Aula 4 - Equivalência de Capitais

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FUNDAMENTOS DA ENGENHARIA 
ECONÔMICA - AULA 4 
Prof. M. Sc. Renato Teixeira da Silva 
renato.teixeira.prof@gmail.com 
http://sites.google.com/site/renatoteixeiraprof 
 
1 
OBJETIVOS DA AULA 
 
 Revisão da aula anterior 
 
 Estudar os conceitos de equivalência de capitais 
 Ser capaz de tomar decisão de investimento à 
vista ou a prazo. 
 
 
2 
NA AULA ANTERIOR... 
 Desconto 
 
 
 
 Simples 
 Racional ou “por dentro” – A taxa incide sobre o valor 
presente 
𝐷𝑟 =
𝑁∙𝑖∙𝑛 
1+𝑖∙𝑛
 | 𝑉𝐷 =
𝑁 
1+𝑖∙𝑛
 
 
 Comercial ou “por fora” – A taxa incide sobre o valor futuro 
𝐷𝑐 = 𝑁 ∙ 𝑖𝑑 ∙ 𝑛 | 𝑉𝐷 = 𝑁(1 − 𝑖𝑑 ∙ 𝑛) 
3 
n 0 
𝑉𝐷 
N 
𝐷 = 𝑁 − 𝑉𝐷 
NA AULA ANTERIOR... 
 Desconto 
 Composto 
 Racional ou “por dentro” – A taxa incide sobre o valor 
presente 
𝑉𝐷 =
𝑁 
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
 Comercial ou “por fora” – A taxa incide sobre o valor futuro 
𝑉𝐷 = 𝑁(1 − 𝑖𝑑)
𝑛
 
4 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 É frequente a necessidade de antecipar ou de 
prorrogar títulos nas operações financeiras 
 
 Às vezes queremos substituir um título por outro 
ou por vários 
 
 Comparação de valores diferentes referidos a 
datas diferentes, considerando-se uma dada taxa 
de juros 
 
5 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Data focal 
 Data que se considera como base de comparação dos 
valores referidos a datas diferentes 
 Data de avaliação 
 Data de referência 
 
 Equação de valor 
 Permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos 
a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que 
seja fixada uma certa taxa de juros. 
 
 Uma das grandes vantagens do regime de juros 
compostos é que nos permite garantir que uma 
comparação feita em uma dada data focal permanece 
válida em qualquer outra data focal. 
6 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Exemplo 
Certa pessoa tem uma nota promissória a receber 
com valor nominal de R$ 15.000,00 que vencerá em 
dois anos. Além disso, possui R$20.000,00 hoje que 
irá aplicar à taxa de 2% a. m., durante dois anos. 
Considerando o custo de oportunidade do capital 
hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é 
de 2% a. m., pergunta-se: 
a) Quanto esta pessoa possui hoje? 
b) Quanto possuirá daqui a um ano? 
c) Quanto possuirá daqui a dois anos? 
7 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Exemplo 
8 
12 0 
R$20.000 
24 
R$15.000 
a) 
2% a.m. 
12 0 
R$20.000 
24 
R$15.000 
𝑉0 =
20000
(1 + 0,02)0
+
15000
(1 + 0,02)24
= 𝑅$29.325,82 
V0 
2% a.m. 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Exemplo 
9 
b) 
12 0 
R$20.000 
24 
R$15.000 
𝑉12 =
20000
(1 + 0,02)−12
+
15000
(1 + 0,02)24
 
