Aula Cálculo III - Estácio

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Prof: Jorge Bitencourt
email: jorge.rocha@estacio.br
Plano de Ensino:
1 - Objetivo
- equações diferenciais de primeira e segunda ordem;
- Soluções de equações diferenciais de primeira e segunda ordem;
- Transformada de Laplace
- Transformada inversa de Laplace
- Séries de Fourrier
2 - Ementa
3 - Metodologia
AV1: Teste + AE (Ativ Estruturada)
AV2: Prova Unificada
AV3: Prova Unificada
4 - Avaliação:
- material didático
- Zill & Cullen - equações diferenciais
- Boyce e Diprima - Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno
- Bronson - Moderna introdução às equações diferenciais
- Spigel - Transformada de Laplace 
5 - Referências bibliográficas:
2T
2C - atividades estruturadas
+ lista de exercícios
CCE0116 - Calc III
quarta-feira, 31 de julho de 2013
20:34
 Página 1 de Calc III 
O que vem a ser uma equação diferencial?
MRU:
t
dt
dx
xx
vtxxvtSS
+=
+=⇔+=
0
00
fxkam =+ ..






=
dt
dx
dt
d
dt
dv
)()()(
2
tftkx
dt
txd
m =+
fkx
dt
xd
m =+2
2
xey
dx
dy
dx
yd
=++ 322
2
EDO
EDO
EDO
x - variável dependente
t - variável independente
Massa - Mola
K
M
f
X
f = fm + fk
x - variável dependente
f - variável independente
Tipo•
Linearidade•
Ordem•
EDO - equações diferenciais ordinárias (uma única variável independente)○
EDP - Equações diferenciais parciais (duas ou mais variáveis independentes)○
Exemplos:○
x
v
y
u
x
t
v
x
u
x
dx
dv
dx
du
y
dx
dy
∂
∂
−=∂
∂
=∂
∂
−∂
∂
=−
=− 15 EDO
EDO
EDP
1)
2)
3)
4)
0
53
45
04
2
4
4
4
2
3
73
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
=+





+





=++
=
∂
∂
−
∂
∂
f
u
x
u
a
xy
dx
dyy
dx
yd
ey
dx
dy
dx
yd
x
y
x
y
x
5)
6)
7)
8)
EDP
EDP
EDP
EDO
EDO
Equações Diferenciais
quarta-feira, 31 de julho de 2013
21:20
 Página 2 de Calc III 
Equações Diferenciais (EDO)
Uma ED é classificada como LINEAR quando pode ser escrita na forma:
)()()(...)()( 11
1
1 xfyxadx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa nn
n
nn
n
n =++++
−
−
−
As EDL's são caracterizadas por:
1- A variável dependente e suas derivadas estarem elevadas a grau um.
2- Os coeficientes dependem apenas da variável independente.
Exemplos: OBS:
4
)4(
)()(
3
3
....
2
2
..
)(
)(
)(
)(
yy
yty
dt
yd
yty
dt
yd
yty
dt
yd
yty
dt
dy
nn
n
n
≠
==
==
==
==
∴∴
variável dependente
variável independente
xyyy =+
...
2)1
a2(y) = y (BAD) / a1(x) = 2 / a0(x) = 0 / f(x) = x Não é linear
xyyxyx cos54)1)(2
...
=+−−
a2(x) = (1 - x) / a1(x) = -4x / a0(x) = 5 / f(x) = cos(x) EDL - 2a ordem
0)(2)3 4
.
=+−
∴
yyyx
3a ordem Não é linear
034)4
...
2
)4(
3
=−+− yyxyxyx
a4(x) = x3 / a3(x) = 0 / a2(x) = -x2 / a1(x) = 4x / a0(x) = -3 / f(x) = 0 EDL - 4a ordem
0)5 2
..
2
..
=+⇔−= −kRR
R
kR
2a ordem Não é linear
a1(x) = x2 / a0(x) = (1 - x) / f(x) = xex EDL - 1a ordem
xx
x
xeyx
dx
dy
xxexyy
dx
dy
x
dxdxxexyydyx
=−+⇒=−−+
÷=−−+
)1(0)(
)(0)()6
22
2
Linearidade
quarta-feira, 7 de agosto de 2013
21:00
 Página 3 de Calc III 
Objetivo: Encontrar soluções (funções) que satisfaçam as EDO's dadas:
OBS: A função f tem que ser definida no intervalo I.
contínua, sem ponto de singularidade
..SP∃
Exemplo:
16
4xy = 2
1
xy
dx
dy
=
é solução de ?
x
y
RxI );,( +∞−∞∈⇒
x
y



+∞∈
−∞∈
=⇒= ),0(
)0,(1
x
x
I
x
y
4444164
416
4
16
33232
1
43
2
1
.
33
.
4
xxx
x
xx
x
x
xyy
xxyxy
=⇒





