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Aula 33 - Probabilidade Condicional - Menor

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Unidade 3 ± Cálculo de Probabilidades 
Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de 
Bayes 
Estatística I 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 1 
Cálculo de Probabilidades 
Unidade 3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 2 
‡ Descrever os conceitos básicos de probabilidade 
aplicáveis à estatística. 
‡ Determinar a probabilidade associada a um resultado de 
um experimento aleatório. 
‡ Determinar a probabilidade associada a um evento. 
‡ Determinar a probabilidade de eventos relacionados. 
‡ Aplicar o Teorema de Bayes para determinar 
probabilidades condicionais. 
Objetivo da Unidade 3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 3 
‡ Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de 
Contagem e Atribuição de Probabilidades. 
‡ Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços 
Amostrais Finitos. 
‡ Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de 
Bayes. 
Aulas da Unidade 3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 4 
Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 
Aula 3.3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Determinar a probabilidade de eventos relacionados. 
± Aplicar o Teorema de Bayes para determinar 
probabilidades condicionais. 
Objetivo 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 6 
‡ Probabilidade condicional 
‡ Eventos independentes 
‡ Lei da multiplicação 
‡ Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 
‡ Partição do espaço amostral 
‡ Teorema de Bayes 
Roteiro 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 7 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 8 
‡ Em muitas aplicações práticas, a probabilidade de um 
evento é influenciada pela ocorrência anterior de um 
evento relacionado. 
‡ Suponha que temos um evento A, com uma 
probabilidade P(A) de ocorrer. 
‡ Suponha ainda que um evento anterior B, relacionado à 
A, já ocorreu. 
‡ Como podemos tirar proveito dessa nova informação 
para recalcular a probabilidade de ocorrência de A? 
‡ Vejamos o exemplo a seguir. 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 9 
‡ Veja o croqui ao lado. Ele representa a 
existência de um bolsão de petróleo sob um 
determinado terreno. 
‡ Sabe-se que: 
± A área do terreno é de 10.000 km2; 
± A área do bolsão de petróleo é de 500 
km2, embora não se saiba exatamente a 
sua localização. 
‡ Representaremos por A o evento de um furo 
ao acaso encontrar petróleo. 
‡ Deste modo, a probabilidade de um furo, feito 
ao acaso, encontrar petróleo é de: 
± P(A) = 500/10000 = 0,0500 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 10 
Terreno 
Petróleo 
‡ Suponha agora que os geólogos encontrem 
relatórios anteriores de exploração do terreno 
indicando, com certeza, que 2.000 km2 do 
terreno já foram pesquisados e não há 
possibilidade de se encontrar petróleo em tal 
área. 
‡ Deste modo, somente 8.0000 km2 do terreno 
podem conter petróleo. Vamos representar 
esta por B o evento de furar um poço na área 
menor. 
‡ Deste modo, a probabilidade de um novo 
poço ser perfurado e encontrar petróleo 
(evento A) na área menor (evento B), será: 
± P(A | B) = 500 / 8000 = 0,0625 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 11 
Área 
inexplorada (B) 
Petróleo 
(A) 
Área sem 
petróleo 
Definição de Probabilidade Condicional: 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 12 
‡ Dados dois eventos A e B, a 
probabilidade condicional de B 
dado que A ocorreu é 
representada por P(B | A) é 
dada por: ܲ ܤ�ȁ�ܣ ൌ ܲ ܣ ת ܤܲ ܣ 
 
‡ Dados dois eventos A e B, a 
probabilidade condicional de A 
dado que B ocorreu é 
representada por P(A | B) é 
dada por: ܲ ܣ�ȁ�ܤ ൌ ܲ ܣ ת ܤܲ ܤ 
A B $�ŀ�% 
S 
‡ Vamos agora resolver o problema anterior 
utilizando o conceito de probabilidade 
condicional. 
