14.6 (3)

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Resistência dos Materiais I 
 
Resolução em Português dos problemas do livro 
Mecânica dos materiais 
4ª Edição – Beer & Johnston 
Capítulo 1 
 
 
Nelson Poerschke 
Acadêmico Eng Civ UFRR 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR Revisão: João Bosco Pereira Duarte – Prof MSc Eng Civ UFRR Página 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Conceito de Tensão 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Nota: 
Este material está sendo disponibilizado gratuitamente com total acesso a todos que 
tiverem interesse. Solicito às pessoas que vendem as resoluções na internet não tirarem proveito 
financeiro deste trabalho, cuja única finalidade é servir como fonte de consulta para estudantes. 
Os primeiros problemas serão resolvidos detalhadamente passo a passo. À medida que 
os procedimentos forem se repetindo, alguns passos, já muito bem explicados, serão omitidos por 
motivo de simplificação. 
 
 
 
C A P Í T U L O 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.1 Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que ݀ଵ = 50	݉݉ e ݀ଶ = 30	݉݉, calcule a 
tensão normal no ponto médio da: 
 a) barra AB; e 
 b) barra BC. 
 
a) tensão normal na barra AB (ߪ஺஻): 
As duas forças somadas atuam sobre a barra AB. 
ܲ = 40 + 30 = 70݇ܰ = 70 × 10ଷ	ܰ 
ܣ = గௗభమ
ସ
= గ
ସ
. (0,050	݉)ଶ = 1,9635 × 10ିଷ݉ଶ 
ߪ஺஻ = ௉஺ = ଻଴×ଵ଴య	ேଵ,ଽ଺ଷହ×ଵ଴షయ	௠మ = 35,7	× 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ஺஻ = 35,7	ܯܲܽ			(ܶ) 
b) tensão normal na barra BC (ߪ஻஼): 
Somente a força de 30	݇ܰ atua sobre a barra BC. 
ܲ = 30݇ܰ = 30 × 10ଷ	ܰ 
ܣ = గௗమమ
ସ
= గ
ସ
. (0,030	݉)ଶ = 7,0686 × 10ିସ݉ଶ 
ߪ஻஼ = ௉஺ = ଷ଴×ଵ଴య		ே଻,଴଺଼଺×ଵ଴షర	௠మ = 42,4	× 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ஻஼ = 42,4	ܯܲܽ			(ܶ) 
 
Observar, ainda, que o comprimento das barras não tem influência sobre a tensão normal. 
 
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1.2 Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão normal média não pode exceder 140	ܯܲܽ em nenhuma das barras, determine os menores valores admissíveis de ݀ଵ	݁	݀ଶ. 
 
a) menor valor de ݀ଵ: 
As duas forças somadas exercem tração sobre a barra AB. 
ܲ = 40 + 30 = 70݇ܰ = 70 × 10ଷ	ܰ 
ߪ஺஻ = ௉஺ 	; 								݉ܽݏ		ܣ = గௗభమସ 		; 								݈݋݃݋					ߪ஺஻ = ௉ഏ೏భమ
ర
							→ 					ߪ஺஻ = ସ௉గௗభమ 
݀ଵ
ଶ = ସ௉
గఙಲಳ
										→ 									 ݀ଵ = ට ସ௉గఙಲಳ = ට ସ(଻଴×ଵ଴య	ே)గ(ଵସ଴×ଵ଴లே/௠మ) = 25,2 × 10ିଷ݉ 
݀ଵ = 25,2	݉݉ 
b) menor valor de ݀ଶ: 
Somente a força de 30	݇ܰ exerce tração sobre a barra BC. 
ܲ = 30 × 10ଷ	ܰ 
ߪ஻஼ = ௉஺ 	; 								݉ܽݏ		ܣ = గௗమమସ 		; 								݈݋݃݋					ߪ஻஼ = ௉ഏ೏మమ
ర
							→ 					 ߪ஻஼ = ସ௉గௗమమ 
݀ଶ
ଶ = ସ௉
గఙಲಳ
										→ 									 ݀ଶ = ට ସ௉గఙಲಳ = ට ସ(ଷ଴×ଵ଴య	ே)గ(ଵସ଴×ଵ଴లே/௠మ) = 16,52 × 10ିଷ݉ 
݀ଶ = 16,52	݉݉ 
 
 
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1.3 Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamento conforme mostra a figura. Determine a tensão normal no ponto médio da: 
 a) barra AB; e 
 b) barra BC. 
 
 
a) tensão normal na barra AB (ߪ஺஻): 
Somente a força de 180 kN atua sobre a barra AB, exercendo tração. 
ܲ = 180 × 10ଷ	ܰ 
݀ = 50	݉݉ = 0,050	݉ 
ߪ஺஻ = ௉஺ = ௉ഏ೏మ
ర
= ସ௉
గௗమ
= ସ(ଵ଼଴×ଵ଴య	ே)
గ	(଴,଴ହ଴	௠)మ = 91,67	× 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ஺஻ = 91,67	ܯܲܽ			(ܶ) 
 
b) tensão normal na barra BC (ߪ஻஼): 
Enquanto a força de 180 kN exerce tração sobre a barra BC, as duas forças de 130 kN, somadas, 
exercem compressão, de modo que a força resultante que atua sobre a barra BC é: 
ܨ௥௘௦ = 180	݇ܰ − 2(130	݇ܰ) = 	−	80	݇ܰ (o sinal negativo indica a compressão). 
ܲ = −	80 × 10ଷ	ܰ 
݀ = 75	݉݉ = 0,075	݉ 
ߪ஺஻ = ௉஺ = ௉ഏ೏మ
ర
= ସ௉
గௗమ
= ସ(ି଼଴×ଵ଴య	ே)
గ	(଴,଴଻ହ	௠)మ = −18,11	× 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ஺஻ = −18,11	ܯܲܽ			(ܥ) 
 
 
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1.4 No problema 1.3, determine a intensidade da força P para a qual a tensão de tração na 
barra AB tem a mesma intensidade da tensão de compressão na barra BC. 
 
ߪ்ಲಳୀߪ஼ಳ಴ 									⇒ 											
ிಲಳ
஺ಲಳ
= ிಳ಴
஺ಳ಴
 
 
 
 A força que atua na compressão da barra BC é a força resultante entre as duas forças 
de compressão de 130 kN cada uma e da força de tração P. Então: 
 
௉
஺ಲಳ
= ଶ଺଴	௞ேି௉
஺ಳ಴
																		⇒ 												
௉
ഏ೏ಲಳ
మ
ర
= ଶ଺଴	௞ேି௉
ഏ೏ಳ಴
మ
ర
												⇒ 								ܲ = (260	݇ܰ − ܲ) ൬ௗಲಳమ
ௗಳ಴
మ ൰ 
ܲ = (260	݇ܰ − ܲ) ቀହ଴	௠௠
଻ହ	௠௠
ቁ
ଶ = 0,444(260	݇ܰ − ܲ) 
ܲ = 0,444(260	݇ܰ) − 0,444	ܲ	 
ܲ + 0,444ܲ = 115,56	݇ܰ 1,444ܲ = 115,56	݇ܰ 
ܲ = ଵଵହ,ହ଺	௞ே
ଵ,ସସସ	 = 80	݇ܰ 
ܲ = 80	݇ܰ 
 
 
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1.5 Duas chapas de aço precisam ser unidas por meio de parafusos de aço de alta resistência 
de 16 mm de diâmetro que se encaixam dentro de espaçadores cilíndricos de latão. Sabendo que a 
tensão normal média não deve exceder 200 MPa nos parafusos e 130 MPa nos espaçadores, 
determine o diâmetro externo dos espaçadores que resulte no projeto mais econômico e seguro. 
 
 
 
 Como o problema somente trata das tensões normais no parafuso e nos espaçadores, se 
resume a determinar um diâmetro externo dos espaçadores para suportar a compressão de 130 
MPa. 
 Chamaremos൜݌ = ݌ܽݎ݂ܽݑݏ݋	
݁ = ݁ݏ݌ܽçܽ݀݋ݎ 
ܣ	݂݋ݎçܽ	ݍݑ݁	ܿܽݑݏܽ	݁ݏݏܽ	ݐݎܽçã݋	݁	ܿ݋݉݌ݎ݁ݏݏã݋	é	ܽ	݉݁ݏ݉ܽ	݌ܽݎܽ	ܽݏ	݀ݑܽݏ	݌݁çܽݏ. 
 
Para os parafusos temos: ߪ௣ = ௉೛஺೛ = ௉೛ഏ೏೛మ
ర
= ସ௉೛
గௗ೛
మ 							⇒ 									 ௣ܲ = గఙ೛ௗ೛మସ e 
Para os espaçadores temos: 			ߪ௘ = ௉೐஺೐ = ௉೐ഏ(೏೐೐ೣ೟మ ష೏೐೔೙೟మ )
ర
= ସ௉೐
గ(ௗ೐೐ೣ೟మ ିௗ೐೔೙೟మ ) 						⇒ 				 ௘ܲ = గఙ೐(ௗ೐೐ೣ೟మ ିௗ೐೔೙೟మ )ସ 
Igualando ௣ܲ			ܽ					 ௘ܲ , e isolando ݀௘೐ೣ೟
ଶ temos: 
గఙ೛ௗ೛
మ
ସ
= గఙ೐(ௗ೐೐ೣ೟మ ିௗ೐೔೙೟మ )
ସ
																									⇒ 																					 ߪ௣݀௣
ଶ = ߪ௘݀௘೐ೣ೟ଶ − ߪ௘݀௘೔೙೟ଶ 		 
Note que o diâmetro interno dos espaçadores é igual ao diâmetro dos parafusos. Logo 
݀௘೐ೣ೟
ଶ = ఙ೛ௗ೛మାఙ೐ௗ೛మ
ఙ೐
								⇒ 						 ݀௘೐ೣ೟ = ටௗ೛మ(ఙ೛ାఙ೐)ఙ೐ = ݀௣ටఙ೛ାఙ೐ఙ೐ = ݀௣ටఙ೐ఙ೐ + ఙ೛ఙ೐ = ݀௣ට1 + ఙ೛ఙ೐ 
Inserindo os valores: 
݀௘೐ೣ೟ = 0,016	݉ට1 + ଶ଴଴×ଵ଴ల	௉௔ଵଷ଴×ଵ଴ల	௉௔ = 0,016	݉(1,5933) = 0,02549݉ 
݀௘೐ೣ೟ = 25,49	݉݉ 
 
 
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1.6 Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso AB indica que a 
tensão normal média no osso é 3,80 MPa quando o osso está submetido a duas forças de 1200 N 
como mostra a figura. Supondo que a seção transversal do osso em C seja anelar (de anel) e 
sabendo que o seu diâmetro externo é 25 mm, determine o diâmetro interno da seção transversal do 
osso em C. 
Dados: 
ߪ = 3,8 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ 
ܲ = 1200	ܰ 
݀௘௫௧ = 25	݉݉ = 0,025	݉ 
ܣ = గௗమ
ସ
,				݉ܽݏ			݀ = ݀௘௫௧ − ݀௜௡௧ ,						݈݋݃݋		ܣ = గ(ௗ೐ೣ೟మ ିௗ೔೙೟మ )ସ 		 
 
Substituindo na equação 
ߪ = ௉
஺
= ௉
ഏ(೏೐ೣ೟మ ష೏೔೙೟మ )
ర
= ସ௉
గ(ௗ೐ೣ೟మ ିௗ೔೙೟మ ) 
݀௜௡௧
ଶ = ݀௘௫௧ଶ − ସ௉ఙగ	 
 
Inserindo os valores conhecidos: 
݀௜௡௧
ଶ = (0,025	݉)ଶ − ସ(ଵଶ଴଴	ே)
గ(ଷ,଼×ଵ଴లே ௠మ⁄ ) 
݀௜௡௧ = ට(0,025	݉)ଶ − ସ(ଵଶ଴଴	ே)గ(ଷ,଼×ଵ଴లே ௠మ⁄ ) = 0,01493	݉ 
݀௜௡௧ = 14,93	݉݉ 
 
 
 
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1.7 Sabendo que a porção central da barra BD tem uma área de seção transversal uniforme 
de 800	݉݉ଶ, determine a intensidade da carga P para a qual a tensão normal naquela parte de BD é 
50 MPa. 
 
Dados: 
ߪ = 50	ܯܲܽ = 	50 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ 
ܣ = 800	݉݉ଶ = 8,0	× 10ିସ	݉ଶ		 
ܲ =? 
 
 Desenhamos o diagrama de corpo livre. 
 Como sabemos o valor da tensão, temos que calcular a 
intensidade da Força que causa esta tensão de 50 MPa na barra BD. 
 
 ߪ = ௉
஺
					→ 							ߪ = ிಳವ
஺
							→ 											 ܨ஻஽ = ߪܣ	 
 ܨ஻஽ = (50 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄)(8,0	× 10ିସ	݉ଶ) = 40 × 10ଷܰ 
 ܨ஻஽ = 40 × 10ଷܰ 
 
 Sabendo a intensidade da força geradora da tensão de 
compressão na barra BD, podemos determinar, através do equilíbrio de 
forças, a intensidade de P. 
 Determinamos ߠ. 
 ݐ݃	ߠ = ቀଶସ଴	௠௠
ସହ଴	௠௠
ቁ 						→ 						ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ቀଶସ଴	௠௠
ସହ଴	௠௠
ቁ = 28,07°	 
 
 ∑ܯܥ = 0 
 ܲ(0,135	݉) − 40 × 10ଷܰ	ݏ݁݊	28,07°(0,450	݉) = 0 
 ܲ = ସ଴×ଵ଴యே	௦௘௡	ଶ଼,଴଻°(଴,ସହ଴	௠)
଴,ଵଷହ	௠ = 62,74	ܰ 
ܲ = 62,74	ܰ 
 
 
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1.8 A barra AC tem uma seção transversal retangular uniforme com 3,2 mm de espessura e 
25,4 mm de largura. Determine a tensão normal na parte central da barra AC. 
Dados: 
ܣ஺஼ = 0,0032	݉	 × 0,0254	݉ = 8,128 × 10ିହ݉ଶ 
ߠ = 30° 
ܨ = 550	ܰ 
ܨ஺஼ =? 
Usando a placa juntamente com as duas polias 
como um corpo livre, nota-se que a tensão do cabo exerce a 
função de um binário de 550 N no sentido horário. 
 
 Determinamos através do equilíbrio das forças a 
intensidade de P. 
 
