Aula03 23mar2018

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Métodos Numéricos em Engenharia 
Metalúrgica e de Materiais
Aula 4
COT752 – 2017/1
Prof. Rodrigo Carvalho
rodrigo@metalmat.ufrj.br
Sala F-208 ou 2º Piso LTM
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Ajuste dados a uma curva por 
minímos quadrados 
• Ajustando uma linha aos dados
• Interpretação geométrica
• Resíduos
• Equações normais
• Ajuste não-linear através de transformações de 
coordenadas
• Ajustando combinações lineares arbitrárias de funções 
base
• Formulação matemática
• Solução via equações normais
• Solução via fatoração QR
• Ajuste a polinômios
• Ajuste multivariável
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Ajuste de dados a uma reta
• Dados 𝑚 pares de dados
• 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,… ,𝑚
• Encontre os coeficientes 𝛼 e 𝛽 tais que,
• 𝐹 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽
é um bom ajuste dos dados.
Perguntas: 
• Como definidos um bom ajuste?
• Como computamos 𝛼 e 𝛽 depois de definirmos um “bom 
ajuste”?
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Ajustes possíveis
• Ajustes possíveis são 
obtidos ao se ajustar o 
coeficiente angular e o 
intercepto. Aqui está uma 
representação gráfica dos 
ajustes potenciais para um 
certo conjunto de dados.
• Qual das linhas 
proporcionam o melhor 
ajuste?
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Resíduo
• A diferença entre um dado 
valor de 𝑦𝑖 e a função de 
ajuste avaliada em 𝑥𝑖 é,
𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝐹 𝑥𝑖
𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝛼𝑥𝑖 + 𝛽
𝑟𝑖 é o resíduo para o par de 
dados 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖
𝑟𝑖 é a distância vertical entre 
os dados conhecidos e a 
função de ajuste
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Minimizando os Resíduos
• Dois critérios para escolha do melhor ajuste:
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 σ 𝑟𝑖 ou 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 σ 𝑟𝑖
2
• Por razões estatísticas e computacionais, escolha a 
minimização de 𝜌 = σ𝑟𝑖
2
• O melhor ajuste é obtido pelos valores de 𝛼 e 𝛽
que minimizam 𝜌
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Ajuste por mínimos quadrados
• O ajuste por mínimos quadrados é obtido escolhendo 𝛼 e 𝛽 tais 
que, 
෍
𝑖=1
𝑚
𝑟𝑖
2
é um mínimo. Faça, 𝜌 = 𝑟 2
2 para simplificar a notação.
Encontrar 𝛼 e 𝛽 por minimização de 𝜌 = 𝜌 𝛼, 𝛽 . O mínimo requer,
ቤ
𝜕𝜌
𝜕𝛼
𝛽=constante
= 0
e
ቤ
𝜕𝜌
𝜕𝛽
𝛼=constante
= 0
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Ajuste por mínimos quadrados
• Procedendo com a diferenciação, 
𝑆𝑥𝑥𝛼 + 𝑆𝑥𝛽 = 𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝛼 +𝑚𝛽 = 𝑆𝑦
Onde, 
𝑆𝑥𝑥 = σ𝑖=1
𝑚 𝑥𝑖𝑥𝑖 𝑆𝑥 = σ𝑖=1
𝑚 𝑥𝑖
𝑆𝑥𝑦 = σ𝑖=1
𝑚 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑆𝑦 = σ𝑖=1
𝑚 𝑦𝑖
Note que: 𝑆𝑥𝑥, 𝑆𝑥, 𝑆𝑥𝑦 e 𝑆𝑦𝑦 podem ser computador 
diretamente dado o conjunto de dados 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 . Assim,
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Ajuste por mínimos quadrados
• Resolvendo para, 𝛼 e 𝛽
• Com 
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• Determinando um sistema para um ajuste linear
• Vamos derivar a equação do ajuste. Isto fornece do 
processo ou ajusta combinações de funções lineares 
arbitrárias
• Para quaisquer dois pontos podemos escrever
• Ou 
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• Estendendo para dois ou mais pontos, podemos 
escrever 𝛼𝑥 + 𝛽 = 𝑦 para todos os pontos
conhecidos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖), 𝑖 = 1,… ,𝑚 fornece o Sistema 
indeterminado
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Onde:
ou
• Nota: não podemos resolver Ac=y com eliminação 
Gaussiana. A menos que o sistema seja consistente, 
ou seja, o y pertence a alguma coluna de A, é 
impossível encontrar c=(α,β)T satisfaz exatamente 
todas as equações m. O sistema é consistente 
somente se todos os pontos de dados estejam ao 
longo da reta.