=⇒





=⇒=
==→=
é solução!
x
xey = é solução de 02
...
=+− yyy ?
00022220)2(2)2(
2
..
.
=⇒=−−+⇒=++−+
+=++=
+=
xxxxxxxxx
xxxxx
xx
xeexeexexeexee
xeexeeey
xeey
é solução!
y(x0)
y(x0)
y(x0)
.
PVI
y(x0)
y(x0)
PVC
..
y(x0) x0 ≠ x1
y(x1)
Número de Soluções:
Uma dada ED, geralmente, possui um número infinito de soluções. neste caso dizemos que uma solução, ou 
seja, uma função que satisfaz a ED é um membro da família de soluções. Exemplo:
1+=
x
Cy é uma solução da EDL 1
.
=+ yyx ?
111111)(
1
1112
2
.
1
=⇒=++−⇒=++−
−=⇒+=
−−−−
−−
CxCxCxCxx
CxyCxy
),0(: ∞∈xI
x
y
1
C = -1 (C < 0)
C = 0
C > 0
Objetivo
segunda-feira, 5 de agosto de 2013
21:00
 Página 4 de Calc III 
Uma solução y = f(x)para uma EDO é dita ser uma solução explícita. Dizemos que uma relação G(x,y) = 0 é 
uma solução implícita de uma EDO, em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.
-
x
y
+k-k
222 Ryx =+
kykI
kxkI
y
x
<<−
<<−
:
: 0),( 222 =−+= RyxyxG
22
22
yRx
xRy
−=
−=
Exemplo:
04),( 22 =−+= yxyxG
22: <<− xI
Se G(x,y) é solução de 
y
x
dx
dy
−= ?
dx
yxdG ),(
( ) 0422
dx
dyx
dx
d
=−+
0)4()()(
22
=
−
++
dx
d
dx
yd
dx
xd
y
x
dx
dy
x
dx
dyyx
dx
dyy
dx
dyyx −=⇒−=⇒−=⇒=+ 22022
c
xy
xdxydy +−=⇒−= ∫∫ 22
22
( )
CC
Cyxcxy
2
22
1
1
22
22
=
=+→=+
=> ydy = -xdx
Soluções Implícitas e Explícitas
segunda-feira, 5 de agosto de 2013
21:30
 Página 5 de Calc III 
Representa-se a estrutura, comportamento e/ou desempenho de sistemas através de modelos 
matemáticos. No domínio do tempo é comum representar a dinâmica de um sistema através de uma 
equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Exemplos:
S0
S 
V0
g
dt
tsd
−=2
2 )(
Corpo em queda livre:
x = 0 
K K K 
M
M
x(t) < 0 
x(t) > 0 
Sistema massa-mola:
0
)()(2
2
=+
−=
−=
Kxxm
tKx
dt
txd
m
Kxma
&&
Lei de resfriamento de Newton
T
0T
)( 0TTkdt
dT
−=
OBS: resistência do ar 
desprezível
0mgSEp =
2
2
1
mvEc =
00 <→> kTT
00 >→< kTT
Problema de valor inicial (PVI):
Resolver uma ED de 1a ordem, ẏ = f(x,y), sujeita a condição inicial y(x0) = y0, em que x0 é um valor no 
intervalo I é um PVI.
x
y
y0
x0
•
(x0,y0)
Exemplo:
y = Cex é uma família de soluções de ẏ = y, sendo o intervalo I(-∞,∞)
x
y
x0
(0,1)
(0,-2)
C > 0
C < 0
C = 0 → y = 0
C = 1 → y = ex
C = -2 → y = -2ex
xx CeyCey =→= &
∞
∞−
=
e
e
1
xx CeCe =
y(2) = 1
y(-2) = -3
y(0) = 0
2
2
2 11 −==⇒=→= e
e
CCeCey x ( ) 22 −− == xx eeey
2
2
2 333 e
e
CCeCey x −=−=⇒=−→=
−
− ( ) 22 33 +−=−= xx eeey
00 0 =⇒=→= CCeCey x
Obtendo a função:
Modelos Matemáticos
quarta-feira, 14 de agosto de 2013
19:00
 Página 6 de Calc III 
Existência e unicidade da solução que passa por (x0,y0). Seja R uma região no plano xy, definida por
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém em seu interior o ponto (x0,y0), Se f(x) e são contínuas em R, então 
existe uma única y = f(x) solução do PVI. x
f
∂
∂
x
y
y0
x0 b
d
c
a
•
(x0,y0)
região R
Representação de uma ED:
Forma normal: ẏ = H(x,y). Exemplos:
03)(3)()(
3)3
2
2
2
242)2
)1
243243
43
2
=−+⇒=+⇒
+
=
+−=⇒=+⇒=+
+=
yxyyxyxyyx
yx
yxy
eyyeyyeyy
senxyy
xx
x
&&&
&&&
&
a1(x,y) ≠ a1(x)
EDL 1a ordem
Forma diferencial: 
),(
),(),(
yxN
yxMyxHy
−
==&
0),(),(
),(),(),(
),(
=+−=⇒
−
=
dyyxNdxyxM
dyyxNdxyxM
yxN
yxM
dx
dy
yN
xM
exemplos:
0)()( =−+⇒=+⇒+= dydxsenxydydxsenxysenxy
dx
dy M(x,y) N(x,y)
0
2
202)4(2)4(
2
442 =−





+−⇒=−+−⇒=+−⇒
+−
=⇒=+ dydxeydydxeydydxeyey
dx
dy
ey
dx
dy xxxxx
0)()3()()3()(
3 432432
43
2
=+−⇒+=⇒
+
= dyyxdxyxdyyxdxyx
yx
yx
dx
dy
ADROG
r
Forma padrão: EDL 1a ordem
)()()( 01 xgyxadx
dy
xa =+
)()(
1
)(
)(
11
0 xg
xa
y
xa
xa
dx
dy
=+
)(1 xa÷
)()( xfyxP
dx
dy
=+







=
=
)()(
1)(
)(
)()(
1
1
0
xg
xa
xf
xa
xa
xP
Exemplo:
2
242
x
x ey
dx
dy
ey
dx
dy
=+⇒=+




=
=
2
)(
2)(
x
e
xf
xP
Teorema de Picard
quarta-feira, 14 de agosto de 2013
20:00
 Página 7 de Calc III 
Professor: Marival
Apresentação: Professor Marival1.
Plano de Ensino2.
Avaliações3.
Boyce, William E, Diprima, Richard C. - Equações diferenciais elementares e problemas de 
contorno, Ed. LTC 2006
a.
Edwards C. H, Penney, David E. - Equações diferenciais Elementares - Pearson 2006.b.
Material Didáticoc.
Bibliografia4.
Condução das Aulas5.
Introdução às equações diferenciais:
1) Definição: Tratam-se de equações envolvendo uma função incógnita e suas derivadas, além de variáveis 
independentes.
Exemplos:
02
2
=+ θθ sen
l
g
dt
d Na equação, a incógnita é a função θ(t). Assim, θ é a variável 
dependente e t é a variável independente.
Nesta equação a incógnita é a função u(x,y). Assim, u é a variável 
dependente e x y as variáveis independentes.02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
2) Motivação para estudo: As equações diferenciais estão presentes na formulação dos modelos 
representativos de fenômenos físicos, por exemplo.
3) O que se deseja com as equações diferenciais: Encontrar uma função incógnita que satisfaça a 
equação diferencial.
4) Exemplos de equações diferenciais em fenômenos físicos.
θ
ℓ
θsengm ..
gmP .=
θsengm .. 02
2
=+ θθ seng
dt
d
l
Pêndulo Simples
Potencial em uma região plana:
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
O potencial elétrico em cada região do plano satisfaz a equação diferencial.
Lembrando que u é a variável dependente de x e y, que são as variáveis independentes.
Mudança de Professor
quarta-feira, 28 de agosto de 2013
08:51
 Página 8 de Calc III 
3) Circuito RC (resistor - capacitor)
V(t)
resistor
capacitor
)(1 tvQ
Cdt
dQR =+ A incógnita é a função Q(t). Assim Q(t) é a 
variável dependente e t a variável independente.
4) Classificação
4.1 - Quanto ao tipo de equação diferencial, ela pode ser ordinária ou parcial. Ela é ordinária se as 
funções incógnitas forem somente uma variável. Caso contrário, ela é parcial.
4.2 - Quanto a ordem, ela pode ser de 1a, 2a, ... ou de enésima ordem, dependendo da derivada de 
maior ordem.
4.3 - Quanto a linearidade: Uma equação diferencial pode ser linear ou não linear. Ela é linear se as 
incógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equação, isto é, as incógnitas e suas derivadas 
aparecem em uma soma em que cada parcela é um produto de alguma derivada com uma função que 
não depende das incógnitas.
)()()()()( 2
2
210 tfdt
yd
ta
dt
yd
ta
dt
dy
tayta
n
n
n =++++ K
Exemplos de equações diferenciais
quarta-feira, 28 de agosto de 2013
09:25
 Página 9 de Calc III 
1.1 - Representações: Simbolicamente pode ser escrita como:
( ) 0,,'',',, )( =nyyyyxF K ou 0,,,,, 22 =





n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF K
Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária. Se 
depender de mais de uma variável, tem-se uma equação diferencial parcial.
1.2 - Exemplos:
1.2.1) Ordinária:
032
4
2
2
3
3
2
=+





