Exercícios - CALC I

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EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS –––– CÁLCULO CÁLCULO CÁLCULO CÁLCULO I.I.I.I. 
 
AULA 01.AULA 01.AULA 01.AULA 01. 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049822) 
 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento 
de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t segundos e S (trajetória 
em metros). Encontre para qualquer instante t a velocidade da pedra. 
 
 10 - 32t m/seg 
 160 + 32t m/seg 
 - 32t m/seg 
 160 - 32t m/seg 
 160 - t m/seg 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309025734) 
 
Uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que, no final de t segundos, sua distância 
s em metros do ponto de partida é dada por s(t)=3t2+t. Indique a velocidade da partícula no 
instante em que t=2 segundos: 
 
 
 13 metros por segundo; 
 14 metros por segundo; 
 19 metros por segundo. 
 12 metros por segundo; 
 16 metros por segundo; 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049824) 
 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento 
de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t segundos e S (trajetória 
em metros). Qual a aceleração da pedra em qualquer instante t durante sua trajetória? 
 
 30 m/s2 
 -22 m/s2 
 32 m/s2 
 20 m/s2 
 -32 m/s2 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309580918) 
 
Use a definiçao de derivada via limite para determinar a derivada da funçao f(x) = (1/2) x - 
(3/5). 
 
 
 f '(x) = lim ( f (x + delta x) - f(x) )/ delta x quando delta x tende a zero. lim ( (1/2)(x + 
delta x) - (3/5) - { (1/2) x - (3/5)} )/ delta x quando delta x tende a zero. arrumando 
esta expressao teremos como resultado 1/2. 
 f '(x) = lim ( f (x + delta x) - f(x) )/ delta x quando delta x tende a zero. lim ( (1/2)(x + 
delta x) - { (1/2) x - (3/5)} )/ delta x quando delta x tende a zero. arrumando esta 
expressao teremos como resultado 1/2. 
 f '(x) = lim ( f (x + delta x) - f(x) )/ delta x quando delta x tende a zero. lim ( (x + delta 
x) - (3/5) - { (1/2) x - (3/5)} )/ delta x quando delta x tende a zero. arrumando esta 
expressao teremos como resultado 1/2. 
 f '(x) = lim ( f (x + delta x) - f(x) )/ delta x quando delta x tende a zero. lim ( (1/2)(delta 
x) - (3/5) - { (1/2) x - (3/5)} )/ delta x quando delta x tende a zero. arrumando esta 
expressao teremos como resultado 1/2. 
 f '(x) = lim ( f (x + delta x) - f(x) )/ delta x quando delta x tende a zero. lim ( (1/2)(x + 
delta x) + (3/5) - { (1/2) x - (3/5)} )/ delta x quando delta x tende a zero. arrumando 
esta expressao teremos como resultado 1/2. 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070825) 
 
Dada uma função f, a função f´ definida por 
 
é chamada de derivada de f. Utilizando tal definição encotre a f (x)paraf(x)=x3 
 
 3x 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 6x 
 3x 2 
 3x 3 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309080657) 
 
Uma partícula está se movimentando sobre um eixo de acordo com a lei de movimento S=f(t) 
, onde S é o espaço medido em metros e t é medido em segundos. Considerando a 
função S=t3+2t2, calcule a velocidade do móvel no instante t=4 segundo 
 
 60 m/s 
 40 m/s 
 16m/s 
 64 m/s 
 42 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02.AULA 02.AULA 02.AULA 02. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070829) 
 
Seja a função f definida por 
Encontre f ´-(1), ou seja, a derivada a esquerda de f(x) no ponto 1. 
 
 2 
 3 
 6 
 5 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309580934) 
Use as regras de derivaçao para calcular a derivada da funçao 
f(x) = ( 1/ sqrt(x)) + (2x)1/5 + sqrt(7) 
 
 f '(x) = (-1/2) { 1/ (x sqrt(x))} + [(2)1/5/5] 
 f '(x) = { 1/ (x sqrt(x))} + [(2)1/5/5][1/( x4)1/5] 
 f '(x) = (-1/2) { 1/ (x sqrt(x))} + [(2)1/5/5][1/( x4)1/5] 
 f '(x) = { 1/ (x sqrt(x))} + [1/( x4)1/5] 
 f '(x) = (-1/2) + [(2)1/5/5][1/( x4)1/5] 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070827) 
 
Seja a função f definida por 
Encontre f ´+(1), ou seja, a derivada a direira de f(x) no ponto 1. 
 
