Matemática Básica - Ponto fixo de uma função

Prévia do material em texto

41
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
� Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF) – Método da 
Iteração Linear (MIL)
� Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que 
contenha uma raiz de f(x). O Método do Ponto Fixo inicia-se 
reescrevendo a função f(x) como:
f(x) = g(x) – x
� Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que 
corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que:
f(x) = g(x) – x =0
g(x) = x
� g(x) é a Função de Iteração para f(x)=0
42
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
�Por exemplo, a função f(x) = x2 - x – 2 pode ser reescrita 
como, f(x) = x2 – 2 – x = g(x) – x , onde g(x) = x2 – 2. Essa 
função tem como ponto fixo o valor x=2, pois g(2) = 22 – 2 = 
2. 
� E esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois f(2) = 22 –
2 – 2 = 0.
� Ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao 
substituirmos o valor de x na função g(x), teremos como 
resultado o próprio valor de x. 
� Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de g(x), ou seja, 
o valor que ao ser substituído em g(x) retorna o próprio valor 
de x.
43
� Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)
� Implicação de tal procedimento:
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Problema de determinação 
de um zero de f(x)
Problema de determinação 
de um zero de f(x)f(x)
Problema de determinação 
de um ponto fixo de g(x)
Problema de determinação 
de um ponto fixo de g(x)g(x)
Função de 
iteração
� Mais importante a abordagem conceitual do que a 
eficiência computacional.
44
� Análise Gráfica - Determinar os pontos fixos de uma 
função g(x) é determinar os pontos de intersecção entre as 
curvas:
xξξξ
y
y=g(x)y=g(x)
xx00
y = xy = x
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
g(ξ) = ξg(g(ξξ) = ) = ξξ
y=g(x)
y=x
45
Exemplo 11: Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = x2 - ex, 
usando o Método da Iteração Linear (Pontos Fixos).
1 - Encontrando o intervalo da raiz:
f(x) = g(x) – h(x) 
g(x) = x2 e h(x) = ex
2 - Escolha uma função de 
iteração ϕ(x):
Ou seja, podemos ter como 
função de iteração:
ϕ(x) = 
ϕ(x) =
xe
xe−
46
3 – Usando ϕ(x) = e x0 = -1, temos:
xe−
4 – Substituindo os valores de xk em f(x) para cada iteração k, observamos 
que a cada etapa, nos aproximamos da raiz de f(x), conforme tabela 
abaixo:
47
Exemplo 12:
Seja a equação xx22 + + x x –– 66 = 0= 0 .
Funções de iteração possíveis:
gg11(x)(x) = 6 = 6 -- xx
22
��gg22(x)(x) = = ±√±√6 6 -- xx
��gg33(x)(x) = 6/= 6/x x –– 11
��gg44(x)(x) = 6/(= 6/(x + 1)x + 1)
Dada uma equação do 
tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para 
tal equação mais de mais de 
umauma funfunççãoão de 
iteração g(x)g(x), tal que:
f(x) = 0f(x) = 0⇔⇔⇔⇔ x = x = g(x)g(x)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
48
� Não há necessidade de uso de método 
numérico para a determinação das raízes
ξξ11 = = --33 e e ξξ22 = = 22
� Utilização desta exemplo para demonstrar a 
convergência ou divergência numérica e 
gráfica do processo iterativo
� Seja a raiz ξξ22 = = 22 e e gg11 (x) = (x) = 6 6 -- xx22
� Considere-se xx00= = 1,51,5 e g(x) g(x) = gg11 (x)(x)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
49
� x1 = g(x0) = 6 – 1,5
2 = 3,75 3,75 ⇔ x1
� x2 = g(x1) = 6 – 3,75
2 = --8,06258,0625