−+
dx
dy
dx
ydy
dx
yd
x
1.2.2) Parcial:
,02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
t
u
x
u
onde u = (x,t)
1.3 - Classificação
1.3.1) A ordem de uma equação diferencial é o número que corresponde à ordem máxima das derivadas da 
equação.
1.3.2) O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem.
07)
3
2
2
=





+−
dx
dy
dx
dy
dx
yd
a Eq. diferencial de 2a ordem, 1o grau
03)
2
=+−




 y
dx
dy
dx
dyb Eq. diferencial de 1a ordem, 2o grau
2) Verificação da solução de uma equação diferencial:
Uma solução de uma equação diferencial é uma função y = f(x) a qual, justamente com as derivadas, satisfaz a 
equação diferencial dada.
Exemplo: Verificar se y = 4e-x+5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e 1o grau.
xx e
dx
yd
e
dx
dy
dx
dy
dx
yd
−−
=−==+ 4e4;0 2
2
2
2
substituindo ⇒==−+ −− 00;0)4(4 xx ee é solução
Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de 1a ordem representa uma família de 
curvas conhecidas como curvas-solução, uma para cada valor constante arbitrária. Uma solução particular 
pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial é uma condição que especifica 
o valor de y, y0 correspondente a x,x0. Essa solução é conhecida como problema de valor inicial (PVI).
x
z
y
z = f(x,y)
(x,y)
Equações Diferenciais
quarta-feira, 4 de setembro de 2013
21:00
 Página 10 de Calc III 
02 32
2
32
3
=+− dy
yx
yxdx
yx
xy
3) Método de Separação de variáveis para resolver equações diferenciais de 1a ordem.
Uma equação diferencial de 1a ordem é uma relação envolvendo a primeira derivada. Então pode ser 
escrita da forma:
0),(),( =+
dx
dyyxNyxM ou multiplicando por dx : 0),(),( =+ dyyxNdxyxM
onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y.
3.1) Separação de variáveis:
cdyyNdxxMb
dyyNdxxMdyyNdxxMa
+−=
−==+
∫∫ )()()
)()(ou0)()()
3.2) Exemplo: Reescreva a equação diferencial de 1o grau x2yy' - 2xy3 = 0 na forma da letra a do item 3.1:
dxxydx
dx
dyyx
xy
dx
dyyxxyyyx
32
3232
2
0202'
−
=−⇒=− (multiplicando por dx )
multiplicando cada 
membro por 
Então e 
32
1
yx 012 2 =+− dyyx
dx
x
xM 2)( −= 2
1)(
y
yN =
3.3) Exemplo: Determinar a solução geral da equação diferencial
1
' 2 +
=
x
yy
111 222 +
=⇒
+
=⇒
+
=
x
dx
y
dydx
x
ydy
x
y
dx
dy
multiplicou por dx multiplicou por 1/y
cxarctgy
x
dx
y
dy
+=⇒
+
= ∫∫ ln12
cxarctgcxarctgccxarctg eeeekeky +=== ++ :,.xe
yx
y
e
=
=log
3.1) Resolver a equação diferencial (1a lista de exercícios):
02 =− dxyxdy 21
xy
× 00 22
2
2 =−⇒=− x
dx
y
dy
xy
dxy
xy
xdy
cx
y
cx
yx
dxdyy −=−⇒=+−−⇒=− ∫∫
− ln10ln102 cyxycyxy
y
x
=+⇒+−= ln1ln
y
yyy 1
112
1
112
−=−=
−
=
+−
−
−+−
ₓ(-y)
y
Equações Diferenciais
quarta-feira, 4 de setembro de 2013
11:58
 Página 11 de Calc III 
1) Resolva a equação diferencial homogênea
x
y
vxdvvdxdyxvy
x
yxy =+==+= ;;.;
2
'
0)(2))((02)(2)(
2
=+−+⇒=−+⇒=+⇒
+
= xdvvdxxdxvxxxdydxyxxdydxyx
x
yx
dx
dy
)(02)1(02022 2222 xdvxdxvxdvxvxdxxdxdvxvxdxvxdxxdx ÷=−−⇒=−−⇒=−−+
)1(02)1(2)1( 2
2
2 vdvx
dxv
x
dvx
x
dxvx
−÷=−
−
⇒−
−
0)1(
20)1(
2
)1(
)1(
=
−
−⇒=
−
−
−
−
∫∫ v
dv
x
dx
v
dv
vx
dxv
c
x
y
xcvx =−−⇒=−− 1ln2ln|1|ln2ln
2
22
22
)(ln
)(lnlnlnlnln2ln
x
yx
x
c
x
yx
xc
x
yx
xc
x
yx
x
−
⇒=
−
−⇒=
−
−⇒=
−
−
2222
3
2
2
2
2 )(
1ln)(ln)(ln)(.ln)(ln yxxyxx
x
yx
xyx
x
x
x
yx
x
−
=
−
→
−
=





−
=
−
resultado duvidoso
xyxcx
yxx
ec
yxx
c
yxx
c
e
2
222 )()(
1
)(
1log)(
1ln −=⇒
−
=⇒=





−
⇒=





−
Equações diferenciais exatas:
1) Definição: Uma equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy é uma diferencial exata em uma região do plano xy se 
ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). Uma equação diferencial da forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é chamada de uma equação exata se existir uma função f(x,y) com derivadas parciais 
contínuas tais que fx(x,y) = M(x,y) e fy(x,y) = N(x,y).
2) Critério para uma diferencial exata:
Sejam M(x,y) e N(x,y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região R definida a < x < b,
c < y < d. Então a condição necessária e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy seja exata é:
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
pág 15, mat did2
2a Lista de Exercícios
quarta-feira, 18 de setembro de 2013
21:00
 Página 12 de Calc III 
cont.
Dada a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
1º) Mostrar que 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
2º) Suponha que 
∫ +=⇒=∂
∂ )(),(),(),( ygdxyxMyxfyxM
x
f
3º) 
4º)
),()('),(),( yxNygdxyxM
yy
fyxN
y
f
=+
∂
∂
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
∫
∫∂
∂
−= dxyxM
y
yxNyg ),(),()('
3) Exemplo: 3ª lista, 1º exercício:
→−=
∂
∂
−=
∂
∂
=−+− 3;3;0)32()32(
x
N
y
Mdyxydxyx EXATA
cxhxyyyxfxhdyxyyxfxy
y
f
++−=⇒+−=⇒−=∂
∂
∫ )(32
2),()()32(),(32
2
yxcxhyxy
xx
f 32))(3( 2 −=++−
∂
∂
=
∂
∂
cxxhyxcxhy +=⇒−=++− 2)('32)('3
cyyxxyxfxxh ++−== 222 3),(;)(
),( yxM
x
f
=
∂
∂ ),( yxN
y
f
=
∂
∂
Equações diferenciais exatas
quarta-feira, 18 de setembro de 2013
21:30
 Página 13 de Calc III 
a) xy
dx
dy
x
dx
yd
x ln22
2
2
=+−
2
1)(
x
xy −=
3
2)('
x
xy =
4
6)("
x
xy −=
2222342
234
2 26).2().6(126 xxxxxxxx
xx
x
x
x −−−⇒−−−⇒−





