Aula 43 - Distribuição de Poisson Menor

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Unidade 4 ± Variáveis Aleatórias Discretas 
Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 
Estatística I 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 1 
Variáveis Aleatórias Discretas 
Unidade 4 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 2 
‡ Definir variável aleatória. 
‡ Caracterizar variáveis aleatórias discretas e 
contínuas. 
‡ Determinar as características das variáveis 
aleatórias binomiais e de Poisson. 
‡ Determinar o valor esperado e a variância das 
principais variáveis aleatórias discretas. 
‡ Resolver problemas práticos utilizando as principais 
distribuições de probabilidade discretas. 
Objetivo da Unidade 4 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 3 
‡ Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias. 
‡ Aula 4.2 ± Distribuição Binomial. 
‡ Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson. 
Aulas da Unidade 4 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 4 
Distribuição Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 
Aula 4.3 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Definir experimento de Poisson. 
± Determinar o valor esperado e a variância de uma 
distribuição de Poisson. 
± Resolver problemas práticos utilizando variáveis 
aleatórias de Poisson. 
Objetivo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 6 
‡ Propriedades de um experimento de Poisson 
‡ Exemplo de aplicação envolvendo intervalos de 
tempo 
‡ Exemplo de aplicação envolvendo intervalos de 
comprimento ou de distância 
Roteiro 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 7 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 8 
‡ Muitas vezes é necessário determinar o número 
de ocorrências de um fenômeno ao longo de um 
intervalo de tempo ou espaço específicos. 
‡ Por exemplo: 
± O número de carros que passa em um pedágio em 
uma hora; 
± O número de reparos em uma rodovia em um trecho 
de 100km; 
± O número de vazamentos em 100km de tubulação. 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 9 
‡ Para representar o número de ocorrências 
citadas no slide anterior, iremos utilizar uma 
variável aleatória descrita pela função de 
probabilidade de Poisson. 
‡ Propriedades de um experimento de Poisson: 
± A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para 
dois intervalos quaisquer de igual comprimento; 
± A ocorrência ou não-ocorrência em um determinado 
intervalo é independente da ocorrência ou não-
ocorrência em outro intervalo. 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 10 
‡ Função de Probabilidade de Poisson: Ȃ ܲ ܺ ൌ ݔ ൌ ఒೣ௘షഊ௫Ǩ 
± onde: 
9 X = variável aleatória que representa o número de 
ocorrências no intervalo 
9 x = número de ocorrências no intervalo 
9 P(X = x) é a probabilidade de x ocorrências no intervalo 
9 Ȝ = taxa de ocorrências 
9 e = 2,71828 (Número de Euler) 
‡ Note que x não possui limite máximo: 
± x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .... 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 11 
‡ Valor esperado, variância e desvio padrão de 
uma variável aleatória de Poisson: 
± ȝ = Ȝ 
± ı2 = Ȝ 
± ı = ¥Ȝ 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 12 
‡ Exemplo: 
± Ȝ = 5 ocorrências por hora (taxa média). Ȃ ܲ ܺ ൌ ݔ ൌ ହೣ௘షఱ௫Ǩ Ȃ ܲ ܺ ൌ Ͳ ൌ ହబ௘షఱ଴Ǩ ൌ ͲǡͲͲ͸͹Ͷ Ȃ ܲ ܺ ൌ ͵ ൌ ହయ௘షఱଷǨ ൌ ͲǡͳͶͲ͵͹ Ȃ ܲ ܺ ൌ ͷ ൌ ହఱ௘షఱହǨ ൌ Ͳǡͳ͹ͷͶ͹ Ȃ ܲ ܺ ൌ ͺ ൌ ହఴ௘షఱ଼Ǩ ൌ ͲǡͲ͸ͷʹͺ 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 13 
Propriedades de um Experimento de Poisson 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 14 
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 15 
‡ Uma concessionária de rodovias está interessada em 
modelar o número de carros que chegam em um 
determinado ponto de pedágio em um período de 30 
minutos. 
‡ Para isto, assume que a chegada dos carros seguirá as 
seguintes hipóteses: 
± a probabilidade de um carro chegar ao pedágio é a mesma para 
dois períodos quaisquer de igual duração; e 
± o fato de carros chegarem ou não chegarem em qualquer 
período é independente da chegada ou não-chegada de outro 
em qualquer outro período. 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 16 
‡ Considerando as duas hipóteses anteriores 
satisfeitas, o modelamento da chegada dos 
carros no pedágio é feito através de uma função 
de probabilidade de Poisson. 
