Cálculo - Valor Médio

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo I (105131) 
Professor: Ricardo Nobre dos Santos 
Aluno(a): Luíza de Jesus Meneses 
Turma: T3 
Data: 15/07/2011 
 
SÃO CRISTÓVÃO 2011 
� Ponto crítico 
 
Dada uma função f definida em um intervalo [a,b] e seja c ∈ (a,b), dizemos que c 
é um número crítico ou ponto crítico para f quando f '(c) = 0 ou f '(c) não existe. O 
ponto crítico pode ser um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. A partir do sinal da 
segunda derivada da função nestes pontos, pode-se diferenciá-los entre si: 
(i) Ponto máximo se f ''(c) < 0; 
(ii) Ponto mínimo se f ''(c) > 0; 
(iii) Nada se pode afirmar se f ''(c) = 0. 
 
Exemplo: f (x) = x², definida sobre [–1,2], possui x = 0 como ponto crítico, pois f '(0) = 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Ponto de máximo e ponto de mínimo 
 
� Local 
 
Uma função f tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se f (c) ≥ f (x) 
quando x estiver nas proximidades de c. [Isso significa que f (c) ≥ f (x) para todo x em 
algum intervalo aberto contendo c.] Analogamente, f tem um mínimo local em c se f (c) 
≤ f (x) quando x estiver próximo de c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Gráfico da função f (x) = x² 
definida sobre [–1,2]. 
Figura 2 Gráfico de uma função f contendo máximo local em x = a e mínimo local em x = b.
Sendo o gráfico a seguir de uma função qualquer, tem-se que: 
 
 
 
x1 = abscissa de um ponto de máximo local 
x2 = abscissa de um ponto de mínimo local 
x3 = abscissa de um ponto de máximo local 
 
 
 
As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3, respectivamente, 
são paralelas ao eixo x, logo, a derivada de f anula-se para x1, x2 e x3, ou seja: 
f '(x1) = f '(x2) = f '(x3) = 0 
 
▫ Teste da segunda derivada para extremos relativos 
 
Seja a função f diferenciável no intervalo aberto I e suponha que c seja um ponto 
em I, tal que f '(c) = 0 e f ''(c) exista: 
(i) Se f ''(c) > 0, então f possui um mínimo relativo em c, pois a função possui 
concavidade para cima na vizinhança de c; 
(ii) Se f ''(c) < 0, então f possui um máximo relativo em c, pois a função possui 
concavidade para baixo na vizinhança de c. 
Exemplo 1: A função parabólica definida por f (x) = x² sobre o intervalo [–1,2], possui 
dois pontos de máximo local, que ocorrem quando x = –1 e x = 2, mas o ponto em que x 
= 2 é um ponto de máximo para f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: A função f (x) = 3�� – 12x² tem um máximo relativo em c1 = 0, pois existe 
o intervalo (–2,2) tal que f (0) ≥ f (x) para todo x ∈ (–2,2). Em c2 = –√2 e c3 = +√2, a 
função dada tem mínimos relativos, pois, f (–√2) ≤ f (x) para todo x ∈ (–2,0) e f (√2) ≤ 
f (x) para todo x ∈ (0,2), conforme a figura seguinte. 
 
Figura 3 Representação gráfica de máximos e 
mínimos locais. 
Figura 4 Gráfico de f (x) = x² sobre o 
intervalo [–1,2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Global 
 
Uma função f tem máximo absoluto (ou máximo global) em c se f (c) ≥ f (x) para 
todo x em D, onde D é o domínio de f. O número f (c) é chamado valor máximo de f em 
D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em c se f (c) ≤ f (x) para todo x em D, e o 
número f (c) é denominado valor mínimo de f em D. Os valores máximo e mínimo de f 
são chamados valores extremos de f. 
Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo 
para funções reais contínuas limitadas. No entanto, é possível mostrar que toda função 
real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo. 
Exemplo: A parábola definida por f (x) = 1 – x² sobre o intervalo [–1,1], possui um 
ponto de máximo global em x = 0 e o valor máximo de f é f (0) = 1. Possui também dois 
pontos de mínimo global, que ocorrem em x = –1 e x = 1 e o valor mínimo global de f é 
f (–1) = f (1) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Observações: 
1ª - Uma função poderá não ter pontos de máximo nem pontos de mínimo sobre o seu 
domínio. Um exemplo é a função identidade f (x) = x definida sobre (–1,2). Os extremos 
só poderiam ocorrer nas extremidades do intervalo (–1,2), x = –1 ou x = 2, mas tais 
pontos não pertencem ao domínio de f. 
Figura 5 Gráfico da função f (x) = 3�� – 12�	 .
Figura 6 Gráfico da função f (x) = 1 – x² 
sobre o intervalo [–1,1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª - Uma função poderá ter infinitos pontos de máximo e também infinitos pontos de 
mínimo sobre o seu domínio. Por exemplo, a função f (x) = cos(x) definida sobre toda a 
reta real. 
 
