Espaços vetoriais Transformações Lineares

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NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
 
 ISABEL C. C. LEITE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2007 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 1 
 
 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
Definição: 
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por 
um escalar, ou seja, 
 ∀u, v ∈ V, u + v ∈ V 
 ∀α ∈ R, ∀u ∈ V, αu ∈ V. 
 
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre 
R) se as seguintes propriedades forem satisfeitas: 
 
A) Em relação à adição: ∀u, v, w ∈ V 
A1) (u + v) + w = u + (v + w) 
A2) u + v = v + u 
A3) ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u 
A4) ∃ –u ∈ V tal que u + (–u) = 0 
 
M) Em relação à multiplicação por escalar: ∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ R 
M1) (αβ) u = α (βu) 
M2) (α + β) u = αu + βu 
M3) α (u + v) = αu + αv 
M4) 1u = u 
 
Exemplos: 
 
1. V = R² = {(x, y)/ x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e 
multiplicação por escalar: 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) 
α (x, y) = (αx, αy) 
 
2. Os conjuntos R³, R4, ..., Rn são espaços vetoriais com as operações usuais de adição e 
multiplicação por escalar. 
 
3. V = M(m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e o produto por escalar usuais. 
 Em particular: 
 
3.1. V = M(n,n) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n; 
3.2. V = M(1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]; aij ∈ R}, também identificado com V = Rn 
 são espaços vetoriais relativamente às mesmas operações. 
 
4. O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x² + ... + anxn; ai ∈ R} dos polinômios com coeficientes reais de 
grau ≤ n, em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por 
escalar. 
Em particular, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2, 
P2 = {a0 + a1x + a2x²; ai ∈ R} é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações. 
 
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Propriedades dos espaços vetoriais 
 
Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades: 
i. Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição). 
ii. Cada vetor u ∈ V admite apenas um simétrico (–u) ∈ V. 
iii. Para quaisquer u, v, w ∈ V, se u + v = u + w, então v = w. 
iv. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se –(–v) = v. 
v. Quaisquer que sejam u, v ∈ V, existe um e somente um w ∈ V tal que u + w = v. 
 Esse vetor w será representado por w = v – u. 
vi. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se 0v = 0. 
vii. Qualquer que seja λ ∈ R, tem-se λ0 = 0. 
viii. Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0. 
ix. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se (–1)v = –v. 
x. Quaisquer que sejam u, v ∈ V e λ ∈ R, tem-se (–λ)v = λ(–v) = – (λv). 
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Definição 
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, é um subespaço vetorial de V se: 
i. Para quaisquer u, v ∈ W tem-se u + v ∈ W. 
ii. Para qualquer α ∈ R, u ∈ W, tem-se α u ∈ W. 
 
Observações 
 
1. As condições da definição garantem que ao operarmos em W não obteremos um vetor fora de 
W. De modo que W é ele próprio um espaço vetorial. 
2. Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (condição (ii) para 
0=α ). 
3. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (chamados subespaços triviais), o 
conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. 
 
Exemplos 
 
1. Sejam V = R² e W = {(x, 2x); x ∈ R}. 
 Evidentemente, W ≠ Φ, pois (0,0) ∈ W. 
 Verifiquemos as condições (i) e (ii). 
 Para u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2) ∈ W, tem-se: 
i. u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 +x2)) ∈ W, pois a segunda 
componente de u + v é igual ao dobro da primeira. 
ii. αu = α(x1, 2x1) = (αx1, 2(αx1)) ∈ W, pois a segunda componente de αu é igual ao dobro da 
primeira. 
Portanto, W é um subespaço vetorial de R² que representa geometricamente uma reta que 
passa pela origem. 
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Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta que passa pela origem, o vetor soma 
ainda é uma reta que passa pela origem. E se multiplicarmos um vetor u da reta por um 
número real α, o vetor αu ainda estará nesta reta. 
O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a reta 
W = {(x, 4 – 2x); x ∈ R} 
não é um subespaço vetorial do R². 
Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, 0) de W, temos u + v = (3, 2) ∉ W. 
Ainda αu ∉ W, para α ≠ 1. 
 
Os exemplos destas duas retas sugerem, para qualquer subconjunto W de um espaço vetorial 
V, que: sempre que 0 ∉ W, W não é subespaço de V. No entanto, se 0 ∈ W não nos 
enganemos pensando de imediato que W seja subespaço de V, pois será necessário verificar 
as propriedades (i) e (ii). 
 
Para V = R², os subespaços triviais são {(0,0)} e o próprio R², enquanto que os outros 
subespaços (subespaços próprios) são as retas que passam pela origem. 
 
2. Sejam V = R4 e W = {(x,y,z,0); x,y,z ∈ R}. 
 (0,0,0,0) ∈ W 
 Para u = (x1, y1, z1, 0) e v = (x2, y2, z2, 0) ∈ W: 
i. u + v = (x1, y1, z1, 0) + (x2, y2, z2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, z1+ z2, 0) ∈ W, pois a quarta 
componente é nula. 
ii. αu = α(x1, y1, z1, 0) = (αx1, αy1, αz1, 0) ∈ W, pois a quarta componente é nula. 
Logo, W é subespaço vetorial de R4. 
 
3. Sejam V = M(3,1) e W o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis. 
Consideremos o sistema homogêneo 





=++
=++
=++
0
0
0
333231
232221
131211
zayaxa
zayaxa
zayaxa
 
Fazendo: 










=










=










=
0
0
0
0X,A
333231
232221
131211
e
z
y
x
aaa
aaa
aaa
, o sistema, em notação matricial, será dado 
por AX = 0, sendo X elemento do conjunto-solução W. 
Se 










==










==
2
2
2
2
1
1
1
1 X veXu
z
y
x
z
y
x
 são soluções do sistema, então: AX1 = 0 e AX2 = 0. 
i. Somando essas igualdades, vem: AX1 + AX2 = 0 ou A(X1 + X2) = 0 ⇒ X1 + X2 ∈ W, isto é, 
a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema. 
ii. Multiplicando por α ∈ R a primeira igualdade, vem: α(AX1) = 0 ou A(αX1) = 0 ⇒ αX1 ∈ W, 
isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução do sistema. 
Logo, o conjunto-solução W do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de 
M(3,1). 
 
 
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Exercícios 
 
1. Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. 
OBS: Os símbolos ⊕ e ⊗ , quando utilizados, são para indicar que a adição e a multiplicação 
por escalar não são usuais. 
a) V = {(x, x²); x∈R} com as operações definidas por: 
 (x1, x1²) ⊕ (x2, x2²) = (x1 + x2, (x1 + x2)²) 
 α ⊗ (x, x²) = (αx, α²x²) 
 
b) V = *+Rcom as operações definidas por x ⊕ y = xy e α⊗ x = xα, ∀ x, y ∈ V. 
 
2. Verifique se os seguintes subconjuntos dos espaços vetoriais dados são subespaços vetoriais 
destes. 
 
a) ( ){ }xyRyxW =∈= ,, 2 2R⊂ 
b) )(,;
00 2
RMRba
ba
W ⊂






∈





= 
 
 
INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Definição 
 
Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. 
W = W1 ∩ W2 = {v ∈ V; v ∈ W1 e v ∈ W2} 
 
Teorema: A intersecção W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é também um subespaço 
vetorial de V. 
 
Exemplos: 
1. V = M(2,2), W1 = 






=−=




 0,; cbda
dc
ba
e W2 = 






===




 0,; bdca
dc
ba
, ou seja, 
 W1 = 











 −
d
bbd
0
 e W2 = 












''
0'
aa
a
 
 Para encontrarmos W1 ∩ W2, as condições de W1 e de W2 devem ser satisfeitas simultaneamente. 
 Assim temos:







=
=⇒=
=
=
 a'd - b 
 dd a'
 a' 
 b 
0
0
0
. Portanto W1 ∩ W2 = 












00
00
. 
 
2. V = P2(R), espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2. 
V = {a
 
+ bx + cx²; a, b, c
 
∈ R} 
W1 = {a + bx + cx²; a – 2b + c = 0} e W2 = {a + bx + cx²; a = 0} 
W1 ∩ W2 = {a + bx + cx²; – 2b + c = 0, a = 0} 
 
 
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SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Definição 
 
Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. 
W = W1 + W2 = {u + w ∈ V; u ∈ W1 e w ∈ W2} 
 
Teorema: A soma W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é também um subespaço vetorial 
de V. 
 
Considerando os mesmos espaços e respectivos subespaços dos exemplos anteriores: 
 
1. 





+
−+
=





+




 −
daa
bbda
aa
a
d
bbd
''
'
''
0'
0
 
 W1 + W2 = 






∈




 −
Rcba
ca
bbc
,,';
'
 ou W1 + W2 = 






−=





ywx
wz
yx
; 
2. Sejam p = 2b – c + bx + cx2 ∈ W1 e q = b’x + c’x2 ∈ W2. 
 p + q = (2b – c) + (b + b’)x + (c + c’) x2. Como não existe nenhuma relação de dependência entre 
os valores 2b – c, b + b’ e c + c’, W1 + W2 é um polinômio qualquer de P2(R). 
 W1 + W2 = P2(R). 
 
 
SOMA DIRETA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Definição 
 
Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é soma direta de W1 e W2 , e se representa 
por V = W1 ⊕ W2, se V = W1 + W2 e W1 ∩ W2 = {0}. 
 
Teorema: 
Se V é soma direta de W1 e W2 todo vetor v ∈ V se escreve de modo único na forma v = u + w, onde 
u ∈ W1 e w ∈ W2. 
 
Exemplo: 
Sejam V = R3 , ou seja, V = {(a,b,c); a,b,c ∈ R} e os seus subespaços W1 = {(a, b, 0); a, b ∈ R} e 
W2 = {(0,0,c); c ∈ R}. 
R3 é soma direta de W1 e W2, pois W1 + W2 = {(a,b,c); a,b,c ∈ R}e W1 ∩ W2 = {(0,0,0)}. 
Confirmando o teorema acima, ∀ v = (a,b,c) ∈ R3, (a, b, c) = (a, b, 0) + (0, 0, c), escrito de modo 
único. 
 
Exercício: 
 
Sejam W1 = 






==





cbda
dc
ba
 e ; e W2 = 






==




 dbca
dc
ba
 e ; subespaços de M2(R). 
Determine W1 ∩ W2, W1 + W2 e verifique se M2(R) = W1 ⊕ W2. 
 
 
 
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COMBINAÇÃO LINEAR 
 
Sejam os vetores nvvv ,,, 21 K do espaço vetorial V e os escalares naaa ,,, 21 K . Qualquer vetor ∈v V 
da forma nn vavavav +++= K2211 é uma combinação linear dos vetores nvvv ,,, 21 K . 
 
Exemplo: Em P2, o polinômio 755 2 +−= ttp é uma combinação linear dos polinômios 
,1221 +−= ttp 22 += tp e ttp −=
2
3 2 , pois 321 23 pppp ++= . 
 
Exercícios 
1) Escrever )6,3,4( −=v como combinação linear de ( )2,3,11 −=v e ( )1,4,22 −=v . 
2) Para que valor de k a matriz 




−
=
k
A
0
148
 é combinação linear de 




 −
=
20
32
1A e 





−
=
40
21
2A ? 
3) Mostrar que o vetor ( )4,3=v ∈R² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação 
linear dos vetores ( )0,11 =v , ( )1,02 =v e ( )1,23 −=v . 
 
SUBESPAÇOS GERADOS 
 
Sejam V um espaço vetorial e { }⊂= nvvvA ,,, 21 K V, Φ≠A . 
O conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um subespaço 
vetorial de V. 
W = { }Raaavavavavv nnn ∈+++=∈ ,,,;;V 212211 KK é dito subespaço gerado pelo conjunto A. 
Notação: W = [ nvvv ,,, 21 K ] ou W = G(A). 
 
Observações: 
1) nvvv ,,, 21 K são ditos vetores geradores do subespaço W. 
2) Por definição: A = Ф ⇔ [Ф] = {0}. 
3) A ⊂ G(A), ou seja, { }⊂nvvv ,,, 21 K [ nvvv ,,, 21 K ]. 
4) Todo subconjunto A de V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. 
Nesse caso, A é o conjunto gerador de V. 
5) Seja W = [ nvvv ,,, 21 K ]. Ao acrescentarmos vetores de W ao conjunto dos geradores, os 
novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço W. 
6) A observação 5 nos permite concluir que um espaço vetorial pode ser gerado por uma 
infinidade de vetores, mas existe um número mínimo de vetores para gerá-lo. 
 
Exemplos: 
 
1) i = (1,0) e j = (0,1) geram o R², pois (x,y) = x(1,0) + y(0,1), x, y ∈ R. 
2) i = (1,0,0) e j = (0,1,0) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,0)∈R³; x, y ∈ R} que 
geometricamente representa o plano x0y. 
3) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o R³, pois (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1), x, y, 
z ∈ R. 
4) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e v = (3,4,0) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,0)∈R³; x, y ∈ R}. 
5) u = (2,-1,3) e v = (0,-1,2) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,z)∈R³; x - 4y -2z = 0} 
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6) 











 −






−
−
=
11
13
,
32
21
A gera o subespaço de M2(R): W






∈





+−
= Ryx
yxy
yx
,;
2
. 
 
 
ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS 
 
Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A ⊂ V, tal que V = G(A). 
 
Todos os exemplos de espaços vetoriais vistos até agora são exemplos de espaços finitamente 
gerados. Um exemplo de espaço vetorial não finitamente gerado é o espaço P de todos os 
polinômios reais. 
 
 
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Sejam V um espaço vetorial, { }⊂= nvvvA ,,, 21 K V e 02211 =+++ nnvavava K . 
O conjunto A diz-se linearmente independente (L.I.) ou os vetores nvvv ,,, 21 K são ditos L.I., caso a 
equação acima admita apenas a solução trivial 0,,0,0 21 === naaa K . 
Se existirem soluções 0≠ia para algum i = 1, 2, ..., n, diz-se que o conjunto é linearmente 
dependente (L.D.) 
 
Exemplos: 
a) Em V = R³, os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,0,-2) e w = (2,-3,1) são L.D., pois podemos escrever 
a combinação linear 3u + 4v – w =0. 
b) Em V = P3(R), os polinômios 322321 35,4322 xxxpxxxp +−=+++= e 323 24 xxp −= são 
L.I., pois 0332211 =++ papapa somente quando .0321 === aaa 
c) Em V = R², i = (1,0) e j = (0,1) são L.I. 
d) Em V = R², i = (1,0), j = (0,1) e v = (3,-2) são L.D., pois podemos escrever a combinação linear 
–3i + 2j + v = 0. 
 
� Atenção: Faça os cálculos que conferem as afirmações acima. 
 
Teorema 
Um conjunto { }nvvvA ,,, 21 K= é L.D. se, e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação 
linear dos outros. 
Ou, equivalentemente, um conjunto { }nvvvA ,,, 21 K= é L.I. se, e somente se, nenhum desses vetores 
pode ser escrito como combinação linear dos outros. 
 
Do teorema acima podemos concluir que para o caso particular de dois vetores, temos que: 
� u e v são L.D. se, e somentese, um vetor é múltiplo escalar do outro. 
 
Exemplo: 
⊂












−−






−−
=
912
63
,
34
21
A M2(R) é um conjunto L.D., pois podemos escrever a combinação 
linear 





=





−
−





−−
⋅
00
00
912
63
34
21
3 . Notemos que 





−−
⋅=





− 34
21
3
912
63
. 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 8 
 
 
Exercício: Verifique se são L.D. os seguintes conjuntos. 
 
1) { }⊂+−+−−+ 222 743,32,21 xxxxxx P2(R) 
2) ( ) ( ){ }⊂− 3,1,1,2 R² 
 
PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA E DA INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Seja V um espaço vetorial. 
1. Se A = {v} ⊂ V e v ≠ 0, então A é L.I. 
2. Considera-se por definição que o conjunto vazio Ф é L.I. 
3. Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é L.D. 
4. Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D., então A é também L.D. 
5. Se um conjunto A ⊂ V é L.I., então qualquer parte de A é também L.I. 
 
Observemos que a recíproca desta afirmação não é verdadeira. 
De fato, voltando ao exemplo (d), A = {(1,0), (0,1), (3,-2)} temos que qualquer subconjunto próprio 
de A é L.I. 
A1 = {(1,0)}, A2 = {(0,1)}, A3 ={(3,-2)}, A4 = {(1,0), (0,1)}, A5 = {(1,0), (3,-2)}, A6 = {(3,-2), (0,1)} 
Porém verificamos que o conjunto A é LD. 
 
6. Se { }nvvvA ,,, 21 K= é L.I e { }wvvvB n ,,,, 21 K= é L.D., então w é combinação linear dos 
vetores nvvv ,,, 21 K . 
 
 
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Um conjunto B = ⊂},,,{ 21 nvvv K V é uma base do espaço vetorial V se: 
i) B é LI; 
ii) B gera V. 
 
Exemplos: 
 
1) B = {(1, 1), (-1, 0)} é base do R2. 
 
OBS: quaisquer dois vetores não colineares do R2, portanto LI formam uma base desse espaço. 
 
2) B = {(1, 0), (0, 1)} é base do R2 , denominada base canônica. 
 
3) B = { }neee ,,, 21 K é base canônica do Rn, onde 
( ) ( ) ( )1,,0,0,,0,,0,1,0,0,,0,0,1 21 KKKK === neee são vetores LI e 
. como escritoser pode R 2211
n
nnexexexvv +++=∈∀ K 
 
4) 






























=
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
B é base canônica de M2(R). 
 
5) B = { }nttt ,,,,1 2 K é base canônica do espaço vetorial Pn e tem n + 1 vetores. 
 
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6) B = {(1,2), (-2, -4)} não é base do R2, pois é LD. 
 
7) B = {(3, -1)} não é base do R2, pois não gera todo R2. Esse conjunto gera uma reta que passa pela 
origem. W = [(3, -1)] = {(x, y) ∈ R2; x = -3y} 
 
8) B = {(1,2,1), (-1,-3,0)} não é base do R3, pois não gera todo R3. B gera o subespaço do R3 
( ){ }03;R,,W 3 =−−∈= zyxzyx e por ser LI é base de W. 
 
OBS: Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado. 
 
Teorema: Se B = },,,{ 21 nvvv K for uma base de um espaço vetorial V, então 
i) todo conjunto com mais de n vetores será LD; 
ii) todo conjunto com menos de n vetores não gera V. 
 
Corolário: Duas bases quaisquer de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. 
 
DIMENSÃO de um espaço vetorial: é o número de vetores da base de um espaço vetorial. 
 
Exemplos: 
1) dim R2 = 2 
2) dim Rn = n 
3) dim M2(R) = 4 
4) dim M(m,n) = m⋅n 
5) dim Pn = n + 1 
6) dim {0} = 0 , pois {0} é gerado pelo conjunto vazio e portanto não possui base. 
 
Observações: 
1) dim V = n e W é subespaço de V ⇒ dim W ≤ n 
No caso de dim W = n, então temos que W = V. 
Ex: V = R3, dim V = 3. A dimensão de qualquer subespaço W do R3 só poderá ser 0, 1, 2 ou 
3. Portanto temos: 
a. dim W = 0, então W = {(0,0,0)} é a origem. 
b. dim W = 1, então W é uma reta que passa pela origem. 
c. dim W = 2, então W é um plano que passa pela origem. 
d. dim W = 3, então W = R3. 
 
2) Se dim V = n, então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD. 
 
3) Se soubermos que a dim V = n, para obtermos uma base de V basta que apenas uma das 
condições de base esteja satisfeita, pois a outra ocorrerá como conseqüência. Ou seja: 
a. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V. 
b. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma base de V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
 
1. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de 2ℜ=V . 
 
a) ( ){ }.real constante , ,, 2 aaxyyxW =ℜ∈= c) ( ){ }32 ,, xyyxW =ℜ∈= 
b) ( ){ }xyyxW =ℜ∈= ,, 2 . d) ( ) ( ){ }xsenyyxW =ℜ∈= ,, 2 
 
2. Dados os espaços vetoriais abaixo diga, em cada caso, se W é subespaço vetorial de V sobre ℜ . 
 
a) 3ℜ=V . 
a.1) ( ){ }1 ,,, 3 =++ℜ∈= zyxzyxW . 
a.2) ( ){ }zyxzyxW +=ℜ∈= 2 ,,, 3 . 
a.3) ( ){ }0. ,,, 3 =ℜ∈= yxzyxW . 
 
c) ( )ℜ= 2PV . 
c.1) { }02 ,2 =+−∈++= cbaVcbtatW . 
c.2) { }4 ,2 =∈++= cVcbtatW . 
 
b) ( )ℜ= 2MV . 
b.1) { }VTTAATVAW em fixada , , =∈= . 
b.2) { }AAVAW =∈= 2 , . 
b.3) { }inversível é , AVAW ∈= . 
d) ( )ℜℜ= ,FV . Espaço das funções contínuas de 
ℜℜ em . 
d.1) ( ) ( ){ }xfxfVfW −=−∈= , . 
d.2) ( ){ }03 , =∈= fVfW . 
 
 
3. Seja ( )ℜ= 2MV e sejam { } { }AAVAWAAVAW tt −=∈==∈= , e , 21 . Mostre que: 
 
a) 21 e WW são subespaços de V; 
b) 21 WWV += ; 
 
4. No exercício anterior, mostre que 21 WWV ⊕= . 
 
5. Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos de S, sendo: 
 
a) 






























=





=
59
14
 ,
01
00
 ,
30
00
 ,
00
23
 e 
10
11
Sv . 
b) ( ) ( ) ( ){ }9,2 ,0,1 e 7,2 == Sv . 
c) ( ) ( ) ( ){ }0,1,0 ,0,0,2 e 3,0,0 == Sv . 
d) d) ( ) { }3223 ,1 ,t3 ,2 e 1+t+4t+t ttStpv −=== . 
e) ( ) ( ) ( ){ }3cose 22 , x S xsenxfv === . 
 
6. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
 
a) ( ){ }02 e 0 ,,, 3 =−=+ℜ∈= yxzxzyxW . 
 
 
b) ( ){ }032 ,,, 3 =−+ℜ∈= zyxzyxW . 
 
c) ( )






=ℜ∈





= 0 e 0=c+ ,2 daMdc
ba
W . 
 
d) ( ){ }0 e ,d+ct+bt+at 323 ==ℜ∈= acbPW
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7. Seja { }wvu ,, um conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V. Mostre que 
{ }wwvuwvu ,3 ,3 −+−+ é L.I. . 
 
8. Determine k de modo que o conjunto ( ) ( ) ( ){ }2,,1 ,,1,1 ,,0,1 kkkk seja L.I. . 
 
9. Mostre que os seguintes pares de vetores em V= ( )ℜℜ,F são L.I. . 
 
a) x ,1 b) 2 , xx c) xx eex 2 ,. d) ( ) ( )xxsen cos , 
 
10. Verifique quais dos seguintes conjuntos: 
 
i) são L.I. ii) geram os espaços V considerados. iii) são bases dos espaços V considerados. 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 4 V 1,1,1,1 ,0,1,1,1 ,0,0,1,1 ,0,0,0,1 ℜ=⊂ . 
 
b) ( ) ( ) ( ){ } 2 V 2,1 ,1,1 ,1,1 ℜ=⊂− . 
 
c) ( )ℜ=⊂












−−





 −






−
−






−
−
2V11
11
00
11
11
11
11
11
 M , , , . 
 
d) ( )ℜ=⊂
























32V010
000
000
003
002
020
x M , , . 
 
e) { } ( )ℜ=⊂+ 22 V1 P t, t, t . 
 
f) { } ( )ℜ=⊂− 222 V135 P , t, t . 
 
11. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2,,3 ,2,0,7 ,2,5,0 ,0,0,1 pi−=W em 3ℜ=V . 
 
 
b) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1,0,3,2 ,1,14,1,3 ,2,7,4,3 ,1,0,3,1 −−−=W em 4ℜ=V . 
 
 
c) ( ){ }tAAMAW =ℜ∈= ,2 em ( )ℜ= 2MV . 
 
 
d) Os subespaçosdo exercício 6. 
 
 
e) ( ) ( )[ ] ( )ℜℜ== , ,os , FVxcxsenW . 
 
 
f) ( )ℜℜ== , ], , ,[ 32 FVeeeW xxx . 
 
12. Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços: 
 
a) ( ) ( ) ( )[ ]1,2,1 ,1,0,3 ,0,1,2 −−=W em 3ℜ=V . 
 
 
b) ( ) ( )[ ]4,2,4 ,2,1,2 −−−=W em 3ℜ=V . 
 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0,1,0,0 ,1,0,0,0 ,0,0,1,0 ,1,1,1,1=W em 4ℜ=V . 
 
 
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d) 

















−
−






=
04
13
 ,
01
12
 ,
01
01
W em ( )ℜ= 2MV . 
 
 
e) [ ]1 ,2 , 23 ttttW −+= em ( )ℜ= 3PV . 
 
13. Em cada caso a seguir, determine os subespaços U W U W∩ +, de V e uma base para cada um dos 
subespaços encontrados: 
 
a) 4ℜ=V ( ){ }( ){ }

==∈=
=−=+∈=
0 e 0 ,,,,
e 0 ,,,,
wzVwzyxW
zwyxVwzyxU
 
 
b) 3ℜ=V ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )[ ]

−−−=
=∈=
3,2,1 ,21,12,7 ,3,2,1 ,0,2,0
e 0 ,,,
W
xVzyxU
 
 
c) ( )ℜ= 2MV 













==+∈





=






==++∈





=
0 ,03 ,
e 0 ,02 ,
wzyV
wz
yx
W
zwyxV
wz
yx
U
 
 
d) 3ℜ=V ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

−−=
=
21,1,0 ,1,1,0
e 3,1,1 ,1,1,0 ,2,0,1
W
U
 
 
14. Dados os vetores ( ) ( ) ( )6814e32110412 ,,, t ,,,, v,,,u ==−= : 
 
a) Encontre uma base para [ ]u, v, tS = ; 
 
b) Escreva as equações que caracterizam S; 
 
c) Que relação deve existir entre a e b para que ( )ba ,0,,0 pertença a S ? 
 
d) Seja ( )[ ]2,0,1,0=Y . Determine SY ∩ , ( )SY +dim e uma base para SY + . 
 
 
15. Verifique se WUV ⊕= nos seguintes casos: 
 
a) 32xMV = 













=∈





=






==∈





=
0 ,
 ,
dVfed
cba
W
fbaVfed
cba
U
 
 
b) 4ℜ=V ( ){ }( ){ }

==∈=
=+==+∈=
0 ,,,,
0 ,,,,
zxVwzyxW
wzywxVwzyxU
 
 
c) itens do exercício 13o 
 
16. Determine uma base do ℜ5 que contenha o conjunto ( ) ( ){ }0,0,1,0,1 ,0,0,0,1,1 . Justifique sua resposta. 
 
17. Sendo ( ) ( ) ( )[ ]1,12,7 ,1,5,3 ,3,2,1 −−−=W , encontre um subespaço U do 3ℜ tal que WU ⊕=ℜ3 . 
 
 
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18. Sejam 21 e WW subespaços do 5ℜ . Sabendo-se que: 
 
• ( ) 4dim 21 =+WW ; 
 
• ( ) ( ){ }0,0,1,1,0 ,0,0,1,2,1 é base de 1W ; 
 
• ( ) ( ) ( )[ ]1,1,1,2,1 ,1,1,0,1,2 ,0,0,1,1,121 −−−−=∩WW . 
 
Determine a dimensão de 2W . Justifique a sua resposta. 
 
19. Sabendo que WV ⊕=ℜ4 e ( ) ( )[ ]12,9,6,3 ,4,3,2,1=V , determine a dimensão de W. Justifique. 
 
20. Sejam V um espaço vetorial de dimensão igual a 6, U e W subespaços de V tais que: 
 
a) ( ) ( ) 5dim e 4dim == WU . Mostre que { }0≠∩WU . 
b) ( ) ( ) 4dimdim == WU . Encontre as possíveis dimensões para U W∩ . 
 
21. Dê, se possível, exemplos de: 
 
a) Um conjunto L.I. de 3 vetores que não geram o ℜ3 ; 
b) Um conjunto L.D. de 3 vetores do ( )M2 ℜ ; 
c) Um subespaço U de ℜ4 tal que U ≠ ℜ4 e ( )dim U = 4 ; 
d) Dois subespaços W e U de ℜ5 tais que ( ) ( )dim dimU W U W= = ⊕ = ℜ3 5 e . 
 
Caso seja impossível, justifique sua resposta. 
 
22. Determine as coordenadas dos seguintes vetores em relação às bases indicadas: 
 
a) ( )354 , , − ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

−=
=
411230121
013021111
, , , , , , , , B'
, , , , , , , , B
 
 
b) 





− 01
21
 
( )



ℜ=






























=
 de canônica base
01
00
10
00
00
01
00
11
2MB'
, , , B
 
 
c) ttt 252 23 −+ { }( )

ℜ=
++=
 de canônica base
32
3
223
PB'
, t, t-, tttB
 
 
 
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Respostas 
 
1. a) sim b) não c) não d) não 
 2. a.1) não a.2) sim a.3) não c.1) sim c,2) não 
 b.1) sim b.2) não b.3) não d.1) sim d.2) sim 
 
5. a) 1 1
0 1
3
5
3 2
0 0
2
3
0 0
0 3
9
5
0 0
1 0
1
5
4 1
9 5





 =





 +





 +





 −





 
 b) ( ) ( ) ( )2 7 4
9
10 7
9
2 9, , ,= + 
 c) não é possível. 
 d) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t3 2 2 34 1 52 2 13 3 4 1 1+ + + = + + − + 
 e) ( ) ( )sen cos2 21 13 3x x= − + 
 
6. a) ( ){ }2 1 2, ,− b) ( ) ( ){ }− 2 1 0 3 0 1, , , , , c) 1 01 0
0 1
0 0−


















, d) { }t t2 1+ , 
 8. k k≠ ≠0 1 e 
 10. a) i) L.I. ii) sim iii) sim 
 b) i) L.D. ii) sim iii) não 
 c) i) LD. ii) não iii) não 
 d) i) L.I. ii) não iii) não 
 e) i) L.I. ii) sim iii) sim 
 f) i) L.D. ii) não iii) não 
 
 
11. a) ( ) ( ) ( ){ }B = −10 0 0 5 2 7 0 2, , , , , , , , outra base de W: ( ) ( ) ( ){ } ( )B W' , , , , , , , , , dim= =1 0 0 010 0 01 3 
 b) ( ) ( ) ( ){ } ( )B W= − =13 01 3 4 7 2 2 301 3, , , , , , , , , , , dim 
 c) ( )B W= 























=
1 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1 3, , , dim 
 d) d.1) ( ){ } ( )B W= − =2 1 2 1, , , dim 
 d.2) ( ) ( ){ } ( )B W= − =2 1 0 3 0 1 2, , , , , , dim 
 d.3) ( )B W=
−


















=
1 0
1 0
0 1
0 0 2, , dim 
 d.4) { } ( )B t t W= + =1 2, , dim 2 
 e) ( ) ( ){ } ( )B x , x , W= =sen cos dim 2 
 f) { } ( )B e , e e , Wx x x= =2 3 3, dim 
 
12. a) ( ){ }W x y z x y z= ∈ℜ + − =, , ,3 2 3 0 b) ( ){ }0 ,,, 3 =+ℜ∈= zxzyxW 
 c) W = ℜ4 d) ( )W x y
z w
M x y z w=





 ∈ ℜ + − = =






2 0 0, e 
 e) ( ){ }W at bt ct d P c a b= + + + ∈ ℜ = −3 2 3 2, 
 
13. a) ( ){ }U W x,y,z,w , x y , z , w∩ = ∈ℜ + = = =4 0 0 0 ( ){ }BU W∩ = −1 10 0, , , 
 ( ){ }U W x,y,z,w , w z+ = ∈ℜ − =4 0 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 0 010 0 0 0 11, , , , , , , , , , , 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 15 
 
 
13. b) ( ){ }U W x,y,z x∩ = ∈ℜ3 , = z = 0 ( ){ }BU W∩ = 010, , 
 U W+ = ℜ3 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 010 0 01, , , , , , , , 
 
 c) U W∩ = 











0 0
0 0 não há base. 
 ( )U W M+ = ℜ2 BU W+ = 





























1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
, , , 
 
 d) ( ){ }U W x,y,z , x , z y∩ = ∈ℜ = =3 0 ( ){ }BU W∩ = 011, , 
 U W+ = ℜ3 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 010 0 01, , , , , , , , 
 
14. a) ( ) ( ){ }B = 10 2 1 010 2, , , , , , , , outra base: ( ) ( ){ }2 14 0 112 3, , , , , , ,− b) ( ){ }S x y z w y z w= ∈ℜ + − =, , , ,4 4 2 0 
 
 c) b a= 2 d) ( )Y S Y Y S BY S∩ = + = +, dim , 2 a mesma de S 
 
15. a) não b) sim c) 13a) não 13b) não 13c) sim 13d) não 
 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B = 110 0 0 1010 0 0 010 0 0 0 010 0 0 0 01, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 
 17. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]U U U= = =0 01 010 10 0, , , , , , , , ou por exemplo, ou 
 
18. ( )dim W2 4= 
 19. ( )dim W = 3 
 20. a) ( ) { }2 5 0< ∩ < ⇒ ∩ ≠dim U W U W b) 2 3 4, , 
 
21. a) impossível. b) 1 00 0
3 0
0 0
0 1
0 0























, , , por exemplo. c) impossível. d) impossível. 
 
22. a) ( )[ ] ( )[ ]4 5 3
3
5
2
4 5 3
21 17
58 17
47 17
, , , ,
'
− = −










− = −










B B
 e b) 1 2
1 0
2
1
0
1
1 2
1 0
1
2
1
0
−











 =
−
−












−











 =
−











B B
 e 
'
 
 
 c) [ ] [ ]2 5 2
2
3
5
10 3
2 5 2
0
2
5
2
3 2 3 2t t t t t tB B+ − =
−
−












+ − =
−












 e 
'
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 16 
 
 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
 
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V → W é chamada transformação linear de V em W 
se satisfaz às seguintes condições: 
I) T(u + v) = T(u) + T(v) 
II) )()( uTuT αα = 
ReVvu ∈∀∈∀ α, . 
 
• Em particular, uma transformação linear de V em V (ou seja, se W = V) é chamada operador 
linear sobre V. 
 
Exemplos: 
1) A transformação nula (ou zero) é linear: T ≡ O 
 O: V → W 
 v 0)(O =va 
 De fato: I) O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v) 
 II) O(αu) = 0 = α ⋅ 0 = α ⋅ O(u) 
 
2) A transformação identidade é linear. IT ≡ 
 
vvIv
WVI
=
→
)(
:
a
 
 
 De fato: I) )()()( vIuIvuvuI +=+=+ 
 II) )()( uIuuI ⋅== ααα 
 
3) A transformação projeção de R3 em R2 é linear. 
 ( )zxyxzyxTzyx
RRT
+−=
→
2,),,(),,(
: 23
a
 
 De fato: 
I) ( )),,(),,()( 222111 zyxzyxTvuT +=+ 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
)()(
2,2,
22,
2,
,,
22221111
22112211
21212121
212121
vTuT
zxyxzxyx
zxzxyxyx
zzxxyyxx
zzyyxxT
+=
+−++−=
+++−+−=
++++−+=
+++=
 
 
 II) ),,()( zvxTuT αααα = 
 
( )
( )
)(
2,
2,
uT
zxyx
zxyx
α
α
αααα
=
+−=
+−=
 
 
4) A função real F: R→ R, tal que F(u) = u2 não é uma transformação linear. 
 De fato: I) ( ) ( )2vuvuF +=+ )()(222 vFuFuvvu +≠++= 
 II) ( ) ( ) )(222 uFvuuF αααα ≠== 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 17 
 
 
5) A transformação derivada DT ≡ é linear. 
 Pn(R) é o conjunto dos polinômios reais de grau n e f(t), g(t) são polinômios de Pn(R). 
 )('))(()(
)()(:
tftfDtf
RPRPD nn
=
→
a
 
 De fato: I) ( ) ( )')()()()( tgtftgtfD +=+ 
 ( ) ( ))()(
)(')('
tgDtfD
tgtf
+=
+=
 
 II) ( ) ( )')()( tftfD αα = 
 ( ))(
)('
tfD
tf
α
α
=
=
 
 
Exercício: Verifique se são lineares as seguintes aplicações. 
a) 3 2:T R R→ definida por ( )( , , ) , 2T x y z x y x z= − + 
b) ( ) 32:T P R R→ definida por ( )20 1 2 0 1 2( ) , 1, 2T a a t a t a a a+ + = − − 
 
Propriedades 
 
1. Se WVT →: é uma transformação linear, então ( ) WVT 00 = . 
 Equivalentemente, se ( )0 0V WT ≠ , então WVT →: não é uma transformação linear. 
 Podemos usar esta propriedade para justificar que a transformação do exercício (b) não é linear, 
pois ( ) ( )0 0, 1, 2T = − − . 
 
2. Se WVT →: é uma transformação linear, então 
( ) ( ) ( ) ., e ,, 212122112211 RaaVvvvTavTavavaT ∈∀∈∀+=+ 
Analogamente, 
( ) ( ) ( ) ( ) .,, e ,,, 1122112211 RaaVvvvTavTavTavavavaT nnnnnn ∈∀∈∀+++=+++ KKKK
 
 Esta propriedade é muito útil, principalmente se os vetores 1 2, , nv v vK constituem uma base de 
V, pois podemos encontrar a lei da transformação linear como vem exemplificado abaixo. 
 
Exemplo: Sejam 3 2:T R R→ uma transformação linear e ( ) ( ) ( ){ }0,1,0 , 1,0,1 , 1,1,0B = uma base do 
R³. Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0 1, 2 , 1,0,1 3,1 e 1,1,0 0,2T T T= − = = , determine ( ), ,T x y z e 
( )5,3, 2T − . 
Em primeiro lugar vamos expressar o vetor ( ), ,x y z como combinação linear dos vetores da base. No 
caso, resolvendo o sistema, determinamos que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,1,0 1,0,1 1,1,0x y z y z x z x z= + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ 
 
Aplicando a transformação T e usando a propriedade (2), temos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , 0,1,0 1,0,1 1,1,0
0,1,0 1,0,1 1,1,0
1, 2 3,1 0,2
T x y z T y z x z x z
y z x T z T x z T
y z x z x z
 = + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ 
= + − ⋅ + ⋅ + − ⋅
= + − ⋅ − + ⋅ + − ⋅
 
Portanto, ( ) ( ), , 4 ,4 2 3T x y z x y z x y z= − + + − − e aplicando ao vetor dado, ( ) ( )5,3, 2 10, 20T − = − . 
 
 
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Imagem de uma transformação linear 
 
Chama-se imagem de uma transformação linear WVT →: ao conjunto dos vetores w ∈ W que são 
imagem de vetores v ∈ V. 
Im(T) = { w ∈ W / T(v) = w para algum v ∈ V} ⊂ W. 
 
OBS: 1) ( ) ≠TIm ∅, pois no mínimo o conjunto imagem contém o vetor nulo.( )Im(0 TW ∈ ) 
 
2) Se Im(T) = W , T diz-se transformação sobrejetora, isto é, ( ) . que tal, wvTVvWw =∈∃∈∀ 
3) A imagem de uma transformação linear WVT →: é um subespaço vetorial de W. 
 
Exemplo: Seja )0,,(),,(,: 33 yxzyxfRRf =→ a projeção ortogonal do R3 sobre o plano x0y. A 
imagem de f é o próprio plano x0y. 
 Im(f) = { RyxRyx ∈∈ ,/)0,,( 3 } 
 
 
 
Núcleo de uma transformação linear 
 
Chama-se núcleo de uma transformação linear WVT →: ao conjunto de todos os vetores v ∈ V que 
são transformados em 0 ∈ W. Indica-se este conjunto por N(T) ou ker(T). 
N(T) = {v ∈ V/ T(v) = 0} 
 
Exemplos: 
1. No exemplo anterior o núcleo da transformação f é o eixo dos z, pois 



=
=
⇔=⇔=
0
0)0,0,0()0,,()0,0,0(),,(
y
x
yxzyxf 
Portanto, }/),0,0{()( RzzfN ∈= 
2. Dada a transformação linear )83,4(),,(,: 23 zyxzyxzyxTRRT +++−=→ , por definição 
sabemos que (x, y, z) ∈ N(T) se, e somente, se 



=++
=+−
=+++−
083
04
ou
)0,0()83,4(
zyx
zyx
zyxzyx
 
sistema cuja solução é x = – 3z e y = z. 
Logo, }/),,3{()( 3 RzRzzzTN ∈∈−= . 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 19 
 
 
OBS: 
1) N(T) ≠ ∅, pois no mínimo o núcleo contém o vetor nulo.(Se T(0) = 0, )(0 TNV ∈ ) 
2) Uma transformação linear é dita injetora, se e somente se, N(T) = {0}. 
WVT →: é uma transformação injetora se ( ) ( ) 212121 ,, vvvTvTVvv =⇒=∈∀ . 
3) O núcleo de uma transformação linear WVT →: é um subespaço vetorial de V. 
 
 
Teorema do Núcleo e da Imagem 
 
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e WVT →: uma transformação linear, 
 
VTTN dim)Im(dim)(dim =+ 
 
Corolários: Seja WVT →: uma transformação linear. 
 
1. Se dimV = dimW, então T é sobrejetora se, e somente se, T é injetora. 
 
2. Se dimV = dimW e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se { }1 2, , , nB v v v= K é 
base de V, então ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nT B T v T v T v= K é base de W. 
 
Se a transformação linear T não satisfaz a todas as condições do corolário 2, podemos usar um 
resultado semelhante para gerar a imagem da transformação: 
Se WVT →: é uma transformação linear e { }1 2, , , nv v vK gera V, então ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nT v T v T vK 
gera a Im(T). 
 
Exercício: Determine o núcleo, a imagem, uma base para o núcleo, uma base para a imagem e a 
dimensão de cada um deles para as seguintes transformações lineares. 
 
1. 3 3:T R R→ definida por ( )( , , ) 2 , 2 , 3T x y z x y z y z x y z= + − + + + . 
2. 3 1: ( )T R P R→ definida por ( ) ( ), ,T x y z x y zt= + + . 
3. 3 2:T R R→ tal que ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 31,2 , 0,1 e 1,3T e T e T e= = = − , sendo { }1 2 3, ,e e e a base 
canônica do R³. 
 
Isomorfismo 
 
Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação linear 
WVT →: bijetora (injetora e sobrejetora). 
Neste caso, V e W são ditos espaços isomorfos. 
 
Exemplo: 
 Mostremos que ( ) 32:T P R R→ , definida por ( )2( ) , ,T a bt ct c b c b a+ + = + − , é um isomorfismo. 
Determinando o N(T): 
( )2
0 0
( ) 0,0,0 0 0
0 0
c c
T a bt ct b c b
b a a
= = 
 
+ + = ⇒ + = ⇒ = 
 
− = = 
( ) { }0N T⇒ = T⇒ é injetora. 
Como T é injetora e dim ( )2P R = dim R³, pelo corolário 2 podemos afirmar que T também é 
sobrejetora, provando o isomorfismo. 
 
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Automorfismo 
 
Chama-se automorfismo o operador linear :T V V→ que é bijetor. 
 
Proposição 
Se WVT →: é um isomorfismo, então existe uma transformação inversa 1 :T W V− → que é linear e 
que também é um isomorfismo. 
 
Exercício. Determine 1T − para o isomorfismo do exemplo anterior. 
 
 
Matriz de uma transformação linear 
 
Sejam WVT →: uma transformação linear, { }nvvvA ,,, 21 K= uma base de V e { }mwwwB ,,, 21 K= 
uma base de W. Então ( ) ( ) ( )nvTvTvT ,,, 21 K são vetores de W e podemos escrevê-los como combinação 
linear dos vetores da base B. 
 
( ) mm wawawavT 12211111 +++= K 
( ) mm wawawavT 22221122 +++= K 
 M 
( ) mmnnnn wawawavT +++= K2211 
 
A matriz 
[ ]












=
mnm2m1
2n2221
1n1211
A
B
aaa
aaa
aaa
T
K
MOMM
K
K
 
 
é chamada matriz T da transformação em relação às bases A e B. 
 
Como [ ]ABT depende das bases A e B, uma transformação linear poderá ter uma infinidade de matrizes 
para representá-la. No entanto, uma vez fixadas as bases, a matriz é única. 
Podemos representar a transformação linear pela operação entre matrizes: ( )[ ] [ ] [ ]AABB vTvT ⋅= . 
 
Exemplos: 
 
1. Dada a transformação linear ),(),,(,: 23 zyyxzyxTRRT −+=→ e considerando as bases 
( ) ( ) ( ){ }1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1A = do R3 e ( ) ( ){ }1,1 , 0,2B = do R2, temos 
 ( ) ( ) ( ) ( )11 211,1,1 2,0 1,1 0,2T a a= = + 
 ( ) ( ) ( ) ( )12 220,1,1 1,0 1,1 0, 2T a a= = + 
 ( ) ( ) ( ) ( )13 230,0,1 0, 1 1,1 0,2T a a= − = + 
 
que gera os sistemas: 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 21 
 
 
11
11 21
2
2 0
a
a a
=

+ =
 , 
12
12 22
1
2 0
a
a a
=

+ =
 e 
13
13 23
0
2 1
a
a a
=

+ = −
 
 
cujas soluções são 11 21 12 22 13 231 12, 1, 1, , 0,2 2a a a a a a= = − = = − = = − 
Logo, 
[ ] 1 1
2 2
1 02
1
A
B
T
 
=  
− −− 
 
 
2. Considerando a mesma transformação do exemplo anterior com as bases canônicas 
( ) ( ) ( ){ }' 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A = do R3 e ( ) ( ){ }' 1,0 , 0,1B = do R2 . 
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 1,0 1 1,0 0 0,1T = = + 
( ) ( ) ( ) ( )0,1,0 1,1 1 1,0 1 0,1T = = + 
( ) ( ) ( ) ( )0,0,1 0, 1 0 1,0 1 0,1T = − = − 
 
Logo, 
[ ] '
'
1 1 0
0 1 1
A
B
T
 
=  
− 
 
 
 
No caso de serem A’ e B’ bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por [T], que é chamada 
matriz canônica de T. 
Então tem-se: ( )[ ] [ ] [ ]vTvT ⋅= 
 
Observemos que calcular T(v) pela matriz [T] é o mesmo que fazê-lo pela fórmula que define T. 
T(2,1,3) = (2 + 1, 1 – 3) = (3, – 2) 
 
ou 
[ ] 





−
=










⋅





−
=
2
3
3
1
2
1
0
1
1
0
1)(vT 
3. Dadas as bases ( ) ( ){ }1,1 , 0,1B = do R2 e ( ) ( ) ( ){ }' 0,3,0 , 1,0,0 , 0,1,1B = − do R3, encontremos a 
transformação linear cuja matriz é [ ]
'
0 2
1 0
1 3
B
B
T
 
 
= − 
 
− 
. 
 No caso, desejamos determinar a transformação 2 3:T R R→ tal que ( ) ( ), , ,T x y a b c= . Pelo modo 
como é determinada a matriz [ ]
'
B
B
T sabemos que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,1 0 0,3,0 1 1,0,0 1 0,1,1 1, 1, 1
0,1 2 0,3,0 0 1,0,0 3 0,1,1 0,9,3
T
T
= − − − = − −
= + − + =
 
 
Escrevendo (x, y) como combinação linear dos vetores da base B, temos 
( ) ( ) ( )( ), 1,1 0,1x y x y x= + − 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 22 
 
 
Aplicando T : 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
, 1,1 0,1
1, 1, 1 0,9,3
, 10 9 , 4 3
T x y xT y x T
x y x
x x y x y
= + −
= − − + −
= − + − +
 
 
Do exemplo acima, observamos que dada uma matriz e fixada duas bases em V e em W esta matriz 
representa uma transformação linear. Esta mesma matriz numa outra dupla de bases representará uma 
transformação linear diferente. 
 
4. Considerando que a matriz [ ]
0 2
1 0
1 3
T
 
 
= − 
 
− 
 é a matriz canônica da transformação, temos que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 0 1,0,0 1 0,1,0 1 0,0,1 0, 1, 1
0,1 2 1,0,0 0 0,1,0 3 0,0,1 2,0,3
T
T
= − − = − −
= + + =
 
e, portanto, 
( ) ( ) ( ), 1,0 0,1x y x y= + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1 , 0, 1, 1 2,0,3T x y xT yT T x y x y= + ⇒ = − − + 
( ) ( ), 2 , , 3T x y y x x y= − − + 
 
As matrizes das transformações lineares são importantes, pois: 
• muitas vezes respostas a questões teóricas sobre a estrutura de uma transformação linear podem 
ser obtidas estudando as características da matriz da transformação; 
• estas matrizes tornam possível calcular as imagens de vetores usando a multiplicação matricial. 
Estes cálculos podem ser efetuados rapidamente em computadores. 
 
Teorema 
 
Sejam WVT →: uma transformação linear e A e B bases de V e W, respectivamente. Então 
[ ]
[ ] [ ] [ ]
dim Im( ) posto de 
dim ( ) nulidade de nº de colunas de posto de 
A
B
A A A
B B B
T T
N T T T T
 =

= = −
 
 
Teorema 
 
Sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W, respectivamente. Uma transformação linear 
WVT →: é inversível se, e somente se, [ ]ABT é inversível. Além disso, se T é inversível, então 
[ ]( ) 11 B ABAT T −−  =  . 
 
Corolário 
 
Sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W, respectivamente e WVT →: uma transformação 
linear. T é inversível se, e somente se, det [ ]ABT 0≠ . 
 
Exercício. Seja 2 2:T R R→ uma transformação linear dada pela matriz canônica [ ] 3 4
2 3
T
 
=  
 
. 
Verifique se T é inversível. Caso o seja, determine T-1(x, y). 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 23 
 
 
Autovalores (Valores Próprios) e Autovetores (Vetores Próprios) 
 
Definição 
 
Seja :T V V→ um operador linear. Um vetor v V∈ , 0v ≠ , é um autovetor (ou vetor próprio) do 
operador T se existe Rλ ∈ tal que ( )T v vλ= . 
λ é denominado autovalor (ou valor próprio, valor característico, valor espectral) associado ao 
autovetor v. 
 
Exemplos: 
1. Seja 2 2:T R R→ tal que ( ) ( ), , ,T x y x y Rλ λ= ∈ . Este operador tem λ como autovalor e 
qualquer ( ) ( ), 0,0x y ≠ como autovetor correspondente. 
Se 
i. 0λ < , T inverte o sentido do vetor; 
ii. 1λ > , T dilata o vetor; 
iii. 1λ > , T contrai o vetor; 
iv. 1λ = , T é a transformação identidade. 
 
 
 
2. Seja 2 2:T R R→ definida por ( ) ( ), ,T x y x y= − , a transformação reflexão no eixo x. 
 
 
 
 
Os vetores da forma (0, y), são tais que ( ) ( )0, 0,T y y= − , ou seja, 
( ) ( )0, 1 0,T y y= − . 
Assim, todo vetor (0, y), y ≠ 0 é autovetor de T com autovalor 
1λ = − . 
Também para todo vetor (x, 0) temos que ( ) ( ) ( ),0 ,0 1 ,0T x x x= = . 
Daí, dizemos que todo vetor (x, 0), x ≠ 0 é autovetorde T com 
autovalor 1λ = . 
3. Seja 2 2:T R R→ definida por ( ) ( ), ,T x y y x= − , a transformação rotação de 90°. 
 
 
Notemos que nenhum outro vetor diferente do vetor nulo é 
levado por T num múltiplo de si mesmo. Logo, este operador 
T não tem autovalores nem autovetores. 
 
 
y 
x 
u T(u) 
v 
T(v) 
y 
x 
u 
T(u) 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 
 
24 
 
Determinação dos autovalores e autovetores 
 
Seja o operador : n nT R R→ cuja matriz matriz canônica é 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
… 
 
… 
=
 
 
… 
M M O M
, ou seja, A =[T]. 
 
Se v e λ são, respectivamente, autovetor e autovalor associado, temos: 
 
0A v v A v vλ λ⋅ = ⇔ ⋅ − = (v é a matriz coluna n x 1 e 0 é a matriz nula n x 1) 
 
Tendo em vista que v I v= ⋅ , onde I é a matriz identidade de ordem n, podemos escrever 
 
( )
0
0
A v I v
A I v
λ
λ
⋅ − ⋅ =
− ⋅ =
 
Para que o sistema homogêneo admita soluções não nulas, isto é 
0
0
0
x
v y
z
   
   
= ≠   
   
   
, este deve ser 
indeterminado e portanto, devemos ter ( )det 0A Iλ− = . 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
det 0
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
λ
λ
λ
−
−
−
… 
 
… 
=
 
 
… 
M M O M
 
 
A equação ( )det 0A Iλ− = é denominada equação característica do operador T ou da matriz A e suas 
raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. 
O ( )det A Iλ− é um polinômio na variável λ denominado polinômio característico. 
Determinamos os autovetores correspondentes substituindo os autovalores encontrados λ no sistema 
homogêneo de equações lineares. 
 
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 3 3:T R R→ definido por 
( ) ( ), , 3 4 ,3 5 ,T x y z x z y z z= − + − . 
1) Matriz canônica de T: 
3 0 4
0 3 5
0 0 1
A
− 
 
=  
 
− 
 
2) 
3 0 4
0 3 5
0 0 1
A I
λ
λ λ
λ
− − 
 
− = − 
 
− − 
 
3) Equação característica: ( )det 0A Iλ− = ( ) ( ) ( ) 1
2
3
3 3 1 0
1
λλ λ λ λ
=
⇒ − ⋅ − ⋅ − − = ⇒
= −
 
 
 
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25 
 
4) Cálculo dos autovetores associados: 
Para 1 3λ = , temos o sistema 
3 3 0 4 0 4 0
0 3 3 5 0 5 0 , e 0
0 0 1 3 0 4 0
x z
y z x y R z
z z
− − − =      
     
− ⋅ = ⇒ = ⇒∀ ∈ =     
     
− − − =      
 
 
Portanto temos os autovetores (x, y, 0) associados ao autovalor 3. 
Verificação: ( ) ( ) ( )2,4,0 6,12,0 3 2,4,0T = = ⋅ . 
 
 Para 2 1λ = − , temos 
4 0 4 0
4 4 0
0 4 5 0 ,54 5 0
0 0 0 0 4
x x z
x z
y z R
y z y z
z
−      =
− =      
⋅ = ⇒ ⇒ ∀ ∈       + = = −            
 
 
Portanto temos os autovetores 5, ,
4
z z z
 
− 
 
associados ao autovalor 1− . 
Verificação: ( ) ( ) ( )4, 5,4 4,5, 4 1 4, 5, 4T − = − − = − ⋅ − . 
 
Teorema 
 
Dado um operador linear T: V → V, o conjunto formado pelos autovetores associados a um autovalor 
λ e o vetor nulo é subespaço vetorial de V, isto é, ( ){ };V v V T v vλ λ= ∈ = é subespaço de V. 
 
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26 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Verifique quais das seguintes aplicações são lineares: 
 
a) T:ℜ → ℜ3 2 definida por ( ) ( )T x y z x y, , ,= 
b) T:ℜ → ℜ2 definida por ( )T x y x y, .= 
c) T:ℜ → ℜ definida por ( )T x x= 
d) T:ℜ → ℜ3 2 definida por ( ) ( )T x y z x y z, , ,= −2 3 
e) ( )T M:ℜ → ℜ2 2 definida por ( )T x y x y y, =
+





2 0
0
 
f) ( )T M x: 2 3 2ℜ → ℜ definida por ( )T a b cd e f a e c f





 = + +, 
g) ℜ→ℜ:T definida por ( ) ( )xsenxT = 
 
2. Determine a transformação linear para cada uma das aplicações abaixo: 
 
a) T:ℜ → ℜ2 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( )T T12 3 15 01 2 1 4, , , , , ,= − = − e 
b) T:ℜ → ℜ3 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T10 0 2 0 01 0 11 0 01 0 1, , , , , , , , , ,= = = − e 
c) T:ℜ → ℜ3 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T12 1 12 3 010 2 15 0 4 1 0 3 2, , , , , , , , , , , , ,= = = e 
d) ( )T P: 2 2ℜ → ℜ tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T x T x1 01 0 5 5 72= = =, , , , e 
e) ( )T M x:ℜ → ℜ3 2 3 tal que ( ) ( ) ( )T T T10 0 1 0 03 4 5 012
2 0 0
6 8 10 0 0 1 3
0 0 1
0 0 5, , , , , , ,=





 =





 =






 e 
 
3. a) Qual a transformação linear T:ℜ → ℜ2 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( )T T11 3 2 1 0 2 010, , , , , ,= − = e ? 
 b) Determine ( ) ( )T T10 01, , e , usando o item (a). 
 c) Qual a transformação linear S:ℜ → ℜ3 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S3 2 1 11 010 0 2 0 01 0 0, , , , , , , , , ,= = − = e ? 
 d) Determine a transformação linear composta SoT:ℜ → ℜ2 2 , usando os itens (a) e (c). 
 
4. Determine a dimensão do núcleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicação linear T do: 
 
a) exercício 1, itens (a), (d) e (e). 
b) exercício 2, itens (b), (d) e (e). 
 
5. Sendo T:ℜ → ℜ3 5 definida por ( ) ( )T x y z x y x y z x z, , , , , ,= + − + + 2 0 3 0 , determine uma base de N(T) e 
Im(T). 
 
6. Determine uma transformação linear: 
 
a) T:ℜ → ℜ3 3 cuja imagem seja gerada por ( ) ( ){ }12 3 4 5 6, , , , , . 
b) T:ℜ → ℜ3 2 tal que ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]N T T= =10 0 0 2 0 2 4, , , , , Im , e , considere ( ) ( ) ( ){ }β = 1 0 0 0 2 0 0 0 1, , , , , , , , base do 3ℜ . 
c) T:ℜ → ℜ3 4 tal que ( ) ( ) ( )[ ]Im , , , , , , ,T = 112 1 2 101 . 
 
7. Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso não existam, justifique. 
 
a) Uma aplicação linear injetora T:ℜ → ℜ3 2 . 
b) Uma aplicação linear sobrejetora T:ℜ → ℜ2 3 . 
c) Uma aplicação linear T:ℜ → ℜ2 2 , tal que ( ) ( ){ }T T01 10, , , seja uma base para ℜ2 . 
 
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27 
 
d) Uma aplicação linear T V W: → tal que ( ) { }Im T = 0 . 
e) Uma aplicação linear T:ℜ → ℜ5 5 , tal que seja injetora, mas não seja sobrejetora. 
 
 
8. Seja T V V: → uma transformação linear. Sabendo-se que ( ) ( ) ( )( )dim dim ImV N T T= ∩ =5 2 e . 
 
a) Determine, justificando, a ( ) ( )( )dim ImN T T+ . 
b) T pode ser injetora ? Justifique. 
 
9. Mostre que a aplicação ( )T P:ℜ → ℜ2 1 , definida por ( )T x y x y t x, ( ). .= + + 1 é um isomorfismo. 
10. Determine a transformação linear 43: ℜ→ℜT tal que ( ) ( ){ }N T x y z z x y= ∈ℜ = −, , ;3 e ( ) ( )T 0 01 0 0 01, , , , ,= . 
11. Consideremos a transformação linear 23: ℜ→ℜT definida por ( ) ( )yxzyxzyxT 2,2,, +−+= e as bases 
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 2 3
 do 1,0,1,1 e do 1,1,0,0,1,2,0,0,1 ℜ−=ℜ−= BA . Determine a matriz [ ] .ABT 
 
12. Seja a transformação linear ( ) ( )yyxyxyxTT 2,3,2,,: 32 −+−=ℜ→ℜ e as bases ( ) ( ){ }1,2,1,1−=A e 
( ) ( ) ( ){ }0,1,1,1,1,0,1,0,0 −=B . Determine [ ] .ABT Qual a matriz [ ]ACT , onde C é a base canônica do 3ℜ ? 
 
13. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T:ℜ → ℜ2 3 nas bases ( ) ( ){ }0,1,1,1−=A do 2ℜ e 
( ) ( ) ( ){ }1,0,3,0,1,2,1,1,1 −=B do 3ℜ é [ ]










−
=
1
5
1
1
2
3
A
BT , encontre a expressão de ( )yxT , e a matriz [ ]T . 
14. Seja [ ]










−
−
=
31
02
21
T a matriz canônica de uma transformação linear T:ℜ → ℜ2 3 . Se ( ) ( )2,4,2 −=vT , calcule 
v. 
15. Seja T o operador linear dado pela matriz 










−
−
221
102
121
. Determine: 
a. N(T) e dim N(T) 
b. Im(T) e dim Im(T).AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
1. Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes: 
a) v = (-2,1), 





31
22
 b) v = (-2,1,3), 









 −
121
232
011
 
 
2. Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares: 
a) 22: ℜ→ℜT ; T(x,y) = (x + 2y, – x + 4y); 
b) 22: ℜ→ℜT ; ( ) ( )yxyxyxT 3,22, ++= 
c) 22: ℜ→ℜT ; T(x,y) = (5x – y, x + 3y); 
d) 22: ℜ→ℜT ; T(x,y) = (y, – x); 
e) 33: ℜ→ℜT ; ( ) ( )zyzyzyxzyxT 32,2,,, ++++= 
f) 33: ℜ→ℜT ; ( ) ( )zyxyxxzyxT 22,2,,, ++−−= 
g) 33: ℜ→ℜT ; ( ) ( )zyyxzyxT ,,,, += 
 
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28 
 
3. Os vetores )1,1(1 =v e )1,2(2 −=v são autovetores de um operador linear 22: ℜ→ℜT , associados a 51 =λ e 
12 −=λ , respectivamente. Determine a imagem do vetor )1,4(=v por esse operador. 
 
4. a) Determine o operador linear 22: ℜ→ℜT cujos autovalores são 3 e 1 21 == λλ associados aos autovetores 
( ) ),0( e , 21 yvyyv =−= , respectivamente. 
b) Mesmo enunciado para 2 ,3 21 −== λλ e ( ) )0,( ,2, 21 xvxxv −== . 
 
5. Se 41 =λ e 22 =λ , são autovalores de 22: ℜ→ℜT , associados aos autovetores u = (2,1) e v = (–1,3), 
respectivamente, determine T(3u – v). 
 
6. Seja um operador linear 22: ℜ→ℜT , tal que T(u) = u e T(v) = 
2
1
v para algum vetor u ( e v) ∈ 2ℜ . 
Determine T(w) se u = (0,2), v = (2,6) e w = (3,7). 
 
 
Respostas 
 
1. São lineares as funções dos itens (a), (d), (e), (f). 
 
2. a) ( ) ( )T x,y x y, x y, x y= − + − + −2 3 13 4 
 
 b) ( ) ( )T x,y,z x y, y z= + −2 
 
 c) ( ) ( )T x,y,z x y z, x y z, x y z= + − + − + −5 2 8 11 5 18 
 
 d) ( ) ( )T a bx cx c, a+ b+ c+ + =2 5 5 7 
 
 e) ( )T x y z x y z y
x y x y x y z
, , =
+ −
+ + − +






2 0 3 6
3 6 4 8 5 20 15
 
 
3. a) ( ) ( )( )T x,y x, x y , x= −3 5 2 b) ( ) ( ) ( ) ( )T , , , T , , , 10 3 5 2 1 01 0 1 2 0= = − e 
 
 c) ( ) ( )( )S x,y,z x , x y= −3 5 6 3 d) ( ) ( )SoT x,y x, y= 
 
4. a) 1.a) ( ) ( ){ }β N T = 0 01, , ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 
 
 1.d) ( ) ( ){ }β N T = 01 3, , ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 
 
 1.e) ( ) ( ){ }β N T = 0 0, ( )β Im ,T = 















1 0
0 0
2 0
0 1
 
 
 b) 2.b) ( ) ( ){ }β N T = −12 2, , ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 
 
 2.d) ( ) { }β N T x= − 5 ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 
 
 2.e) ( ) ( ){ }βN T = − 2 12, , ( )β Im ,T = 















0 0 3
0 0 15
1 0 0
3 4 5
 
 
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29 
 
5. ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }β βN T T= − = −113 12 0 3 0 1 10 0 0, , , , , , , , , , ,Im e 
 6. a) ( ) ( )T x,y x y, x y, x y= + + +4 2 5 3 6 
 
 b) ( ) ( )T x,y,z z, z= 2 4 
 
 c) ( ) ( )T x,y,z x y, x y, x x y= + + +2 2 , 
 7. a) Impossível. b) Impossível. c) Qualquer aplicação injetiva (ou sobrejetiva). 
 
 d) A aplicação nula. e) Não existe. 
 8. a) ( ) ( )( )dim ImN T T+ = 3 b) Não. ( )( )dim N T ≠ 0 
10. ( ) ( )T x,y,z , , , z x y= − +0 0 0 
11. 




 −−
233
032
 
 
12. 










−−
−










− 22
52
33
 e 
33
25
03
 
 
13. ( ) ( ) [ ]










−−
=−−++=
42
116
188
e42,116,188, TyxyxyxyxT 
 
14. v = (2,0) 
 
15. 
( ){ }
( ) ( ){ } 2)Im(dim,0;,,Im)
1)(dim,;4,3,2)()
3
==+−ℜ∈=
=ℜ∈−−=
TzyxzyxTb
TNzzzzTNa
 
 
 
Autovalores e autovetores 
 
1. a) Sim b) Não 
2. a) ),2(,2);,(,3 2211 yyvyyv ==== λλ 
b) ),(,4);,2(,1 2211 yyvyyv ==−== λλ 
c) ),(,421 xxv === λλ 
d) Não existem. 
e) )2,,(,4);,,(,1 3321 xxxvyyxv ==−=== λλλ 
f) )1,0,0(,2);1,3,0(,1);1,3,3(,1 332211 zvzvzv ==−=−=−== λλλ 
g) ),0,(,1321 zxv ==== λλλ , x e z não simultaneamente nulos. 
 
3. (8,11) 
4. a) ( )yxxyxT 32,),( += 
b) 





+−= yyxyxT 3,
2
52),( 
5. (26,6) 
6. 





2
5
,
2
3
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
• STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987 
• CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra linear e 
aplicações. 6a edição. Atual Editora. 1998. 
• ANTON Howard. & RORRES Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Bookman. 8a Edição. 
 
• BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984. 
• LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. 3a edição. Coleção Schaum. Editora Makron Books. 
• SANTOS, REGINALDO J. Álgebra Linear e Aplicações. Belo Horizonte, Imprensa Universitária 
da UFMG, 2006. Livro disponível para download no site www.mat.ufmg.br/~regi