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Equações normais para um ajuste 
linear
• Computar , onde r=y-Ac
• Minimizar p, requer
• Ou
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𝐴𝑇𝐴 𝑐 = 𝐴𝑇𝑦
• Veja,
• É a solução matricial das equações
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𝐴𝑇𝐴 𝑐 = 𝐴𝑇𝑦
• Escrevendo uma função de ajuste
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• Exemplo:
• Conjunto de dados
• Avaliar e plotar o ajuste
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O 𝑅2 estatístico
• O 𝑅2 é a medida do quão bem a função de ajuste 
segue a tendência nos dados.
• ො𝑦 é o valor da função de ajuste nos pontos conhecidos
• ത𝑦 é a média dos valores de y
• Para um ajuste linear:
• Então: 
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• Se 𝑅2 é próximo de 1, a função segue a tendência
dos dados
• Se 𝑅2 é próximo de 0, o ajuste não é 
significativamente melhor que uma aproximação
dos dados pela média
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Interpretação gráfica do 𝑅2
• Considere um ajuste linear para o conjunto de 
dados com
• Distâncias verticais entre um
Dado y e o ajuste por mínimos quadrados.
As linhas verticais mostram as contribuições ao 𝑟
2
• Distâncias verticais entre os dados y e a média de y.
Linhas verticais mostram a contribuição à 
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Exemplo
• Considere a variação do módulo de Young do 
carbeto de silício como função da temperatura
• Usando a função linefit
[c,R2]=linefit(t,g)
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Ajuste de funções não-lineares 
transformadas
• Algumas funções de ajuste não lineares 𝑦 = 𝐹 𝑥
podem ser transformadas em uma equação da forma 
𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝛽
• O ajuste de mínimos quadrados pode ser realizado com 
as variáveis transformadas
• O parâmetros da função de ajuste não linear são 
obtidos pela transformação de volta às variáveis 
originais
• O ajuste linear de mínimos quadrados das equações 
transformadas não resultam nos mesmos coeficientes 
de ajustes da solução direta do ajuste de mínimos 
quadrados envolvendo a função de ajuste original.
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• Alguns exemplos
𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑐2𝑥 → ln 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽
𝑦 = 𝑐1𝑥
𝑐2 → ln 𝑦 = 𝛼 ln 𝑥 + 𝛽
𝑦 = 𝑐1𝑥𝑒
𝑐2𝑥 → ln
𝑦
𝑥
= 𝛼𝑥 + 𝛽
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• Para o caso: 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑐2𝑥
• Faz-se
ln𝑦 = ln𝑐1 + 𝑐2𝑥
• Introduzindo as variáveis
𝑣 = ln 𝑦
𝑏 = ln 𝑐1
𝑎 = 𝑐2
Transforma a equação em,
𝑣 = 𝑎𝑥 + 𝑏
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• Exemplos:
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• Exemplo no Matlab
• Ajustar: 𝑦 = 𝑐1𝑥𝑒
𝑐2𝑥
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• Sumário:
• Transformar (x,y) quando necessário
• Realizar o ajuste linear
• Transformar de volta os resultados do ajuste linear 
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• Sumário do ajuste linear:
1) m pares de dados são dados (xi,yi), i=1,...,m
2) A função de ajuste y=F(x)=c1x+c2 possui n=2 funções 
base f1(x)=x e f2(x)=1
3) Avaliando a função de ajuste para cada um dos m 
pontos de dados fornece um sistema indeterminado 
de equações Ac=y, onde c=[c1,c2]T e y=[y1,y2,...,ym]T
e 
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• 4) os princípios dos mínimos quadrados definem o 
melhor ajuste como os valores de c1 e c2 que 
minimizam
• 5) A minimização de 𝜌(𝑐1, 𝑐2) leva às equações
normais,
• 6) A solução das equações normais fornece o 
coeficiente angular c1 e o intercepto c2 da melhor 
reta de ajuste
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Ajuste linear de combinação de 
funções
• Definição da função de ajuste e funções base
• Formulação do sistema indeterminado
• Solução via equações normais
• Soluçaõ via fatorização QR
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• Considere a função de ajuste;
• 𝐹 𝑥 = 𝑐1𝑓1 𝑥 + 𝑐2𝑓2 𝑥 +⋯+ 𝑐𝑛𝑓𝑘(𝑥)
ou
𝐹 𝑥 =෍
𝑗=1
𝑛
𝑐𝑗𝑓𝑗(𝑥)
As funções base:
𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 ,… , 𝑓𝑛 𝑥
são escolhidas por você, ou seja, a pessoa responsável 
pelo ajuste!
Os coeficientes 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛
são determinados pelo método dos mínimos quadrados.