 3 
 1 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 2 
 4 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309580930) 
Calcule a derivada da funçao f(x) = sqrt(5) + 2x + 3 x6 
 
 f '(x) = 2 x + 3 x4 
 f '(x) = 2 x + 3 x 3 
 f '(x) = 2 x + x4 
 f '(x) = 2 x2 + 3 x4 
 f '(x) = 2 + 18 x5 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309580923) 
 
Determine a derivada da funçao f(x) = 5 x5 + 2x2 
 
 f '(x) = 5 x + 4 
 f '(x) = 5 x 
 f '(x) = 24 x + 4 
 f '(x) = 25 x 4 + 4 x 
 f '(x) = 25 x 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309580926) 
 
Calcule a derivada da funçao f(x) = (x2 + 2) 1/3 
 
 f '(x) = (x) / (x2 ) 1/3 
 f '(x) = (2x) / ( (x2 + 2) 2 ) 
 f '(x) = (2x) / (3 ( (x2 + 2) 2 ) 1/3) 
 f '(x) = x / (x2 + 2) 2 
 f '(x) = (2x) / (3 (x2 + 2) 2 ) 
 
AULA 03.AULA 03.AULA 03.AULA 03. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049813) 
 
Calcule drdt, para 
r(t)=2(1t+t) 
 drdt=1t3 -1t 
 drdt=1t3+1t 
 drdt=-1t3+1t 
 drdt=-1t3 -1t 
 drdt=-1t+1t 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309025905) 
 
Um professor está tratando em sala de aula a derivada do quociente de duas funções com a 
notação de Liebnitz. Ele suposas derivadas f(x) e g(x) funções diferenciáveis em um 
número x1 e supos g(x1)M0. Então, seh(x)=f(x)g(x) , h(x) diferenciável em x1 será definida 
como: 
 
 dhdx(x1)=f(x1)∙dgdx(x1)-g(x1)∙dfdx(x1)[g(x1)]2; 
 dhdx(x1)=g(x1)∙dfdx(x1)-f(x1)∙dgdx(x1)g(x1). 
 dhdx(x1)=g(x1)∙dfdx(x1)+f(x1)∙dgdx(x1)[g(x1)]2; 
 dhdx(x1)=g(x1)∙dfdx(x1)-f(x1)∙dgdx(x1)[g(x1)]2; 
 dhdx(x1)=f(x1)∙dgdx(x1)+g(x1)∙dfdx(x1)[g(x1)]2; 
 
 
 
 
 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309025738) 
 
Considere a função f(x)=(3x2+1)∙(x3+1) . Qual das opções seguintes corresponde dfdx : 
 dfdx=15x4+3x2+6x 
 dfdx=15x4+x2+x 
 dfdx=x4+x2+x 
 dfdx=x4+x2+6x 
 dfdx=x4+3x2 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309251161) 
 
Encontre a derivada da função ln(sen 3x) 
 
 2 tg (3x) 
 3 tg (3x) 
 1/(sen 3x) 
 3/(sen 3x) 
 3cotg (3x) 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070872) 
 
A posição da partícula é dada pela equação s = f(t) = t3 - 5 t2 + 3t, onde t é medido em 
segundas e s em metros. Determine a função da velocidade. 
 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 v = 3t2 - 10t + 3 
 v = 0 
 v = 3t + 9 
 v = 3 t 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309251173) 
Derive a função f(x) = e(u) , onde u = x2 +3x - 5 
 
 u e(u) , onde u = x2 + 2x - 5 
 u' e , onde u' = 2x + 3 . (u' = derivada da função u) 
 u' e(u) , onde u' = 2x + 3 e u = x2 + 3x - 5. (u' = derivada da função u) 
 e(u) , onde u = x2 + 3x - 5 
 u e(u) , onde u = x2 + 3x - 5 
 
AULA 04.AULA 04.AULA 04.AULA 04. 
 1.1.1.1. 
 
