
baseada no quadrado dos desvios em relação à 
média. 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 26 
‡ Universo: 
± toda a população 
± variância populacional (V2) 
‡ Amostra: 
± subconjunto da população 
± variância amostral (s2) 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 27 
U 
A 
V2 
s2 
‡ Na variância populacional utiliza-se a média 
populacional ݔҧ, tendo como denominador o tamanho 
da população n. 
‡ A variância populacional é dada por: Ȃ ߪଶ ൌ σ ௗ೔ మכ௙೔௡ 
‡ onde: 
± fi é a frequência relativa de cada valor da população; 
± di é o desvio de cada valor da população (di = xi ± ݔҧ) ; e 
± n é o tamanho da população (n = ¦ fi). 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 28 
‡ Na variância amostral utiliza-se a média 
amostral ݔҧ, tendo como denominador o tamanho 
da amostra menos um (n - 1). 
‡ A variância amostral é dada por: Ȃ ݏଶ ൌ σ ௗ೔ మכ௙೔௡ିଵ 
‡ onde: 
± fi é a frequência relativa de cada valor da amostra; 
± di é o desvio de cada valor da amostra (di = xi ± ݔҧ) ; e 
± n é o tamanho da amostra (n = ¦ fi). 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade29 
‡ Exemplo: 
± Determine a variância da população abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 30 
‡ Note que neste exercício 
o conjunto de números 
dado representa o 
universo sobre o qual 
calcularei a variância. 
‡ Deste modo, devo 
calcular a variância 
populacional. 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 31 
U 
7 23 10 
14 7 21 
3 10 18 
21 15 21 
‡ Solução 
± 1º passo: calcular a média 
dos dados Ȃ ݔҧൌ σ ௫೔כ௙೔σ ௙೔ 
± O quadro ao lado ajuda a 
fazer a conta: 
9 ¦ xi * fi = 170 
9 ¦ xi = 12 
9 ݔҧൌ ଵ଻଴ଵଶ ൌ ͳͶǡͳ͸͹ 
xi fi x1 * fi 
3 1 3 
7 2 14 
10 2 20 
14 1 14 
15 1 15 
18 1 18 
21 3 63 
23 1 23 
soma 12 170 
média 14,167 
Variância 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 32 07/09/2013 
‡ Solução 
± 2º passo: calcular os 
desvios de cada valor 
± di = xi - ݔҧ 
xi ࢞ഥ di = x1 - ࢞ഥ 
3 14,167 -11,167 
7 14,167 -7,167 
10 14,167 -4,167 
14 14,167 -0,167 
15 14,167 0,833 
18 14,167 3,833 
21 14,167 6,833 
23 14,167 8,833 
Variância 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 33 07/09/2013 
‡ Solução 
± 3º passo: calcular a variância 
populacional 
± ߪଶ ൌ σ ௗ೔మכ௙೔௡ 
± ¦ di2 * fi = 495,667 
± n = ¦ fi = 12 
± ߪଶ ൌ σ ௗ೔మכ௙೔௡ ൌ ସଽହǡ଺଺଻ଵଶ ൌ Ͷͳǡ͵Ͳ͸ 
di di
2 fi di
2 * fi 
-11,167 124,694 1 124,694 
-7,167 51,361 2 102,722 
-4,167 17,361 2 34,722 
-0,167 0,028 1 0,028 
0,833 0,694 1 0,694 
3,833 14,694 1 14,694 
6,833 46,694 3 140,083 
8,833 78,028 1 78,028 
Soma 12 495,667 
Variância Populacional 41,306 
Variância 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 34 07/09/2013 
‡ Exemplo: 
± Determine a variância da amostra abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 35 
‡ Note que neste exercício 
o conjunto de números 
dado representa uma 
amostra do universo. 
‡ Deste modo, devo 
calcular a variância 
amostral. 
