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Modelagem Matemática MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas. Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers, resistores e indutores. Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries) Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Impedância Z(s) = V(s)/I(s) Admitância Y(s) = I(s)/V(s) As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem: • A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero. • A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero. A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência. Exemplo: Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura 1. Figura 1 - Circuito RLC. Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 21 Resolução: Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito. Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial. 0 1( ) ( ) ( ) ( ) tdi tL Ri t i d v t dt C τ τ+ + =∫ Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação ( ) ( ) /i t dq t dt= resulta: 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) d q t dq tL R q t v t dt Cdt + + = A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1: ( ) ( )Cq t Cv t= Substituindo: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )C C C d v t dv t LC RC v t v t dtdt + + = Aplicando Laplace: ( )2 1 ( ) ( )CLCs RCs V s V s+ + = Calculando a função de transferência, ( ) / ( )cV s V s : 2 1 1 ( ) ( ) cV s LC RV s s s L LC = + + Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 22 SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de reação. Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento, por exemplo, para direita. Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento, desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, posicionando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial do movimento somando as forças e igualando a soma a zero. Finalmente, supondo as condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial, sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência. A Tabela 2 apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas relações. Tabela 2 – Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de molas, amortecedores e massas. Componente Força- velocidade Força- deslocamento Impedância Zm(s)=F(s)/X(s) Mola Amortecedor viscoso Massa Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste texto: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro). Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 23 Exemplo Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo: Resolução: Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o sentido do movimento para direta, obtemos: Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento. 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )v d x t dx tM f Kx t f t dtdt + + = Aplicando Laplace, 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v Ms X s f sX s KX s F s Ms f s K X s F s + + = + + = . Resolvendo para obter a função de transferência, 2 1( ) ( ) ( ) v X sG s F s Ms f s k = = + + Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 24 Em sistemas mecânicos, o número necessário de equações de movimento é igual ao número de movimentos linearmente independentes. A independência linear implica que um onto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados. A expressão linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade. Desta forma podemos sugerir uma pequana equação. [Soma de Impedâncias]X(s) = [Soma de forças aplicadas] Quando utilizando a lei de Newton, somando as forças de cada corpo e fazemos a soma igual a zero, o resultado é um sistema de equações simultâneas do movimento. Estas equações podem ser resolvidas em função da variável de saída de interesse a partir da qual se calcula a função de transferência. Exemplo: Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo. Usando o conceito apresentado anteriormente podemos solucionar o exercício por inspeção, escrevendo as equações de movimento do sistema, sem desenhar o diagrama de corpo livre. 1 2 1 1 2 1 Soma das Soma das impedâncias Soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas entre movimento em x x e x em x ( ) ( )X s X s ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ e Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 25 1 2 1 2 2 2 Soma das impedânciasSoma das Soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas movimentoentre x e x em x em x ( ) ( )X s X s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ SISTEMAS MECÂNICO EM ROTAÇÃO As equações caracterizando os sistemas que apresentam movimento de rotação são semelhantes às dos sitemas com translação. Escrever as equações de conjugado é equivalente a escrever as equações de força, com os termos de deslocamento, velocidade e aceleração considerada agora como grandezas angulares. O torque substitui a força e deslocamento angular substitui deslocamento. O termo associado à Massa é substituído por inércia. O conceito de graus de liberdade também continua válido nos sitemas em rotação. O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a deslocamentos angulares, enquanto se mantêm parados todos os demais, é igual ao número de equações de movimento ncessário para descrever o sistema. Os elementos relacionados ao movimento mecânico em rotação são apresentados na Tabela 3. Tabela 3 – Relações torque-velocidade angular, torque-deslocamento angular, e impedância de rotação de molas, amortecedores viscosos e inércia. Mola Amortecedor viscoso Componente Torque - velocidade angular Torque - deslocamento angular Impedância Zm(s) = T(s) / θ(s) Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo),K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2 (quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano). Inércia Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 26 Exemplo Obter a função de transferência, 2( ) ( ) s T s θ , para o sistema em rotação mostrado na figura abaixo. O eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento angular é medido à direita. Resolução: Embora a torção ocorra ao longo do eixo, aproximamos o sistema admitindo que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo, com uma inércia, J1, à esquerda, e uma inércia J2 à direita. Usando o princípio da superposição notamos que o sistema apresenta dois graus de liberdade. Desta forma podemos solucionar o problema por inspeção, onde: 1 2 1 2 1 1 1 1 2 Soma das Impedâncias Soma das Impedâncias Soma dos torques conectas ao movimento entre e aplicados em em Soma das I Soma das Impedâncias entre e ( ) ( ) ( ) s s s θ θθ θ θθ θθ θ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 2 mpedâncias Soma dos torques conectas ao movimento aplicados em em ( )sθ θθ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ Ou ainda utilizando o diagrama de corpo livre para cada um dos torques. Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 27 Sentido Sentido Sentido Sentido Sentido Sentido E assim obtemos as equações do movimento: 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J s D s K s K s T s K s J s D s K s θ θ θ θ + + − = − + + + = A partir das quais se obtém a função de transferência pedida: 2 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ( ) s K T s J s D s K K K J s D s K θ = Δ + + −Δ = − + +
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