 
 
 
3ª - Se f é uma função diferenciável num intervalo aberto I e c é um ponto de máximo 
ou de mínimo relativo, então f '(c) = 0. Porém, se I não for aberto, a sentença anterior 
pode não ser verdadeira. Como exemplo, temos a função f (x) = x definida em [1,2]. Os 
pontos a = 1 e x1 = 2 são, respectivamente, pontos de mínimo e de máximo e a derivada 
de f não se anula nesses pontos. 
� Teorema do valor extremo 
 
Se uma função f for contínua em um intervalo fechado [a,b], então f assume um 
valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em algum número c e d 
em [a,b]. Os valores máximo e mínimo de uma função são denominados extremos da 
função e os pontos de máximo e de mínimo da função são denominados pontos de 
extremos da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 Representação gráfica do Teorema do valor 
extremo. 
Figura 7 Gráfico da função identidade
 f (x) = x definida sobre (–1,2). 
Figura 8 Gráfico da função f (x) = 
cos(x). 
Exemplo: Seja uma função f = f (x), cujo gráfico está representado na figura abaixo. Os 
valores extremos são f (a), f (b), f (c), f (d) e f (e). Os pontos extremos são os pares 
ordenados (a, f (a)), (b, f (b)), (c, f (c)), (d, f (d)) e (e, f (e)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Teorema de Rolle × Teorema do valor médio 
 
� Teorema de Rolle 
 
Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 
1. f é contínua no intervalo fechado [a,b] 
2. f é diferenciável no intervalo aberto (a,b) 
3. f (a) = f (b) 
 
Então existe um número c em (a,b) tal que f '(c) = 0. 
 
� Teorema do valor médio 
 
Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 
1. f é contínua no intervalo fechado [a,b] 
2. f é diferenciável no intervalo aberto (a,b) 
 
Então existe um número c em (a,b) tal que f '(c) = 
��
�	
��
���
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 Gráfico da função f = f (x) mostrando os valores extremos e os 
pontos extremos da função. 
Figura 11 Representação gráfica do Teorema do valor médio.
Em geral, o Teorema do valor médio pode ser interpretado como se existisse um 
número no qual a taxa de troca instantânea seja igual à taxa de troca média ao longo de 
um intervalo. 
O Teorema do valor médio é uma generalização do Teorema de Rolle. 
Aplicando-se o primeiro, chega-se ao segundo em poucas linhas. Comumente, nos 
livros de cálculo, é utilizado o Teorema de Rolle para provar o Teorema do Valor médio 
(o contrário também pode ser feito) e o Teorema do valor extremo para provar de o 
Teorema de Rolle, tratando o caso de f (x) ser constante separadamente do caso de f (x) 
ser uma função qualquer. 
 
* Observação: Todos os teoremas citados acima são exemplos do que é chamado 
teorema da existência, já que eles garantem que existe um número com uma certa 
propriedade, mas não mostram como encontrá-lo. 
 
� Consequências do Teorema do valor médio 
 
A primeira consequência é a recíproca do fato trivial de que a derivada deuma 
função constante é igual a zero, ou seja, se a derivada de uma função é zero, a função é 
constante. Isto é mostrado no Corolário 1 a seguir. Nesse corolário e nos seguintes, 
consideramos f e g contínuas no intervalo fechado [a,b] e deriváveis em (a,b). 
 
� Corolário 1 (Funções com derivada zero) 
 
Se f '(x) = 0 em (a,b), então f é uma função constante em [a,b], isto é, existe um 
número real K, tal que, f (x) = K, qualquer que seja o ponto x de [a,b]. 
 
Demonstração: Seja x ∈ (a,b]. Apliquemos o Teorema do valor médio em [a,x]. Então 
existe c ∈ (a,x), tal que: 
f (x) - f (a) = f '(c)(x – a) 
 
Como f '(x) = 0 em (a,b), tem-se f '(c) = 0. Assim, f (x) = f (a), para todo x em 
(a,b]. Porém, obviamente, esta igualdade vale para todo x em [a,b]. Assim, f é constante 
em [a,b]. 
 