� x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)
2= --59,00390659,003906
� Conclui-se que {xxkk}} não convergirá para ξξ22 == 2 2 
�� xx44 = g(= g(x3) = ) = 66 –– ((--59,00390659,003906))
22 = = -- 3475,46093475,4609
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Seja a raiz ξξ2 2 = 22 , , x0 = 1,51,5 e g1 (x) =
6 6 –– xx²²:
50
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 12: Análise Gráfica:
y
xξ2ξ2
x1
g(x)g(x)
xx00
y = xy = x
x2
ξ1ξ1
� x1 = g(x0) = 6 – 1,5
2 = 3,753,75
� x2 = g(x1) = 6 – 3,75
2 = --8,06258,0625
� x3 = g(x2) = --59,0003959,00039
{x{xkk} } → infinf quando kk→ infinf
51
Exemplo 13: Seja a raiz ξξ22 = 22, 
g2 (x) = √√6 6 -- xx e x0 = 1,51,5
� Conclui-se que {x{xkk}} tende a convergir tende a convergir 
para para ξξ22 = = 2 2 
� x1 = g(x0) = √6 - 1,5 = 2,1213203432,121320343
� x2 = g(x1) = √6 - 2,121320343 = 1,9694363801,969436380
� x3 = g(x2) = √6 -1,969436380 = 2,0076263642,007626364
� x4 = g(x3) = √6 - 2,007626364 = 1,9980924991,998092499
� x5 = g(x4) = √6 - 1,998092499 = 2,0004768182,000476818
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
52
Exemplo 13: Análise Gráfica
{x{xkk} } → ξξ22 quando kk→ infinf
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
g(x)g(x)
x
y
y = xy = x
ξ2ξ2
x1
xx00
x2
� x0 = 1,51,5
� x1 = 2,1213203432,121320343
� x2 = 1,9694363801,969436380
� x3 = 2,0076263642,007626364
� x4 = 1,9980924991,998092499
53
�� gg11(x)(x) = = xx
33 –– 1 1 
�� gg22(x)(x) = = ±√±√1 + 1 + xx
�� gg33(x)(x) = 1/= 1/xx³³ –– 11
Dada uma equação 
do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há
para tal equação 
mais de uma função
de iteração g(x)g(x), tal 
que: f(x)f(x) = 00 ⇔⇔⇔⇔
xx = g(x)g(x)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 14: Seja a equação xx33 –– x x –– 11 = 0= 0, 
Tem-se as seguintes funções de iteração 
possíveis:
3
54
Exemplo 14: Seja ξ = 1,3249301,324930, g2 (x) = √√1 + 1 + 
xx e x0 = 11
� Conclui-se que {x{xkk}} tende a convergir para tende a convergir para ξξ == 1,3249301,324930
� x1 = g(x0) = √1 + 1 = 1,2599211,259921
� x2 = g(x1) = √1 + 1,259921 = 1,3122941,312294
� x3 = g(x2) = √1 + 1,312294 = 1,3223541,322354
� x4 = g(x3) = √1 + 1,322354 = 1,3242691,324269
� x5 = g(x4) = √1 + 1,324269 = 1,3246331,324633
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
3
3
3
3
3
3
55
Exemplo 14: Análise Gráfica
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
y
x
g(x)g(x) y = xy = x
ξ2ξ2
x1
xx00
x2 x3x4 x5
{x{xkk} } → ξξ22 quando k k → infinf
56
� TEOREMA 2 (convergência):
Sendo ξξ uma raiz de f(x) = 0f(x) = 0, isolada em um 
intervalo II = [a,b]centrado em ξξ e g(x)g(x) uma 
função de iteração para f(x) = 0f(x) = 0. Se
1.1. g(x)g(x) e gg’’(x)(x) são contínuas em I
2. ||gg’’(x)(x)|| < 1< 1, ∀∀ x x ∈∈ II = [a,b], e
3. xx1 1 ∈∈ II
então a seqüência {x{xkk}} gerada pelo processo 
iterativo xxk+1k+1 = g(x= g(xkk)) convergirá para ξξ .
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
57
�� gg11 (x)(x) � geração de uma seqüência 
divergente de ξξ2 2 = = 22
�� gg22 (x)(x) � geração de uma seqüência 
convergente p/ ξξ2 2 = = 22
� g1 (x) = 6 6 -- xx
22 e g’1 (x) = -- 22xx � contínuas 
em I I (Condi(Condiçção 1)ão 1)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 15: Resgatando os Exemplos 12Exemplos 12
e 1313, verificou-se que:
58
� |g’1 (x)| < 11 ⇔ ||--2x2x| < 1 (Condi(Condiçção 2)ão 2)
�� xx00=1,5 =1,5 ⇔ |g’1 (x00)| = |g’1 (1,5)| =|-3| > 1, ou seja a 
condição 2 falha.