 ∑ܯܤ = 0 
 
 −ܨ஺஼ܿ݋ݏ	30°(0,4	݉) + ܨ஺஼ݏ݁݊	30°(0,25)− 550(0,3	݉) + 550(0,05݉) = 0 
 −0,34641	ܨ஺஼ + 0,125	ܨ஺஼ = 550(0,3	݉) − 550(0,05݉) 
 −0,22141	ܨ஺஼ = 165 − 27,5 
 ܨ஺஼ = ଵଷ଻,ହି଴,ଶଶଵସଵ = −	621	 
 ܨ஺஼ = 	621	ܰ ( ) (o sinal negativo indica que o sentido adotado estava invertido) 
 
 Determinando a tensão normal: 
 
 ߪ = ௉
஺
									→ 							ߪ = ிಲ಴
஺
= ି଺ଶଵ	ே
଼,ଵଶ଼×ଵ଴షఱ௠మ = 7,64 × 10଺	ܰ/݉ଶ 	 
ߪ = −7,64	ܯܲܽ		(ܥ)	 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.9 Cada uma das quatro barras verticais tem uma seção transversal retangular uniforme de 8 × 36	݉݉ e cada um dos quatro pinos tem um diâmetro de 16 mm. Determine o valor máximo da 
tensão normal média nos vínculos que conectam: 
 a) os pontos B e D; e 
 b) os pontos C e E. 
 
 Desenhamos o diagrama de corpo livre da barra ABC. 
 Determinamos ܨ஻஽ e ܨ஼ா através do equilíbrio das forças. 
 ∑ܯܥ = 0 
 0,4݉	ܨ஻஽ −	(0,25݉ + 0,4݉)(20 × 10ଷܰ) = 0 
 	ܨ஻஽ = (଴,ଶହ௠ା଴,ସ௠)(ଶ଴×ଵ଴యே)଴,ସ௠ = 32,5 × 10ଷܰ	 
 	ܨ஻஽ = 32,5 × 10ଷܰ	 (T) 
 
 ∑ܯܤ = 0 
 −	0,4݉	ܨ஼ா −	(0,25݉)(20 × 10ଷܰ) = 0 
 −	0,4݉	ܨ஼ா = 	 (0,25݉)(20 × 10ଷܰ) 
 	ܨ஼ா = (଴,ଶହ௠)(ଶ଴×ଵ଴యே)ି	଴,ସ௠ = −12,5 × 10ଷ 
 	ܨ஼ா = −12,5 × 10ଷܰ	 (C) 
 
 a) tensão normal entre os pontos B e D. (tração) 
 Na tração, a largura da barra é reduzida pelo diâmetro do furo. 
 ܣ௧௥௔çã௢ = 0,008	݉ × (0,036	݉ − 0,016	݉) = 1,6 × 10ିସ	݉ଶ 
 ߪ = ௉
஺
,݉ܽݏ	ℎá	݀ݑܽݏ	ܾܽݎݎܽݏ, ݈݋݃݋			ߪ = ௉
ଶ஺
= ଷଶ,ହ×ଵ଴యே
ଶ(ଵ,଺×ଵ଴షర௠మ) = 101,56 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ = 101,56	ܯܲܽ				(ܶ) 
 
 b) tensão normal entre os pontos C e E. (compressão) 
 Na compressão, toda a largura da barra é comprimida. 
 ܣ௖௢௠௣௥௘௦௦ã௢ = 0,008	݉ × 0,036	݉ = 2,88 × 10ିସ	݉ଶ 
 ߪ = ௉
஺
,݉ܽݏ	ℎá	݀ݑܽݏ	ܾܽݎݎܽݏ, ݈݋݃݋			ߪ = ௉
ଶ஺
= ିଵଶ,ହ×ଵ଴యே
ଶ(ଶ,଼଼×ଵ଴షర௠మ) = −21,70 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ = −21,70	ܯܲܽ				(ܥ) 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.10 Duas forças horizontais de 22 kN são aplicadas ao pino B do conjunto mostrado na 
figura. Sabendo que é usado um pino de 20 mm de diâmetro em cada conexão, determine o valor 
máximo da tensão normal média: 
 a) na barra AB; e 
 b) na barra BC. 
 
 
 
 
 Como temos todos os ângulos e um dos lados do 
triângulo, podemos calcular os outros lados pela Lei dos senos. 
 ிಲಳ
௦௘௡	ସହ
= ிಳ಴
௦௘௡	଺଴
= ସସ	௞ே
௦௘௡	଻ହ
 
 ிಲಳ
௦௘௡	ସହ
= ସସ	௞ே
௦௘௡	଻ହ
						⇒ 						 ܨ஺஻ = 	 ସସ	௞ே(௦௘௡	ସହ)௦௘௡	଻ହ = 32,21	݇ܰ 
 ிಳ಴
௦௘௡	଺଴
= ସସ	௞ே
௦௘௡	଻ହ
						⇒ 						 ܨ஻஼ = 	 ସସ	௞ே(௦௘௡	଺଴)௦௘௡	଻ହ = 39,45	݇ܰ 
 
a) Valor máximo da tensão normal média na barra AB. 
 A barra AB está sendo tracionada, logo devemos descontar o diâmetro do pino para o 
cálculo da área. 
 
 ߪ஺஻ = ௉஺ = ிಲಳ஺ಲಳ = ଷଶ,ଶଵ	௞ே଴,଴ଵଶ௠(଴,଴ସ଺௠ି଴,଴ଶ௠) = ଷଶ,ଶଵ	×ଵ଴య 	ே଴,଴ଵଶ௠×଴,଴ଶ଺௠ = 103,24	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ஺஻ = 103,24	ܯܲܽ			(ܶ) 
 
b) Valor máximo da tensão normal média na barra BC. 
 A barra AB está sendo comprimida. 
 
 ߪ஻஼ = ௉஺ = ிಳ಴஺ಳ಴ = ଷଽ,ସହ	×ଵ଴య	ே଴,଴ଵଶ௠×଴,଴ସ଺௠ = 71,47	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ஻஼ = 71,47	ܯܲܽ			(ܥ) 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.11 A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça mostrado na figura. Sabendo que 
a componente CG é uma haste circular maciça de 19,0 mm de diâmetro, determine a tensão normal 
em CG. 
 
 Usando o método das seções 
 
 
 
 
 Equilíbrio no nó E: 
 +↑ ∑ܨ௬ = 0	 →									 ܨ஺ா	(ݏ݁݊	36,87°) − 16	݇ܰ = 0 
 ܨ஺ா = ଵ଺	௞ே௦௘௡	ଷ଺,଼଻° = 26,66	݇ܰ		(ܶ) 
 ܨ஺ா = 26,66	݇ܰ		(ܶ) 
 
 Fazendo o equilíbrio na barra EFG: 
 
 
 
 
 ∑ܯܨ = 0 →								−ܨ஺ா	(ݏ݁݊	36,87°)(1,2) + ܨ஼ீ 	(ݏ݁݊	36,87°)(1,2) = 0 
 ܨ஼ீ 	= ிಲಶ	(௦௘௡	ଷ଺,଼଻°)(ଵ,ଶ)(௦௘௡	ଷ଺,଼଻°)(ଵ,ଶ) = ܨ஺ா = 26,66	݇ܰ	(ܶ) 
 ܨ஼ீ = 26,66	݇ܰ	(ܶ) 
 
 Cálculo da tensão normal na barra CG: 
 
 ߪ = ௉
஺
= ௉ഏ೏మ
ర
= ସ௉
గௗమ
 
 ߪ = ସ௉
గௗమ
= ସ൫ଶ଺,଺଺×ଵ଴యே൯
గ(଴,଴ଵଽ	௠)మ = 94,03	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ = 94,03	ܯܲܽ 
 
 
 
ߠ = ܽݎܿݐ݃	0,91,2 = 36,87° 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.12 A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça mostrado na figura. Determine a 
área da seção transversal do componente AE para a qual a tensão normal é 103 MPa. 
 
 
 
 Usando o método das seções 
 
 
 
 
 
 Equilíbrio no nó E: 
 
 +↑ ∑ܨ௬ = 0	 →									 ܨ஺ா	(ݏ݁݊	36,87°) − 16	݇ܰ = 0 
 ܨ஺ா = ଵ଺	௞ே௦௘௡	ଷ଺,଼଻° = 26,66	݇ܰ		(ܶ) 
 ܨ஺ா = 26,66	݇ܰ		(ܶ) 
 
 Cálculo da área da seção transversal da barra AE: 
 
 ߪ = ௉
஺
							→ 								ܣ = ௉
ఙ
 
 ܣ = ௉
ఙ
= 	 ଶ଺,଺଺	×ଵ଴య	ே		
ଵ଴ଷ	×ଵ଴లே/௠మ = 2,58 × 10ିସ݉ଶ 
ܣ = 258,25	݉݉ଶ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.13 São usados dois cilindros hidráulicos para controlar a posição do braço robótico ABC. 
Sabendo que as barras de controle ligadas em A e D têm cada uma 20 mm de diâmetro e estão 
paralelas na posição mostrada na figura, determine a tensão normal na: 
 a) componente AE; e 
 b) componente DG. 
 
a) barra AE: 
 Usando ABC como corpo livre: 
 
 
 
 ∑ܯܤ = 0 
 ܨ஺ா(ܿ݋ݏ	36,87°)(0,15	݉)− 800	ܰ(0,6	݉) = 	0 
 ܨ஺ா = 4,00	݇ܰ 
 Cálculo da tensão normal: 
 ߪ = ௉
஺
= ସ௉
గௗమ
= ସ(ସ,଴଴×ଵ଴య	ே)
గ(଴,଴ଶ଴)మ = 12,73 × 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ = 12,73	ܯܲܽ	 
b) barra DG: 
 
 Combinando ABC e BFD como corpo livre: 
 
 
 ∑ܯܨ = 0 
 ܨ஺ா(ܿ݋ݏ	36,87°)(0,15	݉)− ܨ஽ீ(ܿ݋ݏ	36,87°)(0,2	݉) − 800	ܰ(1,05݉− 0,15݉) = 	0 
 ܨ஽ீ = −1,5	݇ܰ 
 
 Cálculo da tensão normal: 
 ߪ = ௉
஺
= ସ௉
గௗమ
= ସ(ିଵ,ହ×ଵ଴య	ே)
గ(଴,଴ଶ଴)మ = −47,75 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 	ߪ = −47,75	ܯܲܽ	 
 
ߠ = ܽݎܿݐ݃	300400 = 36,87° 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.14 O conjugado M de intensidade 1500 N.m é aplicado à manivela de um motor. Para a 
posição mostrada, determine: 
 a) a força P necessária para manter o sistema do motor em equilíbrio; e 
 b) a tensão normal média na biela BC, que tem uma seca transversal uniforme de 450 
݉݉ଶ. 
 Usando o pistão, a biela e a manivela juntos como corpo livre. 
 Calcular reação H da parede. 
 
 ∑ܯܣ = 0 
 (0,280	݉)ܪ − 1500	ܰ.݉ = 0 
 ܪ = 5,36	× 10ଷܰ 
 
a) a força P necessária para manter o sistema do motor em equilíbrio. 
 Agora usamos apenas o pistão como corpo livre. 
 Desenhamos o triângulo forças e resolvemos para 
P e 	ܨ஻஼ 	 por proporção. 
 ℓ = √200ଶ + 60ଶ = 208,81	݉݉ 
 ௉
ு
= ଶ଴଴
଺଴
								→ 					60ܲ = 200ܪ									 
 60ܲ = 200(5,36 × 10ଷܰ)									 ܲ = 17,87	× 10ଷܰ 
 
b) a tensão normal média na biela BC, que tem uma seção transversal uniforme de 450 ݉݉ଶ. 
 
 ிಳ಴
ு
= ଶ଴଼,଼ଵ
଺଴
												→ 										60ܨ஻஼ = 208,81ܪ 
 60ܨ஻஼ = 208,81(5,36 × 10ଷܰ) 
 ܨ஻஼ = ଶ଴଼,଼ଵ൫ହ,ଷ଺×ଵ଴యே൯଺଴ = 18,65 × 10ଷܰ 
 ܨ஻஼ = 18,65	݇ܰ		(ܥ) 
 ߪ = ௉
஺
= ିிಳ಴
஺
= ିଵ଼,଺ହ×ଵ଴యேସ,ହ×ଵ଴షర௠మ = −41,44 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ߪ = −41,44	ܯܲܽ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.15 Quando a força P alcançou 8 kN, o corpo de prova de madeira mostrado na figura 
falhou sob cisalhamento ao longo da superfície indicada pela linha tracejada. Determine a tensão de 
cisalhamento média ao longo daquela superfície no instante da falha. 
 
 Dados: 
 ܲ	 = 	8 × 10ଷ	ܰ 
 
 ߬ = ௉
஺
= ଼×ଵ଴య	ே
଴,଴ଵହ	௠	×	଴,଴ଽ଴௠ = 5,93	 × 10ଷ	ܰ/݉ଶ 
߬ = 5,93		ܯܲܽ 
 
 
1.16 As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira 
compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do projeto da 
junção, e sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve ser 6,4 mm, determine o 
comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento média na cola não exceda 0,8 
MPa. 
 
 Existem quatro áreas separadas que são coladas. Cada 
uma destas áreas transmite metade da força de 25 kN. 
 
 
 ܨ = ଵ
ଶ
ܲ = ଵ
ଶ
(25 × 10ଷܰ) = 12,5 × 10ଷܰ 
 Fazendo L o comprimento de uma área colada e w a largura, temos: 
 ܣ = ℓݓ 
 A tensão de cisalhamento é: 
 ߬ = ௉
஺
= ௉
ℓ௪
 
 A tensão de cisalhamento admissível é 0,8 ܯܲܽ. 
 ߬ = ௉
ℓ௪
											→ 								ℓ = ௉
ఛ௪
= ଵଶ,ହ×ଵ଴యே(଴,଼×ଵ଴లே/௠మ)(଴,ଵ௠) = 0,15625	݉ 
 ܮ = ℓ+ ݂݋݈݃ܽ + ℓ = 0,15625	݉ + 0,0064	݉ + 0,15625	݉ = 0,3189	݉ 
 ܮ = 318,9	݉݉ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.17 Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por uma chapa de alumínio na 
qual foi feito um furo de 15 mm, conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão de cisalhamento 
não deve exceder 120 MPa na haste de aço e 70MPa na chapa de alumínio, determine a máxima 
carga P que pode ser aplicada à barra 
 
 
 Calculamos P para o aço e para o alumínio. O 
menor valor será o máximo carregamento que pode ser 
aplicado. 
 
