Aula 2 - Taxas

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FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
AULA 2 
Prof. M. Sc. Renato Teixeira da Silva 
renato.teixeira.prof@gmail.com 
1 
OBJETIVOS DA AULA 
 
 Taxa de juros equivalente 
 
 Taxa de juros proporcional 
 
 Taxa de juros nominal 
 
 Taxa de juros efetiva 
2 
Taxas Equivalentes 
3 
 Duas taxas são consideradas equivalentes se, dado o 
mesmo capital, produzem o mesmo valor de juros 
Em Juros Simples... 
..%18 aaiaa 
niCJ 
..%5,1 maiam 
00,100$RC 
118,0100 J
ano 1n meses 12n
00,18$RJ 
12015,0100 J
00,18$RJ 
esequivalent são taxasas 
Taxas Equivalentes 
4 
De forma geral 
2211
21
niCniC
JJ


1
2
21
n
n
ii 
sendo que n1 e n2 devem ter períodos equivalentes, isto é, um 
período igual ao outro em unidades de tempo diferentes 
Taxas Equivalentes 
5 
 Duas taxas são consideradas equivalentes se, dado o 
mesmo capital, produzem o mesmo valor de juros 
Em Juros Compostos... 
..%18 aaiaa 
niCM )1( 
..%5,1 maiam 
00,100$RC 
1)18,01(100 M
ano 1n meses 12n
00,118$RM  119,56181$RM 
esequivalent são não taxasas 
Se os juros são iguais então os montantes também serão. 
12)015,01(100 M
Taxas Equivalentes 
6 
De forma geral 
21 )1()1( 21
21
nn
iCiC
MM


sendo que n1 e n2 devem ter períodos equivalentes, isto é, um 
período igual ao outro em unidades de tempo diferentes 
1 2)1(1 21
n nii 
1)1(1 221 
n nii
1)1( 1
2
21 
n
n
ii
ou 
Taxas Equivalentes – Exercícios 
1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% a.m. cap. composta. 
Resposta: 26,82% ao ano 
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% a.a. em cap. 
composta 
Resposta: 4% ao mês 
3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% a.d. em cap. 
composta 
Resposta: 78,58% ao ano 
4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois anos 
em cap. composta 
Resposta: 4,25% ao trimestre 
5. Você foi ao banco e te ofereceram 4 opções de investimento com 
taxas diferentes: o primeiro 3,0% a.b.; o segundo 6,2% a.q.; o 
terceiro 9,2% a.s. e o último 28% a cada 1,5 anos. Considerando 
que a aplicação se dará em regime de capitalização linear qual 
deve ser a aplicação escolhida? E se o regime de capitalização for 
exponencial, qual deve ser a escolha? 
R: CL: 28% a cada 1,5 anos e CE: 6,2% a.q. 
7 
Taxas Proporcionais 
 
8 
 Não é um tipo de taxa, é uma característica do 
regime de juros simples. 
 É determinada pela relação simples entre a taxa 
considerada na operação e o número de vezes em 
que ocorrem juros. 
 O valor calculado coincide com o de taxas 
equivalentes. 
 
Ex.: 9% a.s. proporcional em taxa trimestral 
9% - 1 semestre 
x - 0,5 semestre 
x = 0,5 . 0,09 = 0,045 = 4,5% 
Taxa de Juros Nominal 
 O período da taxa não coincide com o período de 
capitalização dos juros 
 
 Ela é apresentada desta forma muitas vezes para 
um rendimento maior ou uma cobrança de juros 
mais baixa. 
9 
Taxa de Juros Nominal 
10 
 
Taxa de Juros Nominal 
11 
km
k
i
CM







 1
m = prazo de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal 
k = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a 
que se refere a taxa nominal 
Taxa de Juros Nominal 
 R$ 1000,00 i=12% a.a. 
 
cap. anualmente 
 
 
cap. semestralmente 
 
 
cap. trimestralmente 
 
 
cap. mensalmente 
12 
0 12 
0 12 
0 12 
0 12 
6 
6 
3 9 
00,1120$
1
12,0
11000
11
RM
M









60,1123$
2
12,0
11000
21
RM
M









50881,1125$
4
12,0
11000
41
RM
M









82503,1126$
12
12,0
11000
121
RM
M









Taxa de Juros Efetiva 
 É aquela em que o período da taxa coincide com o período de 
capitalização 
 
 Taxa efetiva 12% a.a R$1000,00 
 
cap. anualmente 
 
cap. semestralmente 
 
cap. trimestralmente 
 
cap. mensalmente 
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  ..%12110001120 1 aaii 
  ..%36,121100060,1123 1 aaii 
  ..%508,121100050881,1125 1 aaii 
  ..%682,121100082503,1126 1 aaii 
Taxa de Juros Nominal e Efetiva – 
Exercícios 
1. Calcular o montante resultante de um investimento de 
R$1200 aplicado por três anos a juros nominais de 
16%a.a., capitalizados mensalmente. R: R$1933,34 
2. Qual o valor de resgate para um capital de R$200 
aplicados pelos seguintes prazos e taxas? 
a. 27 dias a 9%a.m. cap. diariamente. R: R$216,84 
b. 8 meses a 18% a.s. cap. mensalmente R: R$253,35 
c. 7 meses a 28%a.a. cap. trimestralmente R: R$228,98 
3. Em quantos meses uma aplicação de R$4.000 a juros 
nominais de 12%a.s., cap. Trimestralmente, tem um 
rendimento mínimo de R$2.000. R: 21 meses 
4. Um certificado de Depósito Bancário (CDB) prefixado 
rende 95% da taxa over do Certificado de Depósito 
Interfinanceiro (CDI). Se em 60 dias de prazo da operação 
havia 48 dias úteis e a taxa média do CDI no período foi 
de 4,4%a.m., calcular o valor de resgate do CDB 
considerando que o valor aplicado foi de R$4.500,00 R: 
4.811,03 
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Taxa de Juros Nominal e Efetiva – 
Exercícios 
5. Calcular a taxa nominal a.a., capitalizada mensalmente, 
que produz um montante de R$ 1.933,15 a partir de um 
investimento de R$1.200 aplicado pelo prazo de 3 anos. 
R: 16% a.a. 
 
6. Calcular a taxa efetiva anual para a taxa nominal 48% 
a.s. capitalizada mensalmente. R: 151,82% a.a. 
 
 
7. Calular a taxa nominal ao ano equivalente a uma taxa 
efetiva de 10% a.a. considerando capitalização trimestral 
dos juros. R: 9,65% a.a. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 Matemática Financeira – Carlos Patricio Samanez 
 Notas de Aula – Prof. Nilson Brandalise 
 Apostila Eng. Econômica – UFSM – Prof. Andreas 
 
 
 
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