 
Determine a derivada da função f(x)=5xln(cosx) Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
f´(x)=5ln(cosx) 
 
f´(x)=5ln(cosx)-5xsenxcosx 
 
f´(x)=5xsenxcosx 
 
f´(x)=5-5xsenxcosx 
 
f´(x)=-5xsenxcosx 
 
2.2.2.2. 
 
 
A derivada def(x)=ln(cos(4x))é : Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
4⋅tan(x) 
 
4⋅cos(x)⋅sen(x) 
 
4⋅cos(x)sen(x) 
 
4⋅tan(4x) 
 
-4⋅tan(4x) 
 3.3.3.3. 
 
 
Determine a derivada quinta da função f(x) = cos x Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
nenhuma das respostas anteriores 
 
f 5(x) = sen x 
 
f 5(x) = - cos x 
 
f 5(x) = - sen x 
 
f 5(x) = - sen x cos x4.4.4.4. 
 
 
Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
f´(x) = - cos x e sen x 
 
f´(x) = cos x e sen x 
 
f´(x) = -e sen x 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
f´(x) = e 
 5.5.5.5. 
 
 
A derivada da função f(x)= sen2(x)-cos2(x)é: Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
sen(x)⋅cos(x) 
 
4⋅sen(x)⋅cos(x) 
 
2⋅sen(x)⋅cos(x) 
 
nula 
 
Uma constante 
 6.6.6.6. 
 
 
A derivada da função F(x)=1ln(x) é: Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
-1x2⋅ln(x) 
 
1x⋅ln2(x) 
 
-1x⋅ln2(x) 
 
-1x2⋅ln2(x) 
 
 AULA 05.AULA 05.AULA 05.AULA 05. 
 1.1.1.1. 
 
 
Considere a funçao f definida por f(x) = x4 (1 - x)15, utilizando o Teorema de Rolle 
verifique que existe c, onde 0 < c < 1, tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto 
(c, f(c)) é paralela ao eixo x. 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
Verificamos que: 
• a derivada de f(x) = (4 -19 x) (1-x)14, para todo x pertencente a R. 
• f(0) = 0 
• f é contínua em [0,1] 
• f é derivavel em (0,16) 
• f(0) = f(1) = 0 
Pelo Teorema de Rolle, existe c pertencente a (0,2) tal que f '(c) = 0 
 
Verificamos que: 
• a derivada de f(x) = (4 -19 x) x3 (1-x)14, para todo x pertencente a R. 
• f(0) = 0 
• f nao é contínua em [0,1] 
• f é derivavel em (0,16) 
• f(0) = f(1) = 0 
Pelo Teorema de Rolle, existe c pertencente a (0,1) tal que f '(c) = 0 
 
Verificamos que: 
• a derivada de f(x) = (4 -19 x) x3 (1-x)14, para todo x pertencente a R. 
• f(0) = 0 
• f é contínua em [0,1] 
• f é derivavel em (0,16) 
• f(0) = f(1) = 0 
Pelo Teorema de Rolle, existe c pertencente a (0,1) tal que f '(c) = 0 
 
Verificamos que: 
• a derivada de f(x) = (4 -19 x) x3 (1-x)14, para todo x pertencente a R. 
• f(0) = 0 
• f nao é contínua em [0,1] 
• f nao é derivavel em (0,16) 
• f(0) = f(1) = 0 
Pelo Teorema de Rolle, existe c pertencente a (0,2) tal que f '(c) = 0 
 
Verificamos que: 
• a derivada de f(x) = (4 -19 x) (1-x), para todo x pertencente a R. 
• f(0) = 0 
• f é contínua em [0,1] 
• f nao é derivavel em (0,16) 
• f(0) = f(1) = 0 
Pelo Teorema de Rolle, existe c pertencente a (0,2) tal que f '(c) = 0 
 
 
 
 2.2.2.2. 
 
 
Determine a reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6xy no ponto (3,3) Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
5x + y = 6 
 
x2 + 9x = 3 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
x + y = 6 
 
x 2 + y = 2 
 3.3.3.3. 
 