 
 Em função da tensão de cisalhamento do aço: 
 ߬௔ç௢ = ௉஺ೌç೚ 								→ 								ܲ = ߬௔ç௢ܣ௔ç௢ 							→ 							ܲ = ߬௔ç௢2ߨݎℎ 
 ܲ = (120 × 10଺	ܰ/݉ଶ)(2ߨ0,0075݉× 0,01݉) = 56,55 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 56,55	݇ܰ 
 
 Em função da tensão de cisalhamento do alumínio: 
 ߬஺௟ = ௉஺ಲ೗ 								→ 								ܲ = ߬஺௟ܣ஺௟ 							→ 							ܲ = ߬஺௟2ߨݎℎ 
 ܲ = (70 × 10଺	ܰ/݉ଶ)(2ߨ0,02	݉ × 0,0064	݉) = 56,30 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 56,30	݇ܰ 
 
 O máximo valor de P é: 
 ܲ = 56,30	݇ܰ 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.18 Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de espessura e 225 mm de largura, 
são unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a madeira utilizada rompe por 
cisalhamento ao longo das fibras quando a tensão de cisalhamento média alcança 8 MPa, determine 
a intensidade de P da carga axial que romperá a junta. 
 
 Temos seis áreas de cisalhamento. 
 
 
 
 ߬ = ௉
஺
= ௉
଺஺
	 
 ܲ = ߬6ܣ = (8 × 10଺	ܰ/݉ଶ)(6)(0,012	݉× 0,016	݉)	 
 ܲ =	9216 N 
 ܲ =	9,22 kN 
 
 
 
 
1.19 A força axial na coluna que suporta a viga de madeira mostrada na figura é ܲ = 75	݇ܰ. 
Determine o menor comprimento L admissível para a chapa de contato para que a tensão de contato 
na madeira não exceda 3,0 MPa. 
 
 
 Dados: 
 Largura ݓ = 140	݉݉ = 0,14	݉ 
 ܲ = 75 × 10ଷܰ 
 ߪ௘	௔ௗ௠ = 3,0 × 10଺ܰ/݉ଶ	 
 
 ߪ௘	௔ௗ௠ = ௉஺ = ௉௅௪ 															→ 										ܮ = ௉ఙ೐	ೌ೏೘௪		 
 ܮ = ଻ହ×ଵ଴యே(ଷ,଴×ଵ଴లே/௠మ)(଴,ଵସ	௠) = 0,17857	݉ 
 ܮ = 178,57	݉݉ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.20 Uma carga axial de 40 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira suportada por uma 
base de concreto em solo estável. Determine: 
 a) a tensão de contato máxima na base de concreto, 
 b) o comprimento b da base para o qual a tensão de contato média no solo seja 
145 kPa. 
 
 
a) 
 ܲ = 40	݇ܰ = 40	× 10ଷܰ 
 ߪ௘ = ௉஺ = ௉௅௪ = ସ଴	×ଵ଴యே଴,ଵଶ	௠	×଴,ଵ	௠ = 3,33 × 10ଷܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 3,33	ܯܲܽ	 
 
b) 
 ܲ = 40	݇ܰ = 40	× 10ଷܰ 
 ߪ௘ = ௉஺ = ௉௕మ 													→ 																	ܾ = ට௉ఙ೐ = ට ସ଴	×ଵ଴యேଵସହ	×ଵ଴యே/௠మ = 0,5252		݉ 
ܾ = 525,2		݉݉ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.21 Uma carga axial P é suportada por uma coluna curta ܹ200 × 59	com seção transversal 
de área ܣ = 7650	݉݉ଶ é distribuída a uma fundação de concreto por uma placa quadrada como 
mostra a figura. Sabendo que a tensão normal média na coluna não pode exceder 200 MPa e que a 
tensão de esmagamento na fundação de concreto não deve exceder 20 MPa, determine a dimensão 
ܽ da chapa que proporcionará o projeto mais econômico e seguro. 
 
 Dados: 
 ܣ = 7650	݉݉ଶ = 0,00765	݉ଶ 
 ߪ௠௘ௗ	௖௢௟௨௡௔ = 200 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ߪ௠௘ௗ	௙௨௡ௗ௔çã௢ = 20 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 
 Cálculo de P: 
 ߪ௠௘ௗ	௖௢௟௨௡௔ = ௉஺೎೚೗ೠ೙ೌ 									→ 							ܲ = ߪ௖௢௟௨௡௔ܣ௖௢௟௨௡௔ 
 ܲ = (200 × 10଺	ܰ/݉ଶ)(0,00765	݉ଶ) = 1,53 × 10଺	ܰ/݉ଶ	 
 
 Cálculo de a: 
 ߪ௠௘ௗ	௙௨௡ௗ௔çã௢ = ௉஺೑ೠ೙೏ೌçã೚ = ௉௔మ 
 ܽ = ට ௉ఙ೘೐೏	೑ೠ೙೏ೌçã೚ = ටଵ,ହଷ×ଵ଴ల	ே/௠మଶ଴×ଵ଴ల	ே/௠మ = 0,0765	݉ 
 ܽ = 76,5	݉݉ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.22 Três pranchas de madeira são unidas por uma série de parafusos para formar uma 
coluna. O diâmetro de cada parafuso é 12 mm e o diâmetro interno de cada arruela é 16 mm, um 
pouco maior do que o diâmetro dos furos nas pranchas. Determine o menor diâmetro externo ݀ 
permitido para as arruelas, sabendo que a tensão normal média nos parafusos é de 34 MPa e que a 
tensão de esmagamento entre as arruelas e as pranchas não deve exceder 8 MPa. 
 
 Dados: 
 ݀௣௔௥௔௙ = 12	݉݉ = 0,012	݉ 
 ߪ௠௘ௗ	௣௔௥௔௙ = 34 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ߪ௘ = 8 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ݀௜௡௧	௔௥௥௨௘௟௔ = 16	݉݉ = 0,016	݉ 
 
 Determinando P: 
 
 ߪ௠௘ௗ	௣௔௥௔௙ = ௉஺೛ೌೝೌ೑ = ସ௉గௗమ 									→ 						ܲ = (ఙ೘೐೏	೛ೌೝೌ೑)(గௗమ)ସ = (ଷସ×ଵ଴ల	ே/௠మ)గ(଴,଴ଵଶ	௠మ)ସ 	 
 ܲ = 3,85	× 10ଷܰ 
 
 Determinando ݀௘௫௧	௔௥௥௨௘௟௔: 
 
 ߪ௘ = ௉஺ೌೝೝೠ೐೗ೌ = ସ௉గ(ௗ೐ೣ೟మ ି	ௗ೔೙೟మ ) 										→ 										 ݀௘௫௧ଶ − 	݀௜௡௧ଶ = ସ௉గఙ೐ 
 ݀௘௫௧ଶ = ସ௉గఙ೐ + 	݀௜௡௧ଶ 										→ 										 ݀௘௫௧ = ට ସ௉గఙ೐ + 	݀௜௡௧ଶ = ට ସ(ଷ,଼ହ	×ଵ଴యே)గ(଼×ଵ଴ల	ே/௠మ) + (0,016	݉)ଶ 
 ݀௘௫௧ = 0,02947	݉	 
 ݀௘௫௧ = 29,47	݉݉	 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.23 Uma barra de aço AB de 12 mm de diâmetro está encaixada em um furo redondo 
próximo à extremidade C de uma componente de madeira CD. Para o carregamento mostrado, 
determine: 
 a) a tensão normal média máxima da madeira; 
 b) a distância ܾ para a qual a tensão de cisalhamento média é 620 kPa nas superfícies 
indicadas pelas linhas pontilhadas; e 
 c) a tensão de esmagamento média na madeira. 
 
 
 
 
a) 
 ߪ௠ = ௉஺ = ସ,ହ	×ଵ଴యே଴,଴ଵ଼௠×(଴,଴଻ହ௠ି଴,଴ଵଶ௠) = 3,97 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ߪ௠ = 3,97 × ܯܲܽ 
 
b) 
 ߬ = ௉
஺
= ௉
ଶ௕௧
										→ 											ܾ = ௉
ଶఛ௧
= 	 ସ,ହ	×ଵ଴యே
ଶ(଺ଶ଴×ଵ଴యே/௠మ)(଴,଴ଵ଼௠) = 0,20161	݉									 
 ܾ = 201,61	݉݉ 
 
c) 
 ߪ௘ = ௉ௗ௧ = 	 ସ,ହ	×ଵ଴యே(଴,଴ଵଶ	௠)(଴,଴ଵ଼	௠) = 20,83	× 10ଷܰ/݉ଶ									 
 ߪ௘ = 20,83	ܯܲܽ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.24 O cilindro hidráulico CF, que controla parcialmente a posição da haste DE, foi 
bloqueado na posição mostrada na figura. A barra BD tem 16,0 mm de espessura e está conectada à 
haste vertical por um parafuso com diâmetro de 9,5 mm. Determine: 
 a) a tensão de cisalhamento média no parafuso; e 
 b) a tensão de esmagamento em C na barra BD. 
 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ቀ ସ଺
ଶ଴଴
ቁ = 12,95° 
 Fazendo o equilíbrio de forças na barra BCD. 
 
 
 
 
∑ܯ஼ = 0 (−1,8	݇ܰ cos 75 °)(0,180	݉	ݏ݁݊	20°)− (1,8݇ܰݏ݁݊75°)(0,180݉ܿ݋ݏ20°) + +(ܨ஺஻	ܿ݋ݏ	12,95°)(0,1݉	ܿ݋ݏ	20°)− (ܨ஺஻ 	ݏ݁݊	12,95°)(0,1݉	ݏ݁݊	20°) = 
−	0,02868− 	0,29409 + 0,091579ܨ஺஻ − 0,0076647ܨ஺஻ = 0 
ܨ஺஻ = 	଴,଴ଶ଼଺଼ା଴,ଶଽସ଴ଽ଴,଴଼ଷଽଵସଷ = 3,846	݇ܰ 
 +↑ ∑ܨݕ = 0 
−3,846	݇ܰ cos 12,95° + ܥ௬ − 1,8	݇ܰݏ݁݊	75 = 0 
ܥ௬ = 3,7482 + 1,73867 = 5,487	݇ܰ 
ܥ௬ = 5,487	݇ܰ 
 +→ ∑ܨݔ = 0 
−3,846	݇ܰ	ݏ݁݊	12,95° + 	ܥ௫ + 1,8 cos 75 = 0 
ܥ௫ = 0,862 − 0,466 = 0,396	݇ܰ 
ܥ௫ = 0,396	݇ܰ 
 
ܨ஼ = ඥ(5,487݇ܰ)ଶ + (0,396	݇ܰ)ଶ = 5,501	݇ܰ 
 
a) ߬ = ி
஺
= ସி೎
గௗమ
= ସ×ହ,ହ଴ଵ	×ଵ଴యே
గ(଴,଴଴ଽହ	௠)మ = 
 ߬ = 	77,61	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
߬ = 	77,61	ܯܲܽ 
b) ߪ௘ = ி௧ௗ = ி೎௧ௗ = ହ,ହ଴ଵ	×ଵ଴యே଴,଴ଵ଺	௠×଴,଴଴ଽହ௠ = 
 ߪ௘ = 	36,19	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 	36,19	ܯܲܽ 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.25 Um pino com diâmetro de 6 mm é usado na conexão C do pedal mostrado na figura. 
Sabendo que ܲ = 500	ܰ, determine: 
 a) a tensão de cisalhamento média no pino; 
 b) a tensão de esmagamento nominal no pedal 
em C; e 
 c) a tensão de esmagamento nominal em cada 
lado do suporte em C. 
 
 
Equilíbrio das forças e diagrama de corpo livre. 
 
 
 
 
∑ܯ஼ = 0 
−500	ܰ × 0,3	݉ + ܨ஺஻ × 0,125	݉ = 0 
ܨ஺஻ = ଵହ଴଴,ଵଶହ = 1200	ܰ			(←) 
 +→ ∑ܨݔ = 0 
−1200	ܰ + ܥ௫ = 0 
ܥ௫ = 1200	ܰ			(→) 
 +↑ ∑ܨݕ = 0 
−500	ܰ + ܥ௬ = 0 
ܥ௬ = 500	ܰ			(↑) 
 
ܨ஼ = ඥ(1200	ܰ)ଶ + (500	ܰ)ଶ = 1300	݇ܰ 
 
 
a) ߬ = ி
ଶ஺
= ସி೎
గௗమ
= ସ×ଵଷ଴଴	ே
ଶగ(଴,଴଴଺	௠)మ = 
 ߬ = 	22,99	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
߬ = 	22,99	ܯܲܽ 
b) ߪ௘ = ி௧ௗ = ி೎௧ௗ = ଵଷ଴଴	ே଴,଴଴଺	௠	×	଴,଴଴ଽ	௠ = 
 ߪ௘ = 24,07	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 	24,07	ܯܲܽ 
c) ߪ௘ = ி௧ௗ = ி೎ଶ௧ௗ = ଵଷ଴଴	ேଶ×଴,଴଴ହ	௠	×	଴,଴଴଺	௠ = 
 ߪ௘ = 21,67	 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 	21,67	ܯܲܽ 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.26 Sabendo que uma força P de intensidade 750 N é aplicada ao pedal mostrado na figura, 
determine: 
 a) o diâmetro do pino C para o qual a tensão 
de cisalhamento média no pino é 40 MPa; 
 b) a tensão de esmagamento correspondente no 
pedal em C; e 
 c) a tensão correspondente em cada lado do 
suporte em C. 
 
Equilíbrio das forças e diagrama de corpo livre. 
 
 
 
 
∑ܯ஼ = 0 
−750	ܰ × 0,3	݉ + ܨ஺஻ × 0,125	݉ = 0 
ܨ஺஻ = ଶଶହ଴,ଵଶହ = 1800	ܰ			(←) 
 +→ ∑ܨݔ = 0 
−1800	ܰ + ܥ௫ = 0 
ܥ௫ = 1800	ܰ			(→) 
 +↑ ∑ܨݕ = 0 
−750	ܰ + ܥ௬ = 0 
ܥ௬ = 750	ܰ			(↑) 
 
ܨ஼ = ඥ(1800	ܰ)ଶ + (750	ܰ)ଶ = 1950	݇ܰ 
 
 
a) ߬ = ி
ଶ஺
= ସி೎
గௗమ
						→ 						݀ = ටସி೎
ଶగఛ
 
 ݀ = 	ට ସ×ଵଽହ଴
ଶగସ଴×ଵ଴ల = 5,57	× 10ିଷ݉ 
݀ = 	5,57	݉݉ 
b) ߪ௘ = ி௧ௗ = ி೎௧ௗ = ଵଽହ଴	ே଴,଴଴଺	௠×଴,଴଴ଽ	௠ = 
 ߪ௘ = 36,11	 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 	36,11	ܯܲܽ 
c) ߪ௘ = ி௧ௗ = ி೎ଶ௧ௗ = ଵଽହ଴	ேଶ×଴,଴଴ହ	௠	×	଴,଴଴଺	௠ = 
 ߪ௘ = 32,50	 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 	32,50	ܯܲܽ 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.27 Para a montagem e carregamento do Problema 1.9, determine: 
 a) a tensão de cisalhamento média no pino B; 
 b) a tensão de esmagamento média em B no componente BD; e 
 c) a tensão de esmagamento média em B no componente ABC sabendo que essa 
componente tem uma seção transversal retangular uniforme medindo 10 × 50	݉݉. 
 
