Aula 1 - Juros Simples e Juros Compostos

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FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
AULA 1 
Prof. M. Sc. Renato Teixeira da Silva 
renato.teixeira.prof@gmail.com 
1 
OBJETIVOS DA AULA 
 
 Avaliações 
 
 Apresentação da Disciplina 
 
 O valor do dinheiro no tempo... 
 Juros Simples 
 
 Juros Compostos 
2 
Avaliações 
Turma Quarta-Feira 
 
 V1 – 09/abril 
 
 V2 – 04/junho 
3 
Turma Quinta-Feira 
 
 V1 – 10/abril 
 
 V2 – 05/junho 
 VR – 11/junho (quarta)* 
 
 VS – 26/junho (quinta)** 
 
75% de presença 
*Somente com autorização do departamento 
** Talvez seja antecipada para algum sábado antes do dia 26. 
Avaliações 
 
NF = (V1+V2)/2 
 
 
 
Método de correção das provas 
 
 
 
4 
Avaliações 
 Testes 
 A soma de todos os testes será no máximo 0,5 ponto 
 Não são obrigatórios 
 Não contam na N1 e na N2 
 Só poderão ser utilizados para complementar NF ou VS caso 
o aluno precise de nota para passar ou ir para VS. 
 Só poderá ser utilizada 1 vez (ou na NF ou na VS) 
 Correção binária 
5 
Avaliações 
Testes 
 Ex.: 
a) NF ≥ 6,0 → Não usa nota de teste (NT) 
b) NF < 6,0 e NF + NT ≥ 6,0 → Nota considerada Final 6,0 
c) 4 ≤ NF < 6 e NF + NT < 6,0 → Aluno vai para VS e pode 
usar NT como no exemplo B 
d) NF < 4,0 e NF + NT ≥ 4,0 → Nota considerada Final 4,0 e 
aluno vai para VS sem poder utilizar NT 
6 
Apresentação da disciplina 
Engenharia Econômica 
 Área do conhecimento cujo objetivo é a decisão 
sobre alternativas financeiras de investimento. 
 
 Se aplica tanto para empresas como também 
para particulares ou entidades governamentais 
 
 Baseia-se na matemática financeira, que estuda o 
valor do dinheiro no tempo 
7 
Apresentação da disciplina 
Engenharia Econômica 
 Um estudo de E. E. envolve 
 Um problema a resolver ou uma função a executar 
 Diversas alternativas possíveis 
 Avaliação de cada alternativa, determinando 
vantagens e desvantagens 
 Comparação e escolha da melhor alternativa 
8 
Apresentação da disciplina 
Engenharia Econômica 
 Exemplos de aplicação 
 Decisão sobre sistema de transporte de materiais em 
uma fábrica – manual, empilhadeiras ou correia 
transportadora 
 Cálculo do custo que deve ser repassado aos clientes 
devido a modernização de um sistema de transmissão 
de energia elétrica 
 Compra de carro à vista ou a prazo 
 Escolha do sistema de amortização para um 
financiamento imobiliário 
 Substituição de equipamentos obsoletos 
 
9 
Apresentação da disciplina 
Engenharia Econômica 
 Critérios de aprovação de um projeto 
 Critérios financeiros: disponibilidade de recursos 
 
 Critérios econômicos: rentabilidade do investimento 
 
 Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em 
dinheiro 
10 
Apresentação da disciplina 
Engenharia Econômica 
11 
Matemática Financeira Eng. Econômica 
V1 V2 
Apresentação da disciplina 
Utilização de 5 casas decimais 
 Todas as contas realizadas na disciplina devem 
utilizar 5 casas decimais. A utilização poucas 
casas decimais pode gerar grandes diferenças nos 
resultados: 
 Ex.: Os juros gerados a partir da aplicação durante 
12 meses de R$1.000.000,00 num regime de 
capitalização composta a uma taxa: 
 2,499% (0,02499) – R$ 329.072,23524 
 2% (0,02) – R$ 268.241,79456 
 Os valores devem ser truncados, isto é, 
consideradas as 5 casas decimais e as demais 
desprezadas. 
 Ex.: 1,34950394839029 >>>> 1,34950 
12 
18,4% 
O Valor do dinheiro no tempo... 
 Capital (C) – Quantia de dinheiro que 
sofre a ação do tempo 
 
 
 
 Juro (J) – Quantia de dinheiro 
proporcionada pela ação do tempo sobre 
o capital 
 
 
 Tempo (n) 
13 
O Valor do dinheiro no tempo... 
Gastar meu dinheiro... 
 
 
... Agora? 
 
 
 
Ou 
 
 
... No futuro? 14 
O Valor do dinheiro no tempo... 
A resposta é 
 
 
DEPENDE DA RECOMPENSA! 
 