 
Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. 
Utilize o Teorema do valor Intermediário, para verificar que a equação 2 x 4 - 9 x 2 + 
4 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) . 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f nao é uma funçao 
contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado 
[0,1]. Observamos que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) > 0 
• f(1) > 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe 
pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. 
Observamos que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) = 4 > 0 
• f(1) = -3 < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe 
pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. 
Observamos que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) < 0 
• f(1) < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe 
pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao 
contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. 
Observamos que: 
• f é contínua em [0,1]. 
• f(0) > 0 
• f(1) >0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe 
pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao 
contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. 
Observamos que: 
• f é contínua em [0,1]. 
• f(0) = 4 > 0 
• f(1) = -3 < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe 
pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 4.4.4.4. 
 
 
Use diferenciação implicita para a função x 3 - 3 x2y4 _ 3 y4 = x + 1. Encontre dy/dx Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
dy/dx = 0 
 
dy/dx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 
 
dy/dx = (-1 + 3x2 - 6xy4 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
dy/dx = -1 + 3x2 - 6xy4 
 
 5.5.5.5. 
 
 
Seja f(x) = (x) 1/3 - (x4)1/3 - x dentro do intervalo [-1,1]. Verifique as condiçoes do 
teorema de Rolle. 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
Temos que f(x) = (x) 1/3 - (x4)1/3 - x 
• derivada de f(x) = ( 1 - 4x - 3 ( x2) 1/3) / (3 (x2) 1/3) para todo x diferente de zero. 
• existe f '(0) e 0 pertence ao intervalo (-1,1) entao f nao é derivável em (-1,1) 
Logo nao podemos aplicar o teorema de Rolle. 
 
Temos que f(x) = (x) 1/3 - (x4)1/3 - x 
• derivada de f(x) = ( 1 - 4x - 3 ( x2) 1/3) / (3 (x2) 1/3) para todo x diferente de zero. 
• Nao existe f '(0) e 0 pertence ao intervalo (-1,1) entao f nao é derivável em (-1,1) 
Logo nao podemos aplicar o teorema de Rolle. 
 
Temos que f(x) = (x) 1/3 - (x4)1/3 - x 
• derivada de f(x) = ( 1 - 4x - 3 ( x2) 1/3) para todo x diferente de zero. 
• Nao existe f '(0) e 0 pertence ao intervalo (-1,1) entao f nao é derivável em (-1,1) 
Logo nao podemos aplicar o teorema de Rolle. 
 
Temos que f(x) = (x) 1/3 - (x4)1/3 - x 
• derivada de f(x) = ( 1 - 4x ) / (3 (x2) 1/3) para todo x diferente de zero. 
• Nao existe f '(0) e 0 pertence ao intervalo (-1,1) entao f nao é derivável em (-1,1) 
Logo nao podemos aplicar o teorema de Rolle. 
 
Temos que f(x) = (x) 1/3 - (x4)1/3 - x 
• derivada de f(x) = ( 1 - 4x - ( x2) 1/3) / ( (x2) 1/3) para todo x diferente de zero. 
• Nao existe f '(0) e 0 pertence ao intervalo (-1,1) entao f nao é derivável em (-1,1) 
Logo nao podemos aplicar o teorema de Rolle. 
 
 
 6.6.6.6. 
 
 
Determine a derivada implicita dy/dx para a função x2 - 2 y2 = 4 Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(dy/dx) = 0 
 
(dy/dx) = 2x - 4y 
 
(dy/dx) = 4x - 2 
 
(dy/dx) = 2x/ 4y 
 
 
 AULA 06.AULA 06.AULA 06.AULA 06. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309071852) 
 
Um estudo de impacto ambiental revelou que a concentração PPPP de um certo poluente no ar, em 
pares por milhão pode ser modelada pela equaç o P=0,5.n2+0,02.n , onde nnnn é o número de 
residentes, em milhares de pessoas. Sabendo-se que esse cálculo é feito a partir da derivada 
de PPPP em relação a nnnn, podemos afirmar que a taxa de aumento da concentração do poluente 
para uma dada população é dada por: 
 
 0,5n+0,02 
 0,5n+2 
 0,05 +0,02n 
 n + 0,02 
 1.n + 0,02n2 
 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.:201309070874) 
 
A posição da partícula é dada pela equação s = f(t) = t3 - 5 t2 + 3t, onde t é medido em 
segundas e s em metros. Determine a função da aceleração. 
 
 a = 0 
 a = 16t 2 
 a = 6t 2 
 a = 6t 
 a = 6 t - 10 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070847) 
 