 Dados do problema 1.9: 
 - Seção transversal da barra BD = 8 × 36	݉݉ 
 - Diâmetro dos pinos = 16 mm 
 
 Usando a barra ABC como corpo livre e fazendo o 
equilíbrio de forças: 
 
 
 
 ∑ܯ஼ = 0 
 −20	݇ܰ × 0,65	݉ + ܨ஻஽ × 0,4	݉ = 0 
 ܨ஻஽ = ଵଷ	௞ே଴,ସ	௠ = 32,5	݇ܰ			(↓) 
 
a) Perceber que existem duas áreas de cisalhamento no pino. 
 ߬ = ி
ଶ஺
= ସிಳವ
ଶగௗమ
= ସ(ଷଶ,ହ	×ଵ଴యே)
ଶగ(଴,଴ଵ଺	௠)మ = 80,82	× 10ଷܰ/݉ଶ 
߬ = 80,82	ܯܲܽ 
b) Perceber que são duas as barra BD. 
 ߪ௘ = ிଶ௧ௗ = ிಳವଶ௧ௗ = ଷଶ,ହ	×ଵ଴యேଶ×଴,଴଴଼	௠×଴,଴ଵ଺	௠ = 126,95 × 10ଷܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 126,95ܯܲܽ 
c) Agora é apenas uma barra, mas sua espessura é maior. 
 ߪ௘ = ி௧ௗ = ிಳವ௧ௗ = ଷଶ,ହ	×ଵ଴యே଴,଴ଵ଴	௠×଴,଴ଵ଺	௠ = 203,13 × 10ଷܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 203,13ܯܲܽ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.28 Para a montagem e carregamento do Problema 1.10, determine: 
 a) a tensão de cisalhamento média no pino C; 
 b) a tensão de esmagamento média em C no componente BC; e 
 c) a tensão de esmagamento média em B no componente BC. 
 
 Dados do problema 1.10: 
 - Diâmetro dos pinos = 20 mm 
 - ܨ஺஻ = 	32,21	݇ܰ (T) 
 - ܨ஻஼ = 	39,45	݇ܰ (C) 
 
 
a) Há duas seções transversais de cisalhamento. 
 ߬ = ி
ଶ஺
= ସிಳ಴
ଶగௗమ
= ସ(ଷଽ,ସହ	×ଵ଴యே)
ଶగ(଴,଴ଶ଴	௠)మ = 62,79	× 10ଷܰ/݉ଶ 
߬ = 62,79	ܯܲܽ 
 
b) 
 ߪ௘ = ி௧ௗ = ிಳ಴௧ௗ = ଷଽ,ସହ	×ଵ଴యே଴,଴ଵଶ	௠×଴,଴ଶ଴	௠ = 163,38 × 10ଷܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 163,38	ܯܲܽ 
 
c) Na junção B a barra BC possui duas áreas de esmagamento. 
 ߪ௘ = ிଶ௧ௗ = ிಳ಴௧ௗ = ଷଽ,ସହ	×ଵ଴యேଶ×଴,଴ଵଶ	௠×଴,଴ଶ଴	௠ = 81,69 × 10ଷܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 81,69	ܯܲܽ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.29 Dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme são unidos por uma 
emenda colada como mostra a figura. Sabendo que ܲ = 11	݇ܰ, determine as tensões normal e de 
cisalhamento na emenda colada. 
 Dados: 
 ߠ = 45° 
 ܲ = 11	݇ܰ = 11 × 10ଷܰ 
Tensão normal (ߪ): 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
= ൫ଵଵ×ଵ଴యே൯	(௖௢௦	ସହ°)మ
଴,଴଻ହ	௠×଴,ଵହ଴	௠ = 488,89	ܰ/݉ଶ 
 ߪ = 488,89	݇ܲܽ 
Tensão de cisalhamento (߬): 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
= ൫ଵଵ×ଵ଴యே൯(௦௘௡ଽ଴)
ଶ×଴,଴଻ହ	௠×଴,ଵହ଴	௠ = 488,89	ܰ/݉ଶ 
 ߬ = 488,89	݇ܲܽ 
 
1.30 Dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme são unidos por uma 
emenda colada como mostra a figura. Sabendo que a máxima tensão de cisalhamento admissível na 
emenda é 620 kPa, determine: 
 a) a maior carga P que pode ser aplicada com segurança; e 
 b) a tensão de tração correspondente na emenda. 
 Dados: 
 ߠ = 45° 
 ܲ =	? 
 ߬ = 620	݇ܲܽ = 620 × 10ଷ	ܰ/݉ଶ 
a) 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
		→ 		ܲ = ଶఛ஺బ
௦௘௡	ଶఏ
= ଶ×଺ଶ଴×ଵ଴య	ே/௠మ×଴,଴଻ହ௠×଴,ଵହ଴௠
௦௘௡	ଽ଴° = 13,95	× 10ଷܰ 
 ܲ = 13,95	݇ܰ 
b) 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
= ൫ଵଷ,ଽହ×ଵ଴యே൯	(௖௢௦	ସହ°)మ
଴,଴଻ହ	௠×଴,ଵହ଴	௠ = 620,00	ܰ/݉ଶ 
 ߪ = 620,00	݇ܲܽ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.31 A carga P de 6,0 kN é suportada por dois elementos de madeira de seção transversal 
uniforme unidos pela emenda colada mostrada na figura. Determine as tensões normal e de 
cisalhamento na emenda colada. 
 
 Dados: 
 ߠ = 90°− 60° = 30° 
 ܲ = 6,0	݇ܰ = 6,0	 × 10ଷ	ܰ 
Tensão normal (ߪ): 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
= ଺,଴	×ଵ଴య	ே(ୡ୭ୱ ଷ଴°)మ
଴,଴଻଺௠×଴,ଵଶହ௠ = 473,68 × 10ଷ	ܰ/݉ଶ 
 ߪ = 473,68	݇ܲܽ 
Tensão de cisalhamento (߬): 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
= ൫଺,଴×ଵ଴యே൯(௦௘௡଺଴)
ଶ×଴,଴଻଺	௠×଴,ଵଶହ	௠ = 273,48	× 10ଷ	ܰ/݉ଶ 
 ߬ = 273,48	݇ܲܽ 
 
1.32 Dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme são unidos por uma 
emenda colada como mostra a figura. Sabendo que a máxima tensão de tração admissível na 
emenda é 500 kPa, determine: 
 a) a maior carga P que pode ser suportada com segurança; e 
 b) a tensão de cisalhamento correspondente na emenda. 
 
 Dados: 
 ߠ = 90°− 60° = 30° 
 ܲ =? 
 ߪ = 500	݇ܲܽ = 500 × 10ଷ	ܰ/݉ଶ 
a) 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
					→ 						ܲ = ఙ஺బ
௖௢௦మఏ
= ହ଴଴×ଵ଴యே ௠మ⁄ ×଴,଴଻଺௠×଴,ଵଶହ௠
௖௢௦మଷ଴
= 6,33	× 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 6,33	ܰ 
b) 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
	= ଺,ଷଷ	×ଵ଴య	ே(௦௘௡଺଴)
ଶ×଴,଴଻଺×଴,ଵଶହ = 288,66	× 10ଷܰ/݉ଶ 
 ߬ = 2,88,66	݇ܲܽ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.33 Um tubo de aço com 300 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de uma chapa de 
aço com espessura de 6 mm soldada ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 25° com o 
plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que é aplicada ao tubo uma força P axial de 250 kN, 
determine as tensões normal e de cisalhamento nas direções, respectivamente, normal e tangencial à 
solda. 
 Dados: 
 ݀௘௫௧ = 0,300	݉ 
 ݎ௘௫௧ = 0,150	݉	; 							ݐ = 0,006	݉; 									ݎ௜௡௧ = 0,144݉ 
 ߠ = 25° 
 ܲ = 250	݇ܰ = 250 × 10ଷ	ܰ 
 ܣ = ߨ[(ݎ௘௫௧)ଶ − (ݎ௜௡௧)ଶ] = ߨ[(0,150݉)ଶ − (0,144݉)ଶ] = 5,54 × 10ିଷ݉ଶ 
Tensão normal (ߪ): 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
= ଶହ଴×ଵ଴య	ே(ୡ୭ୱ ଶହ°)మ
ହ,ହସ×ଵ଴షయ௠మ = 37,07 × 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ߪ = 37,07	ܯܲܽ 
Tensão de cisalhamento (߬): 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
= ൫ଶହ଴×ଵ଴యே൯(௦௘௡ହ଴)
ଶ×ହ,ହସ×ଵ଴షయ௠మ = 17,28	× 10଺	ܰ/݉ଶ 
 ߬ = 17,28	ܯܲܽ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.34 Um tubo de aço com 300 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de uma chapa de 
aço com espessura de 6 mm soldada ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 25° com o 
plano perpendicularao eixo do tubo. Sabendo que as tensões normal e de cisalhamento máximas 
admissíveis nas direções, respectivamente, normal e tangencial à solda são ߪ = 50	ܯܲܽ	e ߬ =30	ܯܲܽ, determine a intensidade P da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo. 
 Dados: 
 ݀௘௫௧ = 0,300	݉ 
 ݎ௘௫௧ = 0,150	݉	; 							ݐ = 0,006	݉; 									ݎ௜௡௧ = 0,144݉ 
 ߠ = 25° 
 ܲ =	? 
 ܣ = ߨ[(ݎ௘௫௧)ଶ − (ݎ௜௡௧)ଶ] = ߨ[(0,150݉)ଶ − (0,144݉)ଶ] = 5,54 × 10ିଷ݉ଶ 
 
Em função da tensão normal (ߪ): 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
					→ 						ܲ = ఙ஺బ
௖௢௦మఏ
= ହ଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×ହ,ହସ×ଵ଴షయ௠మ
௖௢௦మଶହ
= 337,23	× 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 337,23	݇ܰ 
Em função da tensão de cisalhamento (߬): 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
		→ 		ܲ = ଶఛ஺బ
௦௘௡	ଶఏ
= ଶ×ଷ଴×ଵ଴ల	ே/௠మ×ହ,ହସ×ଵ଴షయ௠మ
௦௘௡	ହ଴° = 433,92	× 10ଷܰ 
 ܲ = 433,92	݇ܰ 
A maior força axial P que pode ser aplicada é 	337,23	݇ܰ. 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.35 Uma carga P de 1000 kN é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura. Determine 
o valor máximo resultante da (a) tensão normal, (b) tensão de cisalhamento. Especifique a 
orientação do plano no qual ocorre cada um desses valores máximos. 
 
 
a) A máxima tensão normal ocorre com ߠ = 0. 
 
 ߪ = ௉௖௢௦మఏ
஺బ
= ଵ×ଵ଴లே×(ୡ୭ୱ଴)మ
଴,ଵହ	௠	×	଴,ଵହ	௠ = 44,44 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ 					(ܥ) 
 ߪ = 44,44	ܯܲܽ					(ܥ) 
a) A máxima tensão de cisalhamento ocorre com ߠ = 45°. 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
= ଵ×ଵ଴లே×௦௘௡	ଽ଴°
ଶ	×	଴,ଵହ	௠	×	଴,ଵହ	௠ = 22,22	× 10଺ܰ/݉ଶ 
 ߬ = 22,22	ܯܲ 
 
 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.36 Uma carga P centrada é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura. Sabendo que o 
valor máximo resultante da tensão de cisalhamento no bloco é 18 MPa, determine: 
 a) a intensidade de P; 
 b) a orientação da superfície na qual ocorre a tensão 
de cisalhamento máxima; 
 c) a tensão normal que atua na superfície; e 
 d) o valor máximo da tensão normal no bloco. 
 
a) A máxima tensão de cisalhamento ocorre com ߠ = 45°. 
 ߬ = ௉௦௘௡ଶఏ
ଶ஺బ
		→ 		ܲ = ଶఛ஺బ
௦௘௡	ଶఏ
= ଶ×ଵ଼×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×଴,ଵହ	௠	×	଴,ଵହ	௠
௦௘௡	ଽ଴° = 810,00	× 10ଷܰ 
 ܲ = 810,00	݇ܰ 
b) A máxima tensão de cisalhamento ocorre com ߠ = 45°. 
 
c) A tensão normal com ߠ = 45°. 
 ߪସହ° = ௉௖௢௦మఏ஺బ = ଼ଵ଴,଴଴	×ଵ଴యே(ୡ୭ୱ ସହ°)మ଴,ଵହ	௠×଴,ଵହ	௠ = 18 × 10଺ ܰ ݉ଶ⁄ 				(ܥ) 
ߪସହ° = 18 × 10଺ܯܲܽ				(ܥ) 
d) A máxima tensão normal ocorre com ߠ = 0. 
 ߪ଴ = ௉௖௢௦మఏ஺బ = ଼ଵ଴,଴଴	×ଵ଴యே(ୡ୭ୱ ଴)మ଴,ଵହ	௠×଴,ଵହ	௠ = 36 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ 				(ܥ) 
ߪସହ° = 36 × 10଺ܯܲܽ				(ܥ) 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.37 O vínculo AB deve ser feito de um aço para o qual o limite da tensão normal é 450 MPa. 
Determine a área da seção transversal para AB para a qual o coeficiente de segurança seja 3,50. 
Suponha que o vínculo será forçado adequadamente ao redor dos pinos em A e B. 
 
 
 Calculando ܨ஺஻ pelo equilíbrio de forças: 
 
 
 
 ∑ܯ஽ = 0 
 −0,8	݉ × ܨ஺஻ݏ݁݊	35° + 0,4	݉ × 20 × 10ଷܰ + 0,2	݉ × 9,6 × 10ଷܰ = 0 
 ܨ஺஻ = ଴,ସ	௠×ଶ଴×ଵ଴యேା଴,ଶ	௠×ଽ,଺×ଵ଴యே଴,଼	௠	×	௦௘௡	ଷହ° = 21,62 × 10ଷܰ 
 
 ߪ஺஻ = ிಲಳ஺ಲಳ = ఙೠ஼ௌ 													→ 									 ܣ஺஻ = ிಲಳ஼ௌఙೠ = ଶଵ,଺ଶ×ଵ଴యே×ଷ,ହ଴ସହ଴×ଵ଴లே/௠మ = 1,68	× 10ିସ	݉ଶ 
 ߪ஺஻ = 168	݉݉ଶ 
 
 
1.38 O vínculo horizontal BC tem 6,4 mm de espessura, tem uma largura de ݓ = 31,8	݉݉, e 
é feito de um aço que tem um limite de resistência à tração de 450 MPa. Qual é o coeficiente de 
segurança, se a estrutura mostrada é projetada para suportar uma carga ܲ = 45	݇ܰ? 
 
 
 Primeiro fazemos o equilíbrio das forças em D. 
 
 
 
 
 
 ߪ஻஼ = ிಳ಴஺ಳ಴ = ఙೠ஼ௌ 													→ 									ܥܵ = ஺ಳ಴ఙೠிಳ಴ = ଴,଴଴଺ସ	௠	×	଴,଴ଷଵ଼	௠	×ସହ଴	×	ଵ଴లே/௠మ39,97×103 	ܰ 
ܥܵ = 2,29 
 
∑ܯ஽ = 0 
−45 × 10ଷ	ܰ	 × 0,45	݉	ݏ݁݊	30° + ܨ஻஼ × 0,3	݉ × ܿ݋ݏ	30° = 0 
ܨ஻஼ = ସହ×ଵ଴య	ே	×	଴,ସହ	௠	௦௘௡	ଷ଴°଴,ଷ	௠	×	௖௢௦	ଷ଴° = 	39,97 × 10ଷ	ܰ 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.39 O vínculo horizontal BC tem 6,4 mm de espessura e é feito de um aço com um limite de 
resistência à tração de 450 MPa. Qual será a largura w do vínculo, se a estrutura mostrada deve ser 
projetada para suportar uma carga ܲ = 36	݇ܰ com um coeficiente de segurança igual a 3? 
 
 Primeiro fazemos o equilíbrio das forças em D. 
 
 
 
 
 
 ߪ஻஼ = ிಳ಴஺ಳ಴ = ఙೠ஼ௌ 								→ 					 ܣ஻஼ = ிಳ಴஼ௌఙೠ 						→ 				ݓݐ = ிಳ಴஼ௌఙೠ 							→ 				ݓ = ிಳ಴஼ௌ௧ఙೠ 
 ݓ = 31,18×103	ܰ	×	3
଴,଴଴଺ସ	௠	×	ସହ଴	×	ଵ଴లே/௠మ = 0,03248	݉ 
ݓ = 32,48	݉݉ 
 
 
 
 
 
∑ܯ஽ = 0 
−36 × 10ଷ	ܰ	 × 0,45	݉	ݏ݁݊	30° + ܨ஻஼ × 0,3	݉ × ܿ݋ݏ	30° = 0 
ܨ஻஼ = ଷ଺×ଵ଴య	ே	×	଴,ସହ	௠	௦௘௡	ଷ଴°଴,ଷ	௠	×	௖௢௦	ଷ଴° = 	31,18 × 10ଷ	ܰ 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.40 Um aro em forma de losango de aço ABCD com comprimento de 1,2 m e com 10 mm 
de diâmetro é colocado envolvendo uma barra de alumínio AC com 24 mm de diâmetro, conforme 
mostra a figura. São usados os cabos BE e DF, cada um com 12 mm de diâmetro, para aplicar a 
carga Q. Sabendo que o limite de resistência do aço usado para o laço e os cabos é 480 MPa e para 
o alumínio é 260 MPa, determine a máxima carga Q que pode ser aplicada quando se adota um 
coeficiente de segurança 3 para todos os elementos. 
 Escolhendo a junção B do conjunto como um corpo livre e 
considerando a simetria 
 
 
 
 
 
 Escolhendo a junção A do conjunto como um corpo livre e 
considerando a simetria 
 
 
 
 
 
 
 Baseado na tensão máxima suportada pelo cabo: 
 ܳ௨ = ߪ௨ܣ = ସ଼଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴ଵଶ	௠)మସ = 54,29 × 	10ଷܰ 
 Baseado na tensão máxima suportada pelo aro de aço: 
 ܳ௨ = 2ܨ஺஻ݏ݁݊	36,87°,݉ܽݏ							ߪ௎ = ிಲಳೆ஺ 						→ 					ܨ஺஻ೆ = ߪ௎ܣ 
 ܳ௨ = 2ߪ௎ܣݏ݁݊	36,87° = ଶ×ସ଼଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴ଵ	௠)మ×௦௘௡	ଷ଺,଼଻°ସ = 45,24 × 	10ଷܰ	 
 Baseado na tensão máxima suportada pela barra de alumínio: 
 ܳ௨ = ிಲ಴௦௘௡	ଷ଺,଼଻°௖௢௦	ଷ଺,଼଻° , ݉ܽݏ			ߪ௎ = ிಲ಴ೆ஺ 						→ 					 ܨ஺஼ೆ = ߪ௎ܣ 
 ܳ௨ = ఙೆ஺	௦௘௡	ଷ଺,଼଻°௖௢௦	ଷ଺,଼଻° = ଶ଺଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴ଶସ	௠)మ×௦௘௡	ଷ଺,଼଻°ସ	௖௢௦	ଷ଺,଼଻° = 88,22 × 	10ଷܰ	 
 A máxima carga Q que pode ser aplicada considerando o CS indicado é: 
 ܳ = ொೠ
஼ௌ
= ସହ,ଶସ	×	ଵ଴యே	
ଷ
= 15,08 × 	10ଷܰ	 
 ܳ = 15,08 × 	10ଷܰ	 
ܨ஺஻ݏ݁݊	36,87° + ܨ஻஼ݏ݁݊	36,87°− ܳ = 0 
Mas ܨ஺஻ = ܨ஻஼, logo: 2ܨ஺஻ݏ݁݊	36,87°− ܳ = 0 
ܨ஺஻ = ொଶ௦௘௡	ଷ଺,଼଻° 									→ 					ܳ = 2ܨ஺஻ݏ݁݊	36,87° 
ܨ஺஻ܿ݋ݏ	36,87° + ܨ஺஽ܿ݋ݏ	36,87°− ܨ஺஼ = 0 mas ܨ஺஻ = ܨ஺஽, logo: 2ܨ஺஻ܿ݋ݏ	36,87°− ܨ஺஼ = 0 ܨ஺஼ = 2ܨ஺஻ܿ݋ݏ	36,87° 
mas ܨ஺஻ = ொଶ௦௘௡	ଷ଺,଼଻°, logo ܨ஺஼ = 2 ொଶ௦௘௡	ଷ଺,଼଻° ܿ݋ݏ	36,87° 
ܨ஺஼ = ொ௦௘௡	ଷ଺,଼଻° ܿ݋ݏ	36,87°																																ܳ = ிಲ಴௦௘௡	ଷ଺,଼଻°௖௢௦	ଷ଺,଼଻° 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.41 Os componentes AB e BC da treliça mostrada na figura são feitos da mesma liga. Sabe-
se que uma barra de seção quadrada de 20 mm de lado, da mesma liga, foi ensaiada até falhar, e que 
o limite de carga foi de 120 kN. Adotando-se um coeficiente de segurança 3,2 para ambas as barras, 
determine a área necessária da seção transversal da 
 a) barra AB; e 
 b) barra AC. 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ቀ ଴,ସ
଴,଻ହቁ = 28,07° 
 ߮ = ܽݎܿݐ݃	 ቀ଴,଻ହ
ଵ
ቁ = 36,87° 
 ∑ܯ஼ = 0 
 ܣ௫ × 1,4	݉ − 28 × 10ଷܰ × 0,75݉ = 0								 → 			 ܣ௫ = 15 × 10ଷܰ 
 +↑ ∑ܨܻ = 0 
 ܣ௒ − 28 × 10ଷܰ = 0																																									 → 			 ܣ௬ = 28 × 10ଷܰ 
 
 ⥅ ∑ܨܺ = 0 
 ܨ஺஻ܿ݋ݏ28,07°− ܣ௫ = 0																																				 → 			 ܨ஺஻ = 17 × 10ଷܰ 
 +↑ ∑ܨܻ = 0 
 ܣ௒ − ܨ஺஼ − ܨ஺஻ݏ݁݊28,07° = 0																								 → 			 ܨ஺஼ = 20 × 10ଷܰ 
 
 ߪ௎ = ௉ೆ஺೟೐ೞ೟೐ = ଵଶ଴×ଵ଴యே଴,଴ଶ	௠	×	଴,଴ଶ	௠ = 300 × 10଺ܰ/݉ଶ 
a) 
 ߪ஺஻ = ிಲಳ஺ಲಳ = ఙೠ஼ௌ 								→ 					 ܣ஺஻ = ଵ଻×ଵ଴యே×ଷ,ଶଷ଴଴×ଵ଴లே/௠మ = 1,8133 × 10ିସ݉ଶ 
ߪ஺஻ = 181,33	݉݉ଶ 
b) 
 ߪ஺஼ = ிಲ಴஺ಲ಴ = ఙೠ஼ௌ 								→ 					 ܣ஺஼ = ଶ଴×ଵ଴యே×ଷ,ଶଷ଴଴×ଵ଴లே/௠మ = 2,1333 × 10ିସ݉ଶ 
ߪ஺஻ = 213,33	݉݉ଶ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.42 Os componentes AB e BC da treliça mostrada na figura são feitos da mesma liga. Sabe-
se que uma barra de seção quadrada de 20 mm de lado, da mesma liga,foi ensaiada até falhar, e que 
o limite de carga foi de 120 kN. Se a barra AB tem uma área de seção transversal igual a 225	݉݉ଶ, 
determine: 
 a) o coeficiente de segurança da barra AB; e 
 b) a área da seção transversal da barra AC, se ela precisar 
ter o mesmo coeficiente de segurança da barra AB. 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ቀ ଴,ସ
଴,଻ହቁ = 28,07° 
 ߮ = ܽݎܿݐ݃	 ቀ଴,଻ହ
ଵ
ቁ = 36,87° 
 ∑ܯ஼ = 0 
 ܣ௫ × 1,4	݉ − 28 × 10ଷܰ × 0,75݉ = 0								 → 			 ܣ௫ = 15 × 10ଷܰ 
 +↑ ∑ܨܻ = 0 
 ܣ௒ − 28 × 10ଷܰ = 0																																									 → 			 ܣ௬ = 28 × 10ଷܰ 
 
 ⥅ ∑ܨܺ = 0 
 ܨ஺஻ܿ݋ݏ28,07°− ܣ௫ = 0																																				 → 			 ܨ஺஻ = 17 × 10ଷܰ 
 +↑ ∑ܨܻ = 0 
 ܣ௒ − ܨ஺஼ − ܨ஺஻ݏ݁݊28,07° = 0																								 → 			 ܨ஺஼ = 20 × 10ଷܰ 
 
 ߪ௎ = ௉ೆ஺೟೐ೞ೟೐ = ଵଶ଴×ଵ଴యே଴,଴ଶ	௠	×	଴,଴ଶ	௠ = 300 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 
a) 
 ߪ஺஻ = ிಲಳ஺ಲಳ = ఙೠ஼ௌ 								→ 					ܥܵ = ఙೠ஺ಲಳிಲಳ = ଷ଴଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ,ଶହ×ଵ଴షర௠మଵ଻×ଵ଴యே = 3,97 
ܥܵ = 3,97 
b) 
 ߪ஺஼ = ிಲ಴஺ಲ಴ = ఙೠ஼ௌ 								→ 					 ܣ஺஼ = ଶ଴×ଵ଴యே×ଷ,ଽ଻ଷ଴଴×ଵ଴లே/௠మ = 2,6467 × 10ିସ݉ଶ 
ߪ஺஻ = 264,67	݉݉ଶ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.43 Três parafusos de aço devem se usados para fixar a chapa de aço mostrada na figura em 
uma de madeira. Sabendo que a chapa suportará uma carga de 110 kN, que o limite de tensão de 
cisalhamento do aço usado é 360 MPa e que é desejado um coeficiente de segurança 3,35, 
determine o diâmetro necessário para os parafusos. 
 
 ܲ = ଵଵ଴×ଵ଴యே
ଷ	௣௔௥௔௙
= 36,667	× 10ଷܰ/݌ܽݎ݂ܽ 
 ௨ܲ = ܥܵ × ܲ = 3,35 × 36,667	× 10ଷܰ = 
 
 ߬௨ = ௉ೠ஺ = ସ௉ೠగௗమ 
 ݀ = ටସ௉ೠ
గఛೠ
= ඨସ×ଵଶଶ,଼ଷ×ଵ଴యே
గ×ଷ଺଴×భబలಿ
೘మ
= 20,8 × 10ିଷ݉	 
	݀ = 20,8	݉݉	 
 
 
 
 
1.44 Três parafusos de aço com 18 mm de diâmetro devem ser usados para fixar a chapa de 
aço mostrada na figura em uma viga e madeira. Sabendo que a chapa suportará uma carga de 110 
kN e que o limite da tensão de cisalhamento do aço usado é 360 MPa, determine o coeficiente de 
segurança para esse projeto. 
 
 ܲ = ଵଵ଴×ଵ଴యே
ଷ	௣௔௥௔௙
= 36,667	× 10ଷܰ/݌ܽݎ݂ܽ 
 
 ௨ܲ = ܣ߬௨ = గସ ݀ଶ߬௨ = గସ (0,018݉)ଶ × 360 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ௨ܲ = 91,61 × 10ଷܰ 
 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ଽଵ,଺ଵ×ଵ଴యே
ଷ଺,଺଺଻	×ଵ଴యே = 2,50 
ܥܵ = 2,50 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.45 Duas chapas, cada uma com 3,2 mm de espessura, são usadas para emendar uma tira 
plástica conforme mostra a figura. Sabendo que o limite da tensão de cisalhamento da junção entre 
as superfícies é de 900 kPa, determine o coeficiente de segurança com relação ao cisalhamento, 
quando se aplica ܲ = 1,4	݇ܰ. 
 
 
 
 São duas chapas coladas, uma de cada lado da tira plástica. 
 Apenas metade de cada chapa é colada à extremidade de cada tira plástica. 
 ௨ܲ = 2ܣ߬௨ = 2 × ቂ(0,057݉ × 0,016݉) + ቀଵଶ × 0,057݉ × 0,019݉ቁቃ × 900 × 10ଷܰ/݉ଶ 
 ௨ܲ = 2,616 × 10ଷܰ 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ଶ,଺ଵ଺×ଵ଴యே
ଵ,ସ×ଵ଴యே = 1,87 
 ܥܵ = 1,87 
 
 
 
 
1.46 Dois elementos de madeira com seção transversal retangular uniforme medindo 90	݉݉ × 140	݉݉ são unidos por uma emenda colada como mostra a figura. Sabendo que a tensão 
de cisalhamento máxima admissível na emenda colada é de 520 kPa, determine a máxima carga 
axial P que pode ser aplicada com segurança. 
 
 
 ߠ = 90°− 20° = 70° 
 ߬ = ௉	௦௘௡	ଶఏ
ଶ஺బ
							→ 								ܲ = ଶ	஺బ 	ఛ
௦௘௡	ଶఏ
 
 ܲ = ଶ	×	଴,଴ଽ	௠	×଴,ଵସ	௠	×ହଶ଴	×ଵ଴యே/௠మ
௦௘௡	ଵସ଴
= 20,39 × 10ଷܰ 
ܲ = 20,39 × 10ଷܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.47 Uma carga P é aplicada em um pino de aço que foi inserido em um elemento de 
madeira curo preso em um teto, como mostra a figura. O limite de resistência à tração da madeira 
usada é 60 MPa e 7,5 MPa em cisalhamento, enquanto o limite de resistência do aço é 145 MPa em 
cisalhamento. Sabendo que ܾ = 40	݉݉, ܿ = 55	݉݉, e ݀ = 12	݉݉, determine a carga P se um 
coeficiente de segurança de 3,2 for adotado para a estrutura toda. 
 
