Apostila - Dependência e Independência Lineares

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
 Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
 Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
 
 
Professor Paulo Winterle 
 
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Sejam n21 v..., , v,v vetores em V e a equação vetorial 
 
0...2211 =+++ nnvavava (1) 
 
Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de n1 v..., ,v pois a afirmação 
0.0....0.0 21 =+++ nvvv 
é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução 0...21 ==== naaa é chamada solução 
trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta 
“A solução trivial de (1) é única? 
 
Se a resposta for 
a) Sim, então n21 v..., , v,v são linearmente independentes (LI) 
ou o conjunto { }n21 v..., , v,v é LI 
b) Não, então n21 v..., , v,v são linearmente dependentes (LD) 
ou o conjunto { }n21 v..., , v,v é LD, e neste caso, a equação (1) admite 
soluções não triviais ( )0≠ia 
 
Vejamos alguns exemplos. 
 
Exemplo 1 – Os vetores unitários canônicos de 4R ( )0,0,0,11 =e ( )0,0,1,02 =e ( )0,1,0,03 =e ( )1,0,0,04 =e 
são LI pois a equação 
044332211 =+++ eaeaeaea 
ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0,01,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,1 4321 =+++ aaaa 
se reduz a ( ) ( )0,0,0,0,,, 4321 =aaaa 
e portanto, possui somente a solução trivial 04321 ==== aaaa 
 
Exemplo 2 – Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,0v2 = e ( )1,-1,1v3 = são LI, pois a equação 0332211 =++ vavava ou 
o sistema correspondente 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
0
0
1
1
1
0
1
2
0
0
1
 
só admite a solução trivial 0321 === aaa . 
 
Exemplo 3 – Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,2v2 = e ( )1,2,4v3 = são LD pois além de ser verdade que 
0.0.0.0 321 =++ vvv também é verdadeira a afirmação 
023 321 =+− vvv (verifique) 
isto é, a igualdade 0332211 =++ vavava admite soluções ( )0≠ia (não triviais). 
 
 
 
 
Professor Paulo Winterle 
 
2
 
Observação Importante 
Todo sistema homogêneo no qual ocorre 
número de equações < número de variáveis 
é indeterminado, ou seja, admite soluções não triviais ( )0≠ . 
Este fato permite identificar de imediato alguns conjuntos LD. No intuito de simplificar, tomemos o espaço vetorial 3R e 
observemos dois detalhes importantes: 
a) como neste conjunto cada vetor tem 3 componentes, o sistema homogêneo correspondente à equação (1) terá 
sempre 3 equações, independente do número de vetores. 
b) na igualdade (1) o número de variáveis ( )ia coincide com o número de vetores ( )iv . 
Com base nestas duas observações, conclui-se: em 3R , 4 ou mais vetores (são 3 equações contra 4 ou mais variáveis) 
sempre serão LD. 
 
Em outras palavras: 
No 
3R o número máximo de vetores LI é 3. Com raciocínio análogo, infere-se que o número máximo de vetores LI em nR 
é n ( 1+n vetores ou mais são LD) 
Exemplos: 
1) os vetores ( )1,0e1 = , ( )0,1e2 = e ( )2,5v = são LD, pois sendo vetores do 2R , o número máximo de vetores LI é 2; 
2) os vetores ( )1,0,0e1 = , ( )0,1,0e2 = , ( )0,0,1e3 = e ( )2,3,4v = são LD e dentre eles encontramos no máximo 3 
vetores LI; 
3) quaisquer 5 ou mais vetores do 4R são LD. 
No entanto, muito cuidado precisamos ter quando, no nR , tivermos vetores em número n≤ . 
 
Exemplo 4 – Verificar se são LI ou LD os vetores ( )1,-1,1v1 = , ( )2,1,5v2 = e ( )1,4,2-v3 = . 
Solução: Examinemos a igualdade 
0332211 =++ vavava (2) 
 
ou o sistema homogêneo 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
0
0
0
2
4
1
5
1
2
1
1
1
 
 
Escalonando o sistema,vem 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
0
0
0
0
3
1
0
3
2
0
0
1
 
 
e, portanto, existem soluções não triviais ( )0≠ia . Logo, os vetores dados são LD. 
 
Observação: 
Resolvendo o sistema obtém-se 
31 3a a= e 32 aa −= . 
e, portanto, a equação (2) fica ( ) ( ) 0a3 332313 =+−+ vavva (3) 
para Ra ∈∀ 3 . E para cada valor de ( )03 ≠a , a igualdade (3) se escreve com soluções não triviais. 
Dividindo (3) por ( )03 ≠a , vem 
 
03 321 =+− vvv 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Paulo Winterle 
 
3
e daí 
321 3
1
3
1 vvv −= ( 1v é CL de 2v e 3v ) 
ou 
312 3 vvv += ( 2v é CL de 1v e 3v ) 
ou 
213 3 vvv +−= ( 3v é CL de 1v e 2v ) 
(Estas combinações lineares mostram que “um vetor depende dos outros” Por isso são dependentes (LD)). 
 
Conclusão: sempre que um conjunto de vetores é LD, existe vetor no conjunto que é CL dos outros. 
 
A recíproca também é verdadeira, isto é, se um vetor é CL dos outros, o conjunto deles é LD. 
De fato, independente dos vetores, seja 22113 vavav += ou de modo equivalente 032211 =−+ vvava , e a igualdade (2) 
admite soluções ( )0≠ (no caso: 13 −=a ). 
 
Por isso a 
 
Propriedade – Um conjunto de vetores é LD se, e somente se, existir no conjunto um vetor que é CL dos outros. 
 
Propriedade – Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD. 
De fato, o conjunto { }nvvA ,...,0,...,1= é LD pois a igualdade 
0.0...0.5...0 1 =++++ nvv 
se verifica para coeficientes não todos nulos. 
 
Um só vetor é LI ou LD? 
Depende. Todo vetor 0≠v é LI pois 0. =va só admite a solução trivial 0=a . 
O vetor nulo, no entanto, é LD porque 00. =a tem soluções não triviais. 
 
Dois vetores são LI ou LD? 
Depende. Se um é múltiplo escalar do outro, então eles são LD. 
Por exemplo, o vetor ( )2,4,-6v2 = é múltiplo de ( )1,2,-3v1 = pois 12 2v v= , e, portanto, 02v- 21 =+ v , o que prova 
serem LD. 
Conseqüentemente, se 12 vv α≠ , para todo R∈α , então { }21,vv é LI. 
 
Os gráficos a seguir apresentam a interpretação geométrica da dependência linear de 2 vetores no 3R (é a mesma no 2R ). 
 
 { }21,vv é LD { }21,vv é LI 
 
 
z 
y 
V1 
V2 
z 
y 
V1 
V2 
x x 
 
 
 
 
Professor Paulo Winterle 
 
4
 
Três vetores no 3R 
Sabe-se que dois vetores 1v e 2v não paralelos geram um plano pela origem. Se um terceiro vetor 3v estiver neste plano, 
isto é, [ ]213 ,vvv ∈ , o conjunto { }321 ,, vvv é LD. Logo, três vetores no 3R são LD caso sejam coplanares. Em caso 
contrário, o conjunto { }321 ,, vvv é LI. Os gráficos dão a interpretação geométrica para este caso. 
 
 
 { }321 ,, vvv é LD { }321 ,, vvv é LI 
 
Uma outra maneira de verificar se 3 vetores 1v , 2v e 3v do 
3R são LI ou LD, é calcular o determinante da matriz 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
|||
|||
221 vvvA 
com os vetores dispostos em colunas. Se acontecer 
det 0≠A 
então os 3 vetores são LI. 
Em caso contrário, os vetores são LD. Por exemplo, são LI os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )1,2,0v2 = e ( )1,1,6v3 = pois 
det 012
600
120
111
≠=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 
O mesmo raciocínio vale para o 2R quando a matriz A é quadrada de ordem 2, para o 4R onde A é 4x4 e, assim por diante. 
No 2R , por exemplo, os vetores ( )1,2v1 = e ( )2,4v2 = são LD pois 
det 0
42
21 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 
 
 
 
z 
y 
V3 
V2 
V1 
x 
z 
y 
V3 
V2 
V1 
x