‡ Adicionalmente, a concessionária sabe (dados 
históricos) que o número médio de carros que 
passam por este trecho da estrada é de 3 carros 
no período de 5 minutos. 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 17 
‡ Sob tais circunstancias, o número de carros que 
chega ao pedágio a cada 5 minutos segue uma 
função de probabilidade de Poisson: 
± ܲ ܺ ൌ ݔ ൌ ଷೣ௘షయ௫Ǩ 
± Onde: 
9 x = número de ocorrências no intervalo de 5 minutos 
9 P(X = x) é a probabilidade de x ocorrências no intervalo 
9 Ȝ = 3 ocorrências por 5 minutos (média histórica) 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 18 
‡ Caso a concessionária deseje saber a probabilidade de 
passar 0, 1, 2, 3, 4 ou mais de 4 carros em 5 minutos: Ȃ ܲ ܺ ൌ Ͳ ൌ ଷబ௘షయ଴Ǩ ൌ ͲǡͲͶͻͺ Ȃ ܲ ܺ ൌ ͳ ൌ ଷభ௘షయଵǨ ൌ ͲǡͳͶͻͶ Ȃ ܲ ܺ ൌ ʹ ൌ ଷమ௘షయଶǨ ൌ ͲǡʹʹͶͲ Ȃ ܲ ܺ ൌ ͵ ൌ ଷయ௘షయଷǨ ൌ ͲǡʹʹͶͲ Ȃ ܲ ܺ ൌ Ͷ ൌ ଷర௘షయସǨ ൌ Ͳǡͳ͸ͺͲ 
± P(x > 4) = 1 ± (P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)) = 0,1847 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 19 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 20 
1 2 4 >4 0 3 
‡ Valor esperado, variância e desvio padrão de 
uma variável aleatória de Poisson: 
± ȝ = Ȝ = 3 ocorrências por 5 minutos 
± ı2 = Ȝ = 3 
± ı = ¥Ȝ = ¥3 = 1,73 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 21 
‡ Caso a concessionária estivesse interessada em 
ocorrências a cada 15 minutos: 
± Ȝ15 min = 3 Â Ȝ5 min = 3 Â 3 = 9 carros por 15 minutos 
(taxa histórica) Ȃ ܲ ܺ ൌ ݔ ൌ ଽೣ௘షవ௫Ǩ Ȃ ܲ ܺ ൌ ͸ ൌ ଽల௘షవ଺Ǩ ൌ ͲǡͲͻͳͳ 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 22 
‡ Observe que a probabilidade de passarem 2 carros em 
um período de 5 minutos (0,2240) é diferente da 
probabilidade de passarem 6 carros em 15 minutos 
(0,0911). 
‡ Deste modo, quando se calcula uma probabilidade de 
Poisson para um intervalo de tempo diferente, devemos 
primeiramente converter a taxa média de chegada (Ȝ) 
para o período de interesse e depois calcular a 
probabilidade. 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Tempo 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 23 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Comprimento ou de Distância 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 24 
‡ Suponha que uma concessionária deseje saber a 
ocorrência de defeitos importantes em uma rodovia um 
mês depois de um recapeamento. 
‡ Vamos supor que: 
± a probabilidade de um defeito seja a mesma em dois intervalos 
quaisquer de igual extensão da rodovia; e 
± a ocorrência ou não-ocorrência de um defeito em determinado 
intervalo seja independente da ocorrência ou não-ocorrência de 
um defeito em outro intervalo qualquer. 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Comprimento ou de Distância 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 25 
‡ Sob tais circunstancias, o número de defeitos 
importantes por trecho de rodovia segue uma 
distribuição deprobabilidade de Poisson. 
‡ Historicamente, a concessionária sabe que após um mês 
de recapeamento, ocorrem 2 defeitos importantes a cada 
quilômetro de rodovia. 
‡ Ela deseja saber a probabilidade de não haver nenhum 
defeito importante em um trecho de 3 quilômetros de 
rodovia. 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Comprimento ou de Distância 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 26 
‡ Deste modo: 
± Ȝ1 km = 2 defeitos por quilômetro 
± Ȝ3 km = 2 * 3 = 6 defeitos por 3 quilômetros 
‡ Distribuição de probabilidade: Ȃ ܲ ܺ ൌ ݔ ൌ ଺ೣ௘షల௫Ǩ 
‡ Probabilidade de não haver defeitos em um 
trecho de 3 quilômetros: Ȃ ܲ ܺ ൌ Ͳ ൌ ଺బ௘షల଴Ǩ ൌ ͲǡͲͲʹͷ 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Comprimento ou de Distância 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 27 
‡ Deste modo, é improvável que nenhum defeito 
ocorra no trecho de 3 quilômetros. 