 Baseado na tensão de cisalhamento no pino 
 ௎ܲ = 2ܣ߬௨ = ଶగௗమఛೠସ = ଶగ×(଴,଴ଵଶ	௠)మ×ଵସହ×ଵ଴లே/௠మସ 
 ௎ܲ = 32,8 × 10ଷܰ 
 
 Baseado na tensão normal de tração na madeira 
 ௎ܲ = ܣߪ௨ = 0,04݉× (0,04݉− 0,012݉) × 60 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ௎ܲ = 67,2 × 10ଷܰ 
 
 Baseado na tensão de cisalhamento na madeira 
 ௎ܲ = 2ܣ߬௨ = 2 × 0,04݉ × 0,055	݉ × 7,5 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ௎ܲ = 33,0 × 10ଷܰ 
 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
						→ 								ܲ = ௉ೠ
஼ௌ
= ଷଶ,଼×ଵ଴యே
ଷ,ଶ = 10,25 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 10,25 × 10ଷ	ܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.48 Para o suporte do Problema 1.47, sabendo que o diâmetro do pino é ݀ = 16	݉݉ e que a 
intensidade da carga é ܲ = 20	݇ܰ, determine: 
 a) o coeficiente de segurança para o pino; e 
 b) os valores necessário de b e c, se o coeficiente de segurança para os elementos de 
madeira for o mesmo que o encontrado na parte a para o pino. 
 
 Dados do Problema 1.47: 
 ߬௨	௔ç௢ = 145 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ߬௨	௠௔ௗ௘௜௥௔ = 7,5 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ߪ௨	௠௔ௗ௘௜௥௔ = 60 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 
 Com os dados que possuímos, podemos calcular ௨ܲ através do cisalhamento do aço. 
 ߬ = ௉
ଶ஺
										→ 										 ߬௨	௔ç௢ = ௉ೠଶ஺ 									→ 										 ௨ܲ = ߬௨	௔ç௢2ܣ 
 ௨ܲ = ଵସହ×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴ଵ଺	௠)మସ = 58,31	× 10ଷ	ܰ 
 
a) 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ହ଼,ଷଵ	×ଵ଴య	ே
ଶ଴	×	ଵ଴య 	ே = 2,915 
ܥܵ = 2,915 
 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.49 Uma chapa de aço de 8,0 mm de espessura está encaixada em um bloco horizontal de 
concreto e é usada para ancorar um cabo vertical de alta resistência, conforme mostra a figura. O 
diâmetro do furo na chapa é de 19,0 mm, o limite de resistência do aço utilizado é 250 MPa, e o 
limite da tensão de aderência entre a chapa e o concreto é 2,0 MPa. Sabendo que se deseja um 
coeficiente de segurança de 3,60 quando ܲ = 10	݇ܰ, determine, desprezando a tensão normal entre 
o concreto e a extremidade inferior a placa: 
 a) a largura a necessária para a chapa; 
 b) a dimensão b mínima com que a placa deve ser 
encaixada no bloco de concreto. 
 
a) 
 ߪ௨ = ௉ೠ஺ 				→ 				ܥܵ = ௉ೠ௉ 						→ 						ܥܵ = ఙೠ஺௉ = ఙೠ(௔ି଴,଴ଵଽ௠)௧௉ 
 ܥܵ = ఙೠ(௔ି଴,଴ଵଽ௠)௧
௉
							→ 						ܽ = ஼ௌ×௉
௧×ఙೠ + 0,019݉ 
 ܽ = ଷ,଺଴×ଵ଴×ଵ଴య	ே/௠మ
଴,଴଴଼	௠×ଶହ଴×ଵ଴లே/௠మ + 0,019݉ = 0,037	݉ 
ܽ = 37,0	݉݉ 
b) 
 ߬௨ = ௉ೠ஺ 						→ 						 ௨ܲ = ߬௨2ܣ = ߬௨2(0,008݉× ܾ + 0,037݉ × ܾ)							 
 ௨ܲ = ߬௨2ܾ(0,008	݉ + 0,037	݉) 									→ 							 ௨ܲ = 0,09	݉	 × 	߬௨ 	× 	ܾ 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ଴,଴ଽ௠	×	ఛೠ	×	௕	
௉
												→ 															ܾ = ௉	×	஼ௌ
଴,଴ଽ௠	×	ఛೠ = ଵ଴×ଵ଴య	ே/௠మ×ଷ,଺଴,଴ଽ	௠	×	ଶ×ଵ଴లே/௠మ 
 ܾ = ଵ଴×ଵ଴య	ே/௠మ×ଷ,଺
଴,଴ଽ௠	×	ଶ×ଵ଴లே/௠మ = 0,2	݉ 
ܾ = 200	݉݉ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.50 Determine o coeficiente de segurança para o cabo de ancoragem do Problema 1.49 
quando ܲ = 14	݇ܰ, sabendo que ܽ = 50	݉݉ e ܾ = 190	݉݉. 
 
 Dados do Problema 1.49: 
 ߪ௨ = 250 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ߬௨ = 2 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 
 Baseado na tensão normal na placa: 
 ߪ௨ = ௉ೠ஺ 				→ 				 ௨ܲ = ߪ௨ܣ	 
 ௨ܲ = 0,008	݉	 × (0,050	݉ − 0,019	݉) × 250 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ௨ܲ = 82 × 10ଷܰ 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ଼ଶ	×	ଵ଴యே	
ଵସ	×	ଵ଴యே = 5,86 
 
 Baseado na tensão de cisalhamento entre a placa e o concreto: 
 ߬௨ = ௉ೠ஺ 					→ 				 ௨ܲ = ߬௨ܣ = 2 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ × 2[(0,05݉ × 0,19	݉) + (0,19 × 0,008)] 
 ௨ܲ = 	44,08	ܰ 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ସସ,଴଼	×	ଵ଴యே	
ଵସ	×	ଵ଴యே = 3,15 
 
 O coeficiente de segurança é o menor valor. 
 ܥܵ = 3,15 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.51 A barra AC é feita de um aço com um limite de tensão normal igual a 450 MPa e tem uma seção 
transversal retangular uniforme de 6,4	× 12,7	݉݉. Ela está conectada a um suporte em A e à componente BCD em 
C por pinos com diâmetro de 9,5 mm, enquanto a componente BCD está conectada a seu suporte em B por um pino 
com diâmetro de 8,0 mm; todos os pinos são feitos de um aço com um limite de tensão de cisalhamento igual a 172 
MPa estão sujeitos a corte simples. Sabendo que se deseja um coeficiente de segurança de 3,25, determine a maiorcarga P que pode ser aplicada em D. 
 
Usando a barra BCD como corpo livre. 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ቀଶ଴଴
ଵହ଴
ቁ = 53,13° 
 ∑ܯ஻ = 0 
 ܨ஺஼ݏ݁݊	53,13 × 0,15݉− ܲ × 0,25	݉ = 0						 → 			ܲ = 0,48ܨ஺஼ 					→ 			 ܨ஺஼ = 2,083ܲ 
 ⥅ ∑ܨݔ = 0 
 ܤ௫ − ܨ஺஼ܿ݋ݏ	53,13 = 0								 → 					 ܤ௫ − 2,083ܲܿ݋ݏ	53,13 = 0				 → 			 ܤ௫ = 1,25	ܲ	(→) 
 ∑ܯ஼ = 0 
 −ܤ௬ × 0,15	݉ − ܲ × 0,1	݉ = 0									 → 											ܤ௬ = −0,667	ܲ		(↓) 
 
ܤ = ඥ(1,25	ܲ)ଶ + (0,667	ܲ)ଶ	 = ඥ(1,25ଶ + 0,667ଶ)ܲଶ = 1,4168ܲ								 → 								ܲ = 0,7058ܤ 
 
Temos, então: ܲ = 0,48ܨ஺஼ e ܲ = 0,7058ܤ 
Cisalhamento nos pinos em A e C: 
 ܨ஺஼ = ߬ܣ = ఛೠగௗమସ஼ௌ = ଵ଻ଶ×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴଴ଽହ	௠)మସ×ଷ,ଶହ = 3,75	× 10ଷ	ܰ 
Tensão normal na barra AC: 
 ܨ஺஼ = ߪܣ = ఙೠ஺஼ௌ = ସହ଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×଴,଴଴଺ସ	௠×(଴,଴ଵଶ௠ି଴,଴଴ଽହ௠)ଷ,ଶହ = 2,22	× 10ଷܰ 
Usamos a menor ܨ஺஼, que é = 2,22	× 10ଷܰ. 
 ܲ = 0,48ܨ஺஼ 												→ 																	ܲ = 0,48 × 	2,22		× 10ଷ	ܰ = 1,06 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 1,06 × 10ଷ	ܰ 
Cisalhamento no pino em B: 
 ܤ = ߬ܣ = ఛೠగௗమ
ସ஼ௌ
= ଵ଻ଶ×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴଴଼	௠)మ
ସ×ଷ,ଶହ = 2,66	× 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 0,7058ܤ																																		ܲ = 0,7058 × 2,66	× 10ଷ	ܰ = 1,88 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 1,88 × 10ଷ	ܰ 
A maior carga que pode ser aplicada em P é: 
ܲ = 1,06 × 10ଷ	ܰ 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.52 Resolva o problema 1.51 supondo que a estrutura tenha sido reprojetada para usar pinos 
de 8,0 mm de diâmetro em A e C, bem como em B, e que nenhuma outra alteração foi feita. 
 
 
Usando a barra BCD como corpo livre. 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ቀଶ଴଴
ଵହ଴
ቁ = 53,13° 
 ∑ܯ஻ = 0 
 ܨ஺஼ݏ݁݊	53,13 × 0,15݉− ܲ × 0,25	݉ = 0						 → 			ܲ = 0,48ܨ஺஼ 					→ 			 ܨ஺஼ = 2,083ܲ 
 ⥅ ∑ܨݔ = 0 
 ܤ௫ − ܨ஺஼ܿ݋ݏ	53,13 = 0								 → 					 ܤ௫ − 2,083ܲܿ݋ݏ	53,13 = 0				 → 			 ܤ௫ = 1,25	ܲ	(→) 
 ∑ܯ஼ = 0 
 −ܤ௬ × 0,15	݉ − ܲ × 0,1	݉ = 0									 → 											ܤ௬ = −0,667	ܲ		(↓) 
 
ܤ = ඥ(1,25	ܲ)ଶ + (0,667	ܲ)ଶ	 = ඥ(1,25ଶ + 0,667ଶ)ܲଶ = 1,4168ܲ								 → 								ܲ = 0,7058ܤ 
 
Temos, então: ܲ = 0,48ܨ஺஼ e ܲ = 0,7058ܤ 
Cisalhamento nos pinos em A e C: 
 ܨ஺஼ = ߬ܣ = ఛೠగௗమସ஼ௌ = ଵ଻ଶ×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴଴଼	௠)మସ×ଷ,ଶହ = 2,66	× 10ଷ	ܰ 
Tensão normal na barra AC: 
 ܨ஺஼ = ߪܣ = ఙೠ஺஼ௌ = ସହ଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×଴,଴଴଺ସ	௠×(଴,଴ଵଶ௠ି଴,଴଴଼	௠)ଷ,ଶହ = 3,54	× 10ଷܰ 
Usamos a menor ܨ஺஼, que é = 2,66	× 10ଷܰ. 
 ܲ = 0,48ܨ஺஼ 												→ 																	ܲ = 0,48 × 	2,66		× 10ଷ	ܰ = 1,28 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 1,28 × 10ଷ	ܰ 
Cisalhamento no pino em B: 
 ܤ = ߬ܣ = ఛೠగௗమ
ସ஼ௌ
= ଵ଻ଶ×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×	గ	×(଴,଴଴଼	௠)మ
ସ×ଷ,ଶହ = 2,66	× 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 0,7058ܤ																																		ܲ = 0,7058 × 2,66	× 10ଷ	ܰ = 1,88 × 10ଷ	ܰ 
 ܲ = 1,88 × 10ଷ	ܰ 
A maior carga que pode ser aplicada em P é: 
ܲ = 1,28 × 10ଷ	ܰ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.53 Na estrutura mostrada, é usado um pino de 8 mm de diâmetro em A, e pinos de 12 mm 
de diâmetro em B e D. Sabendo que o limite da tensão de cisalhamento é 100 MPa em todas as 
conexões e que o limite da tensão normal é 250 MPa em cada um dos dois vínculos que conectam B 
e D, determine a carga P admissível se for adotado um coeficiente global de segurança de 3,0. 
 ∑ܯ஻ = 0 
 0,2	ܨ஺ − 0,18ܲ = 0 
 ܲ = 1,11	ܨ஺ 
 ∑ܯ஺ = 0 
 0,2	ܨ஻஽ − 0,38ܲ = 0 
 ܲ = 0,526	ܨ஻஽ 
 
 Baseado na dupla seção de cisalhamento no pino A. 
 ߬௨ = ௉ೠଶ஺ = ிಳವ×஼ௌଶ஺ 							→ 						 ܨ஻஽ = ఛೠଶ஺஼ௌ = ଵ଴଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴଴଼	௠)మସ×ଷ,଴ = 3,35	× 10ଷܰ 
 ܲ = 1,11	ܨ஺ 															→ 													ܲ = 1,11 × 3,35	× 10ଷܰ = 3,72	× 10ଷܰ 
 ܲ = 3,72	× 10ଷܰ 
 
 Baseado na dupla seção de cisalhamento nos pino B e D. 
 ߬௨ = ௉ೠଶ஺ = ிಲ×஼ௌଶ஺ 							→ 						 ܨ஺ = ఛೠଶ஺஼ௌ = ଵ଴଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴ଵଶ	௠)మସ×ଷ,଴ = 7,54	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,526	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,526 × 7,54	× 10ଷܰ = 3,97	× 10ଷܰ 
 ܲ = 3,97	× 10ଷܰ 
 
 Baseado na tensão normal na barra BD (compressão). 
 ߪ௨ = ௉ೠ஺ = ிಳವ×஼ௌ஺ 	 
 ܨ஻஽ = ఙೠ஺஼ௌ = ଶହ଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×ଶ×଴,଴଴଼	௠×଴,ଶ	௠)ଷ,଴ = 26.67	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,526	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,526 × 10.67	× 10ଷܰ = 14,03	× 10ଷܰ 
 ܲ = 14,03	× 10ଷܰ 
 