Considere o fluxo de sangue através de um vaso sanguíneo, tal como uma veia ou artéria, 
podemos supor a forma do vaso sanguíneo como sendo um tubo cilíndrico com raio R e 
comprimento l. A relação entre v e r (distância do eixo central até a parede), esta relação é 
dada pela lei do fluxo laminar definido a seguir. v = (P/ 4 gamma l) (R2 - r2), onde gamma é a 
viscosidade do sangue e P é a diferença entre as pressões nos extremos do tubo. Determine a 
taxa instantânea de variação da velocidae em relação a r. 
 
 dv/dr = (Pr)/( 2 gamma l) 
 dv/dr = (- Pr)/( 5 gamma l) 
 dv/dr = (- P)/( 2 gamma l) 
 dv/dr = (- Pr)/( 2 gamma l) 
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 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070799) 
 
O suor expelido (em mililitros) por uma pessoa após t horas é dada pela função ajustada f(t) = 
(-1/15) t3 + t2 + 2t , quando 0 <= t <= 12. Qual a taxa de suor expelido em 5 horas 
 
 1 
 3 
 7 
 4 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070743) 
 
Um objeto esta se movendo ao longo de uma linha reta de tal maneira que, ao final de t 
segundos, sua distância em metros do seu ponto de partida é dada por 
s = 8t + (2/t) 
 com t > 0. Determine a velocidade do objeto no instante que t = 2 segundos. 
 
 7,75 
 2 
 5 
 3 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070797) 
 
 Para uma epidemia em uma cidade, o setor de saúde indicou que o número de P pessoas 
infectadas no instante t (a partir do início da epidemia), é P (t) = 60 t2 - t3 entre os dias 
t = 0 e t=40. Determine a taxa de variação média de variação entre o instante t = 25 e t 
= 35. 
 
 875 
 400 
 300 
 200 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 AULA 07.AULA 07.AULA 07.AULA 07. 
1.1.1.1. 
 
 
Tomando por base que a função custo marginal de f(x) é a função derivada de 
f(x), ou seja a função receita marginal é a derivada da função receita, a função 
custo marginal é a derivada da função custo e assim por diante, obtenha a receita 
marginal da função receita dada pela expressão R(x) = -100x2 + 1500x. 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
-200x + 1500. 
 
-100x. 
 
-100x + 1500. 
 
-200x. 
 
1500. 
 
2.2.2.2. 
 
 
Considerando a função custo de determinada mercadoria é expressa por 
C(x)=5x2+10x+3, podemos afirmar que a função custo marginal será expressa 
por: 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
C´(x)=15x+3 
 
C´(x)=10x+10 
 
C´(x)=10x+3 
 
C´(x)=5x+10 
 
C´(x)=5x-3 
 3.3.3.3. 
 
 
A função lucro de uma empresa pode ser expressa por L(x)=10x2 -4x+3. O lucro 
marginal desta empresa pode ser expresso como: 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
L´(x)=20x 
 
L´(x)=20x+4 
 
L´(x)=10x-4 
 
L´(x)=20x-4 
 
L´(x)=10x+4 
 4.4.4.4. 
 
 
Considerando-se uma função f(x), utiliza-se o conceito de função marginalfunção marginalfunção marginalfunção marginal para se 
avaliar o efeito causado em f(x) por conta de uma pequena variação de x. Assim, 
se considerarmos C(q) como o custo de produção de q unidades de um certo 
produto, então o Custo MarginalCusto MarginalCusto MarginalCusto Marginal, quando q=q1, é dada pela derivada C´(q1), caso 
esta exista. 
A função C´ é dita Função Custo MarginalFunção Custo MarginalFunção Custo MarginalFunção Custo Marginal e podemos dizer que é uma boa 
aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. 
Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa 
por C(x)=5x2+10x+3, podemos afirmar que a função custo marginal será 
expressa por: 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
C´(x)=20x+10 
 
C´(x)=10x2+10 
 
C´(x)=100x 
 
C´(x)=10x 
 
C´(x)=10x+10 
 5.5.5.5. 
 
