Aula 7 - Indicadores financeiros

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FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA - 
AULA 7 
Prof. M. Sc. Renato Teixeira da Silva 
renato.teixeira.prof@gmail.com 
http://sites.google.com/site/renatoteixeiraprof 
 
1 
NA AULA ANTERIOR... 
 Sistemas de amortização 
 Francês (Price) – parcela constante 
 Americano – amortização somente no último mês 
 Constante (SAC) – amortização constante 
 Misto ou Crescente (SACRE) – misto entre SAC e 
Price 
 
2 
2 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
 Área do conhecimento cujo objetivo é a decisão 
sobre alternativas financeiras de investimento. 
 
 As técnicas baseiam-se em Matemática 
Financeira (tudo o que estudamos até agora) 
 
 
MÉTODOS E CRITÉRIOS DE DECISÃO NA 
ANÁLISE E AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO DE 
CAPITAL 
 Taxa mínima de atratividade – TMA 
 Valor presente líquido – VPL 
 Taxa Interna de Retorno – TIR 
 Payback descontado 
 Índice de custo-benefício 
 Anuidade 
 Custo Anual equivalente 
 
 
ANTES DE VER OS MÉTODOS... 
 Investimento 
 Independentes: concorrem entre si na disputa de um 
montante limitado de recursos, serão selecionados 
aqueles que economicamente forem mais atraentes. 
 
 Mutuamente excludentes: são aqueles que possuem a 
mesma finalidade ou atendem ao mesmo objetivo; a 
aprovação de um eliminará automaticamente as 
demais. 
 
 
TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA) 
 Mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um 
investimento, ou o máximo que uma pessoa se propõe a pagar 
quando faz um financiamento. 
 
 Custo de oportunidade: remuneração obtida em alternativas que 
não as analisadas, ou seja, é o valor de outras oportunidades não 
escolhidas. 
 Risco do negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de 
uma nova ação. Quanto maior o risco, maior a remuneração 
esperada. 
 Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma 
posição no mercado para assumir outra. 
 
 É pessoal e intransferível. 
 Não é possível se calcular. 
 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 
 Calcular, em termos de valor presente, o impacto 
dos eventos futuros associados a uma alternativa 
de investimento. 
 Mede o valor presente dos fluxos de caixa gerados 
pelo projeto ao longo de sua vida útil 
 
 
 
 
 
 Se VPL > 0 → projeto economicamente viável 
 
Fluxo de caixa no t-
ésimo período 
Investimento 
𝑉𝑃𝐿 = −𝐼 + 
𝐹𝐶𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 
 Ex.: Qual projeto você escolheria considerando 
uma TMA de 10%? 
 
Investimento A Investimento B 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 
 Ex.: Qual projeto você escolheria considerando 
uma TMA de 10%? 
 
Os dois projetos são economicamente viáveis contudo o projeto 
B gerou um maio resgate que o projeto A 
𝑉𝑃𝐿 𝐴 = −350 +
95
(1 + 0,1)1
+
95
(1 + 0,1)2
+
95
(1 + 0,1)3
+
95
(1 + 0,1)4
+
95
(1 + 0,1)5
= 10,12 
𝑉𝑃𝐿 𝐵 = −350 +
150
1 + 0,1 1
+
150
1 + 0,1 2
+
150
1 + 0,1 3
= 23,02 
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 Objetiva encontrar a taxa de retorno do 
investimento, isto é, taxa necessária para trazer o 
valor final do investimento para o valor presente 
e este seja igual ao valor investido. 
 
 
 
 
 Se TIR > TMA – investimento deve ser aceito. 
 Se TIR = TMA – é indiferente investir. 
 Se TIR < TMA – investimento deve ser recusado
 
𝑉𝑃𝐿 = −𝐼 + 
𝐹𝐶𝑡
1 + 𝑖 𝑡
𝑛
𝑡=1
= 0 
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 
TIR 
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 Ex.: Calcule a TIR de um projeto que requer um 
investimento inicial de R$ 30.000,00 e produz um 
fluxo de caixa de R$ 5.000/ano durante 12 anos. 
Considere uma TMA de 8% ao ano. 
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 Para calcular, será necessário utilizar 
interpolação linear. Para isso é necessário tentar 
duas taxas de desconto que resultem em VPLs de 
sinais contrários. 
 