 A carga P admissível é 3,72	× 10ଷܰ 
 ܲ = 3,72	× 10ଷܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.54 Em um projeto alternativo para a estrutura do Problema 1.53, deve ser usado um pino de 
10 mm de diâmetro em A. Supondo que todas as outras especificações permaneçam inalteradas, 
determine a carga P admissível se for adotado um coeficiente global de segurança de 3,0. 
 ∑ܯ஻ = 0 
 0,2	ܨ஺ − 0,18ܲ = 0 
 ܲ = 1,11	ܨ஺ 
 ∑ܯ஺ = 0 
 0,2	ܨ஻஽ − 0,38ܲ = 0 
 ܲ = 0,526	ܨ஻஽ 
 
 Baseado na dupla seção de cisalhamento no pino A. 
 ߬௨ = ௉ೠଶ஺ = ிಳವ×஼ௌଶ஺ 							→ 						 ܨ஻஽ = ఛೠଶ஺஼ௌ = ଵ଴଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴ଵ଴	௠)మସ×ଷ,଴ = 5,24	× 10ଷܰ 
 ܲ = 1,11	ܨ஺ 															→ 													ܲ = 1,11 × 5,24	× 10ଷܰ = 5,81	× 10ଷܰ 
 ܲ = 5,81	× 10ଷܰ 
 
 Baseado na dupla seção de cisalhamento nos pino B e D. 
 ߬௨ = ௉ೠଶ஺ = ிಲ×஼ௌଶ஺ 							→ 						 ܨ஺ = ఛೠଶ஺஼ௌ = ଵ଴଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴ଵଶ	௠)మସ×ଷ,଴ = 7,54	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,526	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,526 × 7,54	× 10ଷܰ = 3,97	× 10ଷܰ 
 ܲ = 3,97	× 10ଷܰ 
 
 Baseado na tensão normal nas duas barras BD (compressão). 
 ߪ௨ = ௉ೠଶ஺ = ிಳವ×஼ௌଶ஺ 	 
 ܨ஻஽ = ఙೠ஺஼ௌ = ଶହ଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×ଶ×଴,଴଴଼	௠×଴,଴ଶ	௠)ଷ,଴ = 26.67	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,526	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,526 × 10.67	× 10ଷܰ = 14,03	× 10ଷܰ 
 ܲ = 14,03	× 10ଷܰ 
 
 A carga P admissível é 3,97	× 10ଷܰ 
 ܲ = 3,97	× 10ଷܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.55 Na estrutura de aço mostrada na figura, é usado um pino de 6 mm de diâmetro e C e são 
usados pinos de 10 mm de diâmetro em B e D. O limite da tensão de cisalhamento é 150 MPa em 
todas as conexões, e o limite da tensão normal é 400 MPa na barra BD. Sabendo que se deseja um 
coeficiente de segurança de 3,0, determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Note que a 
barra BD não é reforçada ao redor dos furos dos pinos. 
 ∑ܯ஼ = 0 
 ܲ × 0,28	݉ − ܨ஻஽ × 0,12݉ = 0 
 ܲ = 0,42857	ܨ஻஽ 
 ∑ܯ஻ = 0 
 ܲ × 0,16	݉ − ܨ஼ × 0,12݉ = 0 
 ܲ = 0,75	ܨ஼ 
 
Estudo da tensão normal na barra BD (tração). 
 ߪ௨ = ௉ೠ஺ = ிಳವ×஼ௌ஺ 	 
 ܨ஻஽ = ఙೠ஺஼ௌ = ସ଴଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×଴,଴଴଺௠×(଴,଴ଵ଼	௠ି଴,଴ଵ	௠)ଷ,଴ = 6,4	 × 10ଷܰ 
 ܲ = 0,42857	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,42857 × 6,4	× 10ଷܰ = 2,74	× 10ଷܰ 
 ܲ = 2,74	× 10ଷܰ 
Estudo da tensão de cisalhamento nos pinos B e D (cisalhamento simples). 
 ߬௨ = ௉ೠ஺ = ிಳವ×஼ௌ஺ 							→ 						 ܨ஻஽ = ఛೠ஺஼ௌ = ଵହ଴×ଵ଴లே/௠మ×గ×(଴,଴ଵ଴	௠)మସ×ଷ,଴ = 3,93	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,42857	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,42857 × 3,93	× 10ଷܰ = 1,68	× 10ଷܰ 
 ܲ = 1,68	× 10ଷܰ 
Estudo da tensão de cisalhamento no pinos C (cisalhamento duplo). 
 ߬௨ = ௉ೠଶ஺ = ி಴×஼ௌଶ஺ 							→ 						 ܨ஼ = ఛೠଶ஺஼ௌ = ଵହ଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴଴଺	௠)మସ×ଷ,଴ = 2,83	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,75	ܨ஼ 															→ 													ܲ = 0,75 × 2,83	× 10ଷܰ = 2,12	× 10ଷܰ 
 ܲ = 2,12	× 10ଷܰ 
 
 A carga P admissível é 1,68	× 10ଷܰ 
 ܲ = 1,68	× 10ଷܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.56 Resolva o problema 1.55 supondo que a estrutura foi reprojetada para usar pinos com 
diâmetro de 12 mm em B e D e nenhuma outra alteração foi feita. 
 ∑ܯ஼ = 0 
 ܲ × 0,28	݉ − ܨ஻஽ × 0,12݉ = 0 
 ܲ = 0,42857	ܨ஻஽ 
 ∑ܯ஻ = 0 
 ܲ × 0,16	݉ − ܨ஼ × 0,12݉ = 0 
 ܲ = 0,75	ܨ஼ 
 
Estudo da tensão normal na barra BD (tração). 
 ߪ௨ = ௉ೠ஺ = ிಳವ×஼ௌ஺ 	 
 ܨ஻஽ = ఙೠ஺஼ௌ = ସ଴଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×଴,଴଴଺௠×(଴,଴ଵ଼	௠ି଴,଴ଵଶ	௠)ଷ,଴ = 4,8	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,42857	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,42857 × 4,8	× 10ଷܰ = 2,06	× 10ଷܰ 
 ܲ = 2,06	× 10ଷܰ 
Estudo da tensão de cisalhamento nos pinos B e D (cisalhamento simples). 
 ߬௨ = ௉ೠ஺ = ிಳವ×஼ௌ஺ 							→ 						 ܨ஻஽ = ఛೠ஺஼ௌ = ଵହ଴×ଵ଴లே/௠మ×గ×(଴,଴ଵଶ	௠)మସ×ଷ,଴ = 5,65	× 10ଷܰ 
 ܲ = 0,42857	ܨ஻஽ 															→ 													ܲ = 0,42857 × 5,65	× 10ଷܰ = 2,42	× 10ଷܰ 
 ܲ = 2,42	× 10ଷܰ 
Estudo da tensão de cisalhamento no pinos C (cisalhamento duplo). 
 ߬௨ = ௉ೠଶ஺ = ி಴×஼ௌଶ஺ 							→ 						 ܨ஼ = ఛೠଶ஺஼ௌ = ଵହ଴×ଵ଴లே/௠మ×ଶ×గ×(଴,଴଴଺	௠)మସ×ଷ,଴ = 2,83	× 10ଷܰܲ = 0,75	ܨ஼ 															→ 													ܲ = 0,75 × 2,83	× 10ଷܰ = 2,12	× 10ଷܰ 
 ܲ = 2,12	× 10ଷܰ 
 
 A carga P admissível é 2,06	× 10ଷܰ 
 ܲ = 2,06	× 10ଷܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.57 Deve ser usado o Método do Coeficiente de Projeto para Carga e Resistência, para 
selecionar os dois cabos a serem utilizados para subir e descer uma plataforma com dois operários 
lavadores de janelas. A plataforma pesa 710 N e supõe-se que cada um dos lavadores pesa 870 N 
incluindo seus equipamentos. Como os operários podem andar livremente na plataforma, 75% do 
peso total deles e de seus equipamentos será usado como carga externa de projeto para cada cabo. 
 a) Supondo um coeficiente de resistência ∅ = 0,85 e 
coeficientes de carga ߛ௉ = 1,2 e ߛா = 1,5, determine o limite mínimo de 
carga necessário a um cabo. 
 b) Qual é o coeficiente de segurança convencional para os 
cabos selecionados? 
 
a) 
 ߛ௉ ௉ܲ + ߛா ாܲ = ∅ ௎ܲ 							→ 								 ௎ܲ = ఊು௉ುାఊಶ௉ಶ∅ 
 ௎ܲ = (ଵ,ଶ×଴,ହ×଻ଵ଴	ே)ା(ଵ,ହ×ଶ×଴,଻ହ×଼଻଴	ே)଴,଼ହ = 2,80 × 10ଷܰ 
 ௎ܲ = 2,80 × 10ଷܰ 
 
b) 
 ܲ = ௉ܲ + ாܲ = (0,5 × 710	ܰ) + (2 × 0,75 × 870	ܰ) = 1,66 × 10ଷܰ 
 ܥܵ = ௉ೆ
௉
= ଶ,଼଴×ଵ଴యே
ଵ,଺଺×ଵ଴యே = 1,688 
 ܥܵ = 1,688 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.58 Uma plataforma de 40 kg esta presa à extremidade B por uma barra AB de madeira, de 
50 kg, suportada, conforme mostra a figura, por um pino em A e por uma barra esbelta de aço BC 
com um limite de carga de 12 kN. 
 a) Usando o Método do Coeficiente de Projeto para Carga e Resistência, com um 
coeficiente de resistência ∅ = 0,90 e coeficientes de carga ߛ௉ = 1,25 e ߛா = 1,6, determine a 
maior carga que pode ser colocada com segurança na plataforma. 
 b) Qual é o coeficiente de segurança convencional correspondente para a barra BC? 
 ௉ܲ = 50	݇݃ × 9,806݉ ݏଶ⁄ = 490	ܰ 
 ாܲ = 40	݇݃ × 9,806݉ ݏଶ⁄ = 392	ܰ 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃	 ଵ,଼
ଶ,ସ = 36,87° 
 ∑ܯ஺ = 0 
 (ܨ஻஼ݏ݁݊36,87° × 2,4	݉) − ( ௉ܲ × 1,2	݉) − ( ாܲ × 2,4	݉) = 0 
 ܨ஻஼ = (ସଽ଴	ே×ଵ,ଶ	௠)ା(ଷଽଶ	ே×ଶ,ସ	௠)௦௘௡ଷ଺,଼଻°×	ଶ,ସ	௠ = 1,06	× 10ଷ	ܰ 
a) 
 ߛ௉ ௉ܲ + ߛா ாܲ = ∅ ௎ܲ 
 ாܲ = ∅௉ೆିఊುிಳ಴ఊಶ = ൫଴,ଽ଴×ଵଶ×ଵ଴యே൯ି൫ଵ,ଶହ×ଵ,଴଺	×ଵ଴యே൯ଵ,଺ = 5,92	× 10ଷ	ܰ 
 ாܲ = 5,92	× 10ଷ	ܰ 
b) 
 ܲ = ௉ܲ + ாܲ = ܨ஻஼ + ாܲ = 1,06	 × 10ଷ	ܰ + 5,92	× 10ଷ	ܰ = 6,98	× 10ଷ	ܰ 
 ܥܵ = ௉ೆ
௉
= ଵଶ×ଵ଴యே
଺,ଽ଼	×ଵ଴య	ே = 1,719 
 ܥܵ = 1,719 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.59 Para a ponte em treliça Pratt e carregamento mostrado na figura, determine a tensão 
média no componente BE, sabendo que a área da seção transversal daquele componente é de 3750	݉݉ଶ . 
 Usando a treliça inteira como corpo livre. 
 ߠ = ܽݎܿݐ݃ ଷ
ସ
= 36,87° 
 ∑ܯு = 0 
 ൫−ܣ௬ × 12݉൯ + (360	݇ܰ × 9	݉) + (360	݇ܰ × 6	݉) + (360	݇ܰ × 3	݉) = 0 
 ܣ௬ = 540	 × 10ଷܰ	(↑) 
 Usando o método das seções para resolver a treliça: 
 +↑ ∑ܨ௬ = 0 
 540	݇ܰ − 360	݇ܰ − ܨ஻ாܿ݋ݏ36,87° = 0 
 ܨ஻ா = 225 × 10ଷܰ 
 ߪ஻ா = ிಳಶ஺ಳಶ = ଶଶହ×ଵ଴యேଷ,଻ହ×ଵ଴షయ௠మ = 60 × 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ஻ா = 60	ܯܲܽ 
 
1.60 Sabendo que o vínculo DE tem 25,4 mm de largura e 3,2 mm de espessura, determine a 
tensão normal na parte central daquele vínculo quando: 
 a) ߠ = 0; ݁ 
 b) ߠ = 90° 
a)	ߠ = 0: 
 ∑ܯ஼ = 0 
 −260	ܰ × 0,4	݉ + ܨ஽ா × 0,3݉ = 0 
 ܨ஽ா = ଶ଺଴	ே×଴,ଶ	௠଴,ଷ	௠ = 346,67	ܰ 
 ߪ = ௉
஺
= ிವಶ
஺
= ଷସ଺,଺଻	ே
଴,଴ଶହସ	௠×଴,଴଴ଷଶ	௠ = 4,27 × ଵ଴లே௠మ 																																					ߪ = 4,27	ܯܲܽ 
b) ߠ = 90° 
 ∑ܯ஼ = 0 
 −260	ܰ × 0,2	݉ + ܨ஽ா × 0,3݉ = 0 
 ܨ஽ா = ଶ଺଴	ே×଴,ଶ	௠଴,ଷ	௠ = 173,33	ܰ 
 ߪ = ௉
஺
= ிವಶ
஺
= ଵ଻ଷ,ଷଷ	ே
଴,଴ଶହସ	௠×଴,଴଴ଷଶ	௠ = 2,13 × ଵ଴లே௠మ 																																					ߪ = 2,13	ܯܲܽ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.61 Duas pranchas de madeira, cada uma com 22 mm de espessura e 160 mm de largura, 
são unidas por uma junta de encaixe colada, mostrada na figura. Sabendo que a junta falhará quando 
a tensão de cisalhamento média na cola atingir 820 kPa, determine o menor comprimento d 
admissível do encaixe se a junta precisa suportar uma carga axial de intensidade ܲ = 7,6	݇ܰ. 
 