Variância 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 36 
U 
19 26 2 0 25 7 
25 7 23 10 24 15 
1 14 7 21 17 16 
9 3 10 18 19 14 
6 21 15 21 9 8 
6 8 0 11 24 5 
0 21 19 1 3 4 
‡ Solução 
± 1º passo: calcular a média 
dos dados Ȃ ݔҧൌ σ ௫೔כ௙೔σ ௙೔ 
± O quadro ao lado ajuda a 
fazer a conta: 
9 ¦ xi * fi = 170 
9 ¦ xi = 12 
9 ݔҧൌ ଵ଻଴ଵଶ ൌ ͳͶǡͳ͸͹ 
xi fi x1 * fi 
3 1 3 
7 2 14 
10 2 20 
14 1 14 
15 1 15 
18 1 18 
21 3 63 
23 1 23 
soma 12 170 
média 14,167 
Variância 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 37 07/09/2013 
‡ Solução 
± 2º passo: calcular os 
desvios de cada valor 
± di = xi - ݔҧ 
xi ࢞ഥ di = x1 - ࢞ഥ 
3 14,167 -11,167 
7 14,167 -7,167 
10 14,167 -4,167 
14 14,167 -0,167 
15 14,167 0,833 
18 14,167 3,833 
21 14,167 6,833 
23 14,167 8,833 
Variância 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 38 07/09/2013 
‡ Solução 
± 3º passo: calcular a variância 
amostral 
± ݏଶ ൌ σ ௗ೔మכ௙೔௡ିଵ 
± ¦ di2 * fi = 495,667 
± n = ¦ fi = 12 
± ݏଶ ൌ σ ௗ೔మכ௙೔௡ିଵ ൌ ସଽହǡ଺଺଻ଵଶିଵ ൌ ͶͷǡͲ͸ͳ 
di di
2 fi di
2 * fi 
-11,167 124,694 1 124,694 
-7,167 51,361 2 102,722 
-4,167 17,361 2 34,722 
-0,167 0,028 1 0,028 
0,833 0,694 1 0,694 
3,833 14,694 1 14,694 
6,833 46,694 3 140,083 
8,833 78,028 1 78,028 
Soma 12 495,667 
Variância Amostral 45,061 
Variância 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 39 07/09/2013 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 40 
V s 
‡ O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
‡ O desvio padrão amostral é dado pela raiz 
quadrada da variância amostral: 
± s = —s2 
‡ O desvio padrão populacional é a raiz quadrada 
da variância populacional: 
± V = —V2 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 41 
‡ Exemplo: 
± Determine o desvio padrão da população abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 42 
‡ Solução 
± Como foi visto anteriormente, a variância 
populacional dos dados do problema é V2 = 41,306 
± O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da 
variância populacional: 
9 V = —V2 
± Logo: 
9 V = —V2 = —41,306 ֜ V = 6,427 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 43 
‡ Exemplo: 
± Determine o desvio padrão da amostra abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 44 
‡ Solução 
± Como foi visto anteriormente, a variância amostral 
dos dados do problema é s2 = 45,061 
± O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da 
variância amostral: 
9 s = —s2 
± Logo: 
9 s = —s2 = —45,061 ֜ s = 6,713 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 45 
‡ Sendo a variância calculada a partir dos 
quadrados dos desvios, ela é um número em 
unidade quadrada em relação à variável em 
questão. 
‡ A variância e o desvio padrão são medidas que 
levam em consideração a totalidade dos valores 
da variável em estudo, o que faz delas índices 
de dispersão bastante estáveis e, por isso 
mesmo, os mais empregados. 
Desvio Padrão 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 46 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 47 
CV 
‡ Trata-se de uma medida relativa de dispersão, 
útil para a comparação em termos relativos do 
grau de concentração em tomo da média de 
séries distintas. 
‡ O coeficiente de variação é a medida de 
dispersão dos dados em termos relativos a seu 
valor médio. 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 48 
‡ O coeficiente de variação amostral é dado por: 
± Em decimal: ܥܸ ൌ ௦௫ҧ 
± Em percentagem: ܥܸΨ ൌ ௦௫ҧכ ͳͲͲΨ 
‡ O coeficiente de variação populacional é dado 
por: 
± Em decimal: ܥܸ ൌ ఙ௫ҧ 
± Em percentagem: ܥܸΨ ൌ ఙ௫ҧכ ͳͲͲΨ 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 49 
‡ Exemplo: 
± Determine o coeficiente de variação da população 
abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 50 
‡ Como foi visto anteriormente: 
± V = 6,427 Ȃ ݔҧ = 14,167 
‡ Logo: Ȃ ܥܸ ൌ ఙ௫ҧൌ ଺ǡସଶ଻ଵସǡଵ଺଻ ൌ ͲǡͶͷͶ Ȃ ܥܸΨ ൌ ܥܸ כ ͳͲͲ ൌ ͲǡͶͷͶ כ ͳͲͲ ൌ ͶͷǡͶΨ 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 51 
‡ Exemplo: 
± Determine o coeficiente de variação da amostra 
abaixo: 
± 7, 14, 3, 21, 23, 7, 10, 15, 10, 21, 18, 21 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 52 
‡ Como foi visto anteriormente: 
± s = 6,713 Ȃ ݔҧ = 14,167 
‡ Logo: Ȃ ܥܸ ൌ ௦௫ҧൌ ଺ǡ଻ଵଷଵସǡଵ଺଻ ൌ ͲǡͶ͹Ͷ Ȃ ܥܸΨ ൌ ܥܸ כ ͳͲͲ ൌ ͲǡͶ͹Ͷ כ ͳͲͲ ൌ Ͷ͹ǡͶΨ 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 53 
‡ Para efeitos práticos, costuma-se considerar que 
coeficiente de variação superior a 50% indica 
alto grau de dispersão e, consequentemente, 
pequena representatividade da média. 