� Não existe um intervalo II centrado em ξξ22==22, tal 
que ||gg’’(x)(x)|| < 11, ∀∀ x x ∈∈ II � gg11 (x)(x) não satisfaz a 
condição 2 do Teorema 2 com relação a ξξ22==22 .
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 15: Resgatando os Exemplos 12Exemplos 12
e 1313, verificou-se que:
59
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
� gg22 (x)(x) = √ 6 6 -- xx e g’2 (x) = - (1/21/2 )√ 6 6 -- xx
� gg22 (x)(x) é contínua em S = {xx ∈ R | x x ≤≤ 66}
� gg’’22 (x)(x) é contínua em S’ = {xx ∈ R | x < 6x < 6}
� |gg’’22 (x)(x)| < 11 ⇔ |1/1/22 √ 6 6 -- xx | < 11 ⇔ x < 5,755,75
�� xx00=1,5 =1,5 ⇔ |g’2 (x00)| = |g’1 (1,5)| =|-0.2357| < 1, 
ou seja a condição 2 é cumprida, para X0 e os 
pontos seguintes.
� É possível obter um intervalo II centrado em ξξ22==22, tal 
que todastodas as condições do Teorema 2 sejam 
satisfeitas.
Exemplo 15:
60
� Critérios de parada
�Se os valores fossem exatosexatos
�� f(xf(xkk) = 0) = 0
�� ||xxk k –– xxkk--11||= 0= 0
��Não o sendoNão o sendo
�� ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerânciatolerância
�� ||xxk k –– xxkk--11| | ≤≤ tolerânciatolerância
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
61
Algoritmo
k := 0; x0 := x;
while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ LL
k := k +1;
xk+1 := g(xk);
endwhile
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
62
Vantagens:Vantagens:
� Rapidez processo de convergência;
� Desempenho regular e previsível.
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
63
Desvantagens:Desvantagens:
� Um inconveniente é a necessidade da 
obtenção de uma função de iteração g(x)g(x);
� Difícil sua implementação.
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
64
� Método de NewtonNewton--RaphsonRaphson
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo 
[a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível 
determinar uma aproximação de tal raiz a 
partir da interseção da tangente à curva em 
um ponto xx00 com o eixo das abscissas.
xx00 - atribuído em função da geometria do 
método e do comportamento da curva da 
equação nas proximidades da raiz.
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
65
� Considerações Iniciais
� Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)
� Uma das condições de convergência é que 
||gg’’(x)(x)|| < 1< 1, , ∀∀ x x ∈∈ II , onde II é um intervalo 
centrado na raiz 
� A convergência será tanto mais rápida quanto 
menor for ||gg’’(x)(x)||
� O método de Newton busca garantir e 
acelerar a convergência do MPF
� Escolha de g(x)g(x), tal que gg’’((ξξ) = 0) = 0, como 
função de iteração
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
66
� Considerações Iniciais
� Dada a equação f(x) = 0f(x) = 0 e partindo da 
forma geral para g(x)g(x)
g(x) = x + A(x)f(x)g(x) = x + A(x)f(x)
� Busca-se obter a função A(x)A(x) tal que 
gg’’((ξξ) = 0) = 0
g(x) = x + A(x)f(x) g(x) = x + A(x)f(x) ⇒
gg’’(x) = 1 + A(x) = 1 + A’’(x)f(x) + A(x)f(x)f(x) + A(x)f’’(x) (x) ⇒
gg’’((ξξ) = 1 + A) = 1 + A’’((ξξ)f()f(ξξ) + A() + A(ξξ)f)f’’((ξξ) ) ⇒
gg’’((ξξ) = 1 + A() = 1 + A(ξξ)f)f’’((ξξ))
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
67
� Considerações Iniciais
� Assim
gg’’((ξξ) = 0 ) = 0 ⇔ 1 + A(1 + A(ξξ)f)f’’((ξξ) = 0 ) = 0 ⇔ A(A(ξξ) = ) = --1/f1/f’’((ξξ) ) 
daí se toma A(A(xx) = ) = --1/f1/f’’((xx))
� Como g(x) = x + A(x)f(x)g(x) = x + A(x)f(x)
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
(x)f'
f(x)
 x g(x)
:então
.f(x) 
(x)f'
1-
 x g(x)
−−−−====






++++====
68
� Considerações Iniciais
� Então, dada f(x)f(x), a função de iteração g(x) = g(x) = 
x x -- f(x)/ff(x)/f’’(x) (x) será tal que gg’’((ξξ) = 0) = 0, posto que 
e, como f(f(ξξ) = 0) = 0, gg’’((ξξ) = 0) = 0 (desde que ff’’((ξξ) ) ≠≠ 00 ) 
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
 
(x)][f'
)x(''f)x(f(x)][f'
 1 (x)g'
2
2






−−−−
−−−−====
69
� Considerações Iniciais
� Deste modo, escolhido xx00 , a seqüência 
{x{xkk}} será determinada por 
,
onde k = 0, 1, 2, ...k = 0, 1, 2, ...
