Aula6

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(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Definic¸a˜o precisa de limite
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Suponha que estejamos fabricando um eixo de
gerador com uma toleraˆncia estreita para o seu
diaˆmetro.
Poder´ıamos tentar um diaˆmetro L, mas, como
nada e´ perfeito, temos que nos satisfazer com
uma func¸a˜o de diaˆmetro f (x) que fique num
intervalo entre L− ε e L + ε com ε > 0 ta˜o
pequeno quanto eu queira.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Suponha que estejamos fabricando um eixo de
gerador com uma toleraˆncia estreita para o seu
diaˆmetro.
Poder´ıamos tentar um diaˆmetro L, mas, como
nada e´ perfeito, temos que nos satisfazer com
uma func¸a˜o de diaˆmetro f (x) que fique num
intervalo entre L− ε e L + ε com ε > 0 ta˜o
pequeno quanto eu queira.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Suponha que estejamos fabricando um eixo de
gerador com uma toleraˆncia estreita para o seu
diaˆmetro.
Poder´ıamos tentar um diaˆmetro L, mas, como
nada e´ perfeito, temos que nos satisfazer com
uma func¸a˜o de diaˆmetro f (x) que fique num
intervalo entre L− ε e L + ε com ε > 0 ta˜o
pequeno quanto eu queira.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Para esta tarefa precisamos de um controle em
x , com ajuda de um nu´mero δ > 0
suficientemente pequeno, para garantir um grau
de precisa˜o no diaˆmetro f (x) do eixo.
Assim, o valor de δ > 0 depende do valor de
ε > 0, a toleraˆncia de erro no diaˆmetro.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Para esta tarefa precisamos de um controle em
x , com ajuda de um nu´mero δ > 0
suficientemente pequeno, para garantir um grau
de precisa˜o no diaˆmetro f (x) do eixo.
Assim, o valor de δ > 0 depende do valor de
ε > 0, a toleraˆncia de erro no diaˆmetro.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Desafio 1: Fazer |f (x)− L| < ε = 1/10.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Desafio 1: Fazer |f (x)− L| < ε = 1/10.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Resposta 1: Fazer |x − x0| < δ1/10 (um nu´mero).
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Resposta 1: Fazer |x − x0| < δ1/10 (um nu´mero).
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Desafio 2: Fazer |f (x)− L| < ε = 1/100.
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Definic¸a˜o de Limite
Resposta 2: Fazer |x − x0| < δ1/100 (um nu´mero).
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Resposta 2: Fazer |x − x0| < δ1/100 (um nu´mero).
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Desafio 3: Fazer |f (x)− L| < ε = 1/1000.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Resposta 3: Fazer |x − x0| < δ1/1000 (um nu´mero).
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Definic¸a˜o de Limite
Resposta 3: Fazer |x − x0| < δ1/1000 (um nu´mero).
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Desafio 4: Fazer |f (x)− L| < ε = 1/100000.
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Resposta 4: Fazer |x − x0| < δ1/100000 (um
nu´mero).
Diogo de Santana Germano Definic¸a˜oo precisa de limite
Definic¸a˜o de Limite
Resposta 4: Fazer |x − x0| < δ1/100000 (um
nu´mero).
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Definic¸a˜o de Limite
Desafio 5: Fazer |f (x)− L| < ε (ainda menor).
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Desafio 5: Fazer |f (x)− L| < ε (ainda menor).
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Definic¸a˜o de Limite
Resposta 5: Fazer |x − x0| < δ (um nu´mero ainda
menor).
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Resposta 5: Fazer |x − x0| < δ (um nu´mero ainda
menor).
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Definic¸a˜o
Seja f (x) definida num intervalo aberto em torno de
x0, exceto talvez em x0. Dizemos que o limite de
f (x) quando x se aproxima de x0 e´ o nu´mero L,
e escrevemos
lim
x→x0
f (x) = L
se para cada nu´mero ε > 0 existir um nu´mero
correspondente δ > 0, tal que, para todos os valores
de x,
0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.
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Exemplo
Mostre pela definic¸a˜o de limite que
lim
x→1
(5x − 3) = 2.
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