Resolução de EDOs com Laplace

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica - DMA
MAT 147 - CA´LCULO II 2013/I
Professor Luiz Henrique Couto
Gabarito da 3a Prova - Turma 3
1. Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) na˜o-homogeˆnea
x2y′′ + xy′ + y = sec(ln(x)), x ∈ (0,+∞).
(a) (5 pts) Verifique que y1(x) = cos(ln(x)) e´ soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea associada;
Soluc¸a˜o:
Note que a equac¸a˜o homogeˆnea associada e´ dada por x2y′′+xy′+y = 0 e que, como y1(x) =
cos(ln(x)), segue que y′1(x) = −sen(ln(x)) · 1x e y′′1(x) = −cos(ln(x)) · 1x2 + sen(ln(x)) · 1x2 .
Logo,
x2y′′1−xy′1+y1 = x2
(
−cos(ln(x)) · 1
x2
+ sen(ln(x)) · 1
x2
)
+x
(
−sen(ln(x)) · 1
x
)
+cos(ln(x)) = 0
e, assim, y1 = cos(ln(x)) e´ soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea associada.
(b) (10 pts) Encontre uma outra soluc¸a˜o y2 da EDO homogeˆnea associada usando o me´todo
da reduc¸a˜o de ordem;
Soluc¸a˜o:
Como x ∈ (0,+∞), podemos escrever a EDO homogeˆnea associada na forma
y′′ +
1
x
y′ +
1
x2
y = 0
e, fazendo P (x) =
1
x
, sabemos que a segunda soluc¸a˜o y2(x) sera´ dada por:
y2(x) = y1(x)
∫
e−
∫
P (x)dx
(y1(x))
2 dx = cos(ln(x))
∫
e−
∫
1/xdx
x2
dx = cos(ln(x))
∫
e−ln(x)
cos2(ln(x))
dx
= cos(ln(x))
∫
1/x
cos2(ln(x))
dx = cos(ln(x)) · tg(ln(x) + c = sen(ln(x) + c.
Fazendo c = 0, temos y2(x) = sen(ln(x)).
(c) (5 pts) Calcule o Wronskiano de y1(x) e y2(x) e escreva a soluc¸a˜o geral da EDO homogeˆnea
associada;
Soluc¸a˜o:
Note que
W (y1, y2)(x) =
∣∣∣∣ cos(ln(x)) sen(ln(x))−sen(ln(x)) · 1x cos(ln(x)) · 1x
∣∣∣∣ = 1x 6= 0
para x ∈ (0,+∞). Logo, y1 e y2 sa˜o linearmente independentes neste intervalo e, assim, a
soluc¸a˜o geral da EDO homogeˆnea associada e´ dada por
y(x) = c1cos(ln(x)) + c2sen(ln(x)),
onde c1 e c2 sa˜o constantes.
1
(d) (10 pts) Encontre uma soluc¸a˜o particular para a EDO na˜o-homogeˆnea acima usando o
me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros e exiba a soluc¸a˜o geral desta.
Soluc¸a˜o:
Escrevendo a equac¸a˜o na forma
y′′ − 1
x
y′ +
1
x2
y =
sec(ln(x))
x2
,
e supondo que uma soluc¸a˜o particular para a EDO na˜o homogeˆnea seja da forma
yp(x) = u1(x)cos(ln(x)) + u2(x)sen(ln(x))
obtemos {
u′1 · cos(ln(x)) + u′2 · sen(ln(x)) = 0
u′1 ·
(−sen(ln(x)) · 1x) + u′2 · (cos(ln(x)) · 1x) = sec(ln(x))x2
e, assim, pela Regra de Cramer,
u′1 =
∣∣∣∣ 0 sen(ln(x))sec(ln(x))
x2
cos(ln(x)) · 1x
∣∣∣∣∣∣∣∣ cos(ln(x)) sen(ln(x))−sen(ln(x)) · 1x cos(ln(x)) · 1x
∣∣∣∣ = −
tg(ln(x))
x
⇒ u1 = ln|cos(ln(x))|
e
u′2 =
∣∣∣∣ cos(ln(x)) 0−sen(ln(x)) · 1x sec(ln(x))x2
∣∣∣∣∣∣∣∣ cos(ln(x)) sen(ln(x))−sen(ln(x)) · 1x cos(ln(x)) · 1x
∣∣∣∣ =
1
x
⇒ u2 = ln(x).