 
O Juros é a recompensa. 
15 
O Valor do dinheiro no tempo... 
16 
 Os Juros servem para: 
 Remunerar o sacrifício da espera 
 
 
 Remunerar o risco da inadimplência 
 
 
 
 Repor a inflação 
O Valor do dinheiro no tempo... 
17 
 Outros conceitos: 
 Taxa de juros (i) – Razão entre o Juro e o Capital 
dado um período de tempo 
 
 
 
 Montante (M) – Soma do Capital e Juros 
O Valor do dinheiro no tempo... 
Recebi dinheiro dos Juros 
 
 
Gastar Poupar 
Reinvestir 
18 
Capitalização 
Processo de 
incorporar os juros 
ao capital 
Regimes de capitalização 
19 
 Simples ou linear 
 
 
 
 Composto ou exponencial 
Juros simples 
20 
 Considerando um capital de R$ 1.000,00 e uma taxa de 
juros de 10% a.a. em regime de capitalização simples 
Ano Capital Juros
Juros 
acumulados
Montante
0 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 200,00 R$ 1.200,00
3 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 300,00 R$ 1.300,00
4 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 400,00 R$ 1.400,00
5 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 500,00 R$ 1.500,00
... ... ... ... ...
n C i . C C . i . n C + C . i . n
Juros simples 
21 
 Considerando um capital de R$ 1.000,00 e uma taxa de 
juros de 10% a.a. em regime de capitalização simples 
Ano Capital Juros
Juros 
acumulados
Montante
0 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 200,00 R$ 1.200,00
3 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 300,00 R$ 1.300,00
4 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 400,00 R$ 1.400,00
5 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 500,00 R$ 1.500,00
... ... ... ... ...
n C i . C C . i . n C + C . i . n
J = C . i . n 
M = C + C . i . n 
M = C (1+ i . n) 
Juros simples 
22 
IMPORTANTE 
 
Em matemática financeira, em geral, utiliza-se 
para cálculos o ano comercial, que considera 
30 dias por mês e 360 dias por ano. 
 
O ano civil (365 dias) só deve ser usado caso seja 
pedido no exercício. 
Juros simples – Exercícios 
23 
1. Qual o rendimento de R$ 10.000 aplicado por um mês à taxa 
simples de 36% a.a.? 
2. Calcular o rendimento de R$ 23.000 aplicado a 14 dias à 
taxa simples de 2,5% a.m. 
3. Em sete meses R$18.000 renderam R$4.000 de juros. Qual é 
a taxa anual simples ganha? 
4. Um capital aplicado a quatro meses e 18 dias a juros simples 
de 12% a.m. transformou-se em R$23.000. Calcule os juros 
ganhos na aplicação. 
5. Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% 
a.m. rendeu R$ 360. Qual o valor do capital aplicado? 
6. Um título foi resgatado por R$ 3.000. Se a taxa de juros 
simples aplicada foi de 180% a.a. e os juros ganhos 
totalizaram R$1.636,36, quantos meses durou a aplicação? 
Juros simples – Respostas 
24 
1. R$300,00 
2. R$ 268,33333 
3. 0,38095 = 38,095% 
4. R$ 8180,41237 
5. R$ 3000,00 
6. 8 meses 
 
Juros Compostos 
25 
 Juros passam a render juros 
 
 Juros sobre juros 
 
 Colocar o dinheiro para trabalhar com você 
Juros Compostos 
26 
 Considerando um capital de R$ 1.000,00 e uma taxa de 
juros de 10% a.a. em regime de capitalização composto 
Ano Capital Juros
Juros 
acumulados
Montante
0 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 R$ 110,00 R$ 210,00 R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 R$ 121,00 R$ 331,00 R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 R$ 133,10 R$ 464,10 R$ 1.464,105 R$ 1.464,10 R$ 146,41 R$ 610,51 R$ 1.610,51
)1(11
1
0
iCMCiCM
CiJ
CM



2
2
2
)1()1)(1()1()1(
)1(
iCiiCiCiiCM
iCiJ


3222
3
2
3
)1()1)(1()1()1(
)1(
iCiiCiCiiCM
iCiJ


Juros Compostos 
27 
n
n iCM )1( 
n
n
i
M
C
)1( 

1 n n
C
M
i
)1log(
 loglog
ou 
)1log(
log
)1log(log)1(
i
CM
n
i
C
M
n
in
C
M
i
C
M n






Juros Compostos 
28 
Juros Compostos – Exercícios 
29 
1. A juros compostos de 20% a.m., qual o montante de R$ 3.500 
aplicados em 8 meses? 
2. Qual o capital que em 6 anos à taxa de juros compostos de 
15% a.a. monta R$14.000? 
3. Em que prazo um empréstimo de R$55.000 pode ser quitado 
por meio de um único pagamento de R$110.624,80 se a taxa 
de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? 
4. A que taxa um capital de R$13.200 pode se transformar em 
R$35.112,26, considerando um período de aplicação de 7 
meses? 
5. Quanto rende um capital de R$7.000 aplicados por 10 meses 
a juros compostos de 2% a.m.? 
6. Determinar o capital que, aplicados durante sete meses a 
juros compostos de 4% a.m. rende R$10.000 
7. À taxa de juros composta de 5% a.m., em que prazo R$ 5.000 
rendem R$ 1.700,48? 
Juros Compostos – Exercícios 
30 
1. R$ 15.049,35936 
2. R$6.052,58634 
3. 5 meses 
4. 0,14999 = 14,999% 
5. R$ 1.532,96094 
6. R$ 31.652,40301 
7. 6 meses 
REFERÊNCIAS 
 Matemática Financeira – Carlos Patricio Samanez 
 Notas de Aula – Prof. Nilson Brandalise 
 Apostila Eng. Econômica – UFSM – Prof. Andreas 
 
 
 
31