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FUV - Caputi - Parte 2

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Parte II - Derivadas
Func¸o˜es de Uma Varia´vel
BC 0402
3o quadrimestre de 2014
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 1 / 19
Derivadas
Derivadas: definic¸a˜o, interpretac¸a˜o,
propriedades
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 2 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
Em particular
3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
Em particular
3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
Em particular
3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
Em particular
3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
Em particular
3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))
h
=
=
f (x + h)− f (x)
h
+
g(x + h)− g(x)
h
cf (x + h)− cf (x)
h
= c
(
f (x + h)− f (x)
h
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 4 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))
h
=
=
f (x + h)− f (x)
h
+
g(x + h)− g(x)
h
cf (x + h)− cf (x)
h
= c
(
f (x + h)− f (x)
h
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 4 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Soma e multiplicac¸a˜o por escalar
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))
h
=
=
f (x + h)− f (x)
h
+
g(x + h)− g(x)
h
cf (x + h)− cf (x)
h
= c
(
f (x + h)− f (x)
h
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 4 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz)
2
(
1
g(x)
)′
= −g
′(x)
g(x)2
Em particular
3
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz)
2
(
1
g(x)
)′
= −g
′(x)
g(x)2
Em particular
3
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz)
2
(
1
g(x)
)′
= −g
′(x)
g(x)2
Em particular
3
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz)
2
(
1
g(x)
)′
= −g
′(x)
g(x)2
Em particular
3
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz)
2
(
1
g(x)
)′
= −g
′(x)
g(x)2
Em particular
3
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x)
h
=
=
(
f (x + h)− f (x)
h
)
g(x + h) + f (x)
(
g(x + h)− g(x)
h
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 6 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x)
h
=
=
(
f (x + h)− f (x)
h
)
g(x + h) + f (x)
(
g(x + h)− g(x)
h
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 6 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1
g(x+h) − 1g(x)
h
=
(
g(x)− g(x + h)
h
)(
1
g(x + h)g(x)
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 7 / 19
Derivadas Propriedades Alge´bricas
Propriedades Alge´bricas da Derivada
Produto e quociente
1
g(x+h) − 1g(x)
h
=
(
g(x)− g(x + h)
h
)(
1
g(x + h)g(x)
)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 7 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Regra da Cadeia
(em diferentes modos de expressar)
(g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
d
dx
(g ◦ f )(x) = df
dx
(x)
dg
dy
(f (x))
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
onde y = g(u), u = f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Regra da Cadeia
(em diferentes modos de expressar)
(g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
d
dx
(g ◦ f )(x) = df
dx
(x)
dg
dy
(f (x))
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
onde y = g(u), u = f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Regra da Cadeia
(em diferentes modos de expressar)
(g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
d
dx
(g ◦ f )(x) = df
dx
(x)
dg
dy
(f (x))
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
onde y = g(u), u = f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Regra da Cadeia
(em diferentes modos de expressar)
(g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
d
dx
(g ◦ f )(x) = df
dx
(x)
dg
dy
(f (x))
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
onde y = g(u), u = f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa
d
dx
(f ◦ f −1)(x) = d
dx
x = 1
df −1
dx
(x).
df
dy
(f −1(x)) = 1
df −1
dx
(x) =
1
df
dy (f
−1(x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Aplicac¸a˜o:derivada da func¸a˜o inversa
d
dx
(f ◦ f −1)(x) = d
dx
x = 1
df −1
dx
(x).
df
dy
(f −1(x)) = 1
df −1
dx
(x) =
1
df
dy (f
−1(x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa
d
dx
(f ◦ f −1)(x) = d
dx
x = 1
df −1
dx
(x).
df
dy
(f −1(x)) = 1
df −1
dx
(x) =
1
df
dy (f
−1(x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa
d
dx
(f ◦ f −1)(x) = d
dx
x = 1
df −1
dx
(x).