−




 −
−−−−
x
xx
ln29126 22 ≠
−
=
−−−
b)
Não é solução.
tety
dt
dy
dt
yd 32
2
2
.96 =+− tetty 3
4
.2
12
)( 





+= 3
.6
4
)('
33
3
4 t
t et
e
t
ty +





+=
ttt
etete
t
ty 33323
4
2.18
4
3)(" ++





+=












++





+





+−





++





+ t
t
tttt e
tet
e
t
etete
t 3
433
3
4
33323
4
.2
12
9
3
.6
4
62.18
4
3






++





++−





+++ ttttttttt ee
t
e
t
ee
t
etetee
t 33
4
3
3
33
4
333233
4
2
12
9
3
6
4
6218
4
3
ttt e
t
e
tt
ett
t 3
4
3
34
332
4
18
12
9
3
636
4
6218
4
3






++





++−





+++
tt e
t
tt
ttt
e
ttt
tt
t 3
3
32
444
3
434
32
4
3
62
4
3
4
6
4
318
12
9
3
636
4
6218
4
3






−+++−=





++−−−+++
é solução[ ] [ ] tt etettt 323332 22 =−+
Atividade Estruturada 01
 Página 14 de Calc III 
a) 0)( 22 =−+ dyxdxyxy
x
y
vxdvvdxdyxvy =+== //.
0)())().(( 22 =+−+ xdvvdxxdxvxxvx
0)(0)().( 2232222 =−−+⇒÷=−−+ xdvvdxdxvvdxxdvxdxvxdxxvdxxv
c
v
x
v
dv
x
dx
v
dv
x
dx
xdvdxvxdvdxv =+⇒=⇒=⇒=⇒=− ∫∫
1)ln(0 2222
c
y
x
x =+)ln(
b) 
x
xyy
dx
dy )1ln(ln +−
= x
y
vxdvvdxdyxvy =+== //.
0)1ln(ln)1ln(ln =−+−⇒+−= xdydxxyydxxyyxdy
)()ln(.)ln(.0)()1ln)(ln( 2 vxdxdvxvxdxvxdxdxxvxdxvxvxxdvvdxxdxxvxvx ÷−−+−⇒=+−+−
vv
dv
x
dx
vdx
xdv
v
vdx
xdv
x
vx
vdx
xdv
xvx
vxdx
dvx
xvx
ln
ln0ln0)ln()ln(0)ln()ln(
2
=⇒=⇒=−





⇒=−−⇒=−−
c
x
y
x
cvx
vv
dv
x
dx
=


















⇒=−⇒= ∫∫
ln
ln)ln(lnln
ln
Atividade Estruturada 04
 Página 15 de Calc III 
a) 0)146()524( =−++−+ dyxydxxy 1)0( −=y
verificação: EXATA
cxgyxyyxgdyxyyxfxy
y
f
++−+=+−+=⇒−+=
∂
∂
∫ )(42
6)(146),()146(
2
cxgyxyyyxf ++−+= )(43),( 2
cxxdxxxgcyxyxg +−=−=⇒+−−+= ∫ 552)(4524)(' 2
413
)0(5)0()1()1)(0(4)1(3)1,0(543),( 2222
=+=
=−+−−−+−=−⇒+−+−+=
c
cfcxxyxyyyxf
b) 0)1(2 2 =−+ dyxxydx 1)2( =y
verificação: EXATA
cxgyyxxgdyxyxfx
y
f
++−⇒+−=⇒−=
∂
∂
∫ )(')(1),()1( 222
cxgxgxycxgxyxy
x
cxgyyx
x
f
==⇒=++⇒=∂
++−∂
=∂
∂ )(,0)('2)('22))('(
2
3)1()1()2()1,2(),( 22 =⇒−=⇒+−= cfcyyxyxf
M N
M N
→=
∂
∂
↔=
∂
∂
x
y
N
x
y
M 22
→=
∂
∂
↔=
∂
∂ 44
y
N
y
M
524)('4524))(43(
2
−+=++⇒−+⇒∂
++−+∂
=∂
∂
xycxgyxy
x
cxgyxyy
x
f
Atividade Estruturada 05
 Página 16 de Calc III 
a)
cvvxxxvxvxxv
xvx
xvdxvxvdvdxvxvdv
v
v
dx
dv
x
+=⇒=⇒÷=⇒−=
−=⇒−=⇒−=
−
=
∫∫
11
2211)(211823
4
2
3)41(3)41(3
3
41
2222
2
2
22
2
b)
1)1ln(1)3cos(
1ln)01(3)0(
|sec|ln)1()1()1(
3)0(
)1(
2
222
2
=+=





+=⇒=
++=⇒+=⇒+=
=
+=
∫∫
cy
cxyytgxdxydytgxdxydy
y
tgxy
dx
dy
Atividade Estruturada 03
quarta-feira, 2 de outubro de 2013
17:07
 Página 17 de Calc III 
2a lista de exercício - Errata das respostas:
xcyouxky
cyxoukyx
cyxxyxcx
33)3
22)2
)(1)()1 22
−=−=
=+=+
=−⇒=−
3a lista de exercícios:
{
),();,(
3
)(
)(
3
)()(),(
!2;2
311)3(;02)()8
2
3
22
2
3
2222
22
yxN
y
fyxM
x
f
cxyxdxyx
cygxyxygdxyxyxfyx
x
f
ExataEquaçãoy
x
Ny
y
M
xeyydyxydxyx
NM
=
∂
∂
=
∂
∂






++=+
+++⇒++=⇒+=
∂
∂
⇒=
∂
∂
=
∂
∂
==⇒==++
∫
∫
43421
Portanto:
12
3
),(
12)1).(3(
3
)3(31/;
3
),(
)(0)('2)('22
)(
3
2
3
2
3
2
3
2
3
++=
=⇒=+⇒==++=
=⇒=⇒=+⇒=
∂






