Geometria analitica capitulo 4

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Geometria Analítica 
 
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CAPÍTULO 4 
A Reta no Plano 
 
 
 
4 – Estudo da reta no 2ℝ 
 
4.1 - Condição de Alinhamento de 3 pontos no 2ℝ 
 
Consideremos 3 pontos alinhados A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do 
2
ℝ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da semelhança dos triângulos retângulos ADB e BEC, temos: BÂD = EBC ˆ . 
Como tg (BÂD) = 
−
−
B A
B A
y y
x x = tg
E)B(C ˆ = 
−
−
c B
c B
y y
x x 
tem-se : 
−−
=
− −
c BB A
B A c B
y yy y
x x x x 
Daí : (yB − yA) ⋅ (xC − xB) = (xB − xA) ⋅ (yC − yB) 
 
Desenvolvendo e simplificando, tem-se: 
 xA yB + xB yC + xC yA − xA yC − xB yA − xC yB = 0 ou 
 x
A A
B B
C C
 
 
x y 1
 x y 1
y 1
 = 0 
 
Como os passos usados na dedução foram de ida e volta (⇔), podemos afirmar que: 
 
A condição necessária e suficiente para que 3 pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do 
2
ℝ estejam alinhados é que seja nulo o determinante 
 x
A A
B B
C C
 
 
x y 1
 x y 1
y 1
. 
OBS: Este resultado é igualmente válido nos casos em que os pontos A, B e C pertencem a uma 
reta paralela a um dos eixos coordenados. 
 
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4.2 - Equação geral da reta no 2ℝ 
 
 
Uma reta r do plano cartesiano possui equação da forma a x + b y + c = 0, onde a, b, c∈ℝ 
com a e b não simultaneamente nulos (ou seja: a2 + b2 ≠ 0). 
 
Esta equação a x + b y + c = 0 é chamada equação geral da reta. 
 
Com efeito, consideremos sobre r dois pontos distintos A=(xA, yA), B=(xB, yB) e um ponto 
genérico P=(x, y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como P, A e B estão alinhados, temos: 
 
 x
A A
B B
C C
 
 
x y 1
 x y 1
y 1
 = 0 
 
Desenvolvendo o determinante, obtemos: 
x yA + xA yB + y xB − xB yA − xA y − x yB = 0 
ou (yA − yB) x + (xB − xA) y + (xA yB − xB yA) = 0 
 
Fazendo: yA − yB = a , xB − xA = b, e xA yB − xB yA = c na última equação, obtemos: 
 
 a x + b y + c = 0 
 
Casos Particulares 
 
Como a e b não podem ser simultaneamente nulos, os possíveis casos particulares são: 
 1) a = 0 e b ≠ 0 (yA = yB e xA ≠ xB) 
 A equação fica da forma b y = − c ou y = − b
c
 = constante = yA = yB 
 Trata-se de uma reta paralela ao eixo x 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) b = 0 e a ≠ 0 (xA = xB e yA ≠ yB) 
 A equação fica da forma a x = − c ou x = − a
c
 = constante = xA = xB 
 Trata-se de uma reta paralela ao eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 - Coeficiente angular (declividade) de uma reta 
Seja r a reta de inclinação αααα em relação ao eixo x, definida pelos pontos A = (x1, y1) e 
B = (x2, y2). Chamamos de coeficiente angular (declividade) de r, o número real m = tg αααα. É claro 
que se α = 90o (reta vertical), m não está definido (tg 90o não existe) e se α = 0 (reta horizontal), 
m = tg 0o = 0. 
Analisemos, então, os casos restantes: 0o< α < 90o e 90o< α < 180o 
 
0o<<<< αααα <<<< 90o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90o<<<< αααα <<<< 180o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0o<<<< αααα <<<< 90o 
 tg α = x 
 y
∆
∆
 = 
2
2
x
y
 Logo: m = 
2
2
xx
yy
−
−
 
 É claro que nesse caso 
 
 tg (180o − α) = x 
 y
∆
∆
 = 
21
12
xx
yy
−
−
 
 tg α = − tg (180o − α) = − 
21
12
xx
yy
−
−
 = 
12
12
xx
yy
−
−
 
 Logo: m = 
12
12
xx
yy
−
−
 
 
 É claro que nesse caso m <<<< 0 
 
 
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Conclusão: Se A = (x1, y1) e B = (x2, y2) são 2 pontos distintos de uma reta r, não paralela ao eixo 
y (isto é : x2 ≠ x1), então o seu coeficiente angular (ou declividade) é o número: 
 
 m = x 
 y
∆
∆
 = 
12
12
xx
yy
−
−
 
 
 