 
 
 
 
 TIR =12,70% > 8 % 
 
971,80
TIR − 12
=
411,76
13 − TIR
 
𝑉𝑃𝐿 12% = −30000 + 5000 × 𝑎12 12% = 971,87 
𝑉𝑃𝐿 13% = −30000 + 5000 × 𝑎12 13% = −411,76 
 
PAYBACK DESCONTADO (PB) 
 Consiste em determinar o tempo (T) em que o 
investimento feito é recuperado 
𝐼 = 
𝐹𝐶𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑇
𝑡=1
 
PAYBACK DESCONTADO (PB) 
 Ex.: 
Em quanto tempo um investimento de R$200.000 
que gera um fluxo de caixa mensal de R$75.000 a 
um custo de capital de 15% é recuperado? 
PAYBACK DESCONTADO (PB) 
 Ex.: 
 Em quanto tempo um investimento de R$200.000 
que gera um fluxo de caixa anual de R$75.000 a 
um custo de capital de 15% a.a. é recuperado? 
200.000 =
75.000
(1 + 0,15)1
+
75.000
(1 + 0,15)2
+⋯+
75.000
(1 + 0,15)𝑇
 
VP 
Se T=3 VP = R$ 171.242 
Se T=4 VP = R$ 214.123 
 
O investimento será recuperado no mínimo em 4 anos 
MÉTODO CUSTO-BENEFÍCIO (C/B) 
 Conhecido também como índice de lucratividade 
 Permite saber a viabilidade econômica de um 
projeto, bastando observar se o índice é maior que 1 
 
 Resulta da divisão do valor atual dos benefícios pelo 
valor atual dos custos do projeto, incluído 
investimento inicial 
 
 
 
 
 Este índice está sujeito a um problema de 
dimensão, pois depende da forma como é calculado. 
𝐶/𝐵 = 
𝑏𝑡
(1 + 𝐾)𝑡
𝑛
𝑡=0
 
𝑐𝑡
(1 + 𝐾)𝑡
𝑛
𝑡=0
 
MÉTODO CUSTO-BENEFÍCIO (C/B) 
 Ex.: 
Determine o índice custo-benefício para um custo de 
capital de 10% a.a. para os dois projetos abaixo 
Projeto 1 Ano 0 (R$) Ano 1 (R$) Ano 2 (R$) 
Custos (c) -100 -1.100 -12.100 
Benefícios(b) 50 1.650 14.520 
Projeto 2 Ano 0 (R$) Ano 1 (R$) Ano 2 (R$) 
Fluxo de 
caixa 
-50 550 2.450 
MÉTODO CUSTO-BENEFÍCIO (C/B) 
 Ex.: 
Determine o índice custo-benefício para um custo de 
capital de 10% a.a. para os dois projetos abaixo 
𝐶
𝐵
=
50 +
1.650
1,10 +
14.520
1,102
100 +
1.100
1,10 +
12.100
1,102
= 1,22 > 1 
𝐶
𝐵
=
550
1,10 +
2.420
1,102
50
= 50 > 1 
Projeto 1 
Projeto 2 
Qual projeto você escolhe? 
MÉTODO CUSTO-BENEFÍCIO (C/B) 
 É o mesmo projeto!!! 
Projeto 1 Ano 0 (R$) Ano 1 (R$) Ano 2 (R$) 
Custos (c) -100 -1.100 -12.100 
Benefícios(b) 50 1.650 14.520 
Fluxo de 
caixa 
-50 550 2.450 
MÉTODO DA ANUIDADE UNIFORME 
EQUIVALENTE (AE) 
 Para que projetos possam ser comparáveis é necessário 
estarem em um horizonte de planejamento uniforme. 
 