‡ Por outro lado, para valores do coeficiente de 
variação inferiores a 50%, a média será tanto 
mais representativa do fato quanto menor for o 
valor de seu coeficiente de variação. 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 54 
‡ Para qualificar a dispersão de uma distribuição, 
a medida mais proveitosa é o coeficiente de 
variação. 
Coeficiente de Variação 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade55 
Exercícios 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 56 
‡ Ler Capítulo 3.2 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à 
Administração e (FRQRPLD´ - Anderson. 
‡ Fazer exercícios da Lista 2.2. 
Exercícios 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 57 
‡ Se o conjunto de valores da variável x é: 
± 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70 
‡ Calcule: 
± a amplitude total; 
± a média aritmética; 
± o desvio médio; 
± a variância; 
± o desvio padrão; e 
± o coeficiente de variação. 
Exercício 1 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 58 
‡ Cálculo da Amplitude Total 
± AT = xmáx ± xmín 
± xmáx = 70 
± xmín = 40 
± AT = 70 ± 40 ֜ AT = 30 
Solução 1 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 59 
‡ Cálculo da Média Aritmética Ȃ ݔҧൌ σ ௫೔௡ ൌ ସ଴ାସହାସ଼ାହଶାହସା଺ଶା଻଴଻ Ȃ ݔҧ = 53 
Solução 1 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 60 
‡ Cálculo do Desvio Médio Ȃ ܦ௠ ൌ σ ௗ೔ כ௙೔௡ 
± di = xi ± ݔҧ 
± n = ¦ fi 
‡ Logo: 
± ¦ |di| * fi = 54 
± n = ¦ fi = 7 
± Dm = 54 / 7 ֜ Dm = 7,714 
xi fi ࢞ഥ di |di| |di| * fi 
40 1 53 -13 13 13 
45 1 53 -8 8 8 
48 1 53 -5 5 5 
52 1 53 -1 1 1 
54 1 53 1 1 1 
62 1 53 9 9 9 
70 1 53 17 17 17 
Soma 7 54 
Solução 1 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 61 07/09/2013 
‡ Cálculo da variância 
populacional Ȃ ߪଶ ൌ σ ௗ೔మכ௙೔௡ 
± ¦ di2 * fi 
± n = ¦ fi 
‡ Logo: 
± ¦ di2 * fi = 630 
± n = ¦ fi = 7 
± V2 = 630 / 7 ֜ V2 = 90 
xi fi ࢞ഥ di di2 di2 * fi 
40 1 53 -13 169 169 
45 1 53 -8 64 64 
48 1 53 -5 25 25 
52 1 53 -1 1 1 
54 1 53 1 1 1 
62 1 53 9 81 81 
70 1 53 17 289 289 
Soma 7 630 
Solução 1 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 62 07/09/2013 
‡ Cálculo do Desvio Padrão 
± V = —V2 
‡ Lembrando que 
9 V2 = 90 
‡ Teremos: 
9 V = —V2 = —90 ֜ V = 9,487 
 
Solução 1 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 63 
‡ Cálculo do Coeficiente de Variação 
± CV = V / ݔҧ 
‡ Lembrando que: 
± V = 9,487 Ȃ ݔҧ = 53 
‡ Teremos: 
± CV = V / ݔҧ = 9,487 / 53 ֜ CV = 0,026 
Solução 1 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 64 
‡ Calcule a amplitude total, a média aritmética, o 
desvio médio, a variância, o desvio padrão e o 
coeficiente de variação da seguinte distribuição 
amostral: 
± xi 5 7 8 9 11 
± fi 2 3 5 4 2 
Exercício 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 65 
‡ Cálculo da Amplitude Total 
± AT = xmáx ± xmín 
± xmáx = 11 
± xmín = 5 
± AT = 11 ± 5 ֜ AT = 6 
Solução 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 66 
‡ Cálculo da Média Aritmética Ȃ ݔҧൌ σ ௫೔כ௙೔௡ ൌ ሺହכଶሻାሺ଻כଷሻାሺ଼כହሻାሺଽכସሻାሺଵଵכଶሻଶାଷାହାସାଶ ൌ ଵଶଽଵ଺ Ȃ ݔҧ = 8,063 
Solução 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 67 
‡ Cálculo do Desvio Médio Ȃ ܦ௠ ൌ σ ௗ೔ כ௙೔௡ 
± di = xi ± ݔҧ 
± n = ¦ fi 
‡ Logo: 
± ¦ |di| * fi = 19,250 
± n = ¦ fi = 16 
± Dm = 19,250 / 16 
± Dm = 1,203 
xi fi ࢞ഥ di |di| |di| * fi 
5 2 8,063 -3,063 3,063 6,125 