4.4 - Coeficiente angular de uma reta expressa por sua equação geral 
 
Seja r a reta definida pelos pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), cuja equação geral é 
a x + b y + c = 0. Se b = 0, r é vertical (m não está definido), de modo que resta considerar o caso 
em que b ≠ 0. 
Como A e B são pontos de r: a x1 + b y1 + c = 0 e a x2 + b y2 + c = 0. 
Daí, a x1 + b y1 + c = a x2 + b y2 + c = 0 ou a (x2 − x1) = − b (y2 − y1). 
Portanto: 
12
12
xx
yy
−
−
 = − b 
 a 
 
 
 O coeficiente angular de uma reta r cuja equação geral é a x + b y + c = 0 (b ≠ 0), é dado por: 
 
 m = − b 
 a 
 
 
 
4.5 - Equação da reta que passa por um ponto e cujo coeficiente angular é conhecido 
 
Consideremos uma reta r que passa por um ponto A = (xo, yo) e cujo coeficiente angular 
seja m. 
Sendo P = (x, y) um ponto genérico da reta, temos: 
 
 
 
 
 
 m = tg α = 
−
−
0
0
y y
x x ⇒ y − yo = m (x − xo) 
 
 
 
 
 
 
Portanto a equação procurada é: y − yo = m (x − xo) 
 
OBS: 
 a) Se a reta r é paralela ao eixo x, tem-se m = 0 e a equação fica y = yo. 
 b) Se a reta r é paralela ao eixo y, m não é definido e a equação fica x = xo. 
 
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4.6 - Equação reduzida da reta 
 
A equação da reta que passa por um ponto A = (xo, yo), com coeficiente angular m é dada 
por: 
 y − yo = m (x − xo) 
 
 No caso particular em que o ponto A é o ponto de encontro da reta com o eixo y, isto é: 
A = (0, n) a equação fica: 
y − n = m (x − 0) ou y = m x + n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto a equação reduzida de uma reta é da forma y = m x + n, onde n é a ordenada do 
ponto onde a reta intersecta o eixo y. O número n é conhecido como coeficiente linear da reta. 
 
 
 
4.7 - Equação segmentária da reta 
 
 Considere uma reta r que não passa pela origem e que intersecta o eixo x no ponto P=(p, 0) 
e intersecta o eixo y no ponto Q = (0, q). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, a equação segmentária da reta r é: 
 
 p
x
 + q
 y
 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos um ponto genérico R = (x, y) 
desta reta. Como R, P e Q estão alinhados: 
 
 1
 
q0 
10p 
1yx 
 = 0. Desenvolvendo o determinante, 
obtemos: q x + p y − pq = 0 
Dividindo por p⋅q, obtemos: p
x
 + q
 y
 − 1 = 0 
 
 
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4.8 - Equações paramétricas da reta 
 
 As coordenadas x e y dos pontos de uma reta r podem estar definidas por equações da 
forma x = f(t) e y = g(t), onde f e g são funções do 1o grau em uma variável t chamada parâmetro. 
Para se obter a equação geral de r, devemos eliminaro parâmetro (isolar t em uma das equações 
paramétricas e substituir seu valor na outra). 
 
 
4.9 - Vetor diretor e vetor normal a uma reta 
 
 Seja r uma reta arbitrária do plano. Um vetor diretor de r é qualquer vetor t
�
 que possua a 
mesma direção da reta e um vetor normal à r é qualquer vetor n
�
 perpendicular à reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yB) dois pontos distintos da reta r : a x + b y + c = 0 
 Um vetor diretor de r é o vetor t
�
= 
→
AB = B − A = (xB − xA , yB − yA). 
 Mas m = 
AB
AB
xx
yy
−
−
 = − b 
 a 
, então: 
b
xx AB −
 = 
a
yy AB
−
−
 = k ou (xB − xA , yB − yA) = k ⋅ (b, −a) 
 Logo, o vetor (b, −a) é paralelo a 
→
AB = (xB − xA , yB − yA) e, portanto, também diretor de 
r. . 
 É claro que a xA + b yA + c = 0 e a xB + b yB + c = 0, pois A e B são pontos da reta r. 
Resulta daí que: a (xB − xA) + b (yB − yA) = 0 ou (a, b) ⋅ (xB − xA , yB − yA) = 0. 
Assim, (a, b) ⋅
→
AB = 0; ou seja, n
�
= (a, b) é um vetor normal à reta a x + b y + c = 0. 
 