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
)x(
)x(
xx
k
k
k1 k f
f
′
−=+
70
� Motivação Geométrica
� Dado o ponto (xxkk , f(x, f(xkk)))
�Traça-se a reta LLkk(x)(x) tangente à curva neste 
ponto:
LLkk(x) = f((x) = f(xxkk) + f) + f’’((xxkk)()(xx--xxkk))
�Determina-se o zero de LLkk(x)(x), um modelo 
linear que aproxima f(x)f(x) em uma vizinhança xxkk
LLkk(x) = 0 (x) = 0 ⇔ x = xx = xk k -- f(xf(xkk)/f)/f’’(x(xkk))
�Faz-se xxk +1k +1 = x= x
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
71
� Análise Gráfica
x
ξξξ
f(x)
x1xx00
x2
x3
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
Repete-se o processo até que o 
valor de x atenda às
condições de parada.
Repete-se o processo até que o 
valor de xx atenda às
condicondiçções de paradaões de parada.
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
72
� Estudo da Convergência
TEOREMA 3:
Sendo f(x)f(x), ff’’(x)(x) e ff””(x)(x) contínuas em um 
intervalo I I que contém uma raiz x = x = ξξ de f(x) = f(x) = 
00 e supondo ff’’((ξξ) ) ≠≠ 00, existirá um intervalo ĪĪ ⊆⊆ I I 
contendo a raiz ξξ, tal que se xx00 ∈∈ ĪĪ, a 
seqüência {{xxkk}} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
)x(
)x(
xx
k
k
k1 k f
f
′
−=+
73
� Testes de Parada
� A cada iteração, testa-se se a 
aproximação encontrada poderá ser 
considerada como a solução do problema.
�� ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerânciatolerância
�� ||((x((xk+1k+1 –– xxkk)/x)/xk+1k+1 ))|| ≤≤ tolerânciatolerância
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
74
Algoritmo
k := 0; x0 := x;
while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ LL
k := k +1;
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
endwhile
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
75
Exemplo 17: No Exemplo 13, no qual
xx22 + + x x –– 66 = 0 = 0 :
� Seja a raiz ξ2 = 2 e x0 = 1,5 1,5 
� Assim:
�x1 = g(x0) = 1,5 – (1,5
2+ 1,5 – 6)/(2.1,5 + 1) 
x1 = 2,0625000002,062500000
�x2 = g(x1) = 2,0007621952,000762195
�x3 = g(x2) = 2,0000001162,000000116
�g(x) = x - f(x)/f’(x) = x – (x 2+ x – 6)/(2x + 1) 
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
76
Exemplo 17: Comentários:
� A parada poderá ocorrer na 3a iteração 
(x = 2,000000116x = 2,000000116), caso a precisão do 
cálculo com 6 casas decimais for satisfatória 
para o contexto do trabalho
� Observe-se que no Exemplo 10, no Método 
do Ponto Fixo com g(x) = g(x) = √√6 6 -- xx só veio a 
produzir x = 2,000476818x = 2,000476818 na 5a iteração
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
77
ξ1 ∈ I1 = (--11, 00), ξξ22 ∈ I2 = (11, 22)
� Seja x0 = 11
� xk+1 = xk - f(xk)/f’(xk)
� e g(x) = xx – (x3 - x - 1)/(33xx22 –– 11))
Exemplo 18: Considere-se a função 
f(f(xx) =) = xx33 -- x x -- 11 , e toltol = 0,002= 0,002 cujos 
zeros encontram-se nos intervalos:
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
78
� Cálculo da 1ª aproximação
g(xx00) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,51,5
[ 3*(1)² – 1 ]
�Teste de Parada
� |f(xx00)| =| 0,875 | = 0,8750,875 > εεεεεεεε
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
Exemplo 18:
79
� Cálculo da 2ª aproximação
g(xx11) = 1.5 – [ (1.5)³ – 1.5 – 1 ] = 1,34782611,3478261
[ 3*(1.5)² – 1 ]
�Teste de Parada
� |f(xx11)| =| 0,100682 | = 0,1006820,100682 > εεεεεεεε
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
Exemplo 18:
80
� Cálculo da 3ª aproximação
g(xx22) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3*(1,3478261)² - 1 ]
g(xx22) = 1,32520041,3252004
�Teste de Parada
� |f(xx22)| =| 0,0020584 | = 0,00205840,0020584 > εεεεεεεε
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
Exemplo 18:
81
A seqüência {x{xkk}} gerada pelo método de 
Newton será:
Exemplo 18:
1,86517.101,86517.101,32471781,32471785
9,24378.109,24378.101,32471821,32471824
0,00205840,00205841,32520041,32520043
0,10068220,10068221,34782611,34782612
0,8750,8751,51,51
F(x)xIteração
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
--77
--1313
εεεεεεεε = 0,0020,002
82
Vantagens:Vantagens:
� Rapidez processo de convergência;
� Desempenho elevado.