± Evento A ŀ B: furar o terreno B e 
encontrar petróleo; 
± Evento B: furar o terreno B; 
± Evento A | B: furar o terreno B e 
encontrar petróleo; 
‡ Então, aplicando a definição de probabilidade 
condicional teremos: Ȃ ܲ ܣ�ȁ�ܤ ൌ ௉ ஺ת஻௉ ஻ 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 13 
Área 
inexplorada (B) 
Petróleo 
Área sem 
petróleo (Bc) 
‡ Determinando as probabilidades de cada 
evento: 
± P(A ŀ B) = P(A) = 500 / 10000 = 0,050; 
± P(B) = 8000 / 10000 = 0,800; 
± P(A | B) = 0,050 / 0,800 = 0,0625; 
Probabilidade Condicional 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 14 
Área 
inexplorada (B) 
Petróleo 
Área sem 
petróleo (Bc) 
Eventos Independentes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 15 
‡ Dois eventos A e B são ditos independentes se 
os mesmos não possuem interferência mútua. 
‡ Caso contrário, os eventos são ditos 
dependentes. 
Eventos Independentes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 16 
‡ Exemplos de eventos independentes: 
± Os resultados de se jogar uma moeda (cara ou 
coroa) e um dado (1, 2, 3, 4, 5, 6) sucessivamente. 
± Note que o resultado da moeda não influencia o 
resultado do dado. 
Eventos Independentes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 17 
‡ Dois eventos A e B são independentes se: 
± P(A | B) = P(A) 
± P(B | A) = P(B) 
Eventos Independentes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 18 
‡ Exemplo: 
± Jogo de uma moeda (evento A): 
9 P(ca) = 1|2 
± Jogo de um dado (evento B): 
9 P(2) = 1|6 
± Jogar uma moeda e um dado sucessivamente: 
9 P(ca | 2) = P(ca ŀ������3���� ���������������� ���� 
9 P(2 | ca�� �3���ŀ�ca) / P(ca) = (1/12) / (1/2) = 1/6 
± Deste modo: 
9 P(ca) = P(ca | 2) 
9 P(2) = P(2 | ca) 
Eventos Independentes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 19 
Lei da Multiplicação 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 20 
‡ A lei da multiplicação fornece a probabilidade da 
interseção de dois eventos A e B. 
‡ Ela é uma consequência direta das 
probabilidades condicionais: 
± P(A ŀ B) = P(B) Â P(A | B) 
± P(A ŀ B) = P(A) Â P(B | A) 
Lei da Multiplicação 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 21 
A B $�ŀ�% 
‡ Exemplo: 
± Uma editora publica duas revistas: 
9 ³/RRN´��H 
9 ³��Wheels´� 
± Ela determinou que 40% das pessoas de uma cidade 
são assinantes do semanário ³/RRN´. 
± Adicionalmente, a partir dos dados de assinaturas, 
verificou que 60% das pessoas que assinam ³/RRN´ 
também assinam ³4 Wheels´. 
± Qual a probabilidade de uma pessoa da cidade 
assinar ³/RRN´ e ³4 Wheels´" 
Lei da Multiplicação 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 22 
‡ Solução: 
± Evento A: pessoa assinar ³/RRN´; 
± Evento B: pessoa assinar ³4 Wheels´; 
± Evento A ŀ B: pessoa assinar ³/RRN´ e ³4 Wheels´; 
± Evento B | A: pessoa assinar ³4 Wheels´ dado que 
assina ³/RRN´; 
± Determinação das probabilidades: 
9 P(A): 0,4 
9 P(B | A): 0,6 
9 3�$�ŀ�%�� �3�$��Â�3�%�_�$�� �����Â����� ����� 
Lei da Multiplicação 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 23 
‡ Lembrando que dois eventos A e B são 
independentes se: 
± P(A | B) = P(A) 
± P(B | A) = P(B) 
‡ Inserindo esta condição na Lei da Multiplicação 
teremos a Lei da Multiplicação para Eventos 
Independentes: 
± P(A ŀ B) = P(B) Â P(A) 
Lei da Multiplicação 
Eventos Independentes31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 24 
‡ Voltando ao jogo de uma moeda e um dado, 
qual a probabilidade de se obter uma cara e o 
número 3? 
