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Parte II - Derivadas Func¸o˜es de Uma Varia´vel BC 0402 3o quadrimestre de 2014 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 1 / 19 Derivadas Derivadas: definic¸a˜o, interpretac¸a˜o, propriedades Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 2 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar 1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) Em particular 3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar 1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) Em particular 3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar 1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) Em particular 3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar 1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) Em particular 3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar 1 (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) Em particular 3 (f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 3 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar (f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x)) h = = f (x + h)− f (x) h + g(x + h)− g(x) h cf (x + h)− cf (x) h = c ( f (x + h)− f (x) h ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 4 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar (f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x)) h = = f (x + h)− f (x) h + g(x + h)− g(x) h cf (x + h)− cf (x) h = c ( f (x + h)− f (x) h ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 4 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Soma e multiplicac¸a˜o por escalar (f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x)) h = = f (x + h)− f (x) h + g(x + h)− g(x) h cf (x + h)− cf (x) h = c ( f (x + h)− f (x) h ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 4 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz) 2 ( 1 g(x) )′ = −g ′(x) g(x)2 Em particular 3 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz) 2 ( 1 g(x) )′ = −g ′(x) g(x)2 Em particular 3 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz) 2 ( 1 g(x) )′ = −g ′(x) g(x)2 Em particular 3 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz) 2 ( 1 g(x) )′ = −g ′(x) g(x)2 Em particular 3 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (Regra de Leibniz) 2 ( 1 g(x) )′ = −g ′(x) g(x)2 Em particular 3 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 5 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x) h = = ( f (x + h)− f (x) h ) g(x + h) + f (x) ( g(x + h)− g(x) h ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 6 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x) h = = ( f (x + h)− f (x) h ) g(x + h) + f (x) ( g(x + h)− g(x) h ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 6 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 g(x+h) − 1g(x) h = ( g(x)− g(x + h) h )( 1 g(x + h)g(x) ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 7 / 19 Derivadas Propriedades Alge´bricas Propriedades Alge´bricas da Derivada Produto e quociente 1 g(x+h) − 1g(x) h = ( g(x)− g(x + h) h )( 1 g(x + h)g(x) ) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 7 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Regra da Cadeia (em diferentes modos de expressar) (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) d dx (g ◦ f )(x) = df dx (x) dg dy (f (x)) dy dx = dy du . du dx onde y = g(u), u = f (x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Regra da Cadeia (em diferentes modos de expressar) (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) d dx (g ◦ f )(x) = df dx (x) dg dy (f (x)) dy dx = dy du . du dx onde y = g(u), u = f (x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Regra da Cadeia (em diferentes modos de expressar) (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) d dx (g ◦ f )(x) = df dx (x) dg dy (f (x)) dy dx = dy du . du dx onde y = g(u), u = f (x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Regra da Cadeia (em diferentes modos de expressar) (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) d dx (g ◦ f )(x) = df dx (x) dg dy (f (x)) dy dx = dy du . du dx onde y = g(u), u = f (x) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 8 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa d dx (f ◦ f −1)(x) = d dx x = 1 df −1 dx (x). df dy (f −1(x)) = 1 df −1 dx (x) = 1 df dy (f −1(x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Aplicac¸a˜o:derivada da func¸a˜o inversa d dx (f ◦ f −1)(x) = d dx x = 1 df −1 dx (x). df dy (f −1(x)) = 1 df −1 dx (x) = 1 df dy (f −1(x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa d dx (f ◦ f −1)(x) = d dx x = 1 df −1 dx (x). df dy (f −1(x)) = 1 df −1 dx (x) = 1 df dy (f −1(x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa d dx (f ◦ f −1)(x) = d dx x = 1 df −1 dx (x). df dy (f −1(x)) = 1 df −1 dx (x) = 1 df dy (f −1(x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 9 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa (versa˜o simplificada) dy dx = 1 dx dy Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 10 / 19 Derivadas Regra da Cadeia Aplicac¸a˜o: derivada da func¸a˜o inversa (versa˜o simplificada) dy dx = 1 dx dy Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 10 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Propriedades alge´bricas 1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) 3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Propriedades alge´bricas 