Função de transferência e métodos frequenciais - Apostila
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Função de transferência e métodos frequenciais - Apostila

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Vibrações Mecânicas – Resumo
VIBRAÇÕES FORÇADAS EM SISTEMAS
COM 1 GDL – FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA E MÉTODOS
FREQUENCIAIS
Introdução:
Até agora, no nosso estudo, nossa análise de vibrações empregada se baseou em
técnicas temporais. Outra abordagem é analisar vibrações em outros domínios, co mo
no domínio da variável de Laplace s ou no domínio da frequência.
Nestes casos as equações diferenciais ordinárias lineares podem ser descritas de
forma algébrica, além de ser em alguns casos mais fácil se extraírem informações
dinâmicas de um sistema mecânico quando este e stá representado no domínio s ou
j.
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática para mudança de domínios
entre sistemas contínuos. A transformada de Laplace é definida para sistemas lineares
causais e contínuos descritos por uma IRF g(t) como sendo
()= {( )}= 
. (). 
Se aplicarmos a transformada de Laplace na equação do movimento
̈+ 
̇+
 = () com condições iniciais nulas, temos:
().[ . +  . +  ]=  ()
Que podemos organizá-la como uma relação entre sinais de entrada e saída que
fornece a transformada de Laplace da IRF G(s):
G()=  ()
 () = 1
. +  . + 
A função G(s) é frequentemente chamada de função de transferência do sistema e é
uma característica intrínseca do sistema dinâmico em estudo.
Importante fazer algumas observações sobre a função de transferência G(s):
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A função de transferência (FT) é a mesma independente do tipo de exc itação
que foi aplicada.
O conhecimento da FT de um sistema ajuda a descrever a resposta a qualquer
excitação.
O denominador da FT é a já definida equação caraterística.
As raízes do denominador da FT são valores singulares chamados de polos e
para um sistema subamortecido são dados por = − .
± . 
.1
A contrapartida no domínio s de Laplace para a integral de convolução ()=
(). ( ) = ()∗ ( )
é dada por X(s) = H(s)F(s) , ou seja, é poss ível
descrever a resposta de um sistema devido a um sinal qualquer usando uma simples
relação algébrica entre os dados de entrada e saída, em vez de calcular uma integral
de convolução ou mesmo resolver uma equação diferencial.
Esta é uma das grandes vantagens de se trabalhar com transformadas. Note que a
variável s é complexa.
A FT também pode ser descrita em função de n e ξ:
()= 1
+ 2.  .
.  +
Algumas Observações:
Em problemas de engenharia de controle a FT é desc rita apenas como a razão
entre sinais de entrada e saída, sem grande preocupação com as grandezas
física envolvidas nesta razão.
Em problemas de análise de vibrações e dinâmica estrutural é comum se medir
a grandeza física de aceleração ̈ usando acelerômetros.
o Relação entre entrada/saída é dada por . () que é chamada de
inertância.
Vejamos alguns outros tipos de função transferência (FT) que podem ser aplicadas em
dinâmica de estruturas, dependendo do tipo de medida realizada:
Tabela 1: Tipos de Funções Transferência (FT)
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Note que uma vez conhecida a inertância, ou qualquer outra função de transferência,
é possível transformar de uma a outra a partir de multiplicações ou divisões pela
variável de Laplace.
Função de Resposta em Freqüência (FRF)
Do ponto de vista experimental é bastante frequente o uso da transformada de
Fourier. Assim uma vez conhecido o sinal de entrada (excitação) no domínio do tempo
F(t) e considerando um mapeamento da função de transferência G (s) em s = j, sendo
uma frequência que varia em u m intervalo de análise, temos a chamada função de
resposta em frequência (FRF):
(. )= ():
→ ()=
. ()+ .  + =
( − )+ . .
Interessante observar que a FRF G() nada mais é do que a aplicação da transformada
de Fourier na função de resposta ao impulso (IRF) g(t) no domínio. Sendo assim,
também é possível esc rever a re lação entre entrada e saída no domínio da frequência,
dada pela equação:
X() = G().F()
Como s = j , obtém-se a expressão para a transformada de Fourier da IRF conduzindo
a FRF:
()= 
()
Assim como fizemos com a Função de Transferência (FT), as funções de Respostas a
Frequências (FRF) podem ser descritas em função dos sinais de aceleração, velocidade
e deslocamento. Como representado na tabela a seguir:
Tabela 2: Tipos de Funções de Respostas em Frequências (FRF)
Devemos notar que a FRF G( ) é uma grandeza co mplexa descrita por uma parte real
e imaginária:
()= { ()}+ ℑ{ ()}
Sendo a magnitude descrita por:
|()| ={()}2 + ℑ{()}2