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Unidade 3 ± Cálculo de Probabilidades Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes Estatística I 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 1 Cálculo de Probabilidades Unidade 3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 2 Descrever os conceitos básicos de probabilidade aplicáveis à estatística. Determinar a probabilidade associada a um resultado de um experimento aleatório. Determinar a probabilidade associada a um evento. Determinar a probabilidade de eventos relacionados. Aplicar o Teorema de Bayes para determinar probabilidades condicionais. Objetivo da Unidade 3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 3 Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de Contagem e Atribuição de Probabilidades. Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos. Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes. Aulas da Unidade 3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 4 Probabilidade Condicional e Regra de Bayes Aula 3.3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 5 Ao final desta aula você deverá ser capaz de: ± Determinar a probabilidade de eventos relacionados. ± Aplicar o Teorema de Bayes para determinar probabilidades condicionais. Objetivo 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 6 Probabilidade condicional Eventos independentes Lei da multiplicação Eventos Independentes x Eventos Disjuntos Partição do espaço amostral Teorema de Bayes Roteiro 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 7 Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 8 Em muitas aplicações práticas, a probabilidade de um evento é influenciada pela ocorrência anterior de um evento relacionado. Suponha que temos um evento A, com uma probabilidade P(A) de ocorrer. Suponha ainda que um evento anterior B, relacionado à A, já ocorreu. Como podemos tirar proveito dessa nova informação para recalcular a probabilidade de ocorrência de A? Vejamos o exemplo a seguir. Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 9 Veja o croqui ao lado. Ele representa a existência de um bolsão de petróleo sob um determinado terreno. Sabe-se que: ± A área do terreno é de 10.000 km2; ± A área do bolsão de petróleo é de 500 km2, embora não se saiba exatamente a sua localização. Representaremos por A o evento de um furo ao acaso encontrar petróleo. Deste modo, a probabilidade de um furo, feito ao acaso, encontrar petróleo é de: ± P(A) = 500/10000 = 0,0500 Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 10 Terreno Petróleo Suponha agora que os geólogos encontrem relatórios anteriores de exploração do terreno indicando, com certeza, que 2.000 km2 do terreno já foram pesquisados e não há possibilidade de se encontrar petróleo em tal área. Deste modo, somente 8.0000 km2 do terreno podem conter petróleo. Vamos representar esta por B o evento de furar um poço na área menor. Deste modo, a probabilidade de um novo poço ser perfurado e encontrar petróleo (evento A) na área menor (evento B), será: ± P(A | B) = 500 / 8000 = 0,0625 Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 11 Área inexplorada (B) Petróleo (A) Área sem petróleo Definição de Probabilidade Condicional: Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 12 Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de B dado que A ocorreu é representada por P(B | A) é dada por: ܲ ܤ�ȁ�ܣ ൌ ܲ ܣ ת ܤܲ ܣ Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é representada por P(A | B) é dada por: ܲ ܣ�ȁ�ܤ ൌ ܲ ܣ ת ܤܲ ܤ A B $�ŀ�% S Vamos agora resolver o problema anterior utilizando o conceito de probabilidade condicional. ± Evento A ŀ B: furar o terreno