 
4.10 - Posições relativas de duas retas 
 
 Sejam r e s duas retas do plano. Dizemos que: 
a) r e s são concorrentes se e somente se possuem apenas um ponto em comum: r ∩ s = {A} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) r e s são paralelas distintas, se e somente se não possuem ponto em comum: r ∩ s = ∅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) r e s são paralelas iguais ou coincidentes, se e somente se são a mesma reta: r ∩ s = r ou 
r = s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.10.1 - Retas concorrentes 
 
 Sejam r e s retas não verticais concorrentes, cujas equações reduzidas são: 
 r : y = m1 x + n1 
 s : y = m2 x + n2 
 
Como as inclinações das retas são distintas (θ ≠ α), seus coeficientes angulares também são 
distintos: 
 m1 ≠ m2 
 
Os coeficientes lineares podem ser iguais ou não. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.10.2 - Retas paralelas distintas 
 
 Sejam r e s retas não verticais paralelas distintas, cujas equações reduzidas são: 
 r : y = m1 x + n1 
 s : y = m2 x + n2 
 
 Como as inclinações das retas são iguais, seus coeficientes angulares também são 
iguais; todavia os seus coeficientes lineares devem ser distintos. 
 
 m1 = m2 e n1 ≠ n2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.11 - Posições relativas e equação geral 
 
Se as retas r e s são dadas por suas equações gerais: 
 
 r : a1 x + b1 y + c1 = 0 
 s : a2 x + b2 y + c2 = 0 
 
podemos dizer que: 
a) r e s são concorrentes, se 
1
2
a
a ≠ 
1
2
b
b 
 
b) r e s são paralelas distintas, se 
1
2
a
a = 
1
2
b
b ≠ 
1
2
c
c 
 
 
c) r e s são paralelas coincidentes, se 
1
2
a
a = 
1
2
b
b = 
1
2
c
c 
 
 
 
 
 
 
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4.12 - Retas perpendiculares 
 
 Vimos na trigonometria circular, que: 
 
 sen (90o + α) = sen [180o − (90o − α)] = sen (90o − α) = cos α 
 
 cos (90o + α) = cos [180o − (90o − α)] = − cos (90o − α) = − sen α 
 
De modo que: 
 tg (90o + α) = 
α
α
+
+
(90º )
cos(90º )
sen
 = 
α
α−
cos
sen
 = − cotg α = − α
1
tg
 
 
Assim: tg (90o + α) = − α
1
tg
 
 
 
 Consideremos 2 retas r e s perpendiculares entre si e suponhamos que a inclinação da reta 
s (α2) seja superior à inclinação da reta r (α1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como α2 é ângulo externo do triângulo retângulo APB: α2 = 90o + α1 
 
Daí, tg α2 = tg (90o + α1) = − α1
1
tg , ms = − 
1
rm
 ou ms ⋅ mr = − 1 
 
 
Logo, 2 retas são perpendiculares sss o produto de seus coeficientes angulares for igual a − 1. 
 
 
 s ⊥ r ⇔ ms ⋅ mr = − 1 
 
 
 
 
 
 
 
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Poderíamos ter chegado a essa mesma conclusão, através de vetores. 
 
 
Com efeito, se r: a x + b y + c = 0 e s : a* x + b* y + c* = 0 são perpendiculares, também são 
perpendiculares os seus vetores normais (a, b) e (a*, b*), de modo que (a, b) ⋅⋅⋅⋅ (a*, b*) = 0 . 
 
Daí : a ⋅ a* + b ⋅ b* = 0 , 
⋅
⋅
*
*
a a
b b
 = − 1 
 
 
  
− ⋅ −  
   
*
*
a a
b b
 = − 1 ou mr ⋅ ms = − 1 
 
 
 
 
 
 
4.13 - Ângulo entre 2 retas concorrentes 
 
É o menor dos ângulos formados pelas 2 retas. 
 