+++∂
=
∂
∂
xyxyxf
ccxeypcxyxyxf
cygygxyygyxxy
y
cygxyx
y
f
2a lista de exercício
2) ;)(2' yx
yy
+
=
x
y
vvdyydvdxvyx =+== ;;.
)2(;0)2(02
)1(;02022
0).(2)(0)(2)(2)(2
22
22
vdvydyvydvyyvdyydy
ydyyvdydvyydyyvdyvydydvy
dyyvyvdyydvydyyxydxdyyxydx
yx
y
dx
dy
+÷=−+⇒=−+
−×=−−⇒=−−+
=+−+⇒=+−⇒+=⇒
+
=
0)2()(;0)2(0)2()2(
)2(
2
2
2
2
22
=
+
−⇒÷=
+
−⇒=
+
−
+
+
vy
dvy
y
ydyy
v
dvyydy
v
dvy
v
dyvy
c
y
yxyc
y
y
xycvy
v
dv
y
dy
=
+
−⇒=+−⇒=+−⇒=
+
− ∫∫
2lnln1
2lnln|2|lnln0)2(
2
22
)2(
22
ln.
2
ln
2
ln yyxc
yx
y
ec
yx
yycy
yx
yyc
y
yx
y c
=+⇒
+
=⇒=
+
⇒=
+
⇒=
+
Errata lista de exercícios
quarta-feira, 25 de setembro de 2013
20:30
 Página 18 de Calc III 
1a lista de exercícios:
3.6) dxxydyx
x
xy
dx
dy )()3(;
3
2
2 =++
=
0)3(0)3(03
)(0
3
)(
3
)3(
22222
2
=
+
−⇒=
+
−⇒=
+
−⇒=
+
−
+
+
∫∫ x
xdx
y
dy
xy
xydx
y
dy
x
dxxydy
x
dxxy
x
dyx
)3( 2 +÷x )( y÷
2
1
2
2
1
22
1
2
2 )3(
)3()3(
ln3ln
2
1ln +=⇒
+
=⇒=
+
⇒=+− xcy
x
y
ec
x
y
cxy c
a b c ou k






=−
b
aba lnlnln
Exercícios
quarta-feira, 25 de setembro de 2013
21:00
 Página 19 de Calc III 
Equação diferencial de 2a ordem com coeficientes constantes:
1) Definição:
a) Equação Diferencial Homogênea são equações da forma: ay" + by' + cy = 0
b) Equação diferencial não homogênea são equaçõesda forma : ay" + by' + cy = f(x), onde a, b e c são 
constantes reais.
2) Exemplos:
a) Homogênea: 2y" + 3y' - 5y = 0
b) Não homogênea: x³y''' - 2xy" + 5y' + 6y = ex
OBS: A busca da solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) de 2a ordem envolve a determinação 
da solução geral homogênea (H) e uma solução particular da não homogênea (NH).
3) Solução geral da EDO Homogênea:
(*) y" - y' = 0; a = 1, b = 0 e c = -1
y" = y ⟹ y1(x) = ex e y2(x) = e-x
As equações 2ex e 5e-x também satisfazem a equação (*) por meio dos cálculos das derivadas assim,
c1y1(x) = C1ex e c2y2(x) = C2ex também satisfazem a equação diferencial (*) para todos os valores das 
constantes C1 e C2. Então podemos escrever a solução geral:
xx eCeCxyCxyCy 212211 )()( +=+= (**)
y' = C1ex - C2e-x e y" = C1ex + C2e-x que é (*); esta equação constitui uma família de soluções.
3.1) Condições Iniciais:
C1 + C2 = 2; Derivando (**)
y' = C1ex - C2e-x ; substituindo: x = 0 e y = 1
y(0) = 2 e y'(0) = -1, fazendo x = 0 e y = 2
xx eey
CeCCC
−+=
==−=−
2
3
2
1
2
3
2
1;1 2121
(ar2 + bx + c) = 0, então ar2 + bx + c = 0, que é chamada equação característica.
4) Retornando a equação mais geral (H): ay" + by' + cy = 0, que tem coeficientes constantes reais, vamos 
supor que y = erx onde"r" é um parâmetro a ser determinado. Então y' = r.erx e y" = r2.erx. Levando as 
expressões de y, y' e y" para a equação (***) temos:
5) Solução geral de uma equação linear homogênea com base na equação característica:
a) Raízes reais e distintas se r1 ≠ r2,então a solução é: xrxr eCeCy 21 21 +=
b) Raízes reais iguais: se r1 = r2, então: rxrxrx exCCxeCeCy )( 2121 +=+=
c) Raízes Complexas, se r1 = α + βi e r2 = α - βi: xseneCxeCy xx ββ αα 21 cos +=
ED 2a ordem
quarta-feira, 16 de outubro de 2013
20:30
 Página 20 de Calc III 
5.1) Exemplo com duas raízes reais distintas:
3)0('2)0(;06'5" ===++ yeyyyy 32;065 212 −=−==++ rerrr então:
xx eCeCy 32
2
1
−− += para y = 2 e x = 0, temos C1 + C2 = 2. Como y' = 3 quando x = 0,
xx eCeCy 32
2
1 32'
−−
−−= então: 21 323 CC −−=
Logo: xx eey
C
C
CC
CC 32
2
1
21
21 79
7
9
332
2
−−
−=⇒
−=
=
⇒



