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UNIVERSIDADE DE SOROCABA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 ENGENHARIAS Nome do(a) aluno(a):_________________________________________________________________________ Curso:______________________________________________ Turma:______________ Turno:______________ Sala:_________ Prof. Alvesmar Ferreira 2º Semestre – 2014 2 UNIVERSIDADE DE SOROCABA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 ENGENHARIAS AVALIAÇÕES Provas: P1: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ P2: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ P3: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 3 SUMÁRIO 1. Revisão: Derivada de uma função real...............................................................................................04 Fração, potenciação e radiciação.......................................................................................................04 Derivada de uma função real..............................................................................................................05 2. Estudo da variação das funções.........................................................................................................14 Teorema do valor médio.....................................................................................................................16 Máximos e mínimos............................................................................................................................19 Regras de L’hospital...........................................................................................................................20 3. Funções trigonométricas e suas inversas...........................................................................................27 Razões trigonométricas no triângulo retângulo...................................................................................27 Resolução de triângulos quaisquer.....................................................................................................33 Medidas de arcos de circunferência e relação entre as unidades para medir arcos..........................35 No ciclo trigonométrico........................................................................................................................36 Derivadas das funções trigonométricas..............................................................................................46 Função inversível: definição, teoremas e construção de gráficos......................................................47 Funções trigonométricas inversas......................................................................................................48 Derivadas das funções trigonométricas inversas................................................................................50 4. Integrais indefinidas e métodos de integração...................................................................................53 Integrais imediatas..............................................................................................................................53 Problemas práticos de valor inicial......................................................................................................55 Integração por substituição (mudança de variável)............................................................................55 Integração por partes..........................................................................................................................56 Primitivas de funções racionais...........................................................................................................57 Integrais envolvendo funções trigonométricas....................................................................................61 A integral definida e o teorema fundamental do cálculo.....................................................................62 Aplicações da integral: cálculo de área e do volume..........................................................................67 4 1. REVISÃO: DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL Fração, potenciação e radiciação Operações básicas que devem ser lembradas: n n xk x k . n m n m xx Exercícios: 1) Observe os exemplos e coloque na forma de potência k.xn: a) 4 4 3 3 x x i) 5 1 x p) 3 7x b) 22 2 .1 1 xx x j) 6 7 x q) 5 6x c) 55 1 5 1 88 8 x x x k) 37 2 x r) x 8 d) 3 2 3 2 xx l) 44 1 x s) 7 4 1 x e) 2 1 xx m) 32 9 x t) 5 4.2 3 x f) 2 5 2 55 .7 77 x xx n) 3 1 x u) 3.5 1 x g) 4 1 4 1 4 14 .1 11 xx xx o) 10 9 x v) 5 x 2) Observe os exemplos e elimine os expoentes negativos e/ou fracionários: Exemplos: a) 4 4 1 x x b) 5 65 6 xx c) 4 3 4 3 4 3 88 .8 xx x d) 551 22 xx e) 7 7 55 x x Faça esses: f) 16 x g) 2 3 x h) 4x-7 i) 2 3 5x j) 7x-4/5 3) Observe os exemplos e resolva as operações com frações: a) 2 3 2 21 1 2 1 d) 1 6 7 g) 1 6 1 b) 5 2 5 53 1 5 3 e) 1 4 5 h) 1 2 1 c) 3 7 3 61 2 3 1 f) 3 7 9 i) 4 3 5 2 5 4) Observe os exemplos e elimine os produtos e quocientes: a) x4.x5 = x4+5= x9 b) x xxxx x x 1 . 15454 5 4 c) 72 7 2 32 2 3 232 .. xxxxxxx d) xxxxx x x x x 2 1 2 32 2 3 2 2 3 2 3 2 . e) 3 23 2 3 2 3 51 3 5 3 53 5 11 . xx xxxx x x x x f) xxx xxxx x x x x 4 3 4 31 . 4 3 4 3 4 3 . 4 3 4 3 .4 3 2 1 2 1 2 1 2 52 2 5 2 2 5 2 5 2 g) 4 9 7 x x j) x3.x7 m) x x h) xx. k) 5.2 xx n) 3. xx i) 5 7 x x l) 65 . xx o) 6 7 2 5 x x p) 7 5.3 x x DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL Vimos que dada uma função real f(x), a sua taxa média de variação no intervalo ba, é dada pelo quociente ab afbf )()( (1) Geometricamente, tg( )= ab afbf )()( (1) Esta taxa de variação é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a,f(a))e (b,f(b)). Esta reta recebe o nome de reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Esta taxa média de variação significa a variação sofrida por f(x), para que esta função passe do valor f(a) para o valor f(b), quando x passa de a para b. Para as funções lineares a taxa média de variação é sempre constante, o que não acontece com as demais funções. 6 6 15 125 8 35 925 4 13 195,1 5,3 3,1 TMV TMV TMV Exemplo: X y=2x-1 1 1 3 5 5 9 x y=x2 1 1 3 9 5 25 Agora, TMV pode nos conduzir a conclusões erradas. Por exemplo vamos estudar a função y = x² no intervalo 2,1 . Para este intervalo temos: 1 3 14 12 )1()2( ff TMV Assim, poderíamos ser levados a pensar erradamente que, por exemplo: f(-1)²=(-1)²=1 f(0)=f(-1)+TMV=1+1=2 errado f(1)=f(0)+TMV=2+1=3 errado f(2)=f(1)+TMV=3+1=4 e assim estamos supondo que o comportamento desta função y=x² é como o de uma reta, o que sabemos não é correto. Por este motivo, o ideal é trabalharmos com intervalo ba, suficientemente pequeno, ou seja, devemos aproximar os valores de a e b. Quando “a” e “b” estiverem suficientemente próximos temos a Taxa Instantânea de Variação que é matematicamente definida como: ab afbf ab )()( lim , e como b a (b tende para a) temos a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a. Graficamente: 2 15 19 2 35 59 2 13 15 5,1 5,3 3,1 TMV TMV TMV Reta tangente 7 a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a, popularmente conhecida derivada da função no ponto x = a, é a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (a,f(a)). Esta derivada, no ponto x=a, é usualmente denotada por f’(a), ou seja: ab afbf af ab )()( lim)(' Em um instante qualquer x, a derivada da função f(x) é dada por: xhx xfhxf xf xhx )()( lim)(' ou h xfhxf xf h )()( lim)(' 0 A derivada f ’(x) pode ser denotada também dx df . Observe que quando calculamos f’(x), a derivada da função f(x) em um instante qualquer x, temos uma nova função f(x), ou seja, derivada de uma função é também uma função. Exercício resolvido: Seja f(x)=x². Calcule f’(1). Sabemos que h xfhxf xf h )()( lim)(' 0 . Logo 2)2(lim )2( lim ²1²2²1 lim ²1)²1( lim )1()1( lim)1(' 00000 h h hh h hh h h h fhf f hhhhh Portanto )1('f =2, significando que quando x =1 a tendência de f(x) é crescer 2 unidades. Vimos que a derivada )(' af representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)). é o ângulo formado pelo eixo x e a reta tangente é tal que tg( )= )(' af . Assim, podemos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)), desde que )(' af seja conhecido. Exemplo: Seja f(x) = x². Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x =1. Agora o ponto (a,f(a)) é (1,1). Vimos que f’(1)= . Logo a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1) é: y=f’(a)x+b, ou seja,y=f’(1)x+b=2x+b y=2x+b 8 Como a reta é tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1), temos que este ponto pertence a esta reta. Assim, de y =2x+b obtemos:1=2 +b ou b=-1 Logo, a equação procurada é y =2x-1. Exemplo: a) Seja f(x)=k (constante), calcule f’(2), f’(5), f’(-10). 00limlim )2()2( lim)2´( )()( lim)´( 0000 hhhh h kk h fhf f h xfhxf xf 00limlim )5()5( lim)5´( 000 hhh h kk h fhf f Da mesma forma f’(-10)=0 b) Seja f(x)=ax+b (função linear), calcule f’(2), f’(5), f’(-10) baxxf )( aa h ha h babaha h babha h fhf f hh hhh 00 000 lim . lim 22 lim )2.())2(( lim )2()2( lim)2´( aa h ha h babaha h babha h fhf f hh hhh 00 000 lim . lim 55 lim )5.())5(( lim )5()5( lim)5´( Da mesma forma f’(-10)=a Exercício resolvido a) Mostre que se f(x)=k então f’(x)=0, para todo. 0)'( 00limlim )()( lim)´( 000 k h kk h xfhxf xf hhh 9 b) Mostre que se f(x)=ax+b então f’(x)=a, para todo x. h xfhxf xf h )()( lim)´( 0 aa h ha h baxbahax h bxabhxa hhhh 0000 lim . limlim ).())(( lim abax )'( Assim, temos as duas primeiras regras de derivação: (k)’ = 0 (ax+b)’ = a Exemplos: a) Seja f(x)=10. Calcule f’(x) f’(x)=0, pela 1ªregra. b) Seja f(x)=-5x+7. Calcule f’(x) f’(x)=-5, pela 2ªregra. c) Seja f(x)=x. Calcule f’(x) f’(x)=1, pela 2ªregra. Exercícios resolvidos 1) Mostre que se f(x)=x² então f’(x)=2x para todo x. xxhxhx h hxh h hxh h xhxhx h xhx xf hhh hhhh 202lim2lim2lim )2(. lim ²2 lim ²²2² lim )²()²( lim)´( 000 0000 2) Mostre que se f(x)=x3 então f ´(x)=3x2 para todo x. 2222 0 22 0 32 0 3323 0 33 0 300333lim )33( lim ²33 lim ²33 lim )()( lim)´( xxhxhx h hxhxh h hxhhx h xhxhhxx h xhx xf hh hhh Assim, temos outras duas regras: (x²)’=2x (x3)’ = 3x2 Observe que: (x)’=(x¹)’=1=1.x 0 (x²)’=2x (x3)’ = 3x2 e assim podemos deduzir que: (x 4 )’=4x³ (x5)’ = 5x4 De maneira geral, temos a regra: (x n )’ =n.x 1n , para todo n Q 10 Observe que nesta regra, dependendo do valor de n, podemos ter restrições sobre x. Por exemplo, se n = 2 1 então xxx n 2 1 , daí 1 2 1 2 1 . 2 1 )'( xx ou seja 2 1 2 1 . 2 1 )'()( xxx . Logo (x 21 )`= 2 1 2 1 x ,isto é, ( x )`= x2 1 e assim devemos exigir que x>0. Também, se n= 3 1 então 331 xxx n Daí 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 1 . 3 1 . 3 1 )'( x xxx , isto é, 3 3 ²3 1 )'( x x . Uma vez que j iji xx . Observe que neste caso devemos exigir x 0. Outras três regras são: Se f(x) e g(x) são funções reais deriváveis e k é uma constante então: (f(x)+g(x))’=f ’x)+g’(x) (f(x)-g(x))’=f ’(x)-g’(x) (k.f(x))’=k.f ’(x) Uma aplicação da derivada Sabemos que a velocidade média é dada pelo quociente: vm = tempodo variação posição da variação , que é uma taxa média de variação. Se a posição é dada em função do tempo t por y = f(t) temos que a velocidade média entre os instantes t0 e t1 é determinada por vm = t y = 01 01 )()( tt tftf = t tfttf )()( . Agora, para calcular a velocidade em cada instante t (velocidade instantânea), devemos observar intervalos cada vez menores de tempos, ou seja, devemos calcular o limite da velocidade média, quando t se aproxima de zero: v(t) = t tfttf t )()( lim 0 = f ’(t) Exemplo: Um móvel tem a posição (em km) dada em função do tempo (em h) por f(t) = 20t2, então a sua velocidade no instante t é dada por v(t) = f’(t) = 40t. Logo no instante t = 3h a velocidade será v(3) = 40.3 =120km/h. Exercícios resolvidos 1) Calcule as derivadasdas seguintes funções: a) y=6x b) y=-7x+8 c) y=-3x+x²-1 d) y=-2x 10 -3 y’=6 y’=-7 y’=2x-3 y’=-20x 9 11 e) y=x 51 +x²-3x y’= 32 5 1 32 5 1 32 5 1 32 5 1 5 4 5 4 5 4 1 5 1 x x x x xxxx f) y= xx 2. 3 1 7 1 y’= 2 21 1 2 21 1 2 21 1 2 21 1 7 6 7 6 7 6 1 7 1 x x xx 2) Seja f(x)=x²-5x+6, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=2 e interprete geometricamente. Para x=2 temos f(x)=0. Logo o ponto de tangência no gráfico de f(x) é o ponto (2,0) pertence ao gráfico de f(x) e a reta tangente f(x)=x²-5x+6 f ’(x)=2x-5 f’(2)=2.2-5=-1 inclinação da reta tangente procurada Portanto a equação desta é: y =-1x+b Como (2,0) está nesta reta temos: 0=-1.2+b e b=2. E a equação é y = -x+2. 3) Calcule a derivada das seguintes funções: a) y=3x²-5 x y’=6x-ln(5). 5 x b) y= xe2³. 3 1 x y’=x² xe2 4) Seja f(x)= )ln().5ln(7 3 2 5 1 4 xex x x . Calcule f `(x). x exxf x x 1 ).5ln(7 3 2 . 3 2 ln).4.( 5 1 )`( 5 5) Calcule a derivada da função y = )cos(4)(23.73 5 xxsenx x )(4)cos(23).3ln(715` 4 xsenxxy x A derivação é uma técnica matemática de grande poder e versatilidade. É um dos conceitos centrais do Cálculo, e tem diversas aplicações: Traçado de curvas, Otimização de funções, Análise de taxas de variação, Cálculo de velocidade e aceleração. Para cada tipo de função existe uma regra para encontrarmos a derivada. Precisamos conhecer cada função para aplicar a regra correta. Devemos observar qual é a variável (geralmente x) e quais são constantes (n, c, k, a, e que representam números fixos). Veja: 12 Regras de derivação 1) f(x) = k f ’(x) = 0 função constante 2) f(x) = xn f ’(x) = n.xn-1 função potência 3) f(x) = k. g(x) f ’(x) = k.g’(x) (k nº fixo) produto por constante 4) f(x) = u(x) + v(x) f ’(x) = u’(x) + v’(x) derivada da soma 5) f(x) = u(x) – v(x) f ’(x) = u’(x) – v’(x) derivada da diferença 6) f(x) = u(x).v(x) f ’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) derivada do produto 7) f(x) = )( )( xv xu f ’(x) = 2))(( )(').()().(' xv xvxuxvxu derivada do quociente 8) f(x)= un f ’(x) = u’.n.un-1 regra da cadeia para potência 9) f(x) = ln(u) f ’(x)= u u ' derivada do log base e 10) f(x) = loga(u) f ’(x) = au u ln. ' derivada do log em outra base 11) f(x) = eu f ’(x) = u’.eu derivada da exponencial base e 12) f(x) = au f ’(x) = u’. au .ln(a) derivada da exponencial outra base 13) f(x) = sen (u) f ’(x) = u’.cos (u) derivada do seno 14) f(x) = cos (u) f ’(x) = - u’.sen (u) derivada do cosseno Exemplos: Função Derivada 1) f(x) = 9 f ’(x) = 0 2) f(x) = x5 f ’(x) = 5x4 3) f(x) = 3.x5 f ’(x) = 3.5.x4 = 15x4 4) f(x) = 3x2 +2x+4 f ’(x) = 3.2x+2+0= 6x+2 5) f(x) = 7x-x3 f ’(x) = 7 – 3x2 6) f(x) = x. x f’(x)=1. x +x.½x – ½ = x + ½ x ½ = x +½ x = 3/2. x 7) f(x) = 2 3 2 x x f ’(x) = 22 2 )2( 2.3)2.(3 x xxx = 22 2 )2( 63 x x 8) f(x) =(x+2)8 f ’(x)= 8.(x+2)7.1= 8.(x+2)7. 9) f(x) = ln(3x-4) f ’(x) = 43 3 x 10) f(x) = log 2(5x+3) f ’(x) = )2ln()35( 5 x 11) f(x) = 3xe f ’(x) =3x2 . 3xe 12) f(x) = 24x f ’(x) = 4.24x.ln(2) 13) f(x) = sen (3x) f ’(x) = 3.cox(3x) 14) f(x) = cos (7x+2) f’(x) = -7 .sen(7x+2) 13 Agora é a sua vez! Lista de Exercícios: Calcule as derivadas das seguintes funções: 1. y = x3. log(x) 2. y = -0,6x 3. y = x. x 4. y = 3-x6+x8 5. y = -x3 6. y = x .x –1 7. y = 4x+5x2+6x3+7x4 8. y = 6x2+ 7-x 9. y = xx xx 4 2 5,0 43 10. y = 2 1 4 3 x 11. y = 2 x 12. y = 5 32 53 32 x xxx 13. y = x x 3 2 14. y = 2 3 x x 15. y = )log( )ln( x x 16. y = 3 2 5xx 17. y=e x/x 18. y = x2.