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• A função 𝐹(𝑥) pode ser qualquer combinação de 
funções que são lineares em 𝑐𝑗. Adicionalmente,
• 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥
2
3, sen 𝑥, 𝑒𝑥 , 𝑥𝑒𝑥 , cos(ln 25𝑥)
São todas funções base válidas. Por outro lado,
sen 𝑐1𝑥 , 𝑒
𝑐3𝑥 , 𝑥𝑐2
Não são funções base válidas enquanto 𝑐𝑗 forem 
parâmetros do ajuste.
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• Por exemplo, a função de ajuste para um polinômio 
cúbico é,
𝐹 𝑥 = 𝑐1𝑥
3 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥 + 𝑐4
Que possui como funções base,
𝑥3, 𝑥2, 𝑥, 1
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Ajuste linear de combinações de 
funções
• O objetivo é encontrar os 𝑐𝑗 de tal forma que
𝐹 𝑥𝑖 ~𝑦𝑖
• Como, 𝐹 𝑥𝑖 ≠ 𝑦𝑖 o resído em cada ponto de 
dados é,
𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝐹 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 −෍
𝑗=1
𝑛
𝑐𝑗𝑓𝑗(𝑥𝑖)
A solução por mínimos quadrados fornece os cj que 
minimizam 𝑟 2
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• Considere a função de ajuste com as três funções 
base
• 𝑦 = 𝐹 𝑥 = 𝑐1𝑓1 𝑥 + 𝑐2𝑓2 𝑥 + 𝑐3𝑓3 𝑥
• Assuma que 𝐹 𝑥 atue como um interpolante, 
então:
• 𝑐1𝑓1 𝑥1 + 𝑐2𝑓2 𝑥1 + 𝑐3𝑓3 𝑥1 = 𝑦1
• 𝑐1𝑓1 𝑥2 + 𝑐2𝑓2 𝑥2 + 𝑐3𝑓3 𝑥2 = 𝑦2
• ...
• 𝑐1𝑓1 𝑥𝑚 + 𝑐2𝑓2 𝑥𝑚 + 𝑐3𝑓3 𝑥𝑚 = 𝑦𝑚
são satisfeitas.
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• Para o ajuste de mínimo quadrados, as equações 
não são todas satisfeitas, ou seja, a função de 
ajuste 𝐹(𝑥) não passa por todos os pontos 𝑦𝑖
• Interpolação x Ajuste
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• As equações anteriores são equivalentes ao sistema 
indeterminado,
𝐴𝑐 = 𝑦
Onde,
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𝐴 =
𝑓1(𝑥1) 𝑓2(𝑥1) 𝑓3(𝑥1)
𝑓1(𝑥2) 𝑓2(𝑥2) 𝑓3(𝑥2)…
𝑓1 𝑥𝑚
…
𝑓2 𝑥𝑚
…
𝑓3 𝑥𝑚
𝑐 =
𝑐1
𝑐2
𝑐3
y =
𝑦1
𝑦2
𝑦3
• Se F(x) não pode interpolar os dados, então a 
matriz precedente não pode ser resolvida 
exatamente: b não é uma coluna de A
• O método dos mínimos quadrados permite uma 
solução que minimiza: 𝑟 2 = 𝑦 − 𝐴𝑐 2
• O 𝑐 que minimiza 𝑟 2 satisfaz as equações
normais,
𝐴𝑇𝐴 𝑐 = 𝐴𝑇𝑦
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• Em geral, para n funções base
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𝐴 =
𝑓1(𝑥1) 𝑓2(𝑥1) 𝑓3(𝑥1)
𝑓1(𝑥2) 𝑓2(𝑥2) 𝑓3(𝑥2)…
𝑓1 𝑥𝑚
…
𝑓2 𝑥𝑚
…
𝑓3 𝑥𝑚
𝑐 =
𝑐1
𝑐2
𝑐3
y =
𝑦1
𝑦2
𝑦3
• Exemplo: Ajustar uma parábola a seis pontos
• Considere os dados:
Sem saber maiores 
detalhes sobre os dados, 
podemos iniciar com um 
ajuste polinomial.