7 3 8,063 -1,063 1,063 3,188 
8 5 8,063 -0,063 0,063 0,313 
9 4 8,063 0,938 0,938 3,750 
11 2 8,063 2,938 2,938 5,875 
Soma 16 19,250 
Solução 2 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 68 07/09/2013 
‡ Cálculo da variância 
populacional Ȃ ߪଶ ൌ σ ௗ೔మכ௙೔௡ 
± ¦ di2 * fi 
± n = ¦ fi 
‡ Logo: 
± ¦ di2 * fi = 42,938 
± n = ¦ fi = 16 
± V2 = 42,938 / 16 
± V2 = 2,684 
xi fi ࢞ഥ di di2 di2 * fi 
5 2 8,063 -3,063 9,379 18,758 
7 3 8,063 -1,063 1,129 3,387 
8 5 8,063 -0,063 0,004 0,020 
9 4 8,063 0,938 0,879 3,516 
11 2 8,063 2,938 8,629 17,258 
Soma 16 42,938 
Solução 2 
Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 69 07/09/2013 
‡ Cálculo do Desvio Padrão 
± V = —V2 
‡ Lembrando que 
9 V2 = 2,684 
‡ Teremos: 
9 V = —V2 = — 2,684 ֜ V = 1,638 
 
Solução 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 70 
‡ Cálculo do Coeficiente de Variação 
± CV = V / ݔҧ 
‡ Lembrando que: 
± V = 1,638 Ȃ ݔҧ = 8,063 
‡ Teremos: 
± CV = V / ݔҧ = 1,638 / 8,063 ֜ CV = 0,013 
Solução 2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 71 
‡ Numa Empresa, o salário médio dos homens é 
de R$ 400,00, com desvio padrão de R$ 150,00, 
e o das mulheres é em média de R$ 300,00, 
com desvio padrão de R$ 120,00. Calcule o 
coeficiente de variação e conclua qual o salário 
que apresenta maior dispersão relativa. 
Exercício 3 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 72 
‡ Homens: 
± Salário médio: R$ 400,00 
± Desvio padrão: R$ 150,00 
± Logo: CV = 150 / 400 ֜ CV = 0,375 
‡ Mulheres: 
± Salário médio: R$ 300,00 
± Desvio padrão: R$ 120,00 
± Logo: CV = 120 / 300 ֜ CV = 0,400 
‡ Deste modo, o salário das mulheres apresenta 
uma dispersão maior que o dos homens . 
Solução 3 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 73 
‡ Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, 
obteve-se: estatura média de 162,2 cm e desvio 
padrão de 8,01 cm. O peso médio desses 
mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio 
padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam 
maior dispersão em estatura ou em peso? 
Exercício 4 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 74 
‡ Estatura 
± Média: 162,2 cm 
± Desvio padrão: 8,01 cm 
± CV = 8,01 / 162,2 = 0,0494 
‡ Peso 
± Média: 52 kg 
± Desvio padrão: 2,3 kg 
± CV = 2,3 / 53 = 0,0434 
‡ Deste modo, como o CV da estatura é maior que o 
CV do peso, a estatura possui maior dispersão que 
o peso. 
Solução 4 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 75 
‡ Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura 
média de 163,8 cm, com um coeficiente de 
variação de 3,3 %. Qual o desvio padrão desse 
grupo? 
Exercício 5 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 76 
‡ CV% = 100 * V / ݔҧ 
‡ Dados do problema: 
± estatura média: 163,8 cm 
± coeficiente de variação: 3,3 % 
‡ Logo: 
± 3,3 = 100 * V / 163,8 
‡ Resposta: 
± V = 5,4 
Solução 5 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 77 
Fechamento 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 78 
‡ Nesta aula você aprendeu sobre as medidas de 
dispersão e variabilidade, as quais dão uma 
ideia de como os dados se distribuem ao redor 
da média. 
‡ Na Aula 2.3 vamos estudar as medidas de 
assimetria e curtose dos dados coletados. 
‡ Até a Aula 2.3! 
Fecho da Aula 2.2 
07/09/2013 Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade 79