(2x-1)4 19. y = 34 3 4 4 5 xx 20. y = 5 4 x 21. y = x x 3 2 22. y = 7.ex + ln(x) – ln 2 23. y = 6x 0,5 24. y = 0,2x+0,5x2-0,3 25. y = 5 x -3x+5 26. y = 35 xx 27. y = 93 x 28. y = 10x + 5. ln(x) + 3x+4 29. y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 6 30. y = (ln(x))3 31. y =5.3x 32. y = 12x + x3 33. y = x2.ex 34. y = (3x2+5)5 35. y = (2x-4)3 36. y = -x.ln(x) 37. y = (x3 –3x2)4 38. y = (4 – 7x)7 39. y = (e5x+3)4 40. y = 32xe 41. y = 2.e 3x-1 42. y = 5x – 3x2 +4 43. y = e5-2x 44. y = 5.e2-x 45. y = 2x . x2 46. y = ln (x2-5x+1) 47. y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)3 49. y = log (4-x2) 50. y = log 2 ( x+x2) 51. y = 3x5.e4x+2 52. y = 23x + 5.(3-x2)6 + e5x+2 53. y = 102x-3 54. y = 3x2 e2-x. 55. Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1. Qual é a equação da reta tangente neste ponto? 14 2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES Através dos conceitos de diferenciabilidade e de continuidade de uma função num intervalo contido em seu domínio, vamos descobrir que é possível estudar sua variação e, portanto, construir o seu gráfico. Para tanto, precisamos estabelecer alguns conceitos e alguns resultados, como, por exemplo, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o ponto de inflexão. Um resultado que é muito importante e estabelece um dos resultados centrais do Cálculo Diferencial, com consequências fundamentais para o estudo de uma função, a partir de informações sobre sua derivada num determinado intervalo é o Teorema do Valor Médio. Intervalos de crescimento e decrescimento Seja f uma função definida em um intervalo I. f é crescente em I se para todos pontos x1, x2 I temos x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) . f é decrescente em I se para todos pontos x1, x2 I temos x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) . Se y = f(x) é derivável no intervalo J. Então temos: Se f’(x) > 0 para todo x interior a J, f(x) será crescente em J. Se f’(x) < 0 para todo x interior a J, f(x) será decrescente em J. Se f’(p) = 0, então p é dito ponto crítico. Exemplos: 1. f(x) = x2 -3x +2 f’(x) = 2x-3 > 0 x > 3/2 f é crescente em (3/2, +). f’(x) = 2x-3 < 0 x < 3/2 f é decrescente em (-, 3/2). 2. f(x) = x3-2x2 + x + 2 f’(x) = 3x2- 4x +1=0 x = 1 ou x =1/3 1/3 1 Testando um ponto em cada intervalo: x=0 f’(0) =3.02–4.0+1=1>0 x= 0,5f’(0,5) =3.0,52–4.0,5+1=-0,25 <0 x=2 f’(2) =3.22–4.2+1=5>0 Portanto, f é crescente em (-, 1/3), ou seja, x<1/3 e em (1, +), ou seja, x>1; e f é decrescente em (1/3,1), ou seja, 1/3 < x <1. Concavidade e ponto de inflexão Se f’’(x) > 0 em J, então o gráfico de y = f(x) terá concavidade para cima em J. Se f’’(x) < 0 em J, então o gráfico de y = f(x) terá concavidade para baixo em J. 15 Concavidade para cima f”(x) > 0 Decrescente f’(x) < 0 Concavidade para baixo f” (x) < 0 Decrescente f’(x) < 0 Concavidade para cima f” (x) > 0 Crescente f’(x) >0 Concavidade para baixo f”(x) < 0 Crescente f’(x) >0 Os pontos, onde a concavidade se altera, são chamados de pontos de inflexão. Em economia, o ponto de inflexão é conhecido como ponto de retorno decrescente. Por exemplo, o total de vendas de um fabricante de ar condicionado em função da quantia aplicada com propaganda é dado pelo gráfico abaixo, onde vemos que o ponto de inflexão é (50, 2700). Pelo gráfico vemos que o total de vendas cresce vagarosamente a princípio, mas a medida que é gasto mais com propaganda, o total de vendas cresce rapidamente. Atingindo o ponto onde qualquer gasto adicional com propaganda resulta em crescimento de vendas, mas a uma taxa menor. Esse é o ponto de retorno decrescente. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10 30 50 70 90 vendas vendas 16 Exemplos: 1) Estude as funções com relação à concavidade e pontos de inflexão. a). f(x) = x3 –6x2 +4x -10 f ’(x) = 3x2-12x + 4 f ’’(x) = 6x-12 > 0 x > 2 f tem concavidade para cima em (2,+). f ’’(x) = 6x –12 < 0 x < 2 f tem concavidade para baixo em (-, 2). Logo 2 é o ponto de inflexão. b). f(x) = x2 +3x f ’(x) = 2x+3 f ’’(x) = 2> 0 para todo x. Logo f tem concavidade para cima em todo seu domínio. Não há pontos de inflexão. Teorema do valor médio Antes de enunciar o teorema do Valor médio, vamos analisar alguns resultados. O teorema abaixo garante a existência de pontos extremos (máximo e mínimo) de uma função, sem a hipótese de que a função seja derivável. Teorema (Weierstrass): Seja f : [a, b] → R contínua. Então existem x1 e x2 em [a, b] tais que: f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), para todo x [a, b]. FIGURA 1 Teorema (Rolle): Seja f : [a, b] → R contínua, derivável em (a, b) e tal que f(a) = f(b). Então, existe pelo menos um c (a, b) tal que f′(c) = 0. FIGURA 2 A importância do próximo teorema deve-se ao fato dele estabelecer uma relação importante entre a função e sua derivada. 17 Teorema do valor Médio: Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existe c pertencente a (a,b) tal que ab afbf cf )()( )(' Em outras palavras, existe pelo menos um ponto no gráfico de f, onde a reta tangente nesse ponto é paralela à reta secante que liga (a, f(a)) e (b, f(b)), ou seja, a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)). (b,f(b)) (c,f(c)) (a, f(a)) (c,f(c)) FIGURA 3 É preciso observar que o TVM não garante a unicidade do ponto c. Na figura acima, existem dois desses pontos. Na figura abaixo apenas um: x0. FIGURA 4 18 Corolários 1. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f′(x) = 0 para todo x (a, b), então f é constante. 2. Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Se f′(x) =g′(x) para todo x (a, b) então f(x) = g(x) + k, onde k é uma constante. Exemplos: 1. Suponhamos que um carro percorre uma distância de 180 km em 2 horas. Denotando por s = s(t) a distância percorrida pelo carro após t horas, a velocidade média durante esse período de tempo é: vm = 02 0180 02 )0()2( ss = 90km/h Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de 90 km/h pelo menos uma vez nesse período de tempo. 2. Encontre um número c que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função f(x) = x²+2x- 1 no intervalo [1,5]. ab afbf cf )()( )(' = 8 4 234 15 )1()5( ff Mas, f ’(x) = 2x+2. Portanto f ’(c) = 2c+2 = 8. Logo, 2c=6 e, portanto c = 3. 3. Verifique que a função f satisfaz as 3 hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e encontre todos os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle. a) f(x) = x²-4x+1, [0,4]. H1) f é contínua em [0,4], pois é uma polinomial. H2) f é derivável em todos os pontos interiores de [0,4], sua derivada é f ’(x) =2x-4. H3) f(0) = 0²-4.0+1 =1 e f(4) = 4²-4.4+1 = 1, portanto, f(0)=f(4). Logo, existe c(0,4) tal que f ’(c) = 0. Mas, f´(x) = 2x-4 e assim, f’(c) = 2c-4=0 implica que c = 2. b) f(x) =x³-3x²+2x+5, [0,2]. H1) f é contínua em [0,2], pois é uma polinomial. H2) f é derivável em todos os pontos interiores de [0,2], sua derivada é f’(x) =3x²-6x+2. H3) f(0) = 0³-3.0²+2.0+5 = 5 e f(2) =2³-3.2²+2.2+ 5 = 5, portanto, f(0)=f(2). Logo, existe c(0,2) tal que f ’(c) = 0. Mas, f´(c) = 3.c²-6.c+2 =0 implica que c = 1 − √3 3 e c =.1 + √3 3 . 4) Seja f(x) = x2+5x, para 1 x 3, determine c e esboce os gráficos de f e das retas s e T. Solução: Temos que a = 1 e b = 3, f(a) = f(1) = 12+5.1 = 6 e f(b) = f(3) = 32+5.3 =24. Também, temos que f’(x) = 2x+5, logo f ’(c) = 2c+5. Usando o TVM temos )(' )()( cf ba afbf =2c+5 9 = 2c+5 c=2. 