df
dy
(f −1(x)) = 1
df −1
dx
(x) =
1
df
dy (f
−1(x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa
(versa˜o simplificada)
dy
dx
=
1
dx
dy
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 10 / 19
Derivadas Regra da Cadeia
Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa
(versa˜o simplificada)
dy
dx
=
1
dx
dy
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 10 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Propriedades alge´bricas
1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Propriedades alge´bricas
1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Propriedades alge´bricas
1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Propriedades alge´bricas
1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Propriedades alge´bricas
1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Propriedades alge´bricas
1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
2 (c f (x))′ = c f ′(x)
3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4
(
f (x)
g(x)
)′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
g(x)2
5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x))
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx c = 0
2 d
dx x
n = n xn−1, ∀n ∈ Z
3 d
dx
√
x = 1
2
√
x
4 d
dx x
α = α xα−1, x ∈ R∗+
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx c = 0
2 d
dx x
n = n xn−1, ∀n ∈ Z
3 d
dx
√
x = 1
2
√
x
4 d
dx x
α = α xα−1, x ∈ R∗+
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx c = 0
2 d
dx x
n = n xn−1, ∀n ∈ Z
3 d
dx
√
x = 1
2
√
x
4 d
dx x
α = α xα−1, x ∈ R∗+
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx c = 0
2 d
dx x
n = n xn−1, ∀n ∈ Z
3 d
dx
√
x = 1
2
√
x
4 d
dx x
α = α xα−1, x ∈ R∗+
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx c = 0
2 d
dx x
n = n xn−1, ∀n ∈ Z
3 d
dx
√
x = 1
2
√
x
4 d
dx x
α = α xα−1, x ∈ R∗+
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx e
x = ex
2 d
dx a
x = ax ln a
3 d
dx ln |x | = 1x
4 d
dx loga |x | = 1x ln a
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx e
x = ex
2 d
dx a
x = ax ln a
3 d
dx ln |x | = 1x
4 d
dx loga |x | = 1x ln a
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx e
x = ex
2 d
dx a
x = ax ln a
3 d
dx ln |x | = 1x
4 d
dx loga |x | = 1x ln a
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx e
x = ex
2 d
dx a
x = ax ln a
3 d
dx ln |x | = 1x
4 d
dx loga |x | = 1x ln a
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx e
x = ex
2 d
dx a
x = ax ln a
3 d
dx ln |x | = 1x
4 d
dx loga |x | = 1x ln a
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜esde Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx sen x = cos x
2 d
dx cos x = − sen x
3 d
dx tan x = sec
2 x
4 d
dx cotg x = − csc2 x
5 d
dx sec x = tan x sec x
6 d
dx csc x = − cotg x csc x
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o
Derivadas de func¸o˜es elementares
1 d
dx arcsen x =
1√
1−x2
2 d
dx arccos x = − 1√1−x2
3 d
dx arctan x =
1
1+x2
4 d
dx arccotg x = − 11+x2
5 d
dx arcsec x =
1
|x |√x2−1
6 d
dx arccsc x = − 1|x |√x2−1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada primeira
Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c .
1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
m´ınimo local.
2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
ma´ximo local.
3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada primeira
Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c .
1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
m´ınimo local.
2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
ma´ximo local.
3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada primeira
Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c .
1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
m´ınimo local.
2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
ma´ximo local.
3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada primeira
Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c .
1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
m´ınimo local.
2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de
ma´ximo local.
3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada segunda
Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c .
1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local.
2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local.
3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada segunda
Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c .
1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local.
2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local.
3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada segunda
Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c .
1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local.
2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local.
3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Teste da derivada segunda
Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c .
1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local.
2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local.
3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
8 Esboc¸o do gra´fico
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19
Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivadasegunda
8 Esboc¸o do gra´fico
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
8 Esboc¸o do gra´fico
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
8 Esboc¸o do gra´fico
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
8 Esboc¸o do gra´fico
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
8 Esboc¸o do gra´fico
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
8 Esboc¸o do gra´fico
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
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Esboc¸o de gra´fico
Roteiro
1 Dom´ınio da func¸a˜o
2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0)
3 Simetrias: paridade; periodicidade
4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais
(limite infinito no ponto)
5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira
6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste
da derivada segunda
7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda
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Derivadas Derivadas e Gra´fico
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Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 19 / 19
	Derivadas
	Propriedades Algébricas
	Regra da Cadeia
	Tabelas de derivação
	Derivadas e Gráfico

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