 São sete as superfícies de colagem. 
 ߬ = ௉
଻஺
								→ 								ܣ = ௉
଻ఛ
								→ 0,022݉× ݀ = ௉
ఛ
 
 ݀ = ௉
଴,଴ଶଶ௠×଻×ఛ = ଻,଺×ଵ଴యே଴,଴ଶଶ×଻×଼ଶ଴×ଵ଴యே/௠మ = 0,06018	݉ 
݀ = 60,18	݉݉ 
 
 
1.62 O vínculo AB, com largura ܾ = 50	݉݉ e espessura ݐ = 6,4	݉݉, é usado para suportar 
a extremidade de uma viga horizontal. Sabendo que a tensão normal média no vínculo é 
−138	ܯܲܽ, e que a tensão de cisalhamento média em cada um dos dois pinos é 82 MPa, determine: 
 a) o diâmetro d dos pinos; e 
 b) a tensão de esmagamento média no vínculo. 
 ߪ = ௉
஺
 
 ܲ = ߪܣ = ߪܾݐ = 138 × 10଺ܰ/݉ଶ × 0,05݉ × 0,0064݉ 
 ܲ = 44,16 × 10ଷܰ 
a) 
 ߬ = ௉
஺
						→ 					ܣ = ௉
ఛ
							→ 							
గௗమ
ସ
= ௉
ఛ
							→ 						݀ = ටସ௉
గఛ
 
 ݀ = ටସ௉
గఛ
= ට ସ×ସସ,ଵ଺×ଵ଴యே
గ×଼ଶ×ଵ଴లே/௠మ = 0,02619	݉ 
݀ = 26,19	݉݉ 
b) 
 ߪ = ௉
௧ௗ
= ସସ,ଵ଺×ଵ଴యே
଴,଴଴଺ସ	௠×଴,଴ଶ଺ଵଽ	௠ = 263,46	× 10ଷܰ/݉ଶ 
ߪ = 263,46	ܯܲܽ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.63 Um sistema constituído de barras e cilindro hidráulico controla a posição dos garfos de 
uma empilhadeira. A carga suportada pelo sistema mostrado na figura é 6600 N. Sabendo que a 
espessura do elemento BD é 16 mm, determine: 
 a) a tensão de cisalhamento média no pino de 13 mm 
de diâmetro em B; e 
 b) a tensão de esmagamento em B no elemento BD. 
 ∑ܯ஻ = 0 
 ܧ௫ × 0,6	݉ − 6600	ܰ × 0,5	݉ = 0 
 = ଺଺଴଴	ே×଴,ହ	௠
଴,଺	௠ = 5500	ܰ	(→) 
 ⥅ ∑ܨ௫ = 0 
 ܧ௫ − ܤ௫ = 0									 ⇒ 										 ܤ௫ = ܧ௫ 									⇒ 											 ܤ௫ = 5500	ܰ	(←) 
 +↑ ∑ܨ௬ = 0 
 ܤ௬ − 6600	ܰ = 0									 ⇒ 								 ܤ௬ = 6600	ܰ(↑) 
 ܤ = ට(ܤ௫)ଶ + ൫ܤ௬൯ଶ = ඥ(5500	ܰ)ଶ + (6600	ܰ)ଶ = 8591	ܰ 
a) 
 ߬ = ௉
஺
= ସ஻
గௗమ
= ସ×଼ହଽଵ	ே
గ×(଴,଴ଵଷ	௠)మ = 64,72	× 10଺ܰ/݉ଶ 
 ߬ = 64,72	ܯܲܽ 
b) 
 ߪ௘ = ௉௧ௗ = ଼ହଽଵ	ே଴,଴ଵ଺	௠	×	଴,଴ଵଷ	௠ = 41,30 × 10଺ܰ/݉ଶ 
ߪ௘ = 41,30	ܯܲܽ 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.64 Determine a maior carga P que pode ser aplicada em A quando ߠ = 60°, sabendo que a 
tensão de cisalhamento média no pino de 10 mm de diâmetro em B não pode exceder 120 MPa, e 
que a tensão de esmagamento média no elemento AB e no suporte em B não deve exceder 90 MPa. 
 O triângulo é isósceles (2 lados de 750 mm), logo 
possui 2 ângulos internos iguais. 
 180°− 60° = 120° (suplementares) 
 180°− 120 = 60/2 = 30	 (soma ângulos internos) 
 Aplicando a Lei dos Senos no triângulo de forças: 
 ௉
௦௘௡ଷ଴° = ிಲಳ௦௘௡	ଵଶ଴° = ிಲ಴௦௘௡	ଷ଴° 
 ܲ = ிಲಳ௦௘௡ଷ଴°
௦௘௡	ଵଶ଴° = 0,57735	ܨ஺஻ 
 ܲ = ிಲ಴௦௘௡ଷ଴°
௦௘௡	ଷ଴° = ܨ஺஼ 
 Considerando crítica a tensão de cisalhamento no pino B; 
 ߬ = ௉
஺
= ிಲಳ
஺
						⇒ 						 ܨ஺஻ = ߬ܣ = ଵଶ଴×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×ଶ×గ×(଴,଴ଵ௠)మସ 
 ܨ஺஻ = 18,85 × 10ଷܰ 
 
 Considerando crítica a tensão de esmagamento no elemento AB; 
 ߪ௘ = ௉௧ௗ = ிಲಳ௧ௗ 								⇒ 									 ܨ஺஻ = ߪ௘ݐ݀ = 90 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ × 0,016	݉× 0,010݉ 
 ܨ஺஻ = 14,40 × 10ଷܰ 
 
 Considerando crítica a tensão de esmagamento no suporte B; 
 ߪ௘ = ௉௧ௗ = ிಲಳ௧ௗ 								⇒ 									 ܨ஺஻ = ߪ௘ݐ݀ = 90 × 10଺ܰ ݉ଶ⁄ × 2 × 0,012	݉ × 0,010݉ 
 ܨ஺஻ = 21,60 × 10ଷܰ 
 
 A maior carga P admissível é a que vai gerar a menor ܨ஺஻, logo: 
 ܲ = 0,57735	ܨ஺஻ 
 ܲ = 0,57735	(14,40 × 10ଷܰ) = 8,31 × 10ଷܰ 
 ܲ = 8,31 × 10ଷܰ 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.65 A carga de 8800 N pode ser movida ao longo da barra BD para qualquer posição entre 
os limites E e F. Sabendo que ߪ௔ௗ௠ = 42	ܯܲܽ para o aço usado nas barra AB e CD, determine 
onde os limites devem ser colocados se o movimento permitido para a carga deve ser o maior 
possível. 
 ܨ஺஻	௠௔௫ = ߪ௔ௗ௠ܣ = ସଶ×ଵ଴ల×గ×଴,଴ଵଶ଻మସ 
 ܨ஺஻	௠௔௫ = 5,32 × 10ଷܰ 
 ܨ஼஽	௠௔௫ = ߪ௔ௗ௠ܣ = ସଶ×ଵ଴ల×గ×଴,଴ଵ଺మସ 
 ܨ஼஽	௠௔௫ = 8,44 × 10ଷܰ 
 
 Usando a barra BEFD para o equilíbrio de forças: 
 ∑ܯ஽ = 0 
 (−ܨ஺஻	௠௔௫ × 1,5	݉) + [ܲ × (1,5	݉ − ݔா)] = 0 
 1,5	݉ − ݔா = ቀிಲಳ	೘ೌೣ×ଵ,ହ௠௉ ቁ 										→ 													 ݔா = 1,5	݉ − ቀிಲಳ	೘ೌೣ×ଵ,ହ	௠௉ ቁ		 
 ݔா = 1,5	݉ − ቀହ,ଷଶ×ଵ଴యே×ଵ,ହ	௠଼଼଴଴	ே ቁ = 0,59	݉ 
 ݔா = 0,59	݉ 
 
 ∑ܯ஻ = 0 
 (ܨ஼஽	௠௔௫ × 1,5	݉) − (× ݔி) = 0 
 ݔி = ி಴ವ	೘ೌೣ×ଵ,ହ	௠௉ = ଼,ସସ×ଵ଴యே	×ଵ,ହ	௠଼଼଴଴	ே = 1,44	݉ 
 
 ݔி = 1,44	݉ 
 
 
 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.66 Dois elementos de madeira de 75	 × 125	݉݉ de seção transversal retangular uniforme 
são unidos por uma junta colada, como mostra a figura. Sabendo que ܲ = 3,6	݇ܰ e que o limite de 
resistência da cola é 1,1 MPa em tração e 1,4 MPa em cisalhamento, determine o coeficiente de 
segurança. 
 ߠ = 90°− 65° = 25° 
Tensão normal 
ߪ = ௉	௖௢௦మఏ
஺బ
= ଷ,଺×ଵ଴యே×(ୡ୭ୱଶହ°)మ
଴,଴଻ହ	௠	×଴,ଵଶହ	௠ = 315,41	× 10ଷܰ/݉ଶ 
ܥܵ = ఙೠ
ఙ
= ଵ,ଵ	×ଵ଴లே/௠మ
ଷଵହ,ସଵ	×ଵ଴యே/௠మ = 3,49 ܥܵ = 3,49 
Tensão de cisalhamento 
߬ = ௉௦௘௡	ଶఏ
ଶ஺బ
= ଷ,଺×ଵ଴యே×௦௘௡	ହ଴°
ଶ×଴,଴଻ହ	௠	×଴,ଵଶହ	௠ = 147,08 × 10ଷܰ/݉ଶ 
ܥܵ = ఛೠ
ఛ
= ଵ,ସ	×ଵ଴లே/௠మ
ଵସ଻,଴଼×ଵ଴యே/௠మ = 9,52 ܥܵ = 9,52 
 
 
1.67 Os dois vínculos verticais CF que conectam os dois elementos horizontais AD e EG têm 
uma seção transversal retangular uniforme de 10 × 40	݉݉ e são feitos com um aço que tem limite 
de resistência em tração de 400 MPa, enquanto os dois pinos em C e F têm um diâmetro de 20 mm 
e são feitos de aço com um limite de resistência em cisalhamento de 150 MPa. Determine o 
coeficiente global de segurança para os vínculos CF e os pinos que os conectam aos elementos 
horizontais. 
 ∑ܯா = 0 
 −24 × 10ଷܰ × 0,65݉ + ܨ஼ி × 0,4݉ = 0 
 ܨ஼ி = ଶସ×ଵ଴యே×଴,଺ହ	௠଴,ସ	௠ = 39 × 10ଷܰ 
 Baseado na tensão normal de tração em CF. 
 ߪ = ௉
஺
= ଷଽ×ଵ଴యே
ଶ×଴,଴ଵ×(଴,଴ସି଴,଴ଶ) = 97,5 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ܥܵ = ఙೠ
ఙ
= ସ଴଴×ଵ଴లே/௠మ
ଽ଻,ହ×ଵ଴లே/௠మ = 4,1 
 Baseado na tensão de cisalhamento nos pino CF. 
 ߬ = ௉
ଶ஺
= ସ×ଷଽ×ଵ଴యே
ଶ×గ×(଴,଴ଶ	௠)మ = 62,07 × 10଺ܰ/݉ଶ 
 ܥܵ = ఙೠ
ఙ
= ଵହ଴×ଵ଴లே/௠మ
଺ଶ,଴଻×ଵ଴లே/௠మ = 2,42 
 O coeficiente de segurança global é 2,42 ܥܵ = 2,42 
 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR 
1.68 Uma força P é aplicada a uma barra de aço encaixada dentro de um bloco de concreto, 
conforme mostra a figura. Determine o menor comprimento L para o qual pode ser desenvolvida a 
tensão normal admissível na barra. Expresse o resultado em termos de diâmetro d da barra, da 
tensão normal admissível ߪ௔ௗ௠ no aço e da tensão média de aderência ߬௔ௗ௠ entre o concreto e a 
superfície cilíndrica da barra. (Despreze as tensões normais entre o concreto e a extremidade da 
barra.) 
 Para o cisalhamento: 
 ߬ = ௉
஺
												⇒ 													ܲ = ߬ܣ = ߬ߨ݀ܮ 
 Para a tensão normal: 
 ߪ = ௉
஺
												⇒ 													ܲ = ߪܣ = ఙగௗమ
ସ
 
 Igualando as duas equações, temos: 
 ߬ߨ݀ܮ = ఙగௗమ
ସ
												⇒ 														ܮ = ఙగௗమ
ସఛగௗ
= ఙௗ
ସఛ
	 ܮ = ఙௗ
ସఛ
 
 
1.69 As duas partes do elemento AB são coladas ao longo de um plano formando um ângulo 
ߠ com a horizontal. Sabendo que o limite de tensão para a junta colada é 18 MPa em tração e 9 MPa 
em cisalhamento, determine, equacionando as expressões obtidas para os coeficientes de segurança 
com respeito às tensões normal e de cisalhamento: 
 a) o valor de ߠ para o qual o coeficiente de segurança 
do elemento seja máximo; e 
 b) o valor correspondente do coeficiente de segurança. 
 
 O ângulo ideal é aquele em que as tensões normal e de cisalhamento são iguais. 
 ߪ௨ = ௉ೠ௖௢௦మఏ஺బ 					→ 					 ௨ܲ;	ఙ = ఙೠ஺బ௖௢௦మఏ 									→ 								ܥܵఙ = ௉ೠ;	഑௉ = ఙೠ஺బ௉௖௢௦మఏ 
 ߬௨ = ௉ೠ௦௘௡ఏ௖௢௦ఏ஺బ 					→ 					 ௨ܲ;	ఛ = ఛೠ஺బ௦௘௡ఏ௖௢௦ఏ 						→ 					 ܥܵఙ = ௉ೠ;	ഓ௉ = ఛೠ஺బ௉௦௘௡ఏ௖௢௦ఏ 
a) Igualando: 
 ఙೠ஺బ
௉௖௢௦మఏ
= ఛೠ஺బ
௉௦௘௡ఏ௖௢௦ఏ
									→ 							 ߪ௨ܣ଴ܲݏ݁݊ߠܿ݋ݏߠ = ߬௨ܣ଴ܲܿ݋ݏଶߠ							 → 							 ௦௘௡ఏ௖௢௦ఏ = ఛೠఙೠ 
 		ݐ݃ߠ = ఛೠ
ఙೠ
								→ 							ߠ = ܽݎܿݐ݃ ቀఛೠ
ఙೠ
ቁ = ܽݎܿݐ݃ ቀ ଽ×ଵ଴ల
ଵ଼×ଵ଴లቁ = 26,57°							 
ߠ = 26,57° 
b) 	 ௨ܲ = ఙೠ஺బ௖௢௦మఏ = ଵ଼×ଵ଴లே ௠మ⁄ ×଴,଴ଷଶ	௠×଴,଴଺଴	௠௖௢௦మଶ଺,ହ଻° = 43,20	× 10ଷܰ 
 ܥܵ = ௉ೠ
௉
= ସଷ,ଶ଴	×ଵ଴యே
ଵ଴	×ଵ଴యே = 4,32																																																																													ܥܵ = 4,32 
Resolução: Nelson Poerschke – Acadêmico Eng Civ UFRR Revisão: João Bosco Pereira Duarte – Prof MSc Eng Civ UFRR Página 61 
Em breve, o capítulo II