AULA 06 CADEIA DE MARKOV01

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PROCESSOS 
ESTOCÁSTICOS 
Prof. Dr. Adriano Silva Belísio
Processo Estocástico
São sequências de números aleatórios gerados pelas
leis probabilísticas.
Um processo estocástico é definido como um conjunto
indexado de variáveis aleatórias {Xt}, em que o índice t
percorre dado conjunto T. Normalmente admiti-se que
T seja o conjunto de inteiros não-negativos e Xt
represente uma característica mensurável de interesse
no instante t. Por exemplo, Xt poderia representar o
nível de estoque de determinado produto no final da
semana t.
Os processos estocásticos são de interesse por
descreverem o comportamento de um sistema operando
ao longo de algum período. Um processo estocástico
normalmente apresenta a seguinte estrutura.
O estado atual do sistema pode cai em qualquer
um das M+1 categorias mutuamente exclusivas
denominados estados {0, 1, ..., M}.
A variável aleatória Xt representa o estado do sistema
no instante t, de modo que seus únicos valores
possíveis sejam 0, 1, ..., M. Assim, o processo
estocástico{Xt} = {X0, X1, X2,...} fornece uma
representação matemática de como o estado do sistema
físico evolui ao longo do tempo.
Exemplo: O estado no ano de 1993 do uso da terra em
uma cidade de 50 quilômetros quadrados de área é:
Os valores da tabela podem ser dispostos em um
vetor x, denominado Vetor de Estados:
x = [I II III]
As probabilidades de cada Estado (probabilidade não-
condicional) podem também ser dispostos em um vetor
π, denominado Vetor de Probabilidade de Estado
(para distingui-las das probabilidades de transição):
Assumindo que as probabilidades de transição para
intervalos de 5 anos são dadas pela seguinte tabela:
As probabilidades condicionais na tabela 2, em termos
informais, podem ser entendidas como:
De I para I⇒ a probabilidade do Estado ser I após 5
anos, dado que o estado atual (presente) I é 0,8 ou
P{X(t+5)= I| X(t) = I} = 0,8. para t = 1993, fica (X (1998)
= I|X (1993)= I}=0,8.
De I para II⇒ a probabilidade do Estado ser II após
5 anos, dado que o estado atual (presente) I é 0,1 ou
P{X(t+5)= II| X(t) = I} = 0,1. para t = 1993, fica (X (1998)
= II|X (1993)= I}=0,1.
De I para III ⇒ a probabilidade do Estado ser III após 5
anos, dado que o estado atual (presente) I é 0,1 ou P{X(t+5) =
III| X(t) = I} = 0,1. para t = 1993, fica (X (1998) = III|X (1993) =
I}=0,1.
De II para I ⇒ a probabilidade do Estado ser I após 5 anos,
dado que o estado atual (presente) II é 0,1 ou P{X(t+5)= I| X(t)
= II} = 0,1. para t = 1993, fica (X (1998) = I|X (1993) = II}=0,1.
De II para II⇒ a probabilidade do Estado ser II após 5 anos,
dado que o estado atual (presente) II é 0,7 ou P{X(t+5)= II| X(t)
= II} = 0,7. para t = 1993, fica (X (1998) = I|X (1993) = II}=0,7.
O raciocínio é análogo para as demais.
Os valores da tabela 2 podem ser então dispostos em
uma matriz P, denominadaMatriz de Transição:
Assim, a partir de P e o vetor de probabilidade de estado
π para 1993, denominado π(0) , pode-se calcular o vetor
de probabilidade de estado para 1998, denominado π(1):
Classificação dos Processos Estocásticos:
a) Em relação ao estado:
• Estado discreto (cadeia) – se X(t) é definido
sobre um conjunto enumerável ou finito.
• Estado contínuo (sequência) - X(t) caso
contrário
Classificação dos Processos Estocásticos:
b) Em relação ao tempo:
• Tempo discreto – se t é finito ou enumerável.
• Tempo contínuo – caso contrário.
Exemplos:
1. Número de usuários em uma fila de banco em um
determinado instante: Espaço discreto e tempo
contínuo.
2. Índice pluviométrico em cada dia do mês – estado
contínuo e tempo discreto.
3. Número de dias que choveram em cada mês do ano –
estado discreto e tempo discreto.
Processos Estocásticos Estacionários - mantém seu
comportamento dinâmico invariante no tempo.
Processos Estocásticos Independentes - se os valores
de X(t) são independentes, isto é, o valor assumido
por X(tj) não depende do valor assumido por X(ti) se
i ≠ j.
Processo de Markov, chamado de “memoryless”, é um
processo estocástico em que o próximo estado depende
apenas do estado atual.
Exemplo envolvendo o clima
O tempo na cidade Centerville pode mudar de maneira
bastante rápida de um dia para o outro. Entretanto, as
chances de termos tempo seco (sem chuvas) amanhã
são ligeiramente maiores, caso esteja seco hoje do que
se chover hoje.
Particularmente, a probabilidade de termos tempo seco
amanhã é de 0,8, caso hoje esteja seco, porém é de
apenas 0,6 caso amanhã chova. Essas probabilidades
não mudam, caso as informações sobre o tempo antes
de hoje também forem levadas em consideração.
A evolução do tempo, dia a dia em Centerville é um
processo estocástico. Começando em dado dia inicial, o
tempo é observado em cada dia t, para t = 0,1, 2, .... O
estado do sistema no dia t pode ser
Estado 0 = Dia t é seco
Ou então
Estado 1 = Dia t com chuva.
Portanto, para t = 0, 1, 2, ..., a variável aleatória Xt,
assume os seguintes valores.
O processo estocástico {Xt} = {X0, X1, X2,...} fornece
uma representação matemática de como o estado do
tempo em Centerville evoluiu ao longo do tempo.