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
83
Desvantagens:Desvantagens:
� Necessidade da obtenção de ff’’(x)(x) , o que 
pode ser impossível em determinados casos;
� O cálculo do valor numérico de ff’’(x)(x) a cada 
iteração;
� Difícil implementação.
Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson
84
� Método da SecanteSecante
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo[a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível 
determinar uma aproximação de tal raiz a 
partir da interseção da secante à curva em 
dois pontos xx00 e xx11 com o eixo das abscissas.
xx00 e xx11 - atribuídos em função da geometria 
do método e do comportamento da curva da 
equação nas proximidades da raiz.
Cálculo Numérico – SecanteSecante
85
� Considerações Iniciais
� Método de NewtonNewton--RaphsonRaphson
� Um grande inconveniente é a necessidade da 
obtenção de ff’’(x)(x) e o cálculo de seu valor 
numérico a cada iteração
� Forma de desvio do inconveniente
� Substituição da derivada ff’’(x(xkk)) pelo quociente 
das diferenças
ff’’((xxkk) ) ≈≈ [f([f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11)]/()]/(xxkk -- xxkk--11))
onde xxkk--11 e xxkk são duas aproximações para a 
raiz
Cálculo Numérico – SecanteSecante
86
� Considerações Iniciais
� A função de iteração será
g(x) g(x) = x= xkk -- f(f(xxkk)/)/[(f([(f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11))/())/(xxkk -- xxkk--11)])]
= = ((xxkk -- xxkk--11)) . f(x. f(xkk)/)/[f([f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11)])]
= [= [xxkk--1 1 .f(x.f(xkk) ) –– xxk k .f(.f(xxkk--11)])]//[f([f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11)])]
)]x()x([
)]x(.x)x(.[x
=g(x)
1 - kk
1 - kkk1 - k
ff
ff
 -
 - 
Cálculo Numérico – SecanteSecante
87
� Interpretação Geométrica
� A partir de duas aproximações xxkk--11 e xxkk
�Obtém-se o ponto xxk+1k+1 como sendo a abscissa 
do ponto de intersecção do eixo oxox e da reta que 
passa pelos pontos (xxkk--1 1 , f(, f(xxkk--11)) ) e (xxkk , f(, f(xxkk)))
(secante à curva da função) 
Cálculo Numérico – SecanteSecante
88
� Análise Gráfica
Repete-se o processo até
que o valor de x atenda às 
condições de parada.
Repete-se o processo até
que o valor de xx atenda às 
condicondiçções de paradaões de parada.
x
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
ξξ
f(x)
x1xx00 x2
x3 x4
x5
Cálculo Numérico – SecanteSecante
89
� Testes de Parada
� A cada iteração, testa-se se a 
aproximação encontrada poderá ser 
considerada como a solução do problema.