‡ Para obter o resultado, basta lembrar que: 
± P(ca) = 1/2 
± P(3) = 1/6 
± Eventos são independentes 
± P(ca ŀ 3) = (1/2) Â (1/6) = 1/12 
Lei da Multiplicação 
Eventos Independentes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 25 
Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 26 
S 
A B 
‡ É comum que se confundam eventos 
independentes com eventos disjuntos (eventos 
mutuamente excludentes). 
‡ Lembrando: 
± Eventos independentes: eventos que não possuem 
interferência mútua; 
± Eventos disjuntos: eventos que não podem ocorrer 
simultaneamente. 
Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 27 
‡ Dois eventos com probabilidades diferentes de 
zero não podem ser simultaneamente 
independentes e disjuntos. 
‡ Por exemplo: 
± A e B são eventos disjuntos. 
± Logo, se A ocorrer, a probabilidade de B ocorrer é 
zero. 
± Deste modo, as probabilidades de A e B estão 
relacionadas e os eventos são dependentes. 
Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 28 
Partição do Espaço Amostral 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 29 
‡ Os eventos C1, C2, C3, ... , Cn formam uma 
partição de um espaço amostral se eles não têm 
interseção entre si e se sua união é igual ao 
espaço amostral. 
‡ Matematicamente: 
± Ci ŀ Cj = ׎, i  j െራܥ௜௡௜ୀଵ ൌ ܵ 
Partição do Espaço Amostral 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 30 
C6 
C5 
C4 
C3 
C2 
C1 
‡ Suponha que um fabricante de laticínios receba leite de três 
fazendas, conforme abaixo indicado, e os armazene em 
galões sem identificação de origem : 
± 20% da fazenda F1; 
± 30% da fazenda F2; e 
± 50% da fazenda F3.. 
‡ Foi verificado que: 
± 20% do leite de F1 estava impróprio para consumo; 
± 5% do leite de F2 estava impróprio para consumo; e 
± 2% do leite de F3 estava impróprio para consumo. 
‡ Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite 
para decidir sobre a probabilidade dele ser impróprio para o 
consumo. 
Partição do Espaço Amostral 
Exemplo 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 31 
‡ Note que F1, F2 e F3 formam uma 
partição do espaço amostral S (veja a 
figura ao lado). 
‡ Note que a probabilidade do leite vir de 
uma determinada fazenda é 
proporcional às compras da respectiva 
fazenda: 
± P(F1) = 0,20 
± P(F2) = 0,30 
± P(F3) = 0,50 
Partição do Espaço Amostral 
Solução 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 32 
F3 
F2 
F1 
‡ Se indicarmos por IMP o leite impróprio 
para consumo, temos: 
± P(IMP | F1) = 0,20 
± P(IMP | F2) = 0,05 
± P(IMP | F3) = 0,02 
‡ Veja na figura ao lado, a área 
correspondente ao leite impróprio. 
Partição do Espaço Amostral 
Solução 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 33 
IMP F3 
F2 
F1 
‡ Note que a área IMP pode ser escrita da seguinte forma: 
± IMP = (IMP ŀ F1) ׫ (IMP ŀ F2) ׫ (IMP ŀ F3) 
‡ A probabilidade acima é dada pela Lei da Soma para 
eventos mutuamente excludentes (disjuntos): 
± P(IMP) = P(IMP ŀ F1) + P(IMP ŀ F2) + P(IMP ŀ F3) 
Partição do Espaço Amostral 
Solução 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 34 
F3 
F2 
F1 ,03�ŀ�F1 
,03�ŀ�F3 
,03�ŀ�F2 
‡ Pela definição de probabilidade condicional: 
± P(IMP ŀ F1) = P(IMP / F1) Â P(F1) = 0,20 Â 0,20 = 0,040 
± P(IMP ŀ F2) = P(IMP / F2) Â P(F2) = 0,05 Â 0,30 = 0,015 
± P(IMP ŀ F3) = P(IMP / F3) Â P(F3) = 0,02 Â 0,50 = 0,010 
‡ Deste modo, a probabilidade de que um determinado 
galão de leite retirado ao acaso seja impróprio para o 
consumo será: 
± P(IMP) = 0,040 + 0,015 + 0,010 ֜ P(IMP) = 0,065 
Partição do Espaço Amostral 
Solução 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 35 
Teorema de Bayes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 36 
‡ No exemplo anterior, eram conhecidas as probabilidades 
do leite estar impróprio para consumo dado que ele veio 
da fazenda Fi, isto é, eram conhecidas as probabilidades 
P(IMP | Fi). 