Considerando-se uma função f(x), utiliza-se o conceito de função marginalfunção marginalfunção marginalfunção marginal para 
se avaliar o efeito causado em f(x) por conta de uma pequena variação de x. 
Assim, se considerarmos R(q) como a função receita quando q unidades de um 
certo produto são vendidas, então a ReceitaReceitaReceitaReceita MarginalMarginalMarginalMarginal, quando q=q1, é dada pela 
derivada R´(q1), caso esta exista. A função R¿ é chamada Função Receita Função Receita Função Receita Função Receita 
MMMMarginalarginalarginalarginal e fpodemos dizer que ela é uma boa aproximação da receita quando se 
vende uma unidade adicional. Note que que R´(q1) pode ser interpretada como a 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
taxa de variação da receita total quando q1 unidades são vendidas. Assim, 
considerando R(x)=-2x2+1000x, a função receita de vendas de x unidades de 
um produto, determine a função receita marginal. 
 
 
R´(x)=-1000x 
 
R´(x)=4x-1000 
 
R´(x)=-4x 
 
R´(x)=-4x+1000 
 
R´(x)=4x+1000 
 6.6.6.6. 
 
 
Uma empresa acha que o custo da produção total para manufatura de x escovas é 
dado por C(x) = 200 + 20 x1/2. Se 500 escovas são manufaturadas, ache o 
custo marginal da manufatura de mais uma escova de dente. 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
10 u.m. 
 
4 u.m 
 
1 u.m 
 
0,45 u.m 
 
2 u.m 
 
 
 Simulado 01.Simulado 01.Simulado 01.Simulado 01. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309022724) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Sabendo que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a equação do 
movimento S = 4t3+ 3t2 + 2t + 1, sendo S a distância em metros e t o tempo em segundos. É 
correto afirmar que: 
 
 para t = 2 s temos a velocidade instantânea de 60 m/s. 
 para t = 1 s temos a velocidade instantânea de 24m/s. 
 a aceleração média dessa partícula é definida por A = 24t + 8. 
 para t = 1 s temos a aceleração instantânea de 30 m/s2 . 
 a velocidade média dessa partícula é definida por V = 12t2 + 6t. 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309022690) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
A equação geral da reta tangente à curva y =2x2 - 1 no ponto de abscissa 1 é 
 
 3x - y + 2 = 0 
 2x - y + 3 = 0 
 4x - y - 3 = 0 
 4x - y - 1 = 0 
 2x + y - 1 = 0 
 
 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049824) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento 
de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t segundos e S (trajetória 
em metros). Qual a aceleração da pedra em qualquer instante t durante sua trajetória? 
 
 20 m/s2 
 30 m/s2 
 -22 m/s2 
 -32 m/s2 
 32 m/s2 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309046000) Pontos: 0,00,00,00,0 / 1,01,01,01,0 
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x no ponto (1,1). 
 
 0 
 2 
 1 
 1/2 
 -2 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309025734) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que, no final de t segundos, sua distância 
s em metros do ponto de partida é dada por s(t)=3t2+t. Indique a velocidade da partícula no 
instante em que t=2 segundos: 
 
 
 16 metros por segundo; 
 14 metros por segundo; 
 19 metros por segundo. 
 13 metros por segundo; 
 12 metros por segundo; 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309025738) Pontos: 1,01,01,01,0/ 1,01,01,01,0 
Considere a função f(x)=(3x2+1)∙(x3+1) . Qual das opções seguintes corresponde dfdx : 
 
 dfdx=x4+x2+x 
 dfdx=x4+3x2 
 dfdx=15x4+3x2+6x 
 dfdx=x4+x2+6x 
 dfdx=15x4+x2+x 
 
 
 
 7777aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309046027) Pontos: 0,00,00,00,0 / 1,01,01,01,0 
A derivada da função f(x)=3x2+4xé: 
 
 f´(x)=-1x3-1x2 
 f´(x)=-6x3-4x2 
 f´(x)=6x3+4x2 
 f´(x)=(x3)+x2 
 f´(x)=-6(x3)-4(x2) 
 8888aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049828) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Encontre a derivada para a função : 
h(x)=x.tg(2x)+7 
 
 tg(2x) 
 tg(2x)+xsec2(2x) 
 tg(2x)+sec(2x) 
 tg(2x)+x 
 xsec2(2x) 
 
 9999aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309072176) 
 
Um grupo de adolescentes resolveu explorar a região onde estavam passando o final de 
semana, diante de tantas curiosidades a respeito do belo local onde estavam, resolveram sair , 
sem rumo para conhecer as belezas regionais, porém, depois de certo tempo perceberam que 
estavam perdidos, a equação que melhor descreve o movimento feito pelo grupo é da por 
s(t)=6.t2-15.t+50 , sendo o tempo dado em horas e a posição em quilômetros. Sabendo-se que 
a velocidade é a derivada do espaço (s) em relação ao tempo (t), determine a expressão que 
descreve a velocidade em função do tempo. 
 
