Vibrações em sistemas auto-excitados - Apostila
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Vibrações em sistemas auto-excitados - Apostila

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Vibrações Mecânicas – Resumo
VIBRAÇÕES EM SISTEMAS AUTO-
EXCITADOS
Introdução:
Até agora o sistema dinâmico em estudo era forçado por uma fonte externa e
independente do movimento, mas existem vários caso s que as forças que excitam o
sistemas são dependentes da cinemática do movimento.
Esses recebem o nome de Auto-Excitados;
Citamos como exemplos:
Instabilidade de eixos rotativos em velocidades críticas;
Tremulação de pás de turbinas e hélices;
Vibrações em tubulações induzidas por escoamento de fluidos;
Entre outros.
Análise de Estabilidade
Vimos em aulas passadas que um sistema estável é aq uele, que após uma
perturbação, que retorna ao equilíbrio com movimento decrescente com o tempo
seguindo  ;
Por outro lado, se o sistema não retorna ao equílibro, ao contário , sua amplitude de
movimento aumentar com o tempo, esse sistema passa a ser um Sistema Instável.
Se houver alimentação de energia por auto-excitação, esse sistema poderá se tornar
instável.
Para visualizar melhor, vamos verificar as raízes da equação carac terística para o
sistema de 2ª ordem que é o mais comum:
, =
2.  ±1
2
− 4
Teremos um sistema estável se as raízes forem reais e negativas quando ξ 1 ou as
raízes conjugadas complexas com parte real negativa quando 0 < ξ < 1. O que
ocorre se
forem constantes positivas.
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Por outro lado, um sistema instável será instável se :
=  +  .  | = . 
Onde p e q são números reais. Sendo assim:
( − )( − ) = (+ ) + () = (+ ) + ()
Ou
+
 +
Onde podemos observar que:
= −(+ )= −2 |
= = + 
Para que p seja negativo
deve ser positivo e para +  ,
deve ser positivo.
Como m é sempre positivo, c e k devem ser positivos para termos um sistema estável.
Instabilidade Dinâmica Causada por Escoamento de Fluido
Instabilidade provocada por escoamento de fluido é um fenômeno muito comum e
podemos visualizar em vibração em linhas de transmissão causada por vento, vibração
em antenas de automóveis causada pelo m ovimento do carro, vibração em chaminés,
vibração em pás de turbinas, vibração em tubo de compressores de ar ou gás, vibração
em Colunas de pontes devido o escoamento do rio, entre outros.
O escoamento de fluido podem provocar vibrações muito violentas, po is o sistema
pode extrair energia da fonte induzindo vibrações cada vez maiores.
Vários fenômenos físicos podem induzir este tipo de excitação, no entanto, umas das
fontes mais comuns é o chamado Vórtices de Karman que tem por característica a
formação de redomoinhos ora no sentido horário, ora no sentido anti -horário. Eles
podem ser observados para 60 < Re < 5000.
Figura 01 – Vórtices de Karman
Fonte: Livro Singiresu RAO
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Lembrando que Re é um número adimensional1 chamado número de Reynold,
definido por:
 = .  . 
Onde:
Re número de Reynolds, sem unidade
massa específica, no SI é dada em kg/m3 (quilogramas por metro cúbico)
V Velocidade do escoamento , no SI é dada em m/s (metros por segundo)
d diâmetro do cilindro, no SI é dado em m (metros)
viscosidade, no SI é dada em kg/m.s (quilograma por metro segundo) ou N.s/m 2
(Newton vezes segundo dividido por metro quadrado)
Para Re > 1000 a frequência adimensional de emissão de vórtices está relacionada
com um outro número adimensional, agora o chamado número de Strouhal, St, que é
definido por:
 = . 
= 0,21
Onde:
St número de Strouhal, adimensional
f a frequência de emissão de vórtices, no SI é dada em Hz (Hertz)
Por fim, a força provocada pelo escoamento pode ser calculado por:
()= 1
2. . . ()
c coeficiente de forma (para cilindros c ≈ 1), adimensional
A área projetada perpendicular a direção de V, no SI é dada em m 2 (metro
quadrado)
a frequência angular de emissão dos vórtices, no SI é dada em rad/s (radianos
por segundo)
Um projetista de qualquer elemento que envolva o esc oamento de um fluido deve ter
em mente que seu projeto deve garantir que a magnitude da força F(t) seja baixa e
consequentemente, uma falha não venha ocorrer.
1 Números Adimensionais não possuem unidades e são aqueles obtidos por meio de análises
dimensionais, sendo o Teorema dos Pi’s, o método mais utilizado.