Aula 31 - Experimentos Aleatórios - Menor

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Unidade 3 ± Cálculo de Probabilidades 
Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de 
Contagem e Atribuição de Probabilidades 
Estatística I 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 1 
Cálculo de Probabilidades 
Unidade 3 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 2 
‡ Descrever os conceitos básicos de probabilidade 
aplicáveis à estatística. 
‡ Determinar a probabilidade associada a um resultado de 
um experimento aleatório. 
‡ Determinar a probabilidade associada a um evento. 
‡ Determinar a probabilidade de eventos relacionados. 
‡ Aplicar o Teorema de Bayes para determinar 
probabilidades condicionais. 
Objetivo da Unidade 3 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 3 
‡ Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de 
Contagem e Atribuição de Probabilidades. 
‡ Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços 
Amostrais Finitos. 
‡ Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de 
Bayes. 
Aulas da Unidade 3 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 4 
Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e 
Atribuição de Probabilidades 
Aula 3.1 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Definir experimento aleatório. 
± Definir probabilidade. 
± Empregar regras de contagem de eventos aleatórios. 
± Determinar a probabilidade associada ao resultado 
de um experimento aleatório. 
Objetivo 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 6 
‡ Introdução 
± Noção de probabilidade 
± Noção de experimento aleatório 
‡ Regras de contagem 
‡ Atribuição de probabilidades 
Roteiro 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 7 
Introdução 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 8 
‡ Probabilidade: 
± É uma medida numérica da possibilidade de um 
evento ocorrer. 
Introdução 
Noção de Probabilidade 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 9 
‡ Probabilidades são valores medidos entre 0 e 1. 
± Valores próximos de 1 indicam uma alta 
probabilidade de ocorrência do evento; 
± Valores próximos de 0 indicam uma baixa 
probabilidade de ocorrência do evento. 
Introdução 
Noção de Probabilidade 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 10 
Possibilidade Crescente de Ocorrência 
0 0,5 1 
Igual possibilidade de 
ocorrência ou não do evento 
‡ Experimento: 
± É um processo que que gera resultados bem 
definidos. 
‡ Repetição do experimento: 
± Em cada realização do experimento somente ocorre 
um dos resultados esperados para o mesmo. 
‡ Em estatística experimentos também são 
chamados de ³([SHULPHQWR $OHDWyULR´. 
Introdução 
Noção de Experimento Aleatório 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 11 
‡ Exemplos de experimentos e seus respectivos 
resultados: 
Introdução 
Noção de Experimento Aleatório 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 12 
Experimento Resultados Possíveis 
Jogo de moeda Cara ou Coroa 
Inspeção de uma peça Defeituosa ou Não-defeituosa 
Lançamento de um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Jogo de futebol (para um time) Ganhar, perder ou empatar. 
‡ Espaço amostral: 
± Conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento. 
± Em geral, vamos representar o espaço amostral pela 
letra S. 
‡ Ponto amostral: 
± Cada um dos resultados possíveis de um 
experimento. 
Introdução 
Noção de Experimento Aleatório 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 13 
Regras de Contagem 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 14 
‡ Vamos estudar quatro regras de contagem neste 
curso: 
± Experimentos em múltiplas etapas 
± Permutações 
± Combinações 
± Arranjos 
Regras de Contagem 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 15 
Regras de Contagem 
Experimentos em Múltiplas Etapas 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 16 
H T 
S = {T , H} 
Experimento consistem em uma única etapa. 
Regras de Contagem 
Experimentos em Múltiplas Etapas 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 17 
S = {(T, T), (T, H), (H, T), (H, H)} 
Experimento consistem em duas etapas. 
‡ Regra de Contagem de Experimentos em 
Múltiplas Etapas: 
± Um experimento realizado em k etapas com n1 
resultados possíveis na 1º etapa, n2 na 2º etapa e 
assim por diante terá um número total de resultados 
igual a (n1)(n2)(n3)...(nk). 
Regras de Contagem 
Experimentos em Múltiplas Etapas 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 18 
‡ Pode-se contar resultados de experimentos em múltiplas 
etapas através de diagramas em árvore. 