Há 4 casos a considerar 
 
1o Caso: Uma reta é paralela ao eixo x (horizontal) e a outra paralela ao eixo y (vertical) ou então 
uma possui coeficiente angular m1 e a outra m2, com m1 . m2 = − 1. 
 
Em ambas situações as retas são perpendiculares, logo θ = 90o . 
 
 
 
 
 
 
 
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2o Caso: Uma reta é paralela ao eixo x (horizontal) e a outra tem coeficiente angular m = tg α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na figura acima s é transversal às paralelas r e x. Representemos o ângulo φ, 
correspondente a α. Como φ = α (sempre), se α for agudo (m > 0), então φ também é agudo e 
θ = âng (r, s) = φ. Se, ao contrário, α for obtuso (m < 0), então φ também é obtuso e 
θ = âng (r, s) = (180o − φ). 
 
 Em qualquer dessas situações, o ângulo θθθθ entre r e s é tal que: tg θ = |tg φ| = |tg α| = |m| 
 
 tg θ = |m| 
 
 
3o Caso: Uma reta é paralela ao eixo y (vertical) e a outra tem coeficiente angular m = tg α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesse caso, se α for agudo (m > 0), então θ = 90o − α (tg θ = cotg α = 
1
m
), se ao contrário 
α for obtuso (m < 0), então θ = α − 90o (tg θ = − cotg α = − 
1
m
) 
Em qualquer das situações, o ângulo θθθθ entre r e s é tal que: tg θ = |cotg α| = 
1
m
 
 tg θ =
1
m
 
 
 
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4o Caso: As retas, de coeficientes angulares m1 e m2, não são paralelas aos eixos e, embora sejam 
 concorrentes, não são perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos: α = β + θ ou θ = α − β. 
Daí: tg θ = tg (α − β) = α βα β
−
+ ⋅1
tg tg
tg tg
 = 
−
+ ⋅1
r s
r s
m m
m m 
Como θ é sempre o menor dos ângulos, ele é agudo e tg θ > 0. Portanto: 
 
 tg θ = 
−
+ ⋅1
r s
r s
m m
m m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Atividades 
Exercício 1 
Determine a, sabendo que os pontos A = (a, 2), B = (3, a) e C = (5, 0) estão alinhados 
 
 
Exercício 2 
Determine o valor de k de modo que os pontos (k, 4), (11, k) e (−1, 3) estejam alinhados. 
 
 
Exercício 3 
Determine os valores de k de modo que os pontos A = (k, −1), B = (−1, k) e C = (4, −2) sejam vértices de um 
triângulo. 
 
 
Exercício 4 
Determine o ponto em que 
���
AB intersecta a bissetriz dos quadrantes pares, sendo A = (0, −8) e B = (5, 7). 
 
 
Exercício 5 
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A = (5, 3) e B = (−2, −1) 
 
 
Exercício 6 
Uma reta r tem equação 4 x − y − 3 = 0 e uma reta stem equação 3 x + y − 11 = 0. Determine o ponto 
P = (x, y) de interseção dessas retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7 
Determine os vértices do triângulo ABC conhecendo-se as equações das retas-suporte dos lados 
 
↔
AB : x − 3 y + 7 = 0 
 
↔
AC : x − y + 1 = 0 
 
↔
BC : x − 2 y + 5 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 8 
Sendo A = (−2, 3) e B = (4, −1), determine a equação da mediatriz do segmento AB (reta perpendicular ao 
segmento AB e que contém o seu ponto médio). 
 Sugestão : Um ponto genérico P = (x, y) da mediatriz equidista de A e B : d(P, A) = d(P, B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 9 
 Determine a área do triângulo hachurado da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 10 
Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: 
a) A = (2, 3) e B = (4, 7) 
 
b) P1 = (3, 2) e P2 = (3, −2) 
 
c) P = (5, 2) e Q = (−3, 2) 
 
 
Exercício 11 
Determine o coeficiente angular de cada reta dada por sua equação geral : 
a) 3 x − 2 y + 6 = 0 
 
b) 2 x + y + 1 = 0 
 
c) 3 y − 4 = 0 
 
d) 5 x + 7 = 0 
 
 
 
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Exercício 12 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A = (5, 3) e tem coeficiente angular − 2. 
 
 
Exercício 13 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A = (−1, 4) e tem coeficiente angular 2. 
 