 Considere que a fábrica Tx Co. está substituindo sua 
principal máquina e no mercado existem duas empresas 
podem fornecê-la. Com base nas informações da tabela 
abaixo qual empresa deve ser escolhida? 
Alternativa Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 TIR 
VPL 
(10%) 
A -10 13 30,00% 1,82 
B -10 5 5 5 23,38% 2,43 
Fluxo de caixa (R$) 
MÉTODO DA ANUIDADE UNIFORME 
EQUIVALENTE (AE) 
 É necessário levá-las para um horizonte econômico comum 
 
 Regra da cadeia – Os horizontes das duas alternativas são 
igualados em alguma data futura correspondente ao MMC 
dos prazos das duas. 
 
MMC (1,3) = 3 
Alternativa A = deve ser revisto 
Alternativa B = já está com 3 anos 
Alternativa Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 VPL 
Fluxo alternativa A -10 13 
1ª substituição de A -10 13 
2ª substituição de A -10 13 
Fluxo de caixa líquido -10 3 3 13 4,97 
MÉTODO DA ANUIDADE UNIFORME 
EQUIVALENTE (AE) 
 Para projetos com pequeno horizonte isto até é possível mas 
para projetos com grandes horizontes é inviável 
 
 Um método alternativo mais prático é calcular a anuidade 
uniforme equivalente (AE). 
 
 Mostra de quemodo a renda econômica gerada pelo projeto 
seria distribuída se tal distribuição fosse equitativa para 
cada ano. 
 
𝐴𝐸 =
𝑉𝑃𝐿
𝑎𝑛 𝑘%
 
 
𝑎𝑛 𝑘% =
(1 + 𝑘)𝑛−1
(1 + 𝑘)𝑛× 𝑘
 
Fator de valor presente de séries 
uniformes 
MÉTODO DA ANUIDADE UNIFORME 
EQUIVALENTE (AE) 
 Calculando para o exemplo inicial temos: 
𝐴𝐸 𝐴 =
1,82
1 + 0,10 1 − 1
1 + 0,10 1 × 0,10
= 𝑅$ 2,00/𝑎𝑛𝑜 
 
𝐴𝐸 𝐵 =
2,43
1 + 0,10 3 − 1
1 + 0,10 3 × 0,10
= 𝑅$ 0,98/𝑎𝑛𝑜 
 
MÉTODO DO CUSTO ANUAL EQUIVALENTE 
(CAE) 
 Para alternativas que produzam o mesmo serviço, 
quantificável ou não, mas com o custo diferente, pode-se 
analisar as alternativas pelo custo. 
 Ex.: Comparação entre dois geradores de eletricidade que 
difiram unicamente no tipo de combustível usado (gás 
natural e energia elétrica) 
 
 O custo anual equivalente (CAE) é um rateio uniforme, por 
unidade de tempo, dos custos de investimento, 
oportunidade e operacionais das alternativas. 
𝐶𝐴𝐸 =
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜
𝑎𝑛 𝑘%
 
 
MÉTODO DO CUSTO ANUAL EQUIVALENTE 
(CAE) 
 Ex.: Uma empresa quer adquirir um equipamento no 
mercado e há disponibilidade de duas diferentes marcas. A 
Marca A custa R$ 13.000 e tem vida útil de 12 anos, 
equanto a marca B custa R$11.000 e tem vida útil de 8 
anos. Qualquer que seja o equipamento o benefício será o 
mesmo: R$7.000/ano. Considerando o custo de capital de 
4%, qual é a melhor alternativa 
MÉTODO DO CUSTO ANUAL EQUIVALENTE 
(CAE) 
 
𝐶𝐴𝐸 𝐴 =
13.000
1 + 0,04 12 − 1
1 + 0,04 12 × 0,04
= 𝑅$ 1.385,18/𝑎𝑛𝑜 
 
𝐶𝐴𝐸 𝐴 =
11.000
1 + 0,04 8 − 1
1 + 0,04 8 × 0,04
= 𝑅$ 1.633,81/𝑎𝑛𝑜 
 
REFERÊNCIAS 
 Notas de aula – Prof Brandalise – EEIMVR/UFF 
 Apostila de Matemática Financeira Prof. Eron 
CEFET-BA 
 Matemática Financeira – Matias e Gomes . 
Editora atlas 
 Apostila de Matemática Financeira Prof. 
Fernando Guerra – UFSC 
 Matemática Finaceira – Carlos Patricio Samanez 
 
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