‡ Abaixo o diagrama de árvore do experimento jogar moedas: 
Regras de Contagem 
Experimentos em Múltiplas Etapas 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 19 
Jogar Moedas 
Cara 
Cara 
Coroa 
Coroa 
Cara 
Coroa 
1º etapa 2º etapa Resultado 
(H, H) 
(H, T) 
(T, H) 
(T, T) 
Experimento 
‡ A tabela da próxima transparência representa o espaço 
amostral de um empreendimento em duas etapas de 
uma empresa de construção: 
± 1º etapa: projeto do empreendimento, o qual pode ter a duração 
de 2, 3 ou 4 meses; 
± 2º etapa: construção do empreendimento, o qual pode ter a 
duração de 6, 7 ou 8 meses. 
‡ Os pontos amostrais serão representados por pares 
ordenados onde o primeiro elemento representa a 1º 
etapa e o segundo elemento representa a 2º etapa. 
‡ A duração máxima do projeto, estabelecida pela alta 
direção, é de 10 meses. 
Regras de Contagem 
Experimentos em Múltiplas Etapas 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 20 
Projeto 
2 meses 
6 meses 
7 meses 
8 meses 
3 meses 
6 meses 
7 meses 
8 meses 
4 meses 
6 meses 
7 meses 
8 meses 
Pontos 
Amostrais 
Conclusão 
do Projeto 
(2, 6) 8 meses 
(2, 7) 9 meses 
(2, 8) 10 meses 
(3, 6) 9 meses 
(3, 7) 10 meses 
(3,8) 11 meses 
(4, 6) 10 meses 
(4, 7) 11 meses 
(4, 8) 12 meses 
Regras de Contagem 
Experimentos em Múltiplas Etapas 
Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 21 26/10/2013 
‡ Permutações simples 
± Consiste em qualquer agrupamento ordenado de n 
objetos distintos, onde n é um número natural maior 
ou igual a 1. 
‡ Fórmula de cálculo: 
± Pn = n  (n ± 1)  (n ± 2)  ...  3  2  1 = n! 
Regras de Contagem 
Permutações 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 22 
‡ Exemplo: 
± De quantas formas diferentes podemos permutar as 
letras a, b, c? 
‡ Solução: 
± Sendo n = 3 letras, então P3 = 3 Â 2 Â 1 = 6 
± S = {(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c , b, a)} 
Regras de Contagem 
Permutações 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 23 
‡ Combinações simples: 
± Consisteem agrupamentos não ordenados de n 
elementos tomados p a p, onde n • 1, n • p, n e p 
números naturais. 
‡ Fórmula de cálculo: Ȃ ܥ݌݊ ൌ ݌݊ ൌ ௡Ǩ௣Ǩ ௡ି௣ Ǩ 
Regras de Contagem 
Combinações 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 24 
‡ Exemplo: 
± Quantas combinações de duas letras podemos 
formar com os caracteres a, b, c? 
‡ Solução: 
± Sendo n = 3 e p = 2, então: Ȃ ܥʹ͵ ൌ ͵ʹ ൌ ଷǨଶǨ ଷିଶ Ǩ ൌ ଷǨଶǨ ଷିଶ Ǩ ൌ ଷήଶήଵଶήଵ ଵ ൌ ͵ 
± S = {(a, b), (a, c), (b, c)} 
 
Regras de Contagem 
Combinações 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 25 
‡ Arranjos simples: 
± Consiste em agrupamentos ordenados de n 
elementos tomados p a p, onde n • 1, n • p, n e p 
números naturais. 
‡ Fórmula de cálculo: Ȃ ܣ݌݊ ൌ ௡Ǩ௡ି௣ Ǩ 
Regras de Contagem 
Arranjos 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 26 
‡ Exemplo: 
± Quantos arranjos de duas letras podemos formar 
com os caracteres a, b, c? 