𝑉12 
2% a.m. 
𝑉12 = 20000(1 + 0,02)
12+
15000
(1 + 0,02)24
 
𝑉12 = 𝑅$37.192,23 
c) 
12 0 
R$20.000 
24 
R$15.000 
𝑉24 
2% a.m. 𝑉24 = 20000(1 + 0,02)
24+15000 
𝑉24 = 𝑅$47.168,74 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Relembrando... 
10 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹 
(1 + 𝑖)𝑛
 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
Quando o valor está 
DEPOIS da data focal Quando o valor está 
ANTES da data focal 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
1) Admitamos o conjunto de capitais na tabela abaixo e 
uma taxa de juros compostos de 3% a.m. 
a) pergunta-se qual o valor atual deste conjunto na data focal zero? 
Resposta: R$ 5.449,55 
b) Qual o valor na data focal 10 meses ? 
Resposta: R$ 7.323,74 
c) Capitalize V0 em 10 meses na taxa referida e compare com o item b. 
Resposta: R$ 7.323,74 
11 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
1) a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
12 
𝑉0 =
1000
(1 + 0,03)6
+
2000
(1 + 0,03)12
+
5000
(1 + 0,03)15
= R$ 5.449,55 
𝑉10 =
1000
(1 + 0,03)−4
+
2000
(1 + 0,03)2
+
5000
(1 + 0,03)5
= R$ 7.323,74 
𝑀 = 5449,55(1 ± 0,03)10= 𝑅$7.323,74 
a) 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
2) Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos 
à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Sim. Eles são equivalentes. 
 
13 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
14 
𝑉0 =
1100
(1 + 0,10)1
+
2420
(1 + 0,10)2
+
1996,50
(1 + 0,10)3
+
732,05
(1 + 0,10)4
= R$ 5.000,00 
𝑉0 =
2200
(1 + 0,10)1
+
1210
(1 + 0,10)2
+
655,50
(1 + 0,10)3
+
2196,15
(1 + 0,10)4
= R$ 5.000,00 
Conjunto 1 
Conjunto 2 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
3) Um terreno é posto a venda por R$ 100.000,00 a vista 
ou, caso o comprador opte por financiamento, por R$ 
50.000,00 no ato mais duas parcelas semestrais, sendo a 
primeira de R$ 34.000,00 e a segunda de R$ 35.000,00. 
Qual é a melhor alternativa para o comprador, se 
considerarmos que a taxa de juros corrente 
é de 50% a.a. ? 
 
Resposta: à vista é melhor 
 
 
 
 
 
 
 
15 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
3) 
 
 
 
 
 
Como V0 é maior que o valor à vista, então é melhor 
efetuar o pagamento a vista. 
 
 
 
 
 
 
 
16 
𝑉0 = 50000 +
34000
(1 + 0,50)0,5
+
35000
(1 + 0,50)1
= R$ 101.094,21 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
4) Certa pessoa contraiu uma dívida, comprometendo-se 
a saldá-la em dois pagamentos: o primeiro de R$ 2.500,00 
e o segundo, 6 meses após o primeiro, de R$ 3.500,00. 
Contudo, no vencimento da primeira parcela, não 
dispondo de recursos, o devedor propôs adiamento de sua 
dívida. O esquema apresentado foi: pagamento de $ 
4.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses. Se a taxa de 
juros considerada foi de 2,5% a.m., qual é o saldo 
restante ? 
 
Resposta: R$ 2.252,49 
 
 
 
 
 
 
17 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - EXERCÍCIOS 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
18 
𝑉0 = 2500 +
3500
(1 + 0,025)6
= R$ 5.518,03903 
5518,03903 =
4000
(1 + 0,025)3
+
𝑋
(1 + 0,025)9
 
Cálculo da dívida equivalente na data do primeiro pagamento 
Cálculo do valor da nova parcela 
5518,03903 − 3714,39764 =
𝑋
(1 + 0,025)9
 
1803,64139 ∙ 1,24886 = 𝑋 
𝑅$ 2.252,49 = 𝑋 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
 
 
Lista de Exercícios no site 
 
 
 
 
 
 
 
19 
REFERÊNCIAS 
 Notas de aula – Prof Brandalise – EEIMVR/UFF 
 Apostila de Matemática Financeira Prof. Eron 
CEFET-BA 
 Matemática Financeira – Matias e Gomes . 
Editora atlas 
 
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