=−−
=+
5.2) Exemplo com raízes reais e iguais:
1)0('2)0(;04'4" ===++ yeyyyy Eq. característica: 0442 =++ xr
xx xeCeCyrr 22
2
121 .2
−− +=⇒−== como y = 2 e x = 0, temos C1 = 2 e y' = 1, quando x = 0;
( )xxx exeCeCy 22221 222' −−− +−+−= [ ] 51)1).(0(2)1).(2).(2(1 22 =⇒+−+−= CC
xx xeey 22 52 −− +=
5.3) Equações características com raízes complexas:
y" + 6y' + 12y = 0; Equação característica: r2 + 6r + 12 = 0
124836;3333 −=−=∆=−=⇒±−= βα eir ir 33
2
126 ±−=−±−=
xseneCxeCy xx .3...3cos.. 32
3
1
−− +=
4a lista de Exercício:
9) y" - y' - 2y = 0; y(0) = 2, y'(0) = 1
Equação característica: r2 - r -2 = 0 ⟹ r1 = 2 e r2 = -1
sobrando...
ED 2a ordem
quarta-feira, 16 de outubro de 2013
21:00
 Página 21 de Calc III 
Solução Geral de uma equação linear não homogênea (NH):
1) Teorema: seja ay" + by' + cy = F(x) uma equação diferencial linear não homogênea de 2a ordem. Se yp é uma 
solução particular dessa equação e se yh é a solução geral de uma equação homogênea correspondente, 
então: 
� = �� + ��
2) Método dos coeficientes a determinar:
Já temos as ferramentas para encontrar yh, faltando encontrar a solução yp. Podemos encontrar uma solução 
particular pelo método dos coeficientes a determinar. A idéia do método é tentar uma solução yp do mesmo tipo 
que F(x). Exemplos:
1. Se ��	
 = 5	 + 4, escolher �� = 
	 + �.
2. Se ��	
 = 2	�� + 5��, escolher �� = �
	 + �
�� = 
	�� + ���.
3) Se ��	
 = 	� + 9 − ���7	, escolher �� = �
	� + �	 + �
 + ����7	 + ����7	
3) Exemplos pelo método coeficientes a determinar:
a) Encontrar a solução geral da equação y" + 2y' + 3y = 2senx:
�� = �� − 2� − 3 = 0 ⟹ �� = �� + 1
�� + 3
 = 0� = −1		�		� = 3; 			"�#�:
���%�&� + ���'�;�� = 
���	 + ����	
�(� = −
���	 + ����	
�"� = −
���	 − ����	�−
���	 − ����	
 − 2�−
���	 + ����	
 − 3�
���	 + ����	
 = 2���	
⟹−
���	 − ����	 + 2
���	 − 2����	 − 3
���	 − 3����	 = 2���	
⟹ �−4
 − 2�
���	 + �2
 − 4�
���	 = 2���	;
−4
 − 2� = 0		�		2
 − 4� = 2 
 = 15 		�		� = −25 ;
� = �� + �� = �%�&� + ���'� + *15+ ���	 − *
2
5+ ���	
�� = 
���	; �(� = 
���	; �"� =?
−
���	 − 2
���	 − 3
���	 = 2���	
−4
���	 − 2
���	 = 2���	
−4
 = 2;−2
 = 0 ⟹ −
 = 24
b) Encontre a solução geral da equação:
2002;2'2" 21
2
==⇒=−+=− rerrrexyy x
xx
h exxFeCCy 2)(;221 +=+= x
p
x
p
x
p
CeBy
CeBxAy
eCBxAxy
+=
++=
++=
2"
2'
.²
A solução (A+Bx) + Cex
Mult. x
Substituindo na equação diferencial:
xxx exCeBxACeB 2)2(2)2( +=++−+
xxxxx exCeBxABexCeBxACeB 24)22(22422 +=−−−⇒+=−−−+
4
1
;2;14;022 −===−=−=− BACBAB
x
p exxy .2²4
1
4
1
−−+−= A solução geral é: xx exxeCCy 2
4
1
4
1 22
21 −−−+=
Equação Linear não homogênea
quarta-feira, 23 de outubro de 2013
20:30
 Página 22 de Calc III 
4.1) Exemplos:
4) Equações diferenciais de ordem mais alta.
0)³1(13²3³0'3"3) =+=+++→=+++′′′ rrrryyyya A raiz é tripla; r = -1 xxx exCxeCeCy −−− ++= 2321
0)²1²(1³202) 4)4( =+=++→=+′′′+ rrryyyb A raiz é dupla com α = 0 e β = 1
A solução geral da equação é: xsenxCxxCsenxCxCy 4321 coscos +++=
ED - Ordem mais Alta
quarta-feira, 23 de outubro de 2013
21:00
 Página 23 de Calc III 
1) A transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que surgem na 
matemática aplicada à Engenharia. O método consiste de três etapas:
1a: A equação diferencial dada é transformada em uma equação algébrica (equação subsidiária).
2a: Esta equação subsidiária é resolvida por manipulações algébricas.
3a: A solução subsidiária é transformada em sentido contrário, de tal maneira que forneça a solução desejada da 
equação diferencial original.
A transformada de Laplace pode levar em conta as condições iniciais e ainda evita a necessidade de calcular uma 
solução geral e uma solução particular.
2) A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes 
constantes da forma: ay" + by' + cy = f(x) ou ay" + by' + cy = f(t)
3) Definição da transformada de laplace de uma função f:[0, ∞) → ℝ .	/��
 = ���
 = 0 �&12/�3
43
5
6
Representamos função original por uma letra minúscula, a sua variável por t e a sua transformada de 
Laplace pela letra correspondente maiúscula e a sua variável. Ex: f(t) g(t) h(t)
F(s) G(s) H(s)
4) Exemplos:
a) A transformada de Laplace da função f:[0, ∞) → Definida por f(t) = 1 é dada por:
ss
e
s
e
s
e
s
edtesF
ssst
t
st
st 101)(
0.0.
0
0 lim =
−
−=
−
−
−
=


−
==
−−−
∞→
∞
−
∞
−
∫ para s > 0
b) Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da função f:[0, ∞) → ℝ definida por f(t) = eat é 
dada por:
assa
e
sa
edtedteesF
astas
tasatst
−
=
−
−=


−
===
−−
∞
−−
∞
−−
∞
−
∫∫
10)(
0).(
0
)(
0
)(
0
para s > 0
4) Propriedades:
a) Soma de duas funções: L7/%�3
 + /��3
8 = 97/%�3
8 + 97/��3
8 = �%��
 + ����
b) Multiplicação por constante: 97:/�3
8 = :97/�3
8 = :���
c) Derivada Primeira de uma função: 9 ;<=�2
<2 > = ?���
 − /�0
d) Derivada de uma segunda função: 9 ;<@=�2
<2@ > = �����
 − �/�0
 − /(�0
e)Integral de uma função entre instantes 0 e t: 9 ;A /�3
26 = %1 ���
> =
%
1 ���
Transformada de Laplace
quarta-feira, 30 de outubro de 2013
20:30
 Página 24 de Calc III 
a) Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial com problema do valor inicial:
y" - y' - 6y = 0; y(0) = 1; y'(0) = -1)(}{
1)()0()(}'{
1)(²)0(')0()(²}"{
syyL
ssyyssyyL
ssysysysysyL
=
−=−=
+−=−−=
( ) )2)(3(
2)(26²)(0)(61)(1)(²
+−
−
=⇒−=−−⇒=−+−+−
ss
s
syssssysyssyssys