 
Sua Resposta: ds(t)/ dt = 2.6t -15 = 12t -15. 
 
Compare com a sua resposta: Deverá ser feita a derivada s'(t) para que seja obtida a equação 
da velocidade. Como resultado temos v(t) = 12.t -15. 
 
 10101010aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309072210) 
 
Durante um torneio de matemática, os estudantes tiveram que solucionar diversos problemas. 
Dentre as questões, haviam muitas sobre derivadas, Lucas, um dos concorrentes ficou muito 
feliz ao ver que uma das questões envolvia a regra da cadeia, a função dada foi f(x) = (2x -1)3 
. O estudante acertou a questão, mostre como foi feita a solução dessa derivada (f '(x)). 
 
 
Sua Resposta: f(x) = (2x -1)3 = u³ sendo u = 2x-1 f'(x) = 3 u² . u' => f'(x) = 3(2x-1)² . (2) 
f'(x) = 6(2x-1)². 
 
Compare com a sua resposta: 
Aplicano a regra da cadeia, temos f'(x) = 3.(2x-1)2 .2 = 6.(2x-1)2 
 
 
 
AULA 08.AULA 08.AULA 08.AULA 08. 
 
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070766) 
 
Sabendo-se que a função f(x) satisfaz as seguintes condições abaixo. 
a) f´(x) > o em ]-oo,1[ 
b) f´(x) < 0 em ]1,oo[ 
c) f´´(x) > 0 em ]-oo,-2[ e ]2,oo[ 
d) f´´(x) < 0 em ]-2,2[ 
e) O limite de f(x) quando x tende a menos infinito tem valor -2 
f) O limite de f(x) quando x tende a infinito tem valor 0 
Podemos afirmar que a função f(x) possui intervalo crescente ou/e decrescente em: 
 
 A função é crescente em ]-oo,1[ e decrescente ]1,oo[ 
 A função é sempre crescente 
 A função é crescente em ]-oo,5[ e decrescente ]5,oo[ 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 A função é sempre decrescente 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070990) 
 
Suponha que a função f(x) no ponto zero tem valor -3 e que sua primeira derivada tem valor 
menor ou igual a 5 para todos os valores de x. Podemos afirmar que a função f no ponto 2 tem 
como maior valor o valor z. Determine o valor z. 
 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 3 
 8 
 7 
 10 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070758) 
 
Seja f a função polinomial definida pela equação f(x) = x5 - 2 x3 -1. Usando o teorema do valor 
intermediário podemos afirmar que existe uma raiz de f(x) entre 
 
 1,5 e 1,6 
 Não existe raiz real 
 Nenhuma das repostas anteriores 
 Só possui raiz complexa. 
 zero é a única raiz 
 
 
 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070508) 
 
O Teorema de Rolle é definido como: 
 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no 
intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto 
(a,b) tal que f´(c) diferente de zero. 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no 
intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto 
(a,b) tal que f´(c) = 0. 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no 
intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto 
(a,b) tal que f´(c) = 0. 
 Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no 
intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto 
(a,b) tal que f´(c) = 0. 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070511) 
 
Determine o intervalo onde a função f(x) = 3x2 - 3 é crescente e onde é decrescente 
 
 f é crescente no intervalo [-oo, - 1] e do intervalo [1. + oo] f é decrescente no intervalo [-
1. 1] 
 A função é sempre crescente tem todo o intervalo fechado 
 f é crescente no intervalo [-oo, 1] e do intervalo [1, + oo] f é decrescente no intervalo [-1. 
1] 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 f é crescente no intervalo ] - oo, - 1] e do intervalo [1. + oo[ f é decrescente no intervalo 
[-1. 1] 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070760) 
Seja f(x) = x 3 - 3x + 1. Determine o(s) intervalos onde a função é decrescente 
 
 ]-oo, 4[ 
 ]-1,1[ 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 ] -oo, 4] 
 [-1,1] 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 09.AULA 09.AULA 09.AULA 09. 
 