Portanto, uma soluc¸a˜o particular para a EDO na˜o homogeˆnea e´ dada por
yp(x) = cos(ln(x))ln|cos(ln(x))|+ ln(x)sen(ln(x))
e a soluc¸a˜o geral da EDO na˜o homogeˆnea e´ dada por
yg(x) = c1cos(ln(x)) + c2sen(ln(x)) + cos(ln(x))ln|cos(ln(x))|+ ln(x)sen(ln(x)).
2. Calcule:
(a) (10 pts) L[tsenh(3t)].
Soluc¸a˜o:
L[tsenh(3t)] = −L[−tsenh(3t)] = − d
ds
(L[senh(3t)]) = − d
ds
(
3
s2 − 9
)
=
6s
(s2 − 9)2 .
(b) (10 pts) L [tet−5U(t− 5)]
Soluc¸a˜o:
Note que L [tet−5U(t− 5)] pode ser escrito como
L [((t− 5) + 5) et−5U(t− 5)] =L ((t− 5)et−5U(t− 5) + 5et−5U(t− 5)] = e−5s
(s− 1)2 +
5e−5s
s− 1 .
(c) (10 pts) L−1
[
e−2s
s3
]
.
Soluc¸a˜o:
L−1
[
e−2s
s3
]
= L−1
[
1
2
· 2
s3
e−2s
]
=
1
2
(t− 2)2U(t− 2).
2
(d) (10 pts) L−1
[
1
(s+ 1)2
]
, usando convoluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
L−1
[
1
(s+ 1)2
]
= e−t ∗ e−t =
∫ t
0
e−βe−(t−β)dβ = e−t
∫ t
0
dβ = te−t.
3. Fac¸a o que se pede:
(a) (20 pts) Usando a transformada de Laplace, resolva a equac¸a˜o diferencial dada por
y′′ − 4y′ + 4y = t3e2t,
com as condic¸o˜es iniciais y(0) = 0 e y′(0) = 0.
Soluc¸a˜o:
Aplicando a transformada de Laplace a` equac¸a˜o, ficamos com
L [y′′]− 4L [y′]+ 4L [y] = L [t3e2t]
e, assim,
−y′(0)− sy(0) + s2L [y] + 4y(0)− 4sL [y] + 4L [y] = 6
(s− 2)4
⇒ L [y] = 1
20
5!
(s− 2)6 ⇒ y =
1
20
t5e2t.
(b) (10 pts) Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por
y′′ − 4y′ + 13y = 0.
Soluc¸a˜o:
Suponha que y = ert seja soluc¸a˜o da EDO. Assim, como y′ = rert e y′′ = r2ert, substituindo
esses valores na EDO, ficamos com
r2ert − 4rert + 13ert = 0⇒ ert (r2 − 4r + 13) = 0⇒ r2 − 4r + 13 = 0.
Resolvendo essa equac¸a˜o do segundo grau, encontramos r1 = 2 + 3i e r2 = 2 − 3i e, pela
fo´rmula de Euler, temos as soluc¸o˜es
y1 = e
r1t = e2tcos (3t)
e
y2 = e
r2t = e2tsen (3t)
Como W (y1, y2)(t) 6= 0, a soluc¸a˜o geral da EDO dada e´
y(t) = c1e
2tcos (3t) + c2e
2tsen (3t) ,
onde c1 e c2 sa˜o constantes.
3
Formula´rio
Func¸a˜o Transformada de Laplace
1
1
s
tn, n ∈ N F (s) = n!
sn+1
eat
1
s− a
sen(at)
a
s2 + a2
cos(at)
s
s2 + a2
senh(at)
a
s2 − a2
cosh(at)
s
s2 − a2
4