‡ Um problema muito comum é a determinação da 
probabilidade de qual fazenda veio o leite, dado que o 
galão está impróprio para o consumo. Tal probabilidade 
será denotada por P(Fi | IMP). 
‡ Vamos apresentar um caso particular para ilustrar o 
cálculo da probabilidade acima. 
Teorema de Bayes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 37 
‡ Voltando à situação do fabricante de laticínios, vamos 
determinar a probabilidade de saber de qual fazenda 
veio o leite, dado que o galão está impróprio para o 
consumo. 
‡ Tal probabilidade será denotada por P(Fi | IMP). 
‡ Lembrando a fórmula da probabilidade condicional 
teremos: ܲ ܨ௜ ܫܯܲ ൌ ܲሺܨ௜ ת ܫܯܲሻܲሺܫܯܲሻ 
‡ Vamos calcular agora cada um dos componentes da 
equação anterior. 
Teorema de Bayes 
Exemplo 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 38 
‡ Inicialmente vamos calcular P(Fi ŀ IMP) 
‡ Pela definição de probabilidade condicional teremos: 
± P(IMP ŀ Fi) = P(IMP / Fi) Â P(Fi) 
‡ Logo, aplicando a fórmula acima para cada fazenda, 
teremos: 
± P(IMP ŀ F1) = P(IMP / F1) Â P(F1) = 0,20 Â 0,20 = 0,040 
± P(IMP ŀ F2) = P(IMP / F2) Â P(F2) = 0,05 Â 0,30 = 0,015 
± P(IMP ŀ F3) = P(IMP / F3) Â P(F3) = 0,02 Â 0,50 = 0,010 
Teorema de Bayes 
Exemplo 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 39 
‡ Agora vamos calcular P(IMP) 
‡ Vimos no problema anterior que 
± IMP = (IMP ŀ F1) ׫ (IMP ŀ F2) ׫ (IMP ŀ F3) 
‡ Deste modo, como tais conjuntos são disjuntos, teremos:
± P(IMP) = P(IMP ŀ F1) + P(IMP ŀ F2) + P(IMP ŀ F3) 
± P(IMP) = 0,040 + 0,015 + 0,010 ֜ P(IMP) = 0,065 
Teorema de Bayes 
Exemplo 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 40 
IMP F3 
F2 
F1 
‡ Logo, a probabilidade desejada será: Ȃ ܲ ܨ௜ȁܫܯܲ ൌ ௉ ூெ௉ȁி೔ ή௉ሺி೔ሻ௉ ூெ௉ȁிభ ή௉ሺிభሻା௉ ூெ௉ȁிమ ή௉ሺிమሻା௉ ூெ௉ȁிయ ή௉ሺிయሻ Ȃ ܲ ܨଵ ܫܯܲ ൌ ଴ǡଶ଴ή଴ǡଶ଴଴ǡଶ଴ή଴ǡଶ଴ା଴ǡ଴ହή଴ǡଷ଴ା଴ǡ଴ଶή଴ǡହ଴ ൌ ଴ǡ଴ସ଴଴ǡ଴଺ହ ൌ Ͳǡ͸ͳͷ Ȃ ܲ ܨଶ ܫܯܲ ൌ ଴ǡ଴ହή଴ǡଷ଴଴ǡଶ଴ή଴ǡଶ଴ା଴ǡ଴ହή଴ǡଷ଴ା଴ǡ଴ଶή଴ǡହ଴ ൌ ଴ǡ଴ଵହ଴ǡ଴଺ହ ൌ Ͳǡʹ͵ͳ Ȃ ܲ ܨଵ ܫܯܲ ൌ ଴ǡ଴ଶή଴ǡହ଴଴ǡଶ଴ή଴ǡଶ଴ା଴ǡ଴ହή଴ǡଷ଴ା଴ǡ଴ଶή଴ǡହ଴ ൌ ଴ǡ଴ଵ଴଴ǡ଴଺ହ ൌ ͲǡͳͷͶ 
Teorema de Bayes 
Exemplo 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 41 
‡ Teorema de Bayes 
± Suponha que os eventos C1, C2, ... , Cn formem uma partição do 
espaço amostral S e que suas probabilidades sejam 
conhecidas. 