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049832) 
 
A figura abaixo é conhecida como cardioide, devido a sua aparência com coração. Encontre 
a equação da reta tangente á curva no ponto (0, ½), Sabendo que sua expressão é 
dada abaixo. 
 
 
 y=x+1 
 y=2x+12 
 y=x+12 
 y=3x -12 
 y=x+52 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049814) 
 
O fólio de Descartes é representado pela expressão x3+y3=6xy. Encontre dydx 
 
 dydx=2y3-x2y2-2x 
 dydx=2y3-x2y-2x 
 dydx=2y+x2y2+2x 
 dydx=2y-x2y2-2x 
 dydx=x2y2-2x 
 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309081020) 
 
A respeito da funçãof(x)=(x4-x3), podemos afirmar que: 
 
 Possui 2 pontos de inflexão: em x=0 e x=12 
 F´´(x)=12x2-3x 
 Possui 1 ponto de inflexão em x=1 
 Não possui ponto de inflexão 
 F´(x)=4x3-3x 
 
 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070765) 
 
Podemos afirmar que um ponto P sobre uma curva é chamado de ponto de inflexão se a curva 
mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P. Baseado nesta 
definição defina o ponto de inflexão, se houver, da função que satisfaz as seguintes condições: 
a) f´(x) > o em ]-oo,1[ 
b) f´(x) < 0 em ]1,oo[ 
c) f´´(x) > 0 em ]-oo,-2[ e ]2,oo[ 
d) f´´(x) < 0 em ]-2,2[ 
 
 x = 5 
 x = -2 
 x= 3 e x = 0 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 x = -2 e x = 2 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070457) 
 
Determine o ponto crítico da função
 
 
 3 
 3 e 4 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 2 e 3 
 0 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070761) 
 
Para a função f(x) = x + (1/x) podemos afirmar sobre o ponto de inflexao da função que: 
 
 Possui dois ponto de inflexão em x= 4 e x = 0 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 Possui um ponto de inflexão em x= 4 
 Nao possui ponto de inflexão 
 Possui um ponto de inflexão em x= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 10.AULA 10.AULA 10.AULA 10. 
1.1.1.1. 
 
 
Determine a derivada da função f(x)=(3x2 +5)3: Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
f´(x)=6x 
 
f´(x)=18x(3x2+5)2 
 
f´(x)=3(6x)2 
 
f´(x)=(3x2+5)2f´(x)=18x2+3x+5 
 2.2.2.2. 
 
 
Determine o coeficiente angular da circunferência dada por x2 + y2 = r2 Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
coeficiente angular é x 
 
coeficiente angular é - x/y 
 
coeficiente angular é 2x 
 
coeficiente angular é xy 
 
coeficiente angular é x+y 
 3.3.3.3. 
 
 
Um pedaço de papel retangular é usado para construir uma caixa sem tampa, 
para isso corta-se quadrados iguais de cada canto do papel. O papel retangular 
possui 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento. Determine 
o comprimento x dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a 
produção de uma caixa de volume máximo. 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
x = 5 centímetros 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
x = 5/3 centímetros 
 
x = 3 centímetros 
 
x = 2 centímetros 
 4.4.4.4. 
 
 
Entre 0 oC e 20 o C, o volume ( em centímetros cúbicos) de 1 000 centímetros 
cúbicos de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula V = 
999 - 0,064 T + 0,0085 T2 - 0,000067 T3. Encontre a temperatura na qual a água 
tem sua densidade máxima. ( densidade= massa/ volume ). 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
6 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
3,96 
 
2 
 
5 
 
 
 
5.5.5.5. 
 
 
Determine a derivada da função f(x)=(2x+3)2: Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
f´(x)=4x+3 
 
f´(x)=8x+12 
 
f´(x)=4x+12 
 
f´(x)=4x+6 
 
f´(x)=2x+4 
 6.6.6.6. 
 
 
Marcelo tem 1000m de grade com os quais ele pretende construir um cercado 
retangular para seu pequeno poodle. Quais as dimensões do cercado retangular 
de área máxima? 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
150 por 150 
 
250 por 100 
 
200 por 200 
 
100 por 100 
 
250 por 250