‡ Solução: 
± Sendo n = 3 e p = 2, então: Ȃ ܣʹ͵ ൌ ଷǨଷିଶ Ǩ ൌ ଷǨଷିଶ Ǩ ൌ ଷήଶήଵଵ ൌ ͸ 
± S = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)} 
Regras de Contagem 
Arranjos 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 27 
‡ A partir das regras que vimos: Ȃ ܣ݌݊ ൌ ݌Ǩ ή ܥ݌݊ 
Regras de Contagem 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 28 
Atribuição de Probabilidades 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 29 
‡ A partir de agora vamos ver como podemos atribuir 
probabilidades a resultados experimentais. 
‡ Estudaremos três métodos: 
± Clássico; 
± Frequência Relativa; 
± Subjetivo. 
Atribuição de Probabilidades 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 30 
‡ Sejam: 
± Ei o i-ésimo resultado de um experimento; 
± P(Ei) a probabilidade de Ei ocorrer. 
‡ Então: 
± 0 ” P(Ei) ” 1, para todos os i 
± P(E1) + P(E2) + P(E3) + ... + P(En) = 1 
Atribuição de Probabilidades 
Requisitos Básicos 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 31 
‡ Neste método as probabilidades de cada resultado 
possível são idênticas. 
‡ Nesta abordagem os dois requisitos básicos para 
atribuição de probabilidades serão satisfeitos. 
Atribuição de Probabilidades 
Método Clássico 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 32 
‡ Exemplos: 
± Lançamento de uma moeda: 
9 cada um dos dois resultados terá probabilidade 0,5 
± Lançamento de um dado: 
9 cada um dos seis resultados terá probabilidade de 1/6 
Atribuição de Probabilidades 
Método Clássico 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 33 
‡ Neste método, inferimos a probabilidade de cada 
resultado possível a partir de dados experimentais. 
‡ Neste caso, a probabilidade de cada resultado 
experimental será proporcional ao seu respectivo 
número de ocorrências caso o experimento seja repetido 
inúmeras vezes. 
‡ Este método satisfaz automaticamente aos dois 
requisitos básicos de atribuição de probabilidades. 
Atribuição de Probabilidades 
Método da Frequência Relativa 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 34 
‡ Exemplo: 
± Um médico anotou o número de pacientes que ficavam a 
sua espera todas as manhãs durante 30 dias, obtendo o 
seguinte resultado: 
Atribuição de Probabilidades 
Método da Frequência Relativa 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 35 
Número de 
Pacientes em Espera 
Número de Dias em que 
o Resultado Ocorreu 
Probabilidade de Cada 
Resultado Esperado 
0 4 4 / 30 = 0,133 
1 7 7 / 30 = 0,233 
2 8 8 / 30 = 0,267 
3 6 6 / 30 = 0,200 
4 5 5 / 30 = 0,167 
Total: 30 Total: 1,000 
‡ Neste método utilizamos quaisquer informações 
relevantes para atribuir probabilidades aos 
resultados, como por exemplo: 
± experiência pessoal; 
± intuição; 
± resultados de experimentos parecidos; etc. 
‡ Deve-se checar se as probabilidades obtidas por 
este método atendem aos dois requisitos 
básicos anteriormente informados. 
Atribuição de Probabilidades 
Método Subjetivo 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 36 
‡ Exemplo: 
± Dois advogados discutem sobre um caso em que ambos 
estão trabalhando juntos. 
± Os resultados possíveis do caso são: ganhar ou perder a 
causa. 
± O primeiro estima que existe uma probabilidade de 80% 
de ganharem. Consequentemente a probabilidade de 
perda é de 20%. 
± O segundo estima as mesmas possibilidades em 60% e 
40% respectivamente. 
± Os dois entram em acordo de que a probabilidade será a 
média dos dois palpites, isto é, 70% para ganhar e 30% 
para perder. 
Atribuição de Probabilidades 
Método Subjetivo 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 37 
‡ Voltando ao exemplo do empreendimento em duas 
etapas da empresa de construção, vamos ver agora 
como foram atribuídas probabilidades a cada ponto 
amostral. 
‡ A administração da empresa verificou que o projeto 
atual era semelhante a outros 40 projetos que ela 
havia realizado nos últimos 3 anos. 
