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Solução modal analítica: vibrações livres de sistemas com amortecimento proporcional - Apostila

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Vibrações Mecânicas – Resumo
SISTEMAS MECÂNICOS VIBRACIONAIS
COM MDOF – ANÁLISE MODAL
ANALÍTICA – PARTE 03: VIBRAÇÕES
LIVRES COM AMORTECIMENTO
PROPORCIONAL
Introdução:
Um sistema mecânico vibratório com vibração livre e com amortecimento pode ser
descrito pela seguinte equação diferencial:

̈+ 
̇+  =  ()
Sendo C a matriz de amortecimento do tipo proporcional as matrizes de massa M e
rigidez K. =  +  ()
Sendo e constantes determinadas a partir de métodos específicos de ajustes de
modelos.
Vibrações Livres em Sistemas com Amortecimento Proporcional,
Subamortecido
Aqui o problema de autovalor e autovetor associado a equação (a) irá envolver soluções
complexas. Assim, as raízes da equação carac terística associada, irá envolver pares de
pólos complexos conjugados para cada modo de vibrar do sistema, considerando o caso
de um sistema subamortecido em todos os modos (0 < ξ < 1). Ficando:
= −. ± .  1 − 
  = 1,2, ,  ( )
Onde:
n Número de modos do sistema;
ξi Fator de amortecimento modal associado ao i-ésimo modo de vibrar;
ni a i-ésima frequência natural.

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Para o caso particular de amortecimento do tipo proporcional, os fatores de
amortecimento modal podem ser aproximados pela equação:
=1
2 +
 ()
Para so lucionar o problema de autovalor e autovetor é interessante reescrever a
equação (a) de uma forma mais conveniente.
A principal dif erença agora é que os autovalores e os autovetores o complexos, ou
seja, os autovalores estão relacionados diretamente aos fatores de amortecimento e
frequência natural para cada modo e os autovetores aos modos de vibrar que neste caso
por serem complexos devem ser descritos por uma amplitude e uma fase, o que
significa dizer que os modos de vibrar apresentam uma fase na mesma coordenada.
Isto tudo é induzido pela presença de amortecimento no sistema.
Importante ress altar que é muito comum se desconsiderar o efeito do amortecimento
no cálculo de mo dos de vibrar e frequências naturais, caso a estrutura seja levemente
amortecida e o f ator de amortecimento possa ser aproxi mado a zero, o que significa
dizer que os pólos do sistema estão muitos próximos do eixo imaginário.
A seguir apresentamos as duas formas padrão muito usadas para a solução do
problema de autovalor e autovetor de um sistema com amortecimento proporcional.
Forma 1: Dobrando o número de equações e diminuindo a ordem:
̇ + 
=  ()
Sendo
 
matrizes simétricas de ordem 2n x 2n e y o vetor de estados definidos por:
=  
()
=  
( )
y = ̇
()
A solução da equação ficará: = .  (ℎ)
os 2n autovalores;
matriz modal de ordem 2n x 2n;
Assim como sem amortecimento a matriz modal satifaz a relação de
ortogonalidade, assim:
=  ,   ()

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Forma 2: Descrever a equação do movimento a partir da realização no espaço de
estados.
Assim isolando o vetor de aceleração ̈ dentro da equação (a), temos:
̈ = −  −  ̇ ()
Definindo o vetor de estados como:
z = 
̇ ()
Pode-se então chegar à realização no espaço de estados da equação de movimento do
sistema para o caso de vibrações livres:
̇= .  ()
Sendo A a matriz dinâmica do sistema função das matrizes de massa M, de
amortecimento proporcional C e de rigidez K, dada por:
= 0 
−  − ()
Sendo I a m atriz identidade de ordem n x n. As fre quências naturais  , os modos de
vibrar
e os fatores de amortecimento são extraídos diretamente do conhecimento
da matriz dinâmica A a partir da solução do problema de autovalor e autovetor.
Resolvendo, temos: det( − )=  ()
Que conduz ao seguinte resultado:
 =  ()
Para ilustrar, vamos ao exercício.
Exercício
Considere o sistema mecânico da figura com m1 = m 2 = 1 kg, c1 = c2 = c3
= 20 (N.s/m) e k1
= k2 = k3 = 1500 (N/m). Pede-se o cálculo das frequências naturais, dos fatores de
amortecimento modal e dos modos de vibrar do sistema.
Figura 01: Exercício: Vibrações Livres com amortecimento proporcional
Resolução: