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GEOMETRIA ANALÍTICA Prof. Sergio Ricardo Duque de Caxias 2013 Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 1 CAPÍTULO 1 O ponto no plano 1 - Estudo do Ponto no Plano (no R2) 1.1 - Par Ordenado e Coordenadas Cartesianas A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada (ou abscissa) e o número b é a segunda coordenada (ou ordenada). Assim o par (3, 4) é diferente do par (4, 3), pois no primeiro a abscissa é 3 e a ordenada é 4, enquanto que no segundo a abscissa é 4 e a ordenada é 3. 1.2 - Produto Cartesiano O produto cartesiano XxY de 2 conjuntos X e Y é o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y) cuja primeira coordenada x pertence a X e cuja segunda coordenada y pertence a Y. X x Y = {(x, y) ; x∈X e y∈Y} Exemplo: O produto cartesiano AB x CD entre 2 segmentos de reta AB e CD é um retângulo. Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 2 1.3 - Sistema de Eixos Ortogonais Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares Ox e Oy, que possuem a mesma origem O. Esses eixos são orientados e utilizam a mesma unidade de medida. 1.4 - Plano Cartesiano (Plano R2) Chamamos de Plano Cartesiano (ou Plano 2 x=ℝ ℝ ℝ ) a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais, onde qualquer um de seus pontos P = (x, y) possui uma abscissa x∈ℝ e uma ordenada y∈ℝ . Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em 4 quadrantes numerados no sentido anti-horário. Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 3 Os pontos P do eixo x são da forma P(x, 0), ou seja, possuem ordenada nula. Os pontos P do eixo y são da forma P(0, y), ou seja, possuem abscissa nula. Os pontos P do 1o quadrante são da forma P(x, y) com x > 0 e y > 0 : (+, +) Os pontos P do 2o quadrante são da forma P(x, y) com x < 0 e y > 0 : (−, +) Os pontos P do 3o quadrante são da forma P(x, y) com x < 0 e y < 0 : (−, −) Os pontos P do 4o quadrante são da forma P(x, y) com x > 0 e y < 0 : (+, −) Exemplo: Localize no plano cartesiano os pontos A(4, 1), B(1, 4), C(−2, −3), D(2, −2), E(−1, 0), F(0, 3) e O(0,0). Solução 1.5 - Bissetrizes dos Quadrantes A reta r que passa por todos os pontos cuja ordenada é igual à abscissa é a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja : ( ){ }2r x,y : y x= ∈ =ℝ Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 4 A reta s que passa por todos os pontos cuja ordenada é simétrica da abscissa é a bissetriz dos quadrantes pares, ou seja : ( ){ }2r x,y : y x= ∈ = −ℝ 1.6 - Ponto Médio de um Segmento Considere no 2ℝ , o segmento de reta AB, cujos extremos são os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB). Representemos o ponto médio desse segmento AB por M = (xM, yM). 1.7 - Distância entre dois pontos Considere no 2ℝ , os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB). Da congruência dos triângulos retângulos ADM e MEB, conclui-se que as coordenadas xM e yM do ponto M, são : xM = 2 xx BA + e yM = 2 yy BA + d(A, B) xB − xA Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ADB, vem : d (A,B) = 2 AB 2 AB )y(y )x(x −+− Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 5 1.8 - Ponto que divide um segmento em uma razão dada Considere no 2ℝ , o segmento de reta AB, cujos extremos são os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB). Dada uma razão r, desejamos as coordenadas do ponto S = (xS, yS) que divide o segmento AB na razão r, ou seja : AS SB = r OBS : a) Se r > 