==⇒
−=−
=+
5
4
;
5
1
232
1
BA
BA
BA
frações parciais
( )tt eety
ss
sy 23 4
5
1)(
2
5
4
3
5
1
)( −+=⇒
+
+
−
=
as
sFetf at
−
=→=
1)()(
tabela:
232)(2322)3()2( −=−++⇒−=−++⇒−=−++ sBABAssBBsAAsssBsA
b) ;.96" 32 tetyyy =+− 6)0(';2)0( == yy
62)()0(')0()(}"{ 22 −−=−−= ssysysysysyL
2)()0()(}'{ −=−= ssyyssyyL
)(}{ syyL =
331
32
)3(
2
)3(
1.2
)(
!}.{}.{
−
=
−
=
−
=⇔
+ ssas
n
teetL
n
natt
)3(
2
)3(
2)(
)3(
)3(2
)3()3(
2)()3(2)3(
2)3)((
62)3(
2)96)(()3(
2)(912)(662)(
5
2233
2
3
2
3
2
−
+
−
=
−
−
+
−−
=⇒−+
−
=−
−+
−
=+−⇒
−
=++−−−
ss
sy
s
s
ss
sys
s
ssy
s
s
sssy
s
syssyssys
tt eetty 334 2
12
1)( +=transf. inv
'
���
 = 
� − 3 +
�
� + 2
Exercícios
quarta-feira, 30 de outubro de 2013
19:26
 Página 25 de Calc III 
1) Funções Periódicas:
Uma função f(x) é dita periódica com um período I se f(x+t) = f(x) para qualquer x . Disso discorre f(x +nt) = f(x)
para n = 0, ±1, ±2,...)
2) Série Trigonométrica:
É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos múltiplos sucessivos 
da variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são admitidos reais.
...2...)2(cos
2
1
21210 ++++++ xsenbsenxbxosaxaa
ou
∑
∞
=
++
1
0 )]()cos([2
1
n
nn nxsenbnxaa
Sendo esta uma série de funções, sua soma s será uma função da variável independente e como os termos da 
série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2π. A soma s(x) será uma função periódica de 
período 2π (-π, π) ou (0, 2π).
As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.
∑
∞
=
++=
1
0 )]()cos([2
1)(
n
nn nxsenbnxaaxf
3) Determinação dos coeficientes de Fourier:
Para determinar os coeficientes, fazemos a integral de:
∫
∫∫
∑ ∫∫∫∫
∑
−
−−
∞
=
−−−−
∞
=
=
==
++=
++=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pipi
dxxfa
aadxadxxf
dxnxsenbdxnxadxadxxf
nxsenbnxaaxf
n
nn
n
nn
)(1
]2[
2
1
2
1)(
)()cos(
2
1)(
)]()cos([
2
1)(
0
000
1
0
1
0
Cálculo de an:
Multiplicando-se os termos da série por (px), sendo p um número fixo dado, integrando-se no intervalo (-π, π):
0 0
∑∫∫
∞
=
−−
++
1
0 )]cos()()cos()cos([)cos(2
1
n
nn dxpxnxsenbdxpxnxadxpxa
pi
pi
pi
pi
se n ≠ p
0 0
0
Lembrando:
)(2
])[(
)(2
])cos[()cos()(
)(2
])[(
)(2
])[()cos()cos(
ba
xbasen
ba
xbadxbxaxsen
ba
xbasen
ba
xbasendxbxax
−
−
+
+
+
=
+
+
+
−
−
=
∫
∫
Série de Fourier
quarta-feira, 6 de novembro de 2013
20:40
 Página 26 de Calc III 
se n ≠ p
pi
pi
pi
pi
pi nn
adxnxadxnxxf == ∫∫
−−
)²(cos)cos()(
Lembrando:
n
nxsenxdxnx
4
)2(
2
)²(cos +=∫ então: ∫−=
pi
pipi
dxnxxfan )cos()(1
Cálculo de bm:
Multiplicando-se agora por sen(px), entre (-π, π):
∫∑∫∫
−
∞
=
−−
++
pi
pi
pi
pi
pi
pi
dxpxsennxsenbdxpxsennxadxpxsena n
n
n )()()()cos([)(2
1
1
0
Então para n = p: pi
pi
pi
pi
pi n
bdxnxsenbndxnxsenxf == ∫∫
−−
)²()()(
se n ≠ p
0 0 0
∫
−
=
pi
pipi
dxnxsenxfbn )()(1
4) Funções pares e ímpares:
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π):
g(x) é par se g(-x) = g(x) para todo x
h(x) é impar se h(-x) = -h(x) para todo x
5) Produto de funções pares e ímpares
a) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x):
q(x) = g(x) . h(x)
q(x) = g(-x) . h(-x)
q(x) = g(x) . h(-x)
q(x) = -g(x) . h(x)
q(x) = -q(x)
b) O produto de uma função par g(x) por uma função par é uma função par:
q(x) = g(x) . g(x)
q(x) = g(-x) . g(-x)
q(x) = g(x) . g(x) q(x) = q(x)
c) O produto de uma função ímpar h(x) por uma função ímpar é uma função par:
q(x) = h(x) .h(x)
q(x) = h(-x) . h(-x)
q(x) = -h(x) . -h(x) q(x) = q(x)
6) Conclusão:
a) Se uma função f(x) é uma função par, f(x)sen(nx) é uma função ímpar 0)()(1 == ∫
−
pi
pipi
dxnxsenxfbn
b) Se f(x) é uma função ímpar, f(x)cos(nx) é ímpar: 0)cos()(1 == ∫
−
pi
pipi
dxnxxfan
Série de Fourier
quarta-feira, 6 de novembro de 2013
21:22
 Página 27 de Calc III 
7) Exemplo: Determinar série de Fourier da função f(x):
∫
∫∫
−
−
=
==



 +=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pipi
dxnxxfa
dxdxa
n
n
)cos()(1
1][1101
0
0



<<
<<−
=
pi
pi
x
x
xf
0,1
0,0)(
1
π
-π




=⇒=
=⇒=
0
2
n
n
bparn
n
bímparn
pi 





+++= ...)3(
3
12
2
1)( xsensenxxf
pi
∫
∫
−
−
=
=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
dxnxxfa
dxxfa
n )cos()(
1
)(10
[ ] [ ]1)1(1)cos(1)()(01
0)(11)cos(1)cos(01
00
0
0
0
0
−−−=⇒−=



 +=
=



=⇒



 +=
∫∫
∫∫
−
n
nn
nn
n
bnx
n
dxnxsendxnxsenb
nxsenadxnxdxnxa
pipipi
pipipi
pipi
pi
pi
pi
pi
∑
∞
=
++=
1
0 )]()(cos([
2
)(
n
nn nxsenbnxa
a
xf
Série de Fourier
quarta-feira, 6 de novembro de 2013
14:17
 Página 28 de Calc III 
1) Use a transformada de Laplace para resolver as equações diferenciais com problema do valor inicial:
1.4) 1)0(',1)0(;04'4" ===+− yyyyy
)(}{
1)()0()(}'{
1)()0(')0()(}"{ 22
syyL
ssyyssyyL
ssysysysysyL
=
−=−=
−−=−−=
0)(44)(41)(0)(4]1)([41)( 22 =++−−−⇒=+−−−− syssyssyssyssyssys
32)44(3)2()2( 22 −=−++−⇒−=−+− sBBsssAssBsA
324)4(3244 22 −=−++−+⇒−=−++− sBABAsAssBBsAAsAs
22
2
)2()2()()2(
3)(3)44)((
−
+
−
=⇒
−
−
=⇒−=+−
s
B
s
A
sy
s
s
syssssy
2,2
324
14
=−=−⇒