‡ Deste modo, resolveu aplicar o método da 
frequência relativa para atribuição das 
probabilidades. 
Atribuição de Probabilidades 
Exemplo 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 38 
Os resultados dos 40 projetos similares realizados 
nos últimos 3 anos: 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 39 
Atribuição de Probabilidades 
Exemplo 
Prazo para término (meses) 
Número de projetos 
anteriores que tiveram esses 
prazos de término 
Etapa 1 Etapa 2 
Ponto Amostral 
Elaboração do Projeto Construção 
2 6 (2, 6) 6 
2 7 (2, 7) 6 
2 8 (2, 8) 2 
3 6 (3, 6) 4 
3 7 (3, 7) 8 
3 8 (3, 8) 2 
4 6 (4, 6) 2 
4 7 (4, 7) 4 
4 8 (4, 8) 6 
Total: 40 
Com base na tabela anterior, vamos atribuir 
probabilidades à cada ponto amostral do projeto: 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 40 
Atribuição de Probabilidades 
Exemplo 
Ponto Amostral Prazo de término do projeto Probabilidade do ponto amostral 
(2, 6) 8 meses P(2, 6) = 6 / 40 = 0,15 
(2, 7) 9 meses P(2, 7) = 6 / 40 = 0,15 
(2, 8) 10 meses P(2, 8) = 2 / 40 = 0,05 
(3, 6) 9 meses P(3, 6) = 4 / 40 = 0,10 
(3, 7) 10 meses P(3, 7) = 8 / 40 = 0,20 
(3, 8) 11 meses P(3, 8) = 2 / 40 = 0,05 
(4, 6) 10 meses P(4, 6) = 2 / 40 = 0,05 
(4, 7) 11 meses P(4, 7) = 4 / 40 = 0,10 
(4, 8) 12 meses P(4, 8) = 6 / 40 = 0,15 
Total: 1,00 
Exercícios 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 41 
‡ Ler Capítulo 4.1 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à 
Administração e (FRQRPLD´ do Anderson, Sweeney e 
Williams. 
‡ Fazer exercícios da Lista 3.1. 
Exercícios 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 42 
‡ Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço 
amostral correspondente e conte seus elementos. 
a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces 
obtidas; 
b) um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou 
ímpar é observada; 
c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com 
dimensões rigorosamente iguais. Três bolassão selecionadas 
ao acaso com reposição e as cores observadas; 
Exercício 1 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 43 
‡ Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço 
amostral correspondente e conte seus elementos. 
a) {(ca, ca), (ca, co), (co, ca), (co, co)} 4 elementos 
b) {(p, p), (p, i), (i, p), (i, i)} 4 elementos 
c) {aaa, aav, ava, vaa, avv, vav, vva, vvv} 8 elementos 
Solução 1 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 44 
‡ Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço 
amostral correspondente e conte seus elementos. 
a) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos 
interessados na soma das faces observadas; 
b) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao 
acaso, anotando-se o sexo de cada uma. 
c) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um 
instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na 
próxima hora; 
d) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento 
da primeira cara. 
Exercício 2 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 45 
‡ Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço 
amostral correspondente e conte seus elementos. 
a) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 10 elementos 
b) {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff} 8 elementos 
c) {0, 1, 2, 3, ..., 18, 19, 20} 21 elementos 
d) {(ca), (co, ca), (co, co, ca), (co, co, co, ca) ...} infinitos 
elementos 
Solução 2 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 46 
Fechamento 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 47 
‡ Nesta aula você aprendeu a: 
± Definir experimentos aleatórios e probabilidades; 
± Contar resultados de experimentos aleatórios; 
± Empregar regras de contagem de eventos aleatórios; e 
± Determinar a probabilidade associada ao resultado de um 
experimento aleatório. 
‡ Na Aula 3.2 vamos aplicar os conceitos acima para 
determinar a probabilidade de eventos. 
‡ Até a Aula 3.2! 
Fecho da Aula 3.1 
26/10/2013 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades 48