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• A equação polinomial de segunda ordem pode ser escrita,
𝑦 = 𝑐1𝑥
2 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3
Onde 𝑐𝑖 são os coeficientes a serem determinados pelo ajuste
e as funções base são, 
𝑓1 𝑥 = 𝑥
2, 𝑓2 𝑥 = 𝑥, 𝑓3 𝑥 = 1
A matriz A é, 
𝐴 =
𝑥1
2 𝑥1 1
𝑥2
2 𝑥2 1…
𝑥𝑚
2
…
𝑥𝑚
…
1
Onde, para estes dados, 𝑚 = 6
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• Definindo os dados
• A matriz de coeficientes desse sistema é,
•
A matriz de coeficientes das equações normais é,
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• O vetor do lado direito das equações normais é,
• Resolva as equações normais
c=(A'*A)\(A'*y)
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• Avaliando e plotando o ajuste
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• Ajuste alternativo para os mesmos pontos
• 𝐹 𝑥 =
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑥
• As funções base são,
•
1
𝑥
, 𝑥
• No Matlab:
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Avaliando a função de ajuste 
como um produto matriz-vetor
• Temos escrito a função de ajuste como,
𝐹 𝑥 = 𝑐1𝑓1 𝑥 + 𝑐2𝑓2 𝑥 +⋯+ 𝑐𝑛𝑓𝑘(𝑥)
A matriz de coeficientes indeterminados contem as funções 
base avaliadas em dados conhecidos
• Assim, se A está disponível: 𝐹 𝑥 = 𝐴𝑐
avalia 𝐹 𝑥 em todos os valores de 𝑥, 𝐹 𝑥 é um 
função vetorizada
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𝐴 =
𝑓1(𝑥1) 𝑓2(𝑥1) … 𝑓𝑛(𝑥1)
𝑓1(𝑥2) 𝑓2(𝑥2) … 𝑓𝑛(𝑥2)…
𝑓1 𝑥𝑚
…
𝑓2 𝑥𝑚
…
… 𝑓𝑛 𝑥𝑚
• A avaliação da função de ajuste como um produto 
matriz-vetor pode ser realizada para qualquer 𝑥. 
Suponha então que criamos um arquivo .m de uma 
função que avalia 𝐴 para qualquer 𝑥, por exemplo
• Então para plotar a função de ajuste após os 
coeficientes
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• Vantagens:
• As funções base são definidas em um único lugar: na rotina 
de avaliação do sistema indeterminado
• A automação do ajuste e plotagem é facilitada porque tudo 
que é necessário é apenas uma rotina para avaliar as funções 
base
• O usuário final do ajuste pode ainda avaliar a função de ajuste 
como 
• Desvantagens
• Armazenamento da matriz A para x grande, consome 
memória. Isto não é problema para n pequeno.
• Avaliação da função de ajuste pode não ser óbvia a um leitor 
não familiarizado com álgebra linear.
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Implementação no fitnorm
• Faça A ser a matriz m x n definida por 
𝐴 =
⋮ ⋮ ⋮
𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥)
⋮ ⋮ ⋮
As colunas de A são as funções base avaliadas a cada um 
dos pontos de dados x.
Como previamente, as equações normais são:
𝐴𝑇𝐴𝑐 = 𝐴𝑇𝑦
Assim, o usuário fornece somente um arquivo .m que 
retorna A
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Exemplos de funções do usuário
• Para o caso de uma parábola
𝑓1 𝑥 = 𝑥
2, 𝑓2 𝑥 = 𝑥, 𝑓3 𝑥 = 1
Criar o arquivo .
function A=poli2base(x)
A=[x(:).^2 x(:) ones(size(x(:)))];
No prompt de comando:
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Ou utilize um objeto função in-line
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• Outro exemplo: 𝐹 𝑥 =
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑥 cujas funções são
1
𝑥
, 𝑥
• Criar arquivo .m
• No prompt de comando:
•
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• Ou, como função in-line
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R2
• O 𝑅2 pode ser aplicado a combinações lineares de 
funções base
• Lembrando: 
• No qual ො𝑦 é o valor da função de ajuste nos pontos 
conhecidos 𝑥𝑖
• ത𝑦 é a média dos valores de y
• Para uma combinação linear de funções base
• ෝ𝑦𝑖 = σ𝑗=1
𝑛 𝑐𝑗𝑓𝑗(𝑥𝑖)
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• Para contabilizar a redução de graus de liberdade 
nos dados quando o ajuste é realizado é 
tecnicamente apropriado considerar um coeficiente 
ajustado de determinação:
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Ajustes polinomiais com o polyfit
• Funções internas do Matlab
polyfit – obtém os coeficientes de um ajuste 
polinomial por mínimos quadrados para um conjunto 
de dados
polyval – avalia um polinômio em um dado conjunto 
de valor de x
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Ajustes polinomiais com o polyfit
• Sintaxe:
x e y definem os dadosn é o grau de liberdade de um polinômio
c é um vetor de coeficientes polinomiais 
armazenados em ordem decrescente de potências de 
x
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• Avaliação de polinômios com polyval
Sintaxe:
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• Exemplo:
• No Matlab
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• Condutividade do Cobre próximo a 0 K
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• Modelo teórico da condutividade
• Para o ajuste linear, devemos escrever como:
• Que tem funções base: 
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• O arquivo .m para essas funções base são:
function y=condcobre(x)
y=[1./x x.^2];
Use o fitnorm para ajustar a condutividade
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