0, S está entre A e B (em particular, se r = 1, S é o ponto médio de AB) b) Se r < 0 (r ≠ −1), S é externo a AB (à esquerda de A, se −1< r < 0 e à direita de B se −∞ < r < −1) Baricentro (centro de Gravidade) de um Triângulo Seja ABC um triângulo do 2ℝ , cujos vértices são os pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC). As 3 medianas de ABC passam por um mesmo ponto G = (xG, yG) chamado baricentro do triângulo. Como AS = r ⋅ SB, também → AS = r ⋅ → SB Daí, temos sucessivamente : S − A = r (B − S) = r B − r S S + r S = A + r B S (1 + r) = A + r B S = r 1 B r A + + Portanto : xS = r 1 x r x BA + + e yS = r 1 yr y BA + + Da semelhança dos triângulos FGD e AGC segue-se que : AG/GD = AC/FD = 2 Assim AG = 2 ⋅ GD e também AG ���� = 2 ⋅GD ���� Daí, temos sucessivamente : G − A = 2 (D − G) = 2 D − 2 G 3 G = A + 2 D Mas, 2 D = B + C, pois D é médio de BC Logo : 3 G = A + B + C G = 3 C B A ++ Portanto : xG = 3 xx x CBA ++ e yG = 3 yy y CBA ++ Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 6 2. Atividades Exercício 1 Um ponto P tem coordenadas (2x − 6, 7) e pertence ao eixo das ordenadas. Determine x. Exercício 2 Os pares ordenados (2x, y) e (3y − 9, 8 − x) são iguais. Determine x e y. Exercício 3 Sabe-se que o ponto A(3k−1, 2−k) pertence à bissetriz dos quadrantes pares de um plano cartesiano. Determine o valor de k. Exercício 4 Sendo A = (−4, 7) e B = (6, −8), determine as coordenadas do ponto médio M do segmento AB. Exercício 5 Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A = (4, −3), B = (7, −1) e C = (−5, 4). Sendo E o ponto médio da mediana AD, determine as suas coordenadas. Exercício 6 Num paralelogramo ABCD tem-se A = (−2, −1) e B = (1, 4). Sabe-se, também, que suas diagonais encontram-se no ponto G = (3, 2), determine as coordenadas dos vértices C e D. Exercício 7 Determine a distância entre os pontos A = (−4, 5) e B = (2, −3). Exercício 8 Calcule o perímetro do triângulo ABC em que A = (2, 2), B = (5, 4) e C = (3, 6). Exercício 9 Determine o(s) ponto(s) do eixo das abscissas, cuja distância ao ponto A = (2, 3) vale 5. Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 7 Exercício 10 Determine o comprimento da mediana AM de um triângulo ABC cujos vértices são A = (−3, ) 3 2 , B = (1, 5) e C = (6, −1). Exercício 11 Determine o ponto S, que divide o segmento AB na razão r = 2 3 , sendo A = (−1, 6) e B = (4, −4). Exercício 12 Dado o segmento AB, onde A = (4, 3) e B = (−8, −1), determine as coordenadas do ponto S, colinear com A e B, tal que AS = 3⋅SB. Exercício 13 Os pontos A = (4, 1), B = (−1, 2) e C = (3, 7) são vértices de um triângulo. Determine as coordenadas de seu baricentro. Exercício 14 Em um triângulo ABC são dados o vértice A = (4, 1), o baricentro G = (−2, 0) e o ponto M = (2, −1) médio do lado AB. Determine as coordenadas do vérticeC. Exercício 15 No triângulo ABC, cada lado é dividido em 3 partes iguais como indicado na figura abaixo. Sendo P = (8, 3), Q = (11, 4) e R = (9, 2), determine as coordenadas do ponto M. Geometria Analítica Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 8 3. Gabarito 1) 3=x 2) 53 == yex 3) 2 1 =k 4) ) 2 1 ,1( −=m 5) ) 4 3 , 2 5() 2 3 ,1( −= EeD 6) )5,8()0,5( CeD = 7) 10),( =BAd 8) 17813 ++=Perímetro 9) )0,6()0,2( 21 pep −= 10) 2 170),()2, 2 7( == BAdem 11) )2,1(=S 12) )0,5(−=S 13) ) 3 10 ,2(=G 14) )2,10(−=C 15) ).2,1()0,3();1,4();5,14();2,5();4,1( −−−−= MeNSCBA
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