13 624 19 Máximos e mínimos Sejam y = f(x) uma função e p um número real pertencente ao domínio da f. Dizemos que p é um ponto de máximo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para todo x em J e x no domínio da f ocorrer: f(x) f(p). Neste caso, f(p) é o valor máximo local. Dizemos que p é um ponto de mínimo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para todo x em J e x no domínio da f ocorrer: f(x) f(p). Neste caso, f(p) é o valor mínimo local. Se f(x) f(p) para todo x no domínio da f então p é um ponto de máximo global ou absoluto. Se f(x) f(p) para todo x no domínio da f então p é um ponto de mínimo global ou absoluto. Os pontos de máximo ou de mínimo são ditos extremos da função f. Teorema: Seja f uma função contínua e sejam a, b, c números reais tais que a < b < c e tal que [a,c] Df. Então, se: f(a)<f(b) e f(b) > f(c) f tem ponto de máximo p entre a e c. f(a)>f(b) e f(b) < f(c) f tem ponto de mínimo p entre a e c. Este teorema nos fornece um método para determinar estimativas para máximo e mínimo. Exemplos: f(x) =2x3 – 3x² - 37x + 2, -5 x 5 X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f(x) -138 -26 32 48 34 2 -36 -68 -82 -66 -8 Observe: no intervalo [-3,-1] devemos ter um ponto de máximo local, pois f(-3) < f(-2) e f(-2) > f(-1). No intervalo [2,4] devemos ter um ponto de mínimo, pois f(2)>f(3) e f(3)<f(4). Seja y = f(x) função derivável em p, p interior ao domínio. Uma condição necessária para que p seja extremante local de f é que f ’(p) = 0, ou seja,p deve ser ponto crítico de f. A condição f’(p) = 0 não é suficiente, ou seja, podemos ter f’(p) = 0, mas p não extremante. (p pode ser extremo do intervalo). Teste da Primeira Derivada Seja f uma função contínua em um intervalo aberto (a, b) contendo xo . Se f é derivável em todo os pontos do intervalo (a, b ), exceto possivelmente em xo , então i) f’(x) > 0 e f’(x) < 0 f tem um valor MÁXIMO RELATIVO em xo . ii) f’(x) < 0 e f’(x) > 0 f tem um valor MÍNIMO RELATIVO em xo 20 Teste Da Segunda Derivada Se f’(p) = 0 e f”(p) > 0, então p é ponto de mínimo local. Se f’(p) = 0 e f”(p) < 0, então p é ponto de máximo local. Exemplos: 1) Determine os pontos extremos da função f(x) = 2x3 +3x2-12x-7 Solução: f’(x) = 6x2 +6x-12 = 0 x =1 ou x =-2 f”(x)=12x+6 f”(1) = 18 >0 e f”(-2) = -18< 0 p =1 é ponto de mínimo local e p = -2 é ponto de máximo local. 2) Seja f(x)=x³-9x²-48x+52. Ache os pontos de mínimo e máximo locais de f(x), se existirem, e os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x): f(x)=x³-9x²-48x+52 f’(x)=3x²-18x-48 f’(x)=0 3x²-18x-48=0 =-2 e =8 são os pontos críticos da função f. f’’(x) = 6x-18 f’’(-2) = 6.(-2) – 18 = -30 <0 x1 = -2 é o ponto de máximo local de f(x) f’’(8) = 6.8 – 18 = 30 > 0 x2 = 8 é o ponto de mínimo local de f(x) Intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x): Logo f(x) é crescente nos intervalos: (-∞,-2) e (8,∞) f(x) é decrescente no intervalo: (-2,8) Regras de L’Hospital As regras a seguir aplicam-se a limites que apresentam indeterminações do tipo ou . Teorema: Sejam f e g deriváveis em um intervalo aberto I com p I e g’(x) 0. 8 2 6 3018 900 57632448.3.4324 2 1 x x x 1x 2x 0 0 21 Se )( )( lim xg xf px = 0 0 ou )( )( lim xg xf px = e se existir )(' )(' lim xg xf px (finito ou infinito) então )( )( lim xg xf px existirá e )( )( lim xg xf px = )(' )(' lim xg xf px . Observe que a regra é válida par x p ou x p- ou x p + ou x + ou x -. Exemplos: 1. 1 386 lim 4 35 1 x xxx x = 0 0 1 386 lim 4 35 1 x xxx x = '4 '35 1 1 386 lim x xxx x = 4 5 4 8185 lim 3 24 1 x xx x 2. x x x ln lim x x x ln lim 0 1 lim 1 1 lim ' )'(ln lim x x x x xxx 3. 13 32 lim 23 3 xx xx x Gráficos Para o esboço do gráfico de uma função f devemos fazer o estudo completo da função. 1. Domínio 2. Pontos críticos 3. Intervalos de crescimento e decrescimento 4. Pontos de máximo e mínimo locais 5. Concavidade e pontos de inflexão 6. Calcular os limites laterais nos extremos 22 7. Calcular os limites nos pontos de descontinuidade 8. Assíntotas 9. Cruzamento com os eixos Assíntotas Dizemos que a reta y = mx+n. é uma assíntota, em +, do gráfico da função y = f(x) x lim [f(x)-(mx+n)]= 0 Dizemos que a reta y = mx+n. é uma assíntota, em -, do gráfico da função y = f(x) x lim [f(x)-(mx+n)]= 0 Intuitivamente, dizer que a reta y = mx+n é uma assíntota, em +, significa que, à medida que x cresce, o gráfico de y = f(x) vai encostando cada vez mais no gráfico da reta. y = mx+n y = n y = n é uma assíntota horizontal y = mx+n é assíntota oblíqua Dizemos que a reta vertical x = k é uma assíntota vertical, à esquerda, para o gráfico da função y = f(x) se kx lim f(x) = . Dizemos que a reta vertical x = k é uma assíntota vertical, à direita, para o gráfico da função y = f(x) se kx lim f(x) = . k k Observe que k é um ponto de descontinuidade. Exemplo: f(x) = x x 43 x lim x x 43 = 3 y = 3 é assíntota horizontal em +. x lim x x 43 = 3 y = 3 é assíntota horizontal em -. 23 O ponto de descontinuidade é x = 0. Como x x x 43 lim 0 temos que x = 0 é uma assíntota vertical à esquerda e como 0 lim x x x 43 = - temos que x = 0 é, também, assíntota vertical à direita. 10 0 101 3 7 11 3x 4 x x 2) f(x) = 1 4 2 x x x lim 1 4 2 x x = x lim x2 4 = 0 y = 0 é uma assíntota horizontal em +. x lim 1 4 2 x x = x lim x2 4 = 0 y = 0 é uma assíntota horizontal em -. Os pontos de descontinuidade são 1 e –1. 1 lim x 1 4 2 x x = + temos que x = 1 é uma assíntota vertical à esquerda. 1 lim x 1 4 2 x x = - temos que x = 1 é uma assíntota vertical à direita. 1 lim x 1 4 2 x x = + temos que x = -1 é uma assíntota vertical à esquerda. 1 lim x 1 4 2 x x = - temos que x = 1 é uma assíntota vertical à direita. 2 0 2 20 20 4x x 2 1 x 24 Listas de Exercícios 1. Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento das funções: a) f(x) = 3x-5 i) f(x) = 4 –2x b) f(x) = x2+x+1 j) f(x) = x3-3x2+1 c) f(x) = x + 1/x k) f(x) = x3-9x2+6x-5 d) f(x) = 2x2+3x +5 l) f(x) = 2x3+3x2-12x+4 e) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 m) f(x) = x4-8x2+2 f) f(x) = 2x³+3x²-12x-7. n) f(x) = 3x5-5x3 g)f(x) = x4+8x3+18x2-8 o) f(x) = x3-3x-4 h)f(x) = 3 1 x3 -9x+2 p) f(x) = 2x x 2. Determine os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo. a) f(x) = 2x2+3x +5 f) f(x) = 2x3+3x2-12x+4 b) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 g) f(x) = x4-8x2+2 c) f(x) = 4 – x2 h) f(x) = x3-9x2+6x-5 d) f(x) = x3/3-2x2+3x+5 i) f(x) = 1/x e) f(x) = -x3 –8x2 +3 3. O total de vendas S (em milhares de dólares) de um fabricante de bitorneiras se relaciona com a quantidade de dinheiro gasta com propaganda x, por S = -0,01x³+1,5x²+200. Encontro o ponto de retorno decrescente (ponto de inflexão). 4. Um índice de preços ao consumidor IPC é descrito por f(t) = -0,2t³+3t²+100, onde t =0 corresponde ao ano 1991. Encontre o ponto de inflexão e discuta seu significado. 5.Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema. a) f(x) = 3x²+2x+5, [-1,1] b) f(x) = x³+x-1, [0,2] 6. Mostre que a função f(x) = x³/4+1 satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [0,2]e encontre todos os valores de c do intervalo (0,2), nos quais a reta tangente ao gráfico de f é paralela à reta secante que liga os ponto 7. Determine os extremos das funções abaixo: a) f(x) = 4x3+24x2+36x b) f(x) = x4+8x3 +18x2-8 8. Faça o estudo da função f(x) = x3 –x2-x+1 e esboce o gráfico. 