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Unidade 4 – Estudo da Reta 
 
 
Solução exercícios propostos capítulo 14 (Pág. 136) 
 
 
 
1) a) 
 ),,(),,(),,( 000 cbazyxzyx λ+= 
 )1 ,1 ,1()3 ,2 ,5(),,(ou )1 ,1 ,1()6 ,7 ,4(),,(
)1,1,1( )9,9,9( )36,27,54(
−−+−=−−+−−=
−−=⇒−−=⇒−−−−+=
λλ zyxzyx
BCBCBC
 
 Eq. Paramétrica: 





−−=
−−=
+=
λ
λ
λ
6
7
4
:
z
y
x
r 
 
 Eq. Simétrica: 
1
6
1
7
1
4
−
+
=
−
+
=
− zyx
 
 
 Verificando se o ponto D=(3,1,4) pertence à reta r: 
 3 = 4 + λ 
 1 = -7 - λ 
 4 = -6 - λ 
 Da eq. 3 = 4 + λ temos que λ = 3 - 4 ⇒ λ = -1 
 Da eq. 1 = -7 - λ temos que λ = -7 - 1 ⇒ λ = -8 
 
 Como os valores de λ são diferentes, D ∉ r. 
 
 
 b) 
 )1 ,1 ,1()7 ,6 ,3( );1 ,1 ,1()6 ,7 ,4(: );1,1,1( −−+−=−−+−−=−−= λλ AXrBC 
 Verificando se o ponto A=(3,6,-7) pertence à reta r: 
 3 = 4 + λ 
 6 = -7 - λ 
 -7 = -6 - λ 
 Da eq. 3 = 4 + λ temos que λ = 3 - 4 ⇒ λ = -1 
 Da eq. 6 = -7 - λ temos que λ = -7 - 6 ⇒ λ = -13 
 
 Como os valores de λ são diferentes, A ∉ r que passa 
pelos pontos B e C. 
 
 
 c) 
 
 
 
 C 
 
 
 
 
A X B 
 
 
( )
( ) ( )4 ,11 ,5 )2(6 ,47 ),1(4
2 ,4 ,1 
2
37
,
2
26
,
2
53
 
2
−−=⇒−−−−−−−=
−−=⇒




 +−+−
=⇒
+
=
CXCX
XXBAX
 
 
 R)( 
42
114
51
: ∈





−−=
−=
+−=
λ
λ
λ
λ
z
y
x
r 
 
 
 
3) 
 
R)( 0
0
:
R)( 
0
0
: R)( 
0
0:
∈





=
=
=
∈





=
=
=
∈





=
=
=
λ
λ
λλλ
λ
z
y
x
Oz
z
y
x
Oy
z
y
x
Ox
 
 
 
5) 
 a) R)( 
63
40
52
: ∈





+−=
+=
+=
λ
λ
λ
λ
z
y
x
r 
 Verificando se o ponto A=(2,0,-3) pertence à reta r: 
 2 = 2 + 5λ 
 0 = 0 + 4λ 
 -3 = -3 + 6λ 
 Da eq. 2 = 2 + 5λ temos que 5λ = 2 - 2 ⇒ λ = 0 
 Da eq. 0 = 0 + 4λ temos que 4λ = 0 ⇒ λ = 0 
 Da eq. -3 = -3 + 6λ temos que 6λ = -3 - 3 ⇒ λ = 0 
 
 
 b) )1 ,1 ,1( )43 ,01 ,12( −=⇒−−−= BCBC 
 





−−=
+=
+=
λ
λ
λ
3
0
2
:
z
y
x
r 
 
 
 
 
 
 c) )1 ,1 ,2( −−=x 
 





−−=
+=
−=
λ
λ
λ
3
0
22
:
z
y
x
r
 
 
 
6) 
 a) 
6
3
45
2 +
==
− zyx
 
 
 
 b) 
1
3
11
2
−
+
==
− zyx
 
 
 
 c) 
1
3
12
2
−
+
==
−
− zyx
 
 
 
7) 
 a) 222 
1
2
1
1
1
2
1
)2(
1
1
 
2
1
 1 
1
2
2
1
 1 
==⇒⋅==
−
⋅
−
⇒==
−
−
 
 Como as coordenadas de x0, y0 e z0 das duas retas são 
iguais e os vetores são proporcionais r = s.

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