Geometria analitica capitulo 2

Prévia do material em texto

Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
9
 
CAPÍTULO 2 
Vetores no 2ℝ e 3ℝ 
 
 
 
1 - Conceito de Segmento de Reta Orientado 
 
Consideremos um segmento de reta AB e suponhamos que nele foi estabelecido um 
sentido de percurso: por exemplo, sempre de A para B; concebemos, então, o segmento orientado 
AB
���
. 
 
 
 
Os segmentos de reta orientados AB
���
 e CD
���
 (abaixo), são tais que: 
 
 
 
 
 � possuem módulos iguais, pois dist (A,B) = dist (C,D). 
 � possuem direções iguais (ou são paralelos), pois suas retas suportes são paralelas. 
 � possuem sentidos iguais, pois são paralelos e suas setas apontam para o mesmo rumo 
geral. 
 
OBS: A rigor só procede comparar sentidos de vetores paralelos 
 
 
2 - Conceito de Vetor 
 
Consideremos um conjunto formado por todos os segmentos de reta orientados que 
possuem determinado módulo, determinada direção e determinado sentido : 
 
 
 
 
 
 
 
Esse conjunto define um único vetor, ou seja, qualquer segmento orientado desse conjunto, 
independente da sua posição no plano, representa o mesmo vetor. 
 
 
 
A 
B 
A 
B 
C 
D 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
10
3 - Vetores Simétricos ou Opostos 
 
São vetores que possuem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários. 
 Os vetores AB
���
 e BA
���
 abaixo são simétricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Soma Geométrica (ou Resultante) de 2 Vetores 
 
Para se obter geometricamente a soma de 2 vetores, podemos deslocar um dos vetores de 
modo que seu início coincida com o final do outro. O vetor soma é o vetor que liga o início do vetor 
que ficou fixo ao final do vetor que foi deslocado. 
 
 
 
 
 
 
Pode-se também usar a Regra do Paralelogramo: Desloca-se um dos vetores de modo 
que seus inícios coincidam. O vetor soma inicia nesse mesmo ponto e é a diagonal do 
paralelogramo cujos lados são os vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 - Soma Geométrica (ou Resultante) de vários Vetores 
 
Para se obter geometricamente a soma de vários vetores, usamos o primeiro processo de 
forma generalizada. A colocação sequencial dos vetores é arbitrária (a ordem dos vetores não altera 
a soma) 
 
 
 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
11
6 - Subtração Geométrica de Vetores 
 
Para efetuar a subtração vetorial 21 vv
��
 − basta escrevê-la na forma ) ( 21 vv
��
−+ e fazer 
essa soma. 
Lembro que o vetor 2v
�
 − é o simétrico do vetor 2v
�
 
Veja o procedimento na figura a seguir: 
 
 
 
Se representarmos os 2 vetores com início comum, o vetor diferença v
�
= 21 vv
��
 − tem 
início coincidindo com o fim do vetor subtraendo ( )2v� , e fim coincidindo com o fim do vetor 
minuendo ( )1v� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe na figura que vv2
��
 + = 1v
�
 , ou seja, v
�
= 21 vv
��
 − 
 
 
7 - Vetor expresso por suas coordenadas 
a) No 2ℝ 
Dados A(a1, a2) e B(b1, b2), o vetor AB
���
 é 
definido por AB
���
 = B – A = (b1 − a1, b2 − a2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
12
b) No 3ℝ 
Dados A(a1, a2, a3) e B(b1, b2, b3), o vetor 
→ 
AB é definido por 
→ 
AB = B – A = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - Produto de um Escalar (Número Real) por um Vetor 
 