9. Calcule o volume máximo de uma caixa, feita com uma folha de papelão de 40 x 40 cm, retirando-se um quadrado de lado x de cada canto da folha. 25 10. Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Quais asdimensões que devem ser utilizadas para que a área seja máxima, sabendo– se que ele pretende usar 20m de cerca? 11. A receita obtida com a produção de certa mercadoria é dada por R(x) = 63 63 2 2 x xx milhões de reais. Qual a produção que proporciona a receita máxima? Qual é esta receita? 12. Faça o estudo completo da função f(x) = 3x4 –2x3-12x2+18x+15. 13. Um edifício de 2000 m2 de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m na frente e nos fundos e de 4 m nas laterais . Ache as dimensões do lote com menor área onde esse edifício possa ser construído 14. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3 . O material da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados R$ 1,50 por centímetro quadrado . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo . 15. Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta a margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais as dimensões do campo que tem a maior área? 16. Seja f(x) = x³ -6x²+9x-3. (a) Encontre os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente . (b) Encontre e classifique os extremos relativos . (c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ) . 17. Uma companhia de software sabe que ao preço de $80 por um determinado software eles vendem 300 unidades por mês. Sabem também que para cada redução de $5 no preço eles venderão mais 30 unidades. Qual preço a companhia deve cobrar para maximizar a receita? 18. Determine os extremantes das funções: a) f(x) = 4x3+24x2+36x b) f(x) = x4+8x3 +18x2-8 c) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 d)f(x) = x4-8x2+2 e) 19. O lucro total (em dólares) da Companhia Acrosonic pela fabricação e venda de caixas de som é dado por P(x) = -0,02x²+300x-200. 000. Quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro? Qual será o lucro máximo? 20. A função custo médio diário (em dólares por unidade) da companhia Elektra é dada por Cme(x) = 0,0001x²-0,08x+40+5000/x, onde x representa o número de calculadoras que a Elektra produz. Calcule o custo médio mínimo. x12x2x 3 2 )x(f 23 26 21. A direção da Trapee and Sons, fabricante de molho de pimenta Texa-pep, estima que seu lucro (em dólares) pela produção diária de x caixas de molho picante Texa-Pep é dado por L(x) = -0,000002x³+6x- 400. Qual é o lucro máximo que a empresa pode obter em um dia? 22. A quantidade demandada por mês da gravação de Walter Serkin, produzida pela Shonatha Record, está relacionada com o preço por CD. A equação p(x) = -0,00042x+6 onde p representa o preço unitário em dólares e x é o número de CDs demandados. O custo em dólares para prensar e embalar x cópias é C(x) = 600+2x-0,00002x². Quantas cópias devem ser produzidas por mês para maximizar os lucros? 23. Calcule os seguintes limites: a) 1 12 lim x x x c) xx x x 3 32 lim e) 3x-x 9x -x lim 2 24 0x g) 3 124 lim 3 x x x b) 3 32 lim 2 3 x xx x d) 1 1 lim 2 1 x x x f) 2 ln x x x lim h) 3 96 lim 2 3 x xx x 24. Esboce os gráficos das funções: a) f(x) = x3 –3x2+3x f) f(x) =2x³/3 –2x²-12x b) f(x) = 1 2 x x g) f(x) = 12 2 3 4 24 x xx c) f(x) = x3 –3x2+3x h) f(x) = x 3 –3x-9x d) f(x) = x 3 – 3x 2 +1 i) f(x) = 3x5 – 5x 3 e) f(x) = 2x x j)f(x) = 3x 3x 27 3. Funções trigonométricas e suas inversas Ângulos Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos (rad). O ângulo dado por uma revolução completa tem 360° ou 2 rad. Portanto: rad = 180° Graus 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° Rad 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2 Em cálculo usamos o radiano como medida dos ângulos, exceto quando indicado o contrário. ângulo reto ângulo agudo ângulo obtuso = /2 (90) < /2 > /2 Estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. A trigonometria surgiu, em 300 a.C, diante da necessidade do homem de calcular medidas com base em ângulos e está diretamente ligada aos povos egípcios e babilônicos. Eles utilizavam as razões entre os lados de um triângulo na resolução de problemas cotidianos, como uma ferramenta matemática para o cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Mas foi na Grécia que a trigonometria obteve ascensão. Hiparco é o possível mentor desta ciência, pois é atribuído a ele o estabelecimento das bases trigonométricas. A necessidade de medir ângulos e distância inacessíveis nos problemas relacionados à astronomia contribuiu para o uso da trigonometria como ferramenta auxiliar. Os hindus e os árabes também tiveram participação incisiva no seu desenvolvimento. Mas até então a trigonometria era uma parte da astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Foi na Europa, por volta do século XV, que a trigonometria foi separada da astronomia, surgindo inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. O termo trigonometria é de origem grega e está associado ao triângulo e suas medidas. No triângulo retângulo O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º) formado pela intersecção dos catetos, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo. 28 Termo Origem da palavra Cateto Cathetós: (perpendicular) Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações. Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo. Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: 8 𝛼 Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que: 29 Exercícios: Razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 01. Examine o triângulo retângulo (em A) da figura abaixo e calcule o valor destas razões: B 5 13 A 12 C b) Compare sen B com cos C e cos B com sen C. Como eles são? c) Como são os valores de tg B e tg C? d) Calcule o valor das expressões: i) sen² B + cos² B ii) 𝑠𝑒𝑛 𝐵 cos 𝐵 02. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 25° com relação à horizontal. A 2 km de B se encontraa projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura. Sabendo que nesse instante o avião está distante x metros do ponto D, calcule o valor de x. (Use: sen 25° = 0,42, cos 25° = 0,91 e tg 25° = 0,47.) 03. A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante nas previsões meteorológicas e na orientação de aviões para evitar turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho abaixo. (Use: sen 28° = 0,47, cos 28° = 0,88 e tg 28° = 0,53). a) Calcule: sen B sen C cos B cos C tg B tg C 30 04. Deseja-se construir uma estrada ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, como nos mostra o esquema abaixo. A cidade A está distante 30 km da margem do rio, a B está a 18 km da margem do rio, e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A a B, pela estrada, em quilômetros? (Use: √3 = 1,7.) 05. Miguel é topógrafo e quer saber a largura de um rio sem atravessá-lo. Para isso, adotou o seguinte processo: considerou dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem do rio; determinou um ponto C, distante 10 m de A, onde fixou o teodolito (aparelho de medir ângulos), de tal modo que o ângulo no ponto A fosse reto; obteve uma medida de 60° para o ângulo (ACB); dados: sen 60° = 0,87; cos 60° = 0,50 e tg 60° = 1,73 B Rio x C A Nessas condições, qual a largura x do rio? 06. Sabendo que a circunferência da figura tem 5 cm de raio, calcule o valor de x. (Dados: sen 30° = ½, cos 30° = √3 2 e tg 30° = √3 3 .) 31 07. Calcule as medidas x e y indicadas na figura. Para os cálculos, use √3 = 1,7. (Dados: sen 60° = √3 2 , cos 60° = ½ e tg 60° = √3.) 