‡ Note que a probabilidade de ocorrência de um 
ou mais defeitos é de: 
± P(x > 0) = 1 ± 0,0025 = 0,9975 
Exemplo de Aplicação Envolvendo Intervalos de 
Comprimento ou de Distância 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 28 
Exercícios 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 29 
‡ Ler Capítulo 5.5 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à 
Administração e (FRQRPLD´ do Anderson, 
Sweeney e Williams. 
‡ Fazer exercícios da Lista 4.3. 
Exercícios 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 30 
‡ Considere uma distribuição de Poisson com Ȝ = 3. 
± Escreva a função de probabilidade de Poisson apropriada; 
± Determine: 
9 P(0) 
9 P(1) 
9 P(2) 
9 3�[�•��� 
Exercício 1 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 31 
‡ Função de probabilidade de Poisson Ȃ ܲ ݔ ൌ ଷೣ௘షయ௫Ǩ 
‡ Determinação das probabilidades: Ȃ ܲ Ͳ ൌ ଷబ௘షయ଴Ǩ ൌ ͲǡͲͶͻͺ Ȃ ܲ ͳ ൌ ଷభ௘షయଵǨ ൌ ͲǡͳͶͻͶ Ȃ ܲ ʹ ൌ ଷమ௘షయଶǨ ൌ ͲǡʹʹͶͲ 
± P(x • 3) = 1 ± (P(0) + P(1) + P(2)) = 0,5768 
Solução 1 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 32 
‡ Considere uma distribuição de Poisson com um 
número médio de duas ocorrências por período. 
± Escreva a função de probabilidade de Poisson 
apropriada; 
± Qual o número esperado de ocorrências em três 
períodos? 
± Escreva a função de probabilidade de Poisson apropriada 
para determinar a probabilidade de x ocorrências em três 
períodos; 
± Encontre a probabilidade de seis ocorrências em três 
períodos; 
± Encontre a probabilidade de cinco ocorrências em dois 
períodos. 
Exercício 2 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 33 
‡ Função de probabilidade de Poisson para um 
período: 
± Ȝ1P = 2 Ȃ ܲ ݔ ൌ ଶೣ௘షమ௫Ǩ 
Solução 2 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 34 
‡ Número esperado de ocorrências em três 
períodos: 
± Ȝ3P = 3 Â Ȝ1P = 3 Â 2 = 6 
‡ Função de probabilidade de Poisson para três 
períodos: Ȃ ܲ ݔ ൌ ଺ೣ௘షల௫Ǩ 
Solução 2 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 35 
‡ Probabilidade de duas ocorrências em um 
período: Ȃ ܲ ʹ ൌ ଶమ௘షమଶǨ ൌ Ͳǡʹ͹Ͳ͹ 
‡ Probabilidade de seis ocorrências em três 
períodos: Ȃ ܲ ͸ ൌ ଺ల௘షల଺Ǩ ൌ Ͳǡͳ͸Ͳ͸ 
Solução 2 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 36 
‡ Probabilidade de cinco ocorrências em dois 
períodos: 
± Ȝ2P = 2  Ȝ1P = 2  2 = 4 Ȃ ܲ š ൌ ସೣ௘షర୶Ǩ Ȃ ܲ ͷ ൌ ସఱ௘షరହǨ ൌ Ͳǡͳͷ͸͵ 
Solução 2 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 37 
Fechamento 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 38 
‡ Nesta aula você aprendeu a: 
± Definir experimento de Poisson. 
± Determinar o valor esperado e a variância de uma distribuição 
de Poisson. 
± Resolver problemas práticos utilizando variáveis aleatórias de 
Poisson. 
‡ Esta é a última aula da Unidade 4 
Fecho da Aula 4.3 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson 39 
‡ Nesta Unidade você aprendeu sobre Variáveis 
Aleatórias Discretas. 
‡ Com isto terminamos a última unidade desta 
Disciplina. 
Fecho da Unidade 4 
13/11/2013 Aula 4.4 ± Números Racionais, Irracionais e Reais 40 
‡ A Disciplina de Estatística I que agora termina cobriu 
diversos assuntos: 
± Método Estatístico; 
± Tópicos de Estatística Descritiva; 
± Cálculo de Probabilidades; e 
± Variáveis Aleatórias Discretas. 
‡ Com isto você agora já possui os instrumentos básicos 
para prosseguir o estudo da Estatística II, onde os 
conceitos de estatística aplicáveis a Administração e 
Contabilidade serão aprofundados. 
‡ Desejo a todos muitas felicidades na Disciplina de 
Estatística II! 
Fecho da Disciplina 
13/11/2013 Aula 4.3 ± Álgebra de Conjuntos nas Linguagens de Programação 41