 
 
Exercício 14 
Determine a equação da reta de inclinação α = 135o e que passa pelo ponto P = (4, 1) 
 
 
 
Exercício 15 
Qual é a equação da reta r da figura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 
Determine a equação da reta de declividade − 2 e que intersecta o eixo y no ponto A = (0, −3). 
 
 
Exercício 17 
Determine a equação segmentária da reta que corta os eixos coordenados em (5, 0) e em (0, −2). 
 
 
Exercício 18 
Uma reta r é definida parametricamente por x = t + 1 e y = 2 t. 
 Determine : 
a) o ponto P da reta r associado ao valor t = 5 do parâmetro 
 
b) a equação geral da reta r 
 
 
Exercício 19 
Dadas as equações paramétricas de r: x = 2 t − 1 e y = t + 2 ; determine : 
a) a equação reduzida de r 
 
b) a interseção de r com o eixo x 
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Exercício 20 
Dada a reta r : 4 x − 5 y + 20 = 0, pede-se : 
a) dois pontos A e B de r 
 
b) um vetor diretor de r 
 
c) um vetor normal à r 
 
 
Exercício 21 
Determine m, sabendo que o vetor (2, −7) é perpendicular à reta de equação m x + 3 y − 2 = 0. 
 
 
 
Exercício 22 
Verifique a posição relativa das retas dadas por suas equações: 
a) r: 3 x − y + 2 = 0 
 s: 4
x
 + 10
 y
 = 1 
 
b) r: y = 3
2
 x − 1 
 s: 4 x − 6 y + 5 = 0 
 
c) r: x = 8 
 s: y − 5 = 3 (x − 4) 
 
 
Exercício 23 
Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto P = (2, −3) e é paralela à reta de equação 
5 x − 2 y + 1 = 0. 
 
 
 
Exercício 24 
Determine a equação geral da reta-suporte do lado AB do paralelogramo ABCD da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 25 
Se as retas (a + 3) x + 4 y − 5 = 0 e x + a y + 1 = 0 são paralelas, determine o valor de a . 
 
 
 
Exercício 26 
Dada a reta r: 3 x − 2 y + 4 = 0 e o ponto P = (1, −3), determine a equação da reta s que passa por 
P e é perpendicular à reta r. 
 
 
Exercício 27 
Determine a equação da mediatriz do segmento de reta cujos extremos são os pontos A = (3, 2) e 
B = (−2, −4). 
 
 
 
Exercício 28 
Determine, em cada caso, o ângulo formado pelas retas r e s: 
a) r : y = 4 e s : x = 3 
 
b) r : y = 2 x + 6 e s : y − 5 = − 2
1
(x + 4) 
 
c) r : y = 5 e s : y − 2 = 3 (x + 4) 
 
d) r : x = 4 e s : 2 x + 6 y − 1 = 0 
 
e) r : y − 4 = 3 (x − 5) e s : 








2
7
x
+ 7
y
 = 1 
 
 
44 
Geometria Analítica 
 
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira 
5. Gabarito 
1) 14 == aoua 
2) 35 −== kouk 
3) 0=k 
4) )4,4(=P 
5) 0174 =+− yx 
6) )5,2(=P 
7) )4,3();2,1();3,2( CBA −= 
8) 0123 =−− yx 
9) 8,111
20
==∆A 
10) 
a. 2=m 
b. Não está definido, pois a reta é perpendicular (90°) ao eixo x. 
c. )(0 nulom = , pois a reta é paralela ao eixo x. 
11) 
a. 2
3
=m
 b. 2−=m c. )(0 nulom = d. Não está definido. 
12) 0132 =−+ yx 
13) 062 =+− yx 
14) 05 =−+ yx 
15) 022 =++ yx 
16) 032 =++ yx 
17) 125
=
−
+
yx
 
18) 
a. )10,6(=P b. 022 =−− yx 
19) 
a. )5(2
1
+= xy
 b. )0,5(−=P 
20) 
a. )0,5()4,0( BeA b. )4,5( −=v c. )5,4( −=u 
21) 7
6
−=m
 
22) F 
45 
Geometria Analítica 
 
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira 
a. Concorrentes b. Paralelas distintas. c. Concorrentes. 
23) 01625 =−− yx 
24) 01932 =−+ yx 
25) 14 =−= aoua 
26) 0732: =++ yxs 
27) 071210 =++ yx 
28) 
a. °= 90α 
b. °= 90α 
c. '57,71 °=α 
d. '57,71 °=α 
e. °= 45α