B e encontrar petróleo; ± Evento B: furar o terreno B; ± Evento A | B: furar o terreno B e encontrar petróleo; Então, aplicando a definição de probabilidade condicional teremos: Ȃ ܲ ܣ�ȁ�ܤ ൌ ת Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 13 Área inexplorada (B) Petróleo Área sem petróleo (Bc) Determinando as probabilidades de cada evento: ± P(A ŀ B) = P(A) = 500 / 10000 = 0,050; ± P(B) = 8000 / 10000 = 0,800; ± P(A | B) = 0,050 / 0,800 = 0,0625; Probabilidade Condicional 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 14 Área inexplorada (B) Petróleo Área sem petróleo (Bc) Eventos Independentes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 15 Dois eventos A e B são ditos independentes se os mesmos não possuem interferência mútua. Caso contrário, os eventos são ditos dependentes. Eventos Independentes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 16 Exemplos de eventos independentes: ± Os resultados de se jogar uma moeda (cara ou coroa) e um dado (1, 2, 3, 4, 5, 6) sucessivamente. ± Note que o resultado da moeda não influencia o resultado do dado. Eventos Independentes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 17 Dois eventos A e B são independentes se: ± P(A | B) = P(A) ± P(B | A) = P(B) Eventos Independentes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 18 Exemplo: ± Jogo de uma moeda (evento A): 9 P(ca) = 1|2 ± Jogo de um dado (evento B): 9 P(2) = 1|6 ± Jogar uma moeda e um dado sucessivamente: 9 P(ca | 2) = P(ca ŀ������3���� ���������������� ���� 9 P(2 | ca�� �3���ŀ�ca) / P(ca) = (1/12) / (1/2) = 1/6 ± Deste modo: 9 P(ca) = P(ca | 2) 9 P(2) = P(2 | ca) Eventos Independentes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 19 Lei da Multiplicação 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 20 A lei da multiplicação fornece a probabilidade da interseção de dois eventos A e B. Ela é uma consequência direta das probabilidades condicionais: ± P(A ŀ B) = P(B)  P(A | B) ± P(A ŀ B) = P(A)  P(B | A) Lei da Multiplicação 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 21 A B $�ŀ�% Exemplo: ± Uma editora publica duas revistas: 9 ³/RRN´��H 9 ³��Wheels´� ± Ela determinou que 40% das pessoas de uma cidade são assinantes do semanário ³/RRN´. ± Adicionalmente, a partir dos dados de assinaturas, verificou que 60% das pessoas que assinam ³/RRN´ também assinam ³4 Wheels´. ± Qual a probabilidade de uma pessoa da cidade assinar ³/RRN´ e ³4 Wheels´" Lei da Multiplicação 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 22 Solução: ± Evento A: pessoa assinar ³/RRN´; ± Evento B: pessoa assinar ³4 Wheels´; ± Evento A ŀ B: pessoa assinar ³/RRN´ e ³4 Wheels´; ± Evento B | A: pessoa assinar ³4 Wheels´ dado que assina ³/RRN´; ± Determinação das probabilidades: 9 P(A): 0,4 9 P(B | A): 0,6 9 3�$�ŀ�%�� �3�$��Â�3�%�_�$�� �����Â����� ����� Lei da Multiplicação 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 23 Lembrando que dois eventos A e B são independentes se: ± P(A | B) = P(A) ± P(B | A) = P(B) Inserindo esta condição na Lei da Multiplicação teremos a Lei da Multiplicação para Eventos Independentes: ± P(A ŀ B) = P(B)  P(A) Lei da Multiplicação Eventos Independentes31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 24 Voltando ao jogo de uma moeda e um dado, qual a probabilidade de se obter uma cara e o número 3? Para obter o resultado, basta lembrar que: ± P(ca) = 1/2 ± P(3) = 1/6 ± Eventos são independentes ± P(ca ŀ 3) = (1/2)  (1/6) = 1/12 Lei da Multiplicação Eventos Independentes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 25 Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 26 S A B É comum que se confundam eventos independentes com eventos disjuntos (eventos mutuamente excludentes). Lembrando: ± Eventos independentes: eventos que não possuem interferência mútua; ± Eventos disjuntos: eventos que não podem ocorrer simultaneamente. Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 27 Dois eventos com probabilidades diferentes de zero não podem ser simultaneamente independentes e disjuntos. Por exemplo: ± A e B são eventos disjuntos. ± Logo, se A ocorrer, a probabilidade de B ocorrer é zero. ± Deste modo, as probabilidades de A e B estão relacionadas e os eventos são dependentes. Eventos Independentes x Eventos Disjuntos 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 28 Partição do Espaço Amostral 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 29 Os eventos C1, C2, C3, ... , Cn formam uma partição de um espaço amostral se eles não têm interseção entre si e se sua união é igual ao espaço amostral. Matematicamente: ± Ci ŀ Cj = , i j െራܥୀଵ ൌ ܵ Partição do Espaço Amostral 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 30 C6 C5 C4 C3 C2 C1 Suponha que um fabricante de laticínios receba leite de três fazendas, conforme abaixo indicado, e os armazene em galões sem identificação de origem : ± 20% da fazenda F1; ± 30% da fazenda F2; e ± 50% da fazenda F3.. Foi verificado que: ± 20% do leite de F1 estava impróprio para consumo; ± 5% do leite de F2 estava impróprio para consumo; e ± 2% do leite de F3 estava impróprio para consumo. Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre a probabilidade dele ser impróprio para o consumo. Partição do Espaço Amostral Exemplo 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 31 Note que F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral S (veja a figura ao lado). Note que a probabilidade do leite vir de uma determinada fazenda é proporcional às compras da respectiva fazenda: ± P(F1) = 0,20 ± P(F2) = 0,30 ± P(F3) = 0,50 Partição do Espaço Amostral Solução 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 32 F3 F2 F1 Se indicarmos por IMP o leite impróprio para consumo, temos: ± P(IMP | F1) = 0,20 ± P(IMP | F2) = 0,05 ± P(IMP | F3) = 0,02 Veja na figura ao lado, a área correspondente ao leite impróprio. Partição do Espaço Amostral Solução 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 33 IMP F3 F2 F1 Note que a área IMP pode ser escrita da seguinte forma: ± IMP = (IMP ŀ F1) (IMP ŀ F2) (IMP ŀ F3) A probabilidade acima é dada pela Lei da Soma para eventos mutuamente excludentes (disjuntos): ± P(IMP) = P(IMP ŀ F1) + P(IMP ŀ F2) + P(IMP ŀ F3) Partição do Espaço Amostral Solução 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 34 F3 F2 F1 ,03�ŀ�F1 ,03�ŀ�F3 ,03�ŀ�F2 Pela definição de probabilidade condicional: ± P(IMP ŀ F1) = P(IMP / F1)  P(F1) = 0,20  0,20 = 0,040 ± P(IMP ŀ F2) = P(IMP / F2)  P(F2) = 0,05  0,30 = 0,015 ± P(IMP ŀ F3) = P(IMP / F3)  P(F3) = 0,02  0,50 = 0,010 Deste modo, a probabilidade de que um determinado galão de leite retirado ao acaso seja impróprio para o consumo será: ± P(IMP) = 0,040 + 0,015 + 0,010 ֜ P(IMP) = 0,065 Partição do Espaço Amostral Solução 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 35 Teorema de Bayes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 36 No exemplo anterior, eram conhecidas as probabilidades do leite estar impróprio para consumo dado que ele veio da fazenda Fi, isto é, eram conhecidas as probabilidades P(IMP | Fi). Um problema muito comum é a determinação da probabilidade de qual fazenda veio o leite, dado que o galão está impróprio para o consumo. Tal probabilidade será denotada por P(Fi | IMP). Vamos apresentar um caso particular para ilustrar o cálculo da probabilidade acima. Teorema