08. Uma rampa de lançamento de foguetes tem 4 m de base. Sabendo que o ângulo de lançamento dos foguetes deve ser 70° em relação à horizontal, qual é a altura dessa rampa? (Dados: sen 70° = 0,940; cos 70° = 0,342; tg 70° = 2,747.) 09. Um navio navega em linha reta do ponto B ao ponto A. Quando o navio está no ponto B, é possível observar um farol situado no ponto C de tal forma que o ângulo ACB mede 60°. Sabendo que o ângulo CAB é reto e que a distância entre os pontos A e B é 9 milhas, calcule, nessa mesma medida, a distância: a) Do ponto A ao farol. b) Do ponto B ao farol. 10. A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 30 m, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60 °, conforme a figura. Calcule a altura do prédio. 32 11. Uma pessoa que está em uma margem de um rio enxerga o topo de uma árvore na outra margem sob um ângulo de 60° com a horizontal. Quando recua 20 m, enxerga o topo da mesma árvore sob um ângulo de 30°. Desprezando a altura do observador, qual é a largura do rio? 12. Um avião decola do aeroporto (A) e sobe segundo um ângulo constante de 15° com a horizontal. Na direção do percurso do avião, a 2 km do aeroporto, existe uma torre retransmissora de televisão de 40 m de altura. (Dados: sen 15° = 0,26; cos 15° = 0,97 e tg 15° = 0,27) a) Verifique se existe a possibilidade de o avião se chocar com a torre. b) Calcule a distância d percorrida pelo avião. Ângulos de 30º, 45º e 60º Por que sen(30º) = ½ ? Em um triângulo equilátero temos 3 lados iguais e 3 ângulos iguais (60º) . Traçando a altura, temos a bissetriz, encontrando o ângulo de 30º. Assim, podemos determinar o seno e cosseno desses ângulos. 33 Primeiro: Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l. Depois, aplique as fórmulas de seno e cosseno Sen(30º) = CO/H = 2 11 . 2 2 l l l l e Cos(30º) = CA/H = 2 31 . 2 32 3 l l l l Sen(60º) = CO/H = 2 31 . 2 32 3 l l l l e Cos(60º) = CA/H = 2 11 . 2 2 l l l l Para determinar os valores para o ângulo de 45º, determine a diagonal de um quadrado de lado l. Assim, sen(45º) = Co/H = l/l 2 = 1/ 2 = 2 /2 cos(45º) = CA/H = l/l 2 = 1/ 2 = 2 /2 34 Resolução de triângulos quaisquer Lei dos senos: 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝑨 = 𝒃 𝒔𝒆𝒏 𝑩 = 𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝑪 Lei dos cossenos: a² = b² + c² - 2bc.cos A Exercícios: Relações trigonométricas em um triângulo qualquer 01. Um navio se encontra num ponto A, distante 6 milhas de um farol F. No mesmo instante, outro navio em B está a 15 milhas do farol F. O ângulo de visão de um observador que se encontra no farol F e vê os dois navios é 60°. Qual a distância entre os dois navios nesse instante? 02. Determinar a medida x indicada no triângulo: 03. O desenho abaixo representa três ruas que se cruzam, duas a duas, nos pontos A, B e C. De acordo com o desenho e considerando cos 45° = 0,71, qual o comprimento da avenida representada pelo segmento da avenida representada pelo segmento AC? 35 04. Determinar a medida x da diagonal maior do paralelogramo da figura, dado cos 120° = - 0,5. 05. O esquema mostra três cidades, A, B e C, ligadas entre si pelas estradas retilíneas representadas pelos segmentos AB, AC e BC. Sabendo que a estrada AC tem 24 km de extensão, calcule a extensão x da estrada BC e a extensão y da estrada AB. Dados: sem 18° = 0,309; sen 27° = 0,454 e sen 135° = 0,707. Medidas de arcos de circunferência e relação entre as unidades para medir arcos 1. Transforme em radianos: a) 40° b) 36° c) 25° d) 80° e) 192° f) 22°30’ 36 2. Transforme em graus: a) 𝜋 12 rad b) 𝜋 8 rad c) 5𝜋 9 rad d) 7𝜋 16 rad e) 11𝜋 45 rad f) 3𝜋 40 rad 3. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 18 cm contido numa circunferência de raio 3 cm. 4. Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60° contido numa circunferência de raio 3 cm? No ciclo trigonométrico Considere um círculo de raio um como abaixo. Este círculo tem equação x2 + y2 = 1 e será chamado ciclo trigonométrico, com ele definimos as relações trigonométricas seno (sen t) e co-seno (cos t) em função do ângulo t. 37 Um ângulo t, medido em radianos, corresponde ao comprimento do arco desde o ponto (1, 0) até o ponto P(x, y), no sentido anti-horário. As funções trigonométricas cosseno e seno são : cos t = x e sen t = y. Se t = 0 então sen t= 0 e cos t =1; se t = /2 então sen t = 1 e cos t = 0. Devido à equação do círculo temos que sen2 t + cos2 t = 1. Quando t cresce e P move em torno do círculo , os valores do seno e do cosseno de t oscilam, e acabam se repetindo quando P retorna a pontos onde já tenha estado. Os físicos usam bastante o termo oscilação para funções que se comportam como o seno e o cosseno. Abaixo os valores de seno e cossenodos principais ângulos: 1° quadrante 2° quadrante 3° quadrante 4° quadrante Rad 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 Sen 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 0 - 2 1 2 2 - 2 3 -1 - 2 3 2 2 - 2 1 Cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 - 2 2 - 2 3 1 - 2 3 2 2 - 2 1 0 2 1 2 2 2 3 A amplitude de sen t e de cos t é 1, pois como (sen t)2 + (cos t)2 = 1 temos | sen t | 1 e | cos t | 1 O período é 2, já que este é o valor do comprimento do círculo de raio 1. Assim, sen (t + 2) = sen (t) e cos (t + 2) = cos (t) Este comportamento oscilatório das funções seno e cosseno faz com que as equações sen (t) = a e cos (t) = a tenham infinitas ou nenhuma solução. Por exemplo, as infinitas soluções de cos t = 1 são da forma t = 2 k, t e a equação cos t = 2 não possui nenhuma solução. 2 1 38 Atividade 1. Vamos fazer um estudo da função seno e, também, de suas associadas, utilizando o software GeoGebra ou Winplot. Para tanto, com relação aos gráficos solicitados, utilize o plano cartesiano abaixo (note a escala em π). a) Faça o gráfico da função seno, f(x) = sen (x) e determine o domínio Df = ................................... e a imagem Imf = ...... b) A função seno é uma função periódica. Como você justifica essa afirmação? Qual é o período p? c) Esboce o gráfico de g(x) = sen (x) + 1 e determine: Dg = .................................................. e Img = ........... e pg = ........ d) Observando os gráficos de sen (x) e sen (x) + 1 o que aconteceu? e) Faça o gráfico de h(x) = sen (x + 1) e determine Dh = .................................................. e Imh = ............... e ph = ........... f) Que relação há entre os gráficos de sen (x) e sen (x + 1)? Atividade 2. Vamos fazer um estudo da função cosseno e, também, de suas associadas, utilizando o software GeoGebra ou Winplot. Para tanto, com relação aos gráficos solicitados, utilize o plano cartesiano abaixo (note a escala em π). a) Faça o gráfico da função cosseno, f(x) = cos (x) e determine o domínio Df = .......................................... e Imf = ......... b) A função cosseno é uma função periódica. Como você justifica essa afirmação? Qual é o período p? c) Esboce o gráfico de g(x) = cos (x) + 1 e determine: Dg = .................................................. e Img = ............ e pg = ........ d) Observando os gráficos de cos (x) e cos (x) + 1 o que aconteceu? e) Faça o gráfico de h(x) = cos (x + 1) e determine Dh = .................................................. e Imh = .............. e ph = ........... f) Que relação há entre os gráficos de cos (x) e cos (x + 1)? 