Seja t ∈ℝ e v
�
 um vetor do 2ℝ ou do 3ℝ . 
Se v
�
 é do 2ℝ , digamos v
�
 = (a, b), t⋅ v
�
= t⋅(a, b) = (t⋅ a, t⋅ b) 
Se v
�
 é do 3ℝ , digamos v
�
 = (a, b, c), t⋅ v
�
= t⋅(a, b, c) = (t⋅ a, t⋅ b, t⋅ c) 
Características de t⋅ v
�
 com t≠ 0 (se t= 0, t⋅ v
�
 é o vetor nulo) 
 direção : sempre a mesma de v
�
 
 sentido : o mesmo de v
�
, se t > 0 e contrário ao de v
�
, se t< 0. 
 módulo : |t| vezes o módulo de v
�
 
 
 
9 - Módulo de um Vetor em função de suas coordenadas 
a) No 2ℝ 
 Se v
�
= (a, b), o módulo de v
�
 (indicado por v
�
) é dado por : 
 
 v
�
 = 22 ba + 
 
b) No 3ℝ 
 Se v
�
= (a, b, c), o módulo de v
�
 (indicado por v
�
) é dado por : 
 
 v
�
 = 222 cba ++ 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
13
 9.1 - Propriedades do Módulo, Vetor Unitário e Vetor Nulo 
 a) v
�
 ≥ 0 
b) v k 
�
⋅ = |k|⋅ v
�
 
 c) Se v
�
 = 1, o vetor v
�
 é chamado vetor unitário 
 d) Se v
�
 = 0, o vetor v
�
 é chamado vetor nulo. A direção e o sentido do vetor nulo são 
indefinidos. 
 
 
10 - Versor de um Vetor 
 
O versor de um vetor não-nulo v
�
 é o vetor unitário u
�
 com o mesmo sentido e direção de 
v
�
. 
 
 u
�
 = 
v
v
�
�
 
 
Exemplo: 
O versor do vetor v
�
= (− 1, 3, 6 ) é o vetor 
 
u
�
 = 
v
v
�
�
 = 
 1( )−
− + +2 2 2
, 3, 6
( 1) (3) ( 6)
 = 





−
4 
6,
4
3 ,
4
1
 
 
 
 
10.1 - Vetores Unitários Canônicos de mesma direção e sentido dos eixos coordenados 
a) No 2ℝ 
Os vetores unitários canônicos de mesma direção e sentido que os eixos coordenados OX
����
 e OY
���
 
serão representados respectivamente por i
�
= (1, 0) e j
�
= (0, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor w
�
= (x, y) do R2 pode ser escrito em termos dos vetores i
�
 e j
�
. Com efeito: 
w
�
 = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x ⋅ (1, 0) + y ⋅ (0, 1) = x ⋅ i
�
 + y ⋅ j
�
 
 
 
 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
14
b) No 3ℝ 
 Os vetores unitários canônicos de mesma direção e sentido que os eixos coordenados OX
����
, OY
���
 
e OZ
���
 serão representados respectivamente por i
�
= (1, 0, 0) , j
�
= (0, 1, 0) e k
�
= (0, 0, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor w
�
= (x, y, z) do R3 pode ser escrito em termos dos vetores i
�
, j
�
 e k
�
. Com efeito: 
w
�
 = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x ⋅ (1, 0, 0) + y ⋅ (0, 1, 0) + z ⋅ (0, 0, 1) 
 = x ⋅ i
�
 + y ⋅ j
�
 + z ⋅ k
�
 
 
Exemplos: 
 1) O vetor w
�
= (4, 1, − 6) pode ser escrito como w
�
 = 4 i
�
 + j
�
 − 6 k
�
 
 2) O vetor w
�
 = − 7 i
�
 − 3 j
�
 + 5 k
�
 pode ser representado como w
�
= (− 7, − 3, 5 ) 
 
 
11 - Paralelismo entre 2 Vetores 
 
Dois vetores v
�
 e w
�
 são paralelos (indica-se por : v
�
//w
�
), se existir t∈R, tal que v
�
 = t⋅w
�
 
 
 