de Bayes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 37 Voltando à situação do fabricante de laticínios, vamos determinar a probabilidade de saber de qual fazenda veio o leite, dado que o galão está impróprio para o consumo. Tal probabilidade será denotada por P(Fi | IMP). Lembrando a fórmula da probabilidade condicional teremos: ܲ ܨ ܫܯܲ ൌ ܲሺܨ ת ܫܯܲሻܲሺܫܯܲሻ Vamos calcular agora cada um dos componentes da equação anterior. Teorema de Bayes Exemplo 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 38 Inicialmente vamos calcular P(Fi ŀ IMP) Pela definição de probabilidade condicional teremos: ± P(IMP ŀ Fi) = P(IMP / Fi)  P(Fi) Logo, aplicando a fórmula acima para cada fazenda, teremos: ± P(IMP ŀ F1) = P(IMP / F1)  P(F1) = 0,20  0,20 = 0,040 ± P(IMP ŀ F2) = P(IMP / F2)  P(F2) = 0,05  0,30 = 0,015 ± P(IMP ŀ F3) = P(IMP / F3)  P(F3) = 0,02  0,50 = 0,010 Teorema de Bayes Exemplo 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 39 Agora vamos calcular P(IMP) Vimos no problema anterior que ± IMP = (IMP ŀ F1) (IMP ŀ F2) (IMP ŀ F3) Deste modo, como tais conjuntos são disjuntos, teremos: ± P(IMP) = P(IMP ŀ F1) + P(IMP ŀ F2) + P(IMP ŀ F3) ± P(IMP) = 0,040 + 0,015 + 0,010 ֜ P(IMP) = 0,065 Teorema de Bayes Exemplo 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 40 IMP F3 F2 F1 Logo, a probabilidade desejada será: Ȃ ܲ ܨȁܫܯܲ ൌ ூெȁி ήሺிሻ ூெȁிభ ήሺிభሻା ூெȁிమ ήሺிమሻା ூெȁிయ ήሺிయሻ Ȃ ܲ ܨଵ ܫܯܲ ൌ ǡଶήǡଶǡଶήǡଶାǡହήǡଷାǡଶήǡହ ൌ ǡସǡହ ൌ Ͳǡͳͷ Ȃ ܲ ܨଶ ܫܯܲ ൌ ǡହήǡଷǡଶήǡଶାǡହήǡଷାǡଶήǡହ ൌ ǡଵହǡହ ൌ Ͳǡʹ͵ͳ Ȃ ܲ ܨଵ ܫܯܲ ൌ ǡଶήǡହǡଶήǡଶାǡହήǡଷାǡଶήǡହ ൌ ǡଵǡହ ൌ ͲǡͳͷͶ Teorema de Bayes Exemplo 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 41 Teorema de Bayes ± Suponha que os eventos C1, C2, ... , Cn formem uma partição do espaço amostral S e que suas probabilidades sejam conhecidas. ± Suponha ainda que, para um evento A se conheçam as probabilidades P(A | Ci) para todo i = 1, 2, ... , n. ± Então, para qualquer j termos: ܲ ܥ �ȁ�ܣ ൌ ܲ ܣ ܥ ή ܲሺܥሻσ ܲሺܣୀଵ ȁܥሻ ή ܲሺܥሻ ǡ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ ǡ ݊ Teorema de Bayes 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 42 Exercícios 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 43 Ler Capítulos 4.4 e 4.5 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à Administração e (FRQRPLD´ do Anderson, Sweeney e Williams. Fazer exercícios da Lista 3.3. Exercícios 31/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 44 Considere dois eventos A e B mutuamente excludentes, com P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Determine: a) P(A ŀ B) b) P(A B) c) P(A | B) d) P(Ac) e) P[(A B)C] Exercício 1 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 45 A partir dos dados do problema: a) A ŀ B = ֜ P(A ŀ B) = 0; b) P(A B) = P(A) + P(B) ± P(A ŀ B) = 0,3 + 0,5± 0,0 = 0,8 c) P(A | B) = P(A ŀ B) / P(B) = 0,0 / 0,5 = 0,0 d) P(Ac) = 1 ± P(A) = 1 ± 0,3 = 0,7 e) P[(A B)c] = 1 ± P(A B) = 1 ± 0,8 = 0,2 Solução 1 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 46 Se P(A B) = 0,8; P(A) = 0,5 e P(B) = x, determine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente excludentes; b) A e B serem independentes. Exercício 2 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 47 A partir dos dados do problema: a) A e B são mutuamente excludentes 9 $�ŀ�%� � ֜ 3�$�ŀ�%�� � 9 Como P(A B) = P(A) + P(B) ± 3�$�ŀ�%��WHUHPRV� 9 0,8 = 0,5 + x ± 0 ֜ x = 0,3 b) A e B são independentes 9 3�$�ŀ�%�� �3�$��Â�3�%� 9 Como P(A B) = P(A) + P(B) ± 3�$�ŀ�%��WHUHPRV: 9 0,8 = 0,5 + x ± ����Â�[�֜ x = 3/5 = 0,6 Solução 2 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 48 Uma escola tem 40% dos estudantes do sexo masculino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que entre as meninas, essa porcentagem é de 50%. Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja: a) do sexo masculino e nunca tenha visto o mar? b) do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar? Exercício 3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 49 Eventos: ± H: aluno ser homem ± V: aluno ter visto o mar Item b: Quero calcular P(Hc Vc) ± P(Hc Vc) = P[(H ŀ V)c] = = 1 - P(H ŀ V) ± Mas P(H ŀ V) = P(H)  P(V|H) = = 0,4  0,8 = 0,32 ± Logo: P(Hc Vc) = 1 ± 0,32 = 0,68 Dos dados do problema: ± P(H) = 0,4 ± P(Vc | H) = 0,2 ± P(Vc | Hc) = 0,5 Item a: Quero calcular P(H ŀ Vc) ± P(H ŀ Vc) = P(H)  P(Vc | H) ± P(H ŀ Vc) = 0,4  0,2 = 0,08 Solução 3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 50 Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P(A ŀ B) = 0,3. Determine P(A | Bc). Exercício 4 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 51 Desejo P(A | Bc) Da definição de probabilidade condicional: ± P(A ŀ Bc) = P(Bc)  P(A | Bc) Mas: ± A ŀ Bc = A ± (A ŀ B) ֜ P(A ŀ Bc) = P(A) ± P(A ŀ B) ± Logo: P(A ŀ Bc) = 0,7 ± 0,3 = 0,4 ± P(Bc) = 1 ± P(B) = 1 ± 0,4 = 0,6 Deste modo: ± P(A ŀ Bc) = P(Bc)  P(A | Bc) ֜ 0,4 = 0,6  P(A | Bc) ± Então: P(A | Bc) = 2/3 = 0,667 Solução 4 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 52 Comente a afirmação abaixo: ± Se dois eventos são mutuamente excludentes, então eles não são independentes. Exercício 5 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 53 A afirmação está correta, exceto se um dos conjuntos é vazio. Solução 5 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 54 Um determinado clube de futebol ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se não chove. Em setembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O clube ganhou uma partida em Setembro. Qual a probabilidade de ter chovido nesse dia? Exercício 6 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 55 Eventos: ± G = ganhar ± C = chover Desejo: P(C | G) =? Probabilidades: ± P(G|C) = 0,7 ± P(G|Cc) = 0,8 ± P(C) = 0,3 ֜ P(Cc) = 0,7 Aplicando Bayes: Ȃ ܲ ܥ ܩ ൌ ሺீȁሻήሺሻ ீ ή ାሺீȁሻήሺሻ ൌ ǡήǡଷǡήǡଷାǡ଼ήǡ ൌ Ͳǡʹ͵ Solução 6 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 56 Mostre que se A e B são independentes, então Ac e Bc também são independentes. Exercício 7 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 57 Quero demonstrar que: ± se P(A ŀ B) = P(A)  P(B) ± então P(Ac ŀ Bc) = P(Ac)  P(Bc) Utilizando De Morgan: P(Ac ŀ Bc) = P[(A B)c] = 1 ± P(A B) = = 1 ± [P(A) + P(B) ± P(A ŀ B)] = = 1 ± [P(A) + P(B) ± P(A)  P(B)] = = [1 ± P(A)] ± P(B)  [1 ± P(A)] = = [1 ± P(A)]  [1 ± P(B)] = P(Ac)  P(Bc) Solução 7 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 58 Fechamento 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 59 Nesta aula você aprendeu a: ± Determinar a probabilidade de eventos relacionados. ± Aplicar o Teorema de Bayes para determinar probabilidades condicionais. Na Aula 4.1 vamos o que são variáveis aleatórias e quais as suas principais propriedades. Até a Aula 4.1! Fecho da Aula 3.3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 60 Nesta Unidade você aprendeu a: ± Descrever os conceitos básicos de probabilidade aplicáveis à estatística. ± Determinar a probabilidade associada a um resultado de um experimento aleatório. ± Determinar a probabilidade associada a um evento. ± Determinar a probabilidade de eventos relacionados. ± Aplicar o Teorema de Bayes para determinar probabilidades condicionais. Na Unidade 4 vamos conversar sobre variáveis aleatórias discretas. Até a Unidade 4! Fecho da Unidade 3 31/10/2013 Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de Bayes 61
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