� Corolário 2 (Funções com derivadas iguais) 
 
Suponha que f '(x) = g'(x) para todo x no intervalo (a,b). Então f e g diferem por 
uma constante, isto é, existe um número real K, tal que: 
f (x) = g(x) + K, 
para todo x em [a,b]. 
 
Demonstração: Considere a função h(x) = f (x) – g(x). Então h'(x) = f '(x) – g'(x) = 0, 
para todo x em (a,b). Logo, pelo Corolário 1, h(x) = K para todo x em [a,b] e alguma 
constante K real, ou seja: 
f (x) – g(x) = K, que é equivalente a f (x) = g(x) + K 
 
Exemplo: Suponha que f '(x) = K em um intervalo [a,b] com K real. Prove que f é uma 
reta. 
Solução: Seja g(x) = Kx + b. Então, g'(x) = K. Logo, f e g diferem por uma constante, ou 
seja, f (x) = g(x) + c, onde c é real. Assim: 
f (x) = Kx + b + c = Kx + d, 
onde d = b + c. Logo, f é uma reta. 
 
� Corolário 3 (Funções crescentes e decrescentes) 
 
(i) Se f '(x) > 0 para todo x em [a,b], então f é uma função crescente em [a,b]; 
(ii) Se f '(x) < 0 para todo x em [a,b], então f é uma função decrescente em [a,b]. 
 
Demonstração de (i) (ii é análogo): Sejam m e n pontos de [a,b], tais que m < n. 
Aplicamos o Teorema do valor médio no intervalo [m,n]. Como este intervalo está 
contido em [a,b], as hipóteses do Teorema do valor médio continuam válidas em [m,n]. 
Assim, existe um ponto c em (m,n) tal que: 
f (n) – f (m) = f '(c)(n – m) 
Como, por hipótese, f '(c) > 0 e (n – m) > 0, segue que: 
f (n) – f (m) > 0, isto é, f (m) < f (n) 
Como m e n são pontos quaisquer em [a,b], segue que f é uma função crescente em 
[a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, J. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2006. ISBN 85-221-0479-4. 
 
SANTOS, A. R. e BIANCHINI, W. 2002. Aprendendo Cálculo com Maple - Cálculo de 
uma variável. Disponível em 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/calculo1/calculo1pdf/capitulo_17.pdf - Acesso em 
10/07/2011. 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre. Pontos extremos de uma função. Disponível em 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pontos_extremos_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o - 
Acesso em 10/07/2011. 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre. Teorema do valor médio. Disponível em 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_m%C3%A9dio – Acesso em 
10/07/2011. 
 
Matemática essencial - Ensino fundamental, médio e superior. Ensino Superior: 
Cálculo: Máximos e Mínimos: Conceitos básicos. Disponível em 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/maxmin/mm01.htm - Acesso em 
10/07/2011. 
 
Matemática essencial – Ensino fundamental, médio e superior. Ensino Superior: 
Cálculo: Máximos e Mínimos: Teste da primeira derivada. Disponível em 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/maxmin/mm02.htm - Acesso em 
10/07/2011. 
 
CATTAI, A. P. 2009. Análise Real. Disponível em 
http://cattai.mat.br/site/files/AnaliseReal/AnaliseReal_cattai_uneb.pdf - Acesso em 
10/07/2011. 
 
SANTOS, A. G. Cálculo A – Teorema de Rolle e Aplicações. Disponível em 
http://pt.scribd.com/doc/25852159/Teorema-de-Rolle-e-aplicacoes-por-Andre-Gustavo 
- Acesso em 10/07/2011. 
 
DOMINGUEZ, G. L. 2009. Estudo da variação das funções. Disponível em 
http://www.calculo1.ufba.br/lista-ca/varfun.pdf - Acesso em 12/07/2011. 
 
Derivadas e suas aplicações. Máximos e mínimos. Disponível em 
http://pt.scribd.com/doc/51421881/35/%E2%80%93-Minimo-absoluto#page=48 – 
Acesso em 10/07/2011. 
 
Tio Sam. Teorema de Rolle. Disponível em 
http://www.tiosam.org/enciclopedia/index.asp?q=Teorema_de_Rolle – Acesso em 
10/07/2011. 
 
Colégio WEB. Máximos ou Mínimos Relativos. Disponível em 
http://www.colegioweb.com.br/matematica/maximos-ou-minimos-relativos.html - 
Acesso em 10/07/2011. 
 
O Teorema do valor médio - Máximos e mínimos. Disponível em 
http://www.icmc.usp.br/~pztaboas/nocte/node16.html - Acesso em 10/07/2011.