−=−
=+−
BB
BA
BA
4
11)2(4 =⇒=+− AA
at
nat
n
ety
as
sy
tety
as
n
sy
=⇔
−
=
=⇔
−
= +
)(1)(
.)()(
!)( 1tt
eety
ss
sy 222 4
1)()2(
2
2
4
1
)( +=⇒
−
+
−
=
4a Lista de Exercícios
4) ;015'13"2 =+− yyy 49;015132 2 =∆=+− rr 2121 ;2
35
4
713
rrrerr ≠==⇒
±
=
x
x eCeCy 2
3
2
5
1 +=
logo: 
5a lista de Exercícios:
2.1) 6322'4" 2 +−=−+ xxyyy 21
2
,24024 rrrr ≠=∆⇒=−+
622;622;
2
244
21 −−=+−=
±−
= rrr )622(
2
)622(
1)(
−−+− += eCeCy g
AyBAxyCBxAxy ppp 2";2';
2
=+=++=
632222482632)(2)2(42 2222 +−=++−++⇒+−=++−++ xxCBxAxBAxAxxCBxAxBAxA
632242)28(2 22 +−=−++−+− xxCBABAxAx
122 −=⇒=− AA
2
5328 −=⇒−=− BBA
962
2
54)1(2 −=⇒=−





−+− CC
9
2
5)( 2)622(2)622(1 −−−+= −−+− xxeCeCxy
6a lista de Exercícios
quarta-feira, 16 de outubro de 2013
00:27
 Página 29 de Calc III 
a) 0912
²
²4 =+− y
dx
dy
dx
yd
09'12"4 =+− yyy 0)0('1)0( == yy
0912²4 =+− rr 5,1
8
14414412
)4(2
)9)(4(4)²12()12(
=
−±
=
−±−−
=r
xxx exCCxeCeCy 5,121
5,1
2
5,1
1 )( +=+= 1))0((1 1)0(5,121 =⇒+= CeCC
5,105,1)1()5,1)0(()1(5,10)5,1(5,1" 22)0(5,1)0(5,12)0(5,15,15,125,11 −=⇒=+⇒++=⇒++= CCeeCeexeCeCy xxx
xxx e
x
e
x
ey 5,15,15,1
2
31
2
3






−=−=
2
3
=
b) 065
²
²
=+− y
dx
dy
dx
yd
06'5" =+− yy 1)0('1)0( −== yy
2;3065 212 ==⇒=+− rrrr
21
2
2
3
1 1 CCeCeCy
xx +=⇒+=
21
)0(2
2
)0(3
1
2
2
3
1 23123123' CCeCeCeCeCy
xx +=−⇒+=−⇒+=4;3
123
1
21
21
21
=−=⇒



−=+
=+
CC
CC
CC
xx eey 23 43 +−=
Atividade Estruturada 7
 Página 30 de Calc III 
Para cada uma das equações abaixo, determine o valor da constante r, para que a função f(x) = erx seja 
uma solução:
a) 0)(2 =+ ty
dt
dy
b) 0)(
²
²
=− ty
dt
yd
c) 02
²
²3
³
³
=+−
dt
dy
dt
yd
dt
yd
Resolva: 036
²
²5
³
³
=−−
dt
dy
dt
yd
dt
yd
2
202
0)(2)'(02'
−=
−
=⇒=+
=+⇒=+
r
e
e
rere
eeyy
rx
rx
rxrx
rxrx
0
23²
0
0)23²(02²3³
0)'(2)"(3'')'(0'2"3'''
=
+−
=
=+−⇒=+−
=+−⇒=+−
rxrxrx
rxrxrxrxrxrx
rxrxrx
ereer
r
ereerrreerer
eeeyyy
y(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) = -7
00)365²(036²5³
0'36"5'''
1 =⇒=−−⇒=−−
=−−
rrrrrrr
yyy
36
5
−=
=
P
S
9
4
3
2
=
−=
r
r
78116)81()16(0)"()"()"(7
194)9()4(0)'()'()'(1
00
...
32
0
3
0
2
9
3
4
21
32
0
3
0
2
9
3
4
21
321
0
3
0
21
9
3
4
21
9
3
4
2
0
1
−=+⇒++=++=−
=+−⇒+−+=++=
=++⇒++=
++=++=
−
−
−−
CCeCeCeCeCC
CCeCeCeCeCC
CCCeCeCC
eCeCCeCeCeCy
xx
xx
xxxx
026,0
117
33117
78116
43616
78116
194
33
32
32
32
)4(
32
−=
−
=⇒−=⇒



−=+
=+−
⇒



−=+
=+− ×
CC
CC
CC
CC
CC
06,0
4
234,01)026,0(94 22 ==⇒=−+− CC
966,0034,011026,006,0 11 =−=⇒=−+ CC
xx eey 94 026,006,0966,0 −+= −
11
1²0²
0)"(0"
±==
==⇒=−
=−⇒=−
r
e
e
reer
eeyy
rx
rx
rxrx
rxrx
Atividade Estruturada 8
 Página 31 de Calc III 
a) 2²5)(54
²
²
+=+− tty
dt
dy
dt
yd 0)0('1)0( == yy
b) t
ety
dt
yd
=+ )(4
²
² 0)0('0)0( == yy
2²55'4" +=+− tyyy
054² =+− rr iir ±=±=−±=−±=−−±−−= 2
2
24
2
44
2
20164
)1(2
)5)(1(4)²4()4( 1;2 == βα
tsenetey
CCseneCeC
CCeCseneCseneCeC
teCtseneCtseneCteCy
tseneCteCtseneCteCy
tt
h
tttt
h
tttt
h
22
21
)0(2
2
)0(2
1
21
)0(2
2
)0(2
2
)0(2
1
)0(2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
121
2cos
2)1(2;1)0()0cos(1
02)]0cos()0(2[)]0()0cos(2[0
]cos2[)](cos2['
coscos
−=
=−==⇒+=
=+⇒++−+=
++−+=
+=+= ββ αα
2²5)542()58(²)5(
2²555²5482
2²5)²(5)2(4)2(
2;2';² "
+=+−++−+
+=+++−−
+=++++−
=+=++=
tCBAtBAtA
tCBtAtBAtA
tCBtAtBAtA
AyBAtyCBtAty ppp









=⇒=⇒=+





−⇒=+−
=⇒=+−⇒=+−
=⇒=
25
32
5
32525
5
8422542
5
8058058
155
CCCCBA
BBBA
AA
25
32
5
8
²2cos 22 +++−= tttsenetey tt
teyy =+4" 04² =+r iir ±=±=−±=
−±−
=
2
2
2
16
)1(2
)4)(1(4)²0()0( 1;0 == βα
tsenCtCtseneCteCtseneCteCy tth 21
0
2
0
121 coscoscos +=+=+= ββ αα
hh yCCsenCCy ===⇒+== 000cos0 2121
"
5
115
)4(
)(4)(
; "
=⇒=
=+
=+
==
AA
eAAe
eAeAe
AeyAey
tt
ttt
t
p
t
p
5
t
p
eyy ==
Atividade Estruturada 9
 Página 32 de Calc III