± Suponha ainda que, para um evento A se conheçam as 
probabilidades P(A | Ci) para todo i = 1, 2, ... , n. 
± Então, para qualquer j termos: 
 ܲ ܥ௝ �ȁ�ܣ ൌ ܲ ܣ ܥ௝ ή ܲሺܥ௝ሻσ ܲሺܣ௡௜ୀଵ ȁܥ௝ሻ ή ܲሺܥ௝ሻ ǡ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ ǡ ݊ 
Teorema de Bayes 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 42 
Exercícios 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 43 
‡ Ler Capítulos 4.4 e 4.5 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à 
Administração e (FRQRPLD´ do Anderson, Sweeney e 
Williams. 
‡ Fazer exercícios da Lista 3.3. 
Exercícios 
31/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 44 
‡ Considere dois eventos A e B mutuamente excludentes, 
com P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. 
‡ Determine: 
a) P(A ŀ B) 
b) P(A ׫ B) 
c) P(A | B) 
d) P(Ac) 
e) P[(A ׫ B)C] 
Exercício 1 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 45 
‡ A partir dos dados do problema: 
a) A ŀ B = ׎ ֜ P(A ŀ B) = 0; 
b) P(A ׫ B) = P(A) + P(B) ± P(A ŀ B) = 0,3 + 0,5± 0,0 = 0,8 
c) P(A | B) = P(A ŀ B) / P(B) = 0,0 / 0,5 = 0,0 
d) P(Ac) = 1 ± P(A) = 1 ± 0,3 = 0,7 
e) P[(A ׫ B)c] = 1 ± P(A ׫ B) = 1 ± 0,8 = 0,2 
Solução 1 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 46 
‡ Se P(A ׫ B) = 0,8; P(A) = 0,5 e P(B) = x, determine o 
valor de x no caso de: 
a) A e B serem mutuamente excludentes; 
b) A e B serem independentes. 
Exercício 2 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 47 
‡ A partir dos dados do problema: 
a) A e B são mutuamente excludentes 
9 $�ŀ�%� �׎ ֜ 3�$�ŀ�%�� �׎ 
9 Como P(A ׫ B) = P(A) + P(B) ± 3�$�ŀ�%��WHUHPRV� 
9 0,8 = 0,5 + x ± 0 ֜ x = 0,3 
b) A e B são independentes 
9 3�$�ŀ�%�� �3�$��Â�3�%� 
9 Como P(A ׫ B) = P(A) + P(B) ± 3�$�ŀ�%��WHUHPRV: 
9 0,8 = 0,5 + x ± ����Â�[�֜ x = 3/5 = 0,6 
Solução 2 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 48 
‡ Uma escola tem 40% dos estudantes do sexo masculino. 
Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que entre 
as meninas, essa porcentagem é de 50%. Qual a 
probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso 
seja: 
a) do sexo masculino e nunca tenha visto o mar? 
b) do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar? 
Exercício 3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 49 
‡ Eventos: 
± H: aluno ser homem 
± V: aluno ter visto o mar 
‡ Item b: 
‡ Quero calcular P(Hc ׫ Vc) 
± P(Hc ׫ Vc) = P[(H ŀ V)c] = 
= 1 - P(H ŀ V) 
± Mas P(H ŀ V) = P(H) Â P(V|H) = 
= 0,4 Â 0,8 = 0,32 
± Logo: P(Hc ׫ Vc) = 1 ± 0,32 = 0,68 
‡ Dos dados do problema: 
± P(H) = 0,4 
± P(Vc | H) = 0,2 
± P(Vc | Hc) = 0,5 
‡ Item a: 
‡ Quero calcular P(H ŀ Vc) 
± P(H ŀ Vc) = P(H) Â P(Vc | H) 
± P(H ŀ Vc) = 0,4 Â 0,2 = 0,08 
Solução 3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 50 
‡ Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P(A ŀ B) = 0,3. 