�� ||f(xf(xkk))|| ≤≤ εε
�� ||((x((xk+1k+1 –– xxkk)/x)/xk+1k+1 ))|| ≤≤ εε
Cálculo Numérico – SecanteSecante
90
Algoritmo
k := 0; x0 := X0; x1 := X1
while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ LL
k := k +1;
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) 
endwhile
Cálculo Numérico – SecanteSecante
91
� Seja xk - 1 = 1,51,5 e xk = 1,71,7
� g(x) = [xk-1 .f(xk) – xk . f(xk-1)]
[f(xk) – f(xk-1)]
� g(x)g(x) = [= [xxkk--11 .f(x.f(xkk) ) –– xxkk . f(. f(xxkk--11)])]
[f([f(xxkk) ) –– f(f(xxkk--11)])]
Exemplo 19: Considere-se a função 
f(f(xx) =) = xx33 -- x x -- 11 , e εε = 0,002= 0,002 cujos zeros 
encontram-se nos intervalos:
Cálculo Numérico – SecanteSecante
92
� Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,51,5 x1 = 1,71,7
f(x0) = 0,875 0,875 > > 00
f(x1) = 2,213 2,213 > > 00
x2 = [1,5.(2,213) – 1,7.(0,875)] = 1,369211,36921
[2,213– (0,875)]
� Teste de Parada
� |f(x2)| =|0,19769| = 0,197690,19769 > εεεεεεεε
� Escolha do Novo Intervalo
� x1 = 1,369211,36921 e x2 = 1,51,5
Exemplo 19:
Cálculo Numérico – SecanteSecante
93
Exemplo 19:
� Cálculo da 2ª aproximação: x1 = 1,36921 1,36921 ee
x2 = 1,51,5
f(x1) = 0,19769 0,19769 > > 00
f(x2) = 0,875 0,875 > > 00
x3 = [1,36921.(0,875) – 1,5.(0,19769)] ⇒⇒⇒⇒
[0,875– (0,19769)]
x3 = 1,331041,33104
Cálculo Numérico – SecanteSecante
94
Exemplo 19:
� Cálculo da 2ª aproximação: x1 = 1,36921 1,36921 ee
x2 = 1,51,5
� Teste de Parada
� |f(xf(x33))| =|0,02712| = 0,027120,02712 > εεεεεεεε
� Escolha do Novo Intervalo
� x2 = 1,331041,33104 e x3 = 1,369211,36921
Cálculo Numérico – SecanteSecante
95
Exemplo 19:
� Cálculo da 3ª aproximação: x2 = 1,33104 1,33104 ee
x3 = 1,369211,36921
f(x2) = 0,02712 0,02712 > > 00
f(x3) = 0,19769 0,19769 > > 00
x4 = [1,33104.(0,19769) – 1,36921.(0,02712)] 
[0,19769 – (0,02712)]
x4 = 1,3249711,324971
Cálculo Numérico – SecanteSecante
96
Exemplo 19:
� Cálculo da 3ª aproximação: x2 = 1,33104 1,33104 ee
x3 = 1,369211,36921
�Teste de Parada
� |f(xf(x44))| =|0,00108| = 0,001080,00108 < εεεεεεεε
(valor aceitvalor aceitáável para a raizvel para a raiz)
Cálculo Numérico – SecanteSecante
97
� Sejam x0 = 1,51,5 e x1 = 1,71,7
� Assim:
�x3= [x1 .f(x2) – x2 . f(x1)]/[f(x2) - f(x1)]
= 1,997741,99774
�x2= [x0 .f(x1) – x1 . f(x0)]/[f(x1) - f(x0)]
= [1,5.(-1,41)–1,7.(2,25)]/(-1,41+
2,25)
= 2,035712,03571
Exemplo 20: Resgatando o Exemplo 13Exemplo 13, no 
qual x2 + x – 6 = 0 :
Cálculo Numérico – SecanteSecante
98
� Assim:
�x4 = [x2 .f(x3) – x3 . f(x2)]/[f(x3) - f(x2)]
= 1,999991,99999
Exemplo 20: Resgatando o Exemplo 13Exemplo 13, no 
qual x2 + x – 6 = 0 :
Cálculo Numérico – SecanteSecante
� Comentários:
�A parada poderá ocorrer na 3a iteração 
(x = 1,99999x = 1,99999 ), caso a precisão do cálculo com 5 
casas decimais for satisfatória para o contexto do 
trabalho
99
Vantagens:Vantagens:
� Rapidez processo de convergência;
� Cálculos mais convenientes que do método 
de Newton;
� Desempenho elevado.
Cálculo Numérico – SecanteSecante