12 - Produto Escalar (ou Produto Interno) de 2 Vetores 
 
a) No 2ℝ 
 
 Dados 2 vetores v
�
 = (a, b) e w
�
 = (c, d) , o produto escalar entre v
�
 e w
�
 (indica-se por v
�
⋅ w
�
) 
é o número real obtido através da expressão : 
 
 v
�
⋅ w
�
 = a ⋅ c + b ⋅ d 
 
b) No 3ℝ 
 
 Dados 2 vetores v
�
 = (a, b, c) e w
�
 = (d, e, f), o produto escalar entre v
�
 e w
�
 (indica-se por 
v
�
⋅ w
�
) é o número real obtido através da expressão : 
 
 v
�
⋅ w
�
 = a ⋅ d + b ⋅ e + c ⋅ f 
 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
15
12.1 - Propriedades do Produto Escalar 
 
a) Comutatividade : v
�
 ⋅ w�
 = w
�
 ⋅ v
�
 
 
b) Distributividade : )wv( u
���
+⋅ = v u
��
⋅ + w u
��
 ⋅ 
 
c) v v
��
⋅ = v 
�
 
2. 
 
 
13 - Ângulo entre 2 Vetores 
 
O ângulo θ (0o ≤ θ ≤ 180o) entre 2 vetores u� e v� é o mesmo formado por 2 de seus 
representantes construídos a partir de uma origem comum e arbitrária O. 
 
 
 
 
 
 
 
13.1 - Expressão do Produto Escalar de 2 Vetores em termos de seus módulos e do ângulo 
formado 
 
Consideremos 2 vetores u
�
e v
�
 formando entre si um ângulo θ. Demonstra-se que o 
produto escalar entre eles também é dado por : 
 
 v u
��
⋅ = u 
�
 ⋅ v 
�
 cos θ 
 
Assim, uma interpretação geométrica para o produto escalar de 2 vetores é a determinação do 
ângulo formado por eles. 
 
 cos θ = 
 v u 
v u
��
��
⋅
⋅
 
 
Portanto : 
 1) v u
��
⋅ = 0 equivale a dizer que u
�
e v
�
 formam um ângulo reto 
 2) v u
��
⋅ > 0 equivale a dizer que u
�
e v
�
 formam um ângulo agudo 
 3) v u
��
⋅ < 0 equivale a dizer que u
�
e v
�
 formam um ângulo obtuso 
 
13.2 - Lei dos cossenos 
 
Em qualquer triângulo ABC, com lados BC = a, CA = b e AB = c, vale a relação : 
 
 
 a2 = b2 + c2 – 2 b.c.cos θ 
 
onde θ é o ângulo formado pelos lados AB e AC. 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
16
OBS: 
 
A fórmula acima é válida, ainda que o ângulo θ seja reto ou obtuso. Sendo θ reto, a fórmula se 
reduz à relação de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (pois cos θ = cos 90o = 0). 
 
Se, todavia, θ > 90o, o seu cosseno relaciona-se com o cosseno de seu suplemento, através da 
expressão: cos (θ) = - cos (180o - θ). Assim: cos 120o = - cos 60o, cos 150o = - cos 30o , etc. 
 
IMPORTANTE: 
Na aplicação da lei dos cossenos para a determinação do módulo da soma de 2 vetores, o ângulo θ 
é, na realidade, o suplemento do ângulo φ formado pelos vetores. Veja, na ilustração abaixo, a 
razão para isto: 
 
 
Observe que é no triângulo sombreado que se aplica 
a lei dos cossenos: 
 
2 2 2 2 2
1 2 1 2v v v 2 v v .cos= + − θ
� �� ��� �� ���
 
onde θ = 180o - φ (suplemento do ângulo φ formado 
pelos dois vetores a somar) 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
17
14. Atividades 
 
Exercício 1 
Na figura, os vetores u
�
, v
�
 e u
�
+ v
�
 estão representados sobre os lados do triângulo ABC, retângulo 
em  e o vetor w
�
 está sobre a mediana relativa à hipotenusa. Só para lembrar, a mediana 
relativa a um lado de um triângulo divide esse lado em 2 segmentos congruentes. No caso particular 
da mediana relativa à hipotenusa, a mediana e os 2 segmentos determinados sobre a hipotenusa 
são todos congruentes. 
 