‡ Determine P(A | Bc). 
Exercício 4 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 51 
‡ Desejo P(A | Bc) 
‡ Da definição de probabilidade condicional: 
± P(A ŀ Bc) = P(Bc) Â P(A | Bc) 
‡ Mas: 
± A ŀ Bc = A ± (A ŀ B) ֜ P(A ŀ Bc) = P(A) ± P(A ŀ B) 
± Logo: P(A ŀ Bc) = 0,7 ± 0,3 = 0,4 
± P(Bc) = 1 ± P(B) = 1 ± 0,4 = 0,6 
‡ Deste modo: 
± P(A ŀ Bc) = P(Bc) Â P(A | Bc) ֜ 0,4 = 0,6 Â P(A | Bc) 
± Então: P(A | Bc) = 2/3 = 0,667 
Solução 4 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 52 
‡ Comente a afirmação abaixo: 
± Se dois eventos são mutuamente excludentes, então eles não 
são independentes. 
Exercício 5 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 53 
‡ A afirmação está correta, exceto se um dos conjuntos é 
vazio. 
Solução 5 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 54 
‡ Um determinado clube de futebol ganha com 
probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se não chove. Em 
setembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O clube 
ganhou uma partida em Setembro. Qual a probabilidade 
de ter chovido nesse dia? 
Exercício 6 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 55 
‡ Eventos: 
± G = ganhar 
± C = chover 
‡ Desejo: P(C | G) =? 
‡ Probabilidades: 
± P(G|C) = 0,7 
± P(G|Cc) = 0,8 
± P(C) = 0,3 ֜ P(Cc) = 0,7 
‡ Aplicando Bayes: Ȃ ܲ ܥ ܩ ൌ ௉ሺீȁ஼ሻή௉ሺ஼ሻ௉ ீ ஼ ή௉ ஼ ା௉ሺீȁ஼೎ሻή௉ሺ஼೎ሻ ൌ ଴ǡ଻ή଴ǡଷ଴ǡ଻ή଴ǡଷା଴ǡ଼ή଴ǡ଻ ൌ Ͳǡʹ͹͵ 
 
Solução 6 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 56 
‡ Mostre que se A e B são independentes, então Ac e Bc 
também são independentes. 
Exercício 7 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 57 
‡ Quero demonstrar que: 
± se P(A ŀ B) = P(A) Â P(B) 
± então P(Ac ŀ Bc) = P(Ac) Â P(Bc) 
‡ Utilizando De Morgan: 
P(Ac ŀ Bc) = P[(A ׫ B)c] = 1 ± P(A ׫ B) = 
= 1 ± [P(A) + P(B) ± P(A ŀ B)] = 
= 1 ± [P(A) + P(B) ± P(A) Â P(B)] = 
= [1 ± P(A)] ± P(B) Â [1 ± P(A)] = 
= [1 ± P(A)] Â [1 ± P(B)] = P(Ac) Â P(Bc) 
Solução 7 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 58 
Fechamento 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 59 
‡ Nesta aula você aprendeu a: 
± Determinar a probabilidade de eventos relacionados. 
± Aplicar o Teorema de Bayes para determinar 
probabilidades condicionais. 
‡ Na Aula 4.1 vamos o que são variáveis 
aleatórias e quais as suas principais 
propriedades. 
‡ Até a Aula 4.1! 
Fecho da Aula 3.3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 60 
‡ Nesta Unidade você aprendeu a: 
± Descrever os conceitos básicos de probabilidade aplicáveis à 
estatística. 
± Determinar a probabilidade associada a um resultado de um 
experimento aleatório. 
± Determinar a probabilidade associada a um evento. 
± Determinar a probabilidade de eventos relacionados. 
± Aplicar o Teorema de Bayes para determinar probabilidades 
condicionais. 
‡ Na Unidade 4 vamos conversar sobre variáveis aleatórias 
discretas. 
‡ Até a Unidade 4! 
Fecho da Unidade 3 
31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 61

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