39 Atividade 3. Vamos fazer um estudo da função tangente e, também, de suas associadas, utilizando o software GeoGebra ou Winplot. Para tanto, com relação aos gráficos solicitados, utilize o plano cartesiano abaixo (note a escala em π). a) Faça o gráfico da função tangente, f(x) = tg (x) e determine o domínio Df = .............................................. e Imf = ...... b) A função tangente é uma função periódica. Qual é o período p de f(x)? c) Esboce o gráfico de g(x) = tg (x) + 1 e determine: Dg = .......................................................... e Img = ....... e pg = ....... d) Observando os gráficos de tg (x) e tg (x) + 1 o que aconteceu? e) Faça o gráfico de h(x) = tg (x + 1) e determine Dh = .......................................................... e Imh = ....... e ph = ....... f) Que relação há entre os gráficos de tg (x) e tg (x + 1)? Atividade 4 a) Desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos das funções: (I) y = sen x, (II) y = 2 sen x e (III) y = 3 sen x. 40 b) Desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos das funções: (IV) y = cos x, (V) y = 1,5 cos x e (VI) y = -2 cos x. c) Multiplicando as funções elementares, y = sen x ou y = cos x, por uma constante B, de modo que suas equações tornem-se y = B.sen x ou y = B.cos x, temos novos gráficos. Qual é a alteração que a constante B causa no gráfico da função elementar? d) Desenhe em um mesmo sistema de eixo cartesianos os gráficos das funções: (I) y = sen x, (II) y = sen 2x e (III) y = sen x/2. 41 e) Desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos das funções: (I) y = cos x, y = cos 2x e (II) y = cos x/3. f) Multiplicando a variável nas funções elementares, y = sen x ou y = cos x, por uma constante C, de modo que suas equações tornem-se y = sen C.x ou y = cos C.x, temos novos gráficos. Qual é a alteração que a constante C causa no gráfico da função elementar? Função seno f(x) = sen x, tem o domínio Dom f = |R e a imagem Im f = [-1, 1]. 0 3.14 6.28 1 1 sin x( ) x Função cosseno f(x) = cos x , tem o domínio Dom f = |R e a imagem Im f = [-1, 1]. 0 3.14 6.28 1 1 cos x( ) x Observe os dois gráficos juntos com um período maior: 42 Observe que: - As raízes da função seno ocorrem nos múltiplos inteiros de : sen x = 0 x = n.. - As raízes de cosseno ocorrem em múltiplos inteiros ímpares de /2: cos x= 0 x = (2k+1) 2 . - Seno é função ímpar: sen(-x) = -sen(x) - Cosseno é função par: cos(-x) = cos(x) Nas tabelas abaixo vamos ver os valores de seno e cosseno para alguns ângulos . t 0 sen t 0 1 0 – 1 0 cos t 1 0 – 1 0 1 t sen t cos t ( estes valores devem ser entendidos e memorizados ) Observe na tabela abaixo o sinal do seno e do cosseno . 1o Quadrante 2o Quadrante sen ( t ) > 0 e cos ( t ) > 0 sen ( t ) > 0 e cos ( t ) < 0 3o Quadrante 4o Quadrante sen ( t ) < 0 e cos ( t ) < 0 sen ( t ) < 0 e cos ( t ) > 0 43 Ocosseno e o seno são as funções trigonométricas básicas, já que todas as outras funções trigonométricas podem ser definidas em função do seno e do cosseno . Por exemplo, a função tangente é o quociente do seno pelo cosseno . Função tangente: f(x) =tg x = x x cos sen Dom f = R – {(2k+1) 2 | kZ} e Im f = R. 3.14 0 3.14 6.28 9.42 10 10 tan x( ) x Esta função não está definida para cos x = 0, ou seja, tg x não está definida para os múltiplos ímpares de 2 . As raízes da função y = tg x são as mesmas da função y = sen x, a variação desta função é o conjunto dos números reais, e o período da tangente é . Função cotangente: cotg x = x x sen cos = tgx 1 , Dom f = R – {k | kZ} e Im f = R. 3.14 0 3.14 6.28 9.42 10 10 cos x( ) sin x( ) x Função cossecante: f(x) = cossec x = xsen 1 , Dom f = R – {k | kZ} e Im f = (-, -1]{1,) 6.28 3.14 0 3.14 6.28 5 5 1 sin x( ) sin x( ) x Função secante: f(x) = sec x = xcos 1 , Dom f = R – {(2k+1) 2 | kZ} e Im f = (-, -1]{1,) 6.28 3.14 0 3.14 6.28 5 5 1 cos x( ) cos x( ) x 44 Círculo Trigonométrico em Graus e radianos 45 Periodicidade, Simetria e translações Estes são facilmente deduzidos do ciclo unitário: Do Teorema de Pitágoras Teoremas de Adição A forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler. A fórmula da tangente segue das outras duas. Fórmulas de duplo ângulo Estas podem ser mostradas substituindo x = y nos teoremas de adição, e usando o Teorema de Pitágoras para as últimas duas. 46 Fórmulas de redução de potências Resolva a terceira e a quarta fórmula de duplo ângulo para cos²(x) e sen²(x).. Fórmulas de meio ângulo Substitua x por x/2 nas fórmulas de redução de potência, então resolva para cos(x/2) e sen(x/2). Produtos para Somas Estas podem ser provadas expandindo os membros direitos usando os teoremas de adição. Somas para Produtos Substitua x por e y por nas fórmulas de produto para soma. Derivadas das funções trigonométricas: Demonstrações das fórmulas Lembre-se que todas as funções trigonométricas são contínuas em seus domínios. 1) f(x) = sen (x) f ’(x) =cos (x) Dem.: f ’(x) = h xfhxf h )()( lim 0 = h xhx h )sen()sen( lim 0 = h xhxhx h )sen()sen().cos()cos().sen( lim 0 = h h x h h x h )sen( ).cos( 1)cos( )sen(lim 0 = h h x hh 1)cos( lim)sen(lim 00 + )cos(lim 0 x h . h h h )sen( lim 0 = seDen(x).0 + cos(x).1 = cos(x). 47 2) f(x) = cos(x) f ’(x) = -sen(x) Demonstração: Exercício 3) f(x) = tg(x) f ’(x) = sec2(x) Demonstração: f(x) = tg(x) = )cos( )sen( x x f ’(x) = 2))(cos( ))sen().(sen()cos().cos( x xxxx = )(cos )(sen)(cos 2 22 x xx = )(cos 1 2 x = sec2(x) 4)(f(x) = cotg(x) f ’(x) = -cossec2(x) Demonstração: Exercício. 5) f(x) = sec(x) f ’(x) = sec(x).tg(x) Demonstração: f(x) = sec(x) = )cos( 1 x f ’(x) = )(cos ))sen(.(1)cos(.0 2 x xx = )(cos )sen( 2 x x = )cos().cos( )sen( xx x = )cos( )sen( . )cos( 1 x x x =sec(x) .tg(x). 6) f(x) = cossec(x) f ’(x) = -cossec(x).cotg(x) Demonstração: Exercício. Função inversível: definição, teoremas e construção de gráficos Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então existe uma função x = f -1 (y), chamada de função inversa, tal que f(f -1(y)) = y e f -1(f(x)) = x. Onde o domínio da função f é a imagem da função f -1 e a imagem de f é o domínio da f -1. Para obter a expressão de f -1(x) devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as variáveis. Exemplos: (1) y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente, então y = x + 4 -x = -y + 4 x = y – 4 x = f –1(y) = y – 4 y = x-4 é a inversa. (2) y = f(x) = 2x é estritamente crescente, então y =2x x= y/2 x = f –1 (y) = y/2 y = x/2 é a inversa . (3) y = f(x) = ex é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por f –1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f –1(ex) = ln ex = x; f(f –1(y)) = f(ln y) = eln y = y. Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. 48 (4) y = f(x) = x2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x2 definida no intervalo I =(0,+) (estritamente crescente) temos y =x2 x = f –1(y) = + y y = + x é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo decrescente I =(-,0) teríamos y = x2 x = f –1(y) = - y y = - x como função inversa de f. Funções Trigonométricas Inversas Como as funções trigonométricas não são estritamente crescentes ou decrescentes, elas não têm funções inversas. Mas podemos restringir o seu domínio de forma a torná-las estritamente crescentes ou estritamente decrescentes. Função seno Domínio = [-/2, /2] e Imagem = [-1,1] Função arco-seno Vamos definir uma função que a cada número real x do intervalo -1 ≤ x ≤ 1 faz corresponder um único número y tal que sen y = x. Este número y é denominado arco-seno x e indicamos y = arcsen x (leia: arco-seno x) ou y = sen-1(x). (note que sen-1(x) 1/sen(x)). A função y = arcsen x, definida para todo x ∈ [-1, 1], é denominada função arco-seno. O seu gráfico está representado na figura seguinte. Dom = [-1,1] e Im = [-/2, /2]. 