Os módulos de u
�
 e v
�
 são respectivamente, 1 e 3 . 
Responda : 
a) Qual o módulo do vetor u
�
+ v
�
? 
b) Qual o módulo do vetor w
�
? 
c) Qual o ângulo formado pelos vetores v
�
 e u
�
+ v
�
? 
d) Qual o ângulo formado pelos vetores v
�
 e w
�
 ? 
e) Qual o ângulo formado pelos vetores w
�
 e u
�
+ v
�
 ? 
 
 
 
Exercício 2 
Se o vetor v
�
= (−2, 6) estiver aplicado no ponto início P (7, 7), quais as coordenadas de seu ponto 
fim Q? 
 
 
Exercício 3 
Se o vetor v
�
= (−2, 6, 8) estiver aplicado no ponto início P (1, 3, 7), quais as coordenadas de seu 
ponto fim Q? 
 
 
Exercício 4 
Dados os pares ordenados A(2, 3), B(3, 5) e C(2, −4) obtenha : 
a) as coordenadas dos vetores AB
���
, BC
���
 e AC
���
 
b) as coordenadas do vetor BA
���
 
c) as coordenadas do vetor 3⋅ AB
���
 − 2⋅BC
���
 + AC
���
 
 
 
Exercício 5 
Dados os ternos ordenados A(2, 7, 3), B(−1, 4, 5) e C(1, 3, −2), determine números reais x e y, 
tais que x⋅ AB
���
 + y⋅ AC
���
= BC
���
 
 
 
 
Exercício 6 
Determine o valor de a, para que os vetores v
�
 = (a, 3) e w
�
 = (2, − 6) sejam paralelos. 
 
 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
18
Exercício 7 
O vetor (a, b) é paralelo ao vetor (4, 1). Determine esse vetor, sabendo que o seu módulo é igual a 
3 17 . 
 
 
Exercício 8 
O vetor (a, b, c) é paralelo ao vetor (2, 5, 7). Determine esse vetor, sabendo que o seu módulo é 
igual a 3 78 . 
 
 
Exercício 9 
Determine o produto escalar entre os vetores u
�
e v
�
, sabendo que u 
�
 = 5, v 
�
 = 2 e que formam 
entre si um ângulo de 60o . 
 
 
Exercício 10 
Determine o ângulo formado pelos vetores u
�
= 3( , 1) e v� = (3, 0). 
 
 
Exercício 11 
Determine o ângulo interno CBA ˆ do triângulo cujos vértices são A (−3, 1), B (0, −2) e C (1, 4). 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 12 
Determine o ângulo formado pelos vetores u
�
=(1,1,4) e v
�
 = (-1,2,2). 
 
 
Exercício 13 
Sabendo que o vetor u
�
=(2,1,-1) forma um ângulo de 60° com o vetor AB determinado pelo pontos 
A ( 3,1-2) e B ( 4,0,m), calcular o valor de m. 
 
 
Exercício 14 
Calcular a e b de modo que os vetores u
�
=(4,1,-3) e v
�
(6,a,b) sejam paralelos. 
 
 
Exercício 15 
Verifique se os pontos A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2-7-1) são colineares. 
 
 
Exercício 16 
Determine os ângulos internos do triangulo ABC, sendo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2). 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Prof. Geovane Oliveira 
19
3. Gabarito 
1) 
a. 2=+ vu b. 1=w c. 30° d. 30° e. 120° ou 60° 
2) )13,5(=Q 
3) )15,9,1(−=Q 
4) 
a. )7,0();9,1();2,1( −− ACBCAB b. )2,1( −−BA c. )17,5( 
5) 11 =−= yex 
6) 1−=a 
7) )3,12(),( =ba 
8) )21,15,6(),,( =cba 
9) 5=⋅ vu 
10) °= 30Q 
11) ´54125°=Q 
12) °= 45θ 
13) 4−=m 
14) 
2
9
2
3
−== bea 
15) Sim 
16) ´719150´;5310 °=°=°= CeBÂ