1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) 3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Propriedades alge´bricas 1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) 3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Propriedades alge´bricas 1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) 3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Propriedades alge´bricas 1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) 3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Propriedades alge´bricas 1 (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x) 2 (c f (x))′ = c f ′(x) 3 (f (x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4 ( f (x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)−f (x)g ′(x) g(x)2 5 (g ◦ f )′(x) = f ′(x).g ′(f (x)) Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 11 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx c = 0 2 d dx x n = n xn−1, ∀n ∈ Z 3 d dx √ x = 1 2 √ x 4 d dx x α = α xα−1, x ∈ R∗+ Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx c = 0 2 d dx x n = n xn−1, ∀n ∈ Z 3 d dx √ x = 1 2 √ x 4 d dx x α = α xα−1, x ∈ R∗+ Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx c = 0 2 d dx x n = n xn−1, ∀n ∈ Z 3 d dx √ x = 1 2 √ x 4 d dx x α = α xα−1, x ∈ R∗+ Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx c = 0 2 d dx x n = n xn−1, ∀n ∈ Z 3 d dx √ x = 1 2 √ x 4 d dx x α = α xα−1, x ∈ R∗+ Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx c = 0 2 d dx x n = n xn−1, ∀n ∈ Z 3 d dx √ x = 1 2 √ x 4 d dx x α = α xα−1, x ∈ R∗+ Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 12 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx e x = ex 2 d dx a x = ax ln a 3 d dx ln |x | = 1x 4 d dx loga |x | = 1x ln a Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx e x = ex 2 d dx a x = ax ln a 3 d dx ln |x | = 1x 4 d dx loga |x | = 1x ln a Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx e x = ex 2 d dx a x = ax ln a 3 d dx ln |x | = 1x 4 d dx loga |x | = 1x ln a Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx e x = ex 2 d dx a x = ax ln a 3 d dx ln |x | = 1x 4 d dx loga |x | = 1x ln a Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx e x = ex 2 d dx a x = ax ln a 3 d dx ln |x | = 1x 4 d dx loga |x | = 1x ln a Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 13 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜esde Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx sen x = cos x 2 d dx cos x = − sen x 3 d dx tan x = sec 2 x 4 d dx cotg x = − csc2 x 5 d dx sec x = tan x sec x 6 d dx csc x = − cotg x csc x Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 14 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Tabelas de derivac¸a˜o Derivadas de func¸o˜es elementares 1 d dx arcsen x = 1√ 1−x2 2 d dx arccos x = − 1√1−x2 3 d dx arctan x = 1 1+x2 4 d dx arccotg x = − 11+x2 5 d dx arcsec x = 1 |x |√x2−1 6 d dx arccsc x = − 1|x |√x2−1 Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 15 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada primeira Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c . 1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada primeira Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c . 1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada primeira Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c . 1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada primeira Seja c ponto cr´ıtico de f e seja f cont´ınua em c . 1 Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c , enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′(x) na˜o mudar de sinal em c , este na˜o e´ extremo local. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 16 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada segunda Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c . 1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada segunda Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c . 1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada segunda Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c . 1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Teste da derivada segunda Suponha f ′(c) = 0 e f ′′(x) cont´ınua numa vizinhanc¸a de c . 1 Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de m´ınimo local. 2 Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local. 3 Se f ′′(c) = 0 na˜o e´ poss´ıvel afirmar nada. Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 17 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivadasegunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico Esboc¸o de gra´fico Roteiro 1 Dom´ınio da func¸a˜o 2 Interceptos: eixo y (quanto x=0) e eixo x (soluc¸o˜es de f (x) = 0) 3 Simetrias: paridade; periodicidade 4 Ass´ıntotas horizontais (limite finito no infinito) e ass´ıntotas verticais (limite infinito no ponto) 5 Intervalos de crescimento e decrescimento: sinal da derivada primeira 6 Extremos locais: pontos cr´ıticos; teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda 7 Concavidade e pontos de inflexa˜o: sinal da derivada segunda 8 Esboc¸o do gra´fico Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 18 / 19 Derivadas Derivadas e Gra´fico � � � � � � � Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte II - Derivadas 3o quadrimestre de 2014 19 / 19 Derivadas Propriedades Algébricas Regra da Cadeia Tabelas de derivação Derivadas e Gráfico
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