49 Função cosseno Domínio = [0, ] e Imagem = [-1,1] Função arco-cosseno Vamos agora definir uma função que a cada número real x do intervalo -1 ≤ x ≤ 1 faz corresponder um único número y tal que cos y = x. Este número y é denominado arco-cosseno x e indicamos y = arccos x (leia: arco-cosseno x) ou y = cos-1(x). (note que cos-1(x) 1/cos(x)). A função y = arccos x, definida para todo x ∈ [-1, 1], é denominada função arco-cosseno. O seu gráfico está representado na figura seguinte. Dom = [-1,1] e Im = [0, ]. Função tangente Dom = ]-/2, /2[ e Im = R Função arco-tangente Vejamos agora uma função que a cada número real x faz corresponder um único número y tal que tg y = x. Este número y é denominado arco-tangente x e indicamos y = arctg x (leia: arco-tangente x) ou y = tg-1(x). (note que tg-1(x) 1/tg(x)). 50 A função y = arctg x, definida para todo x ∈ R, é denominada função arco-tangente. O seu gráfico está representado na figura seguinte. Dom = R e Im = ]-/2, /2[. Derivadas das funções trigonométricas inversas y = f(x) x = f-1(y) [f-1(y)]’ = 1 𝑓′(𝑥) Derivada da função arcsen y = arcsen x ⟺ x = sen y se x = sen y x’ = cos y y’ = 1 𝑥′ = 1 cos 𝑦 = 1 √1−𝑠𝑒𝑛2𝑦 = 1 √1−𝑥2 y = arcsen x y’ = 1 √1−𝑥2 , -1 < x < 1. Derivada da função arccosy = arccos x ⟺ x = cos y se x = cos y x’ = - sen y y’ = 1 𝑥′ = 1 −sen 𝑦 = 1 −√1−𝑐𝑜𝑠2𝑦 = − 1 √1−𝑥2 y = arcsen x y’ = − 1 √1−𝑥2 , -1 < x < 1. Derivada da função arctg y = arctg x ⟺ x = tg y se x = tg y x’ = sec2 y y’ = 1 𝑥′ = 1 sec2 𝑦 = 1 𝑡𝑔2𝑦+1 = 1 𝑥2+1 y = arctg x y’ = 1 𝑥2+1 , x ∈ R. 51 Exercícios: 1) Determine o domínio da função f(x)=sec(5x). 2) Determine o domínio da função f(x)=cotg(2x). 3) Dada a função f(x) = sec(5x) calcule f(2π/3). 4) Dada função f(x) = 2cos²(x)-3cos(x)+1.Determine: a) f(π)-f(π/3) b) f ’(0) e f’’(π/4). c) x tal que f(x) = 0. 5) Dada f(x) = sec(3x)-cotg(2x) calcule f(π/3). 6) Determine o valor de x tal que 2x+arcsen(-1/2) = arccos(√2 2 ⁄ )-1. 7) Dada função f(x) = 2sen²(x)-12sen(x)+10.Determine: d) f(π/2) e) f ’(4/3). f) x tal que f(x) = 0. 8) Determine o valor de x tal que 3x= 2.arccos( 2 3 )-arcsen(1/2)+9. 9) Resolva as equações: a) sen(x) = ½ d) cos(x) = - ½ g) cos(2x) = - 3 /2 b) sen(x) = -1 e) cos(4x) = ½ h) tg(x/3) = 3 c) tg(x) = 1 f) sen(3x)= 0 10) Calcule o resultado e marque o ponto final do arco e o valor no círculo trigonométrico. a) sen(27π/4) c) cos(29π/4) b) tg(31π/4) d)sec(23π/4) 11) Sabendo que sen(/4) = cos(/4)= 22 , calcule: a) sen(3/4) = e) cos(3/4) = b) sen(5/4)= f) cos(5/4)= c) sen(7/4)= g) cos(7/4)= d) sen(11/4)= h) cos(13/4)= 12) Sabendo que sen(/3) = 2 3 e cos(/3) = 2 1 , calcule: a) sen(2/3) = f) cos(2/3) = b) sen(4/3) = g) cos(4/3) = c) sen(5/3) = h) cos(5/3) = d) sen(7/3) = i) cos(7/3) = e) sen(11/3) = j)cos(13/3) = 52 13) Considerando como os ângulos de 30, 45 e 60, calcule sen2+cos2. 14) Calcule: a) sen(1500º) = e) cos(-120º) = b) sen(540°)= f) cos(2610°)= c) sen(480º)= g) cos(25/4)= d) sen(-60º)= h) cos(74/3)= 15) Calcule: a) arcsen(1/2) h) arcsen(- √3 2 ) b) arccos(-1) i) arccos(0) c) arctg(1) j) arccos(sen(8/3)) d) arcsen(sen(7/3)) k) arcsen(sen(2π/3) e) arccos(sen(π)) l) cos(arctg(1)) f) sen(arccos(-1)) m) arcsen(cos(4π)) g) arccos(sen(5π/3)) n) cos(arcsen( √3 2 )) 16) Derive: a) F(x) = cos(ln(x)) k) f(x) = e-cos(x) b) F(x) = cos(x).cossec(x) l) f(x) = 7cossec(x) c) F(x) = ln(cotg(7x)) m) f(x) = (cos(x))5 d) F(x) = (tg(2x))5 n) f(x) = )sen(x e) F(x) =arcsen(x²) o) f(x) = sec²(x) f) f(x) = cotg(x) p) f(x) = sec(x²) g) F(x) = cossec(3-x) q) f(x) = 2 sec (𝑥) h) F(x) = sen(x).tg(x) r)f(x) = (cos(2x))4 i) F(x) = √𝑠𝑒𝑛4(𝑥) 3 s) f(x) = 5.sen(x²-2) j) F(x) = tg(x+5) 17) Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição é dada por x = cos(4t). Determine: a)a posição no instante t = π/12 e t = π/4 b) a velocidade no instante t. c)a aceleração no instante t. 53 4.Integrais indefinidas e métodos de integração Um sociólogo que conhece a taxa na qual a população está crescendo pode querer usar esta informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento pode querer calcular a posição futura do corpo; um economista que conhece a taxa de inflação pode desejar estimar os preços futuros. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou integração. Exemplos: (1) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2 Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = 2x temos P’(x)=2=f(x). Observe que derivando P(x) = 2x + 1, também obtemos P’(x) = 2. O mesmo para P(x) = 2x-3, ou qualquer função do tipo P(x) = 2x+k, onde k é número fixo. Assim, temos que P(x) = 2x+ k, (k constante) é uma família de soluções para esta questão. Esta família de funções que levam a derivada f(x) = 2 é chamada de primitiva ou antiderivada de f(x), ou seja, P(x) = 2x+k é a antiderivada de f(x) = 2. (2) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2x Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x² obtemos P’(x)=2x= f(x). Mas, derivando P(x) = x² + 10, também obtemos P’(x) = 2x. O mesmo para P(x) = x²-13, ou qualquer função do tipo P(x) = x²+k, onde k é número fixo. Assim, temos que P(x) = x²+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 2x (3) Qual a função cuja derivada é f(x) = 3x² Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x³ obtemos P’(x) =3x²= f(x). O mesmo para qualquer função do tipo P(x) = x³+k, onde k é número fixo. Assim, temos que P(x) = x³+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 3x². (4) Qual a função cuja derivada é f(x) = x² (5) Qual a função cuja derivada é f(x) = x³ Integrais imediatas Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma função P, definida em I, é uma primitiva ou antiderivada de f quando P’(x) = f(x) para todo x em I. A antiderivada de f recebe o nome de integral indefinida de f. Denotamos a integral indefinida de f(x) por dxxf )( , ou seja, dxxf )( = P(x) +k, onde P’(x) = f(x), para x I. O símbolo é chamado de sinal de integral, e se assemelha a um “s” alongado. O s vem de soma. O símbolo dx que aparece após o integrando indica que a variável de integração é x. 54 Exemplos: a) xdx = 2 2x + k, pois ( 2 2x + k)’ = 2x/2 +0 = x. b) dx3 = 3x+k, pois (3x+k)’ = 3. c) dxx 34 = x4 +k, pois (x4+k )’ = 4x3. d) dxx n = 1 1 n x n +k, pois ( 1 1 n x n +k)’ = xn (se n -1). Propriedades: 1) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 2) dxxfkdxxfk )(.)(. , k :constante Exemplos: 1) x x x x dxx 2 2 1 11 2 )12( 211 x2 + x+ k 2) kx x xx xx x xx dxxx 22 2 23 3 2 1112 3 )23( 2 3 231112 2 3) x xx x xx dxxx 3 2 2 4 3 11 2 13 )32( 241113 3 = 4 4x + x2 + 3x+ k 4) dx x 2 1 = 1 112 2 112 x xx dxx = k x 1 5) dxx x ) 3 4( 5 = k x x xxxx dxxx 4 2 421511 5 4 3 2 4 3 2 4 15 3 11 4 34 6) kxx xx dxxdxx 32 32 3 1 2 1 2 1 3 2 . 3 2 2 3 1 2 1 7) dxx 3 = kxx xx dxx 3 43 43 4 1 3 1 3 1 4 3 . 4 3 3 4 1 3 1 8) k x xxx x xdxxxdx xx 3 ||ln23||ln2 1 3||ln232) 32 ( 1 1 21 2 Obtemos então as seguintes regras: Regras de integração 1) dxx n 1 1 n xn +k (n -1) 4) dxa x = a a x ln +k 2) dxx 1 = dx x 1 =ln |x|+k 5) xdxsen = -cos x+k 3) dxe x =ex+k 6) xdxcos = sen x +k 55 Você deve ter notado que não existe uma regra específica para integração de produtos e quocientes. Apenas em alguns casos podemos reescrever a função de modo a eliminar o produto ou quociente. Exemplos: 1) dxxxxdx x xx 22 2 34 753 753 = 1 7 2 5 3 3 123 xxx = x3 + 2,5x2- x 7 + k. 2) dxxx 3 = dxxdxxx 2 7 2
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