AULA 3 TEORIA DAS FILAS

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SIMULAÇÃO DA PRODUÇÃO 
E 
TEORIA DAS FILAS
Prof. Dr. Adriano Silva Belísio
Teoria das Filas Aula 03
Distribuição de Poisson
Características:
• Eventos individuais que ocorrem randomicamente e independente
em um intervalo;
• O número médio de ocorrências do evento é conhecido;
Ex.: quantidade de Chagadas de carros em um semáforo.
Há uma estimativa da quantidade de eventos num intervalo (distribuição de
dados discreta)
• Ex.: um fio de cobre apresenta uma taxa de 2 falhas por metro. Qual a
probabilidade de apresentar, em um metro, 4 falhas?
( )
!
ke
P k
k
λλ −
=
É uma distribuição que se caracteriza por ter uma função de taxa de falha
constante. A distribuição exponencial é a única com esta propriedade. Esta
distribuição tem sido usada extensivamente como um modelo para o tempo de
vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o tempo de
vida de óleos isolantes e dielétricos, entre outros.
Distribuição Exponencial
Ela analisa inversamente o experimento: um intervalo ou espaço para
ocorrência de um evento.
• No exemplo do fio, qual a probabilidade de ocorrer uma falha em
0,5 metros, se ele possui uma taxa de 2 falhas por metro?
Características de uma Fila
Processo de chegada
Para quantificarmos o processo de chegada utilizamos:
1.A taxa média de chegada ou ritmo médio de chegada (λ).
2. O Intervalo médio entre Chegadas (IC)
Exemplo:
Um posto de pedágio com 5 atendentes. E que entre 7 e 8 horas
da manhã o processo de chegada pode ser definido por 20 automóveis
por minuto ou 1 automóvel a cada 3 segundos.
Ou seja:
λ = 20 clientes/minuto
IC = 3 segundos (entre clientes)
Observe que esses são valores médios, não significa que todo
intervalo de 1 minuto chegará 20 automóveis. Em alguns intervalos
de 1 minuto podem chegar 10, 15, 25 ou até 30 automóveis. O
mesmo vale para o intervalo de 3 segundos, que pode assumir
desde zero (2 veículos juntos) até 20 segundos.
O ritmo de chegada (λ) é uma importante variável randômica do
sistema, ou seja, não basta apenas saber o valor médio, mas sim
como seus valores se distribuem em torno da média. Assim, para
caracterizar um processo de chegada devemos utilizar uma
distribuição de frequência (Poisson, exponencial, normal entre
outras).
Para quantificarmos o processo de atendimento utilizamos:
1.O ritmo médio de atendimento (µ).
2.O Tempo ou duração média do atendimento (TA)
Exemplo:
Continuando o exemplo do pedágio, observando um atendente em
serviço, podemos constatar que ele atende na média de 6 veículos por
minuto ou que gasta 10 segundos em média para atender um veículo. Ou
seja:
µ = 6 clientes/minuto
TA = 10 segundos (por cliente)
Número de servidores
O mais simples sistema de fila é aquele de um único servidor
que pode atender a um único cliente de cada vez. Conforme aumente
o ritmo de chegada (λ), podemos manter a qualidade do serviço
aumentando convenientemente o número de servidores.
FIFO ou FCFS (Fisrt in –
first out )
Os usuários são atendidos na ordem de 
chagada.
LIFO ou LIFS (last in – first
out)
O primeiro usuário é o que chega por 
último 
PRI ou RD (priority
service)
O atendimento aos usuários segue uma ou
mais prioridades preestabelecidas.
SIRO (service in random
ordem)
O atendimento aos usuários segue uma 
ordem aleatória.
GD Distribuição Geral
Disciplina da fila
Tamanho médio da fila
Certamente esta é a característica da fila que mais consideramos ao
nos defrontarmos com a opção de escolher uma determinada fila.
Tamanho máximo da fila
Quando os clientes devem esperar, alguma área de espera deve existir. Observe
que sistemas existentes na vida real são dimensionados para uma certa
quantidade máxima de clientes em espera.
Tamanho máximo da fila
Essa quantidade pode se referir a uma área de espera de pessoas na fila do
banco como para um buffer onde as transações de consultas a um
computador devem espera antes de serem atendidas.
Tempo médio de espera na fila
Esta é outra característica capaz de causar irritação quando estamos em
uma fila de espera. O ideal é que não exista tempo de espera, mas esta não
é a melhor situação do ponto de vista econômico.
Tempo médio de espera na fila
Se entrarmos numa fila com 10 pessoas a nossa frente, o tempo de
espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento de cada um dos
clientes na nossa frente ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração
média de atendimento (TA).
Variáveis Randômicas 
Quando nos referimos a filas, utilizamos variáveis randômicas.
Assim, para as principais variáveis há um valor médio e uma
distribuição de probabilidade, que mostra as chances de ocorrência
dos valores.
Variáveis Randômicas 
Exemplo: Quando afirmamos que a duração média do atendimento é
de 10 segundos, não estamos dizendo que todo atendimento é de 10
segundos. Em diferentes momentos de observância é possível constatar
que um atendimento gastou 20 segundos, outro 8 segundos, um 12
segundos, etc.
Variáveis Randômicas 
Dinâmica de uma fila (exemplo)
Imagine-se dentro de um banco, com a finalidade de observar o
funcionamento de fila formada por pessoas que desejam um novo
talão de cheques.
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Chegada:
No período de meia hora você verificou que chegaram ao sistema 12 
pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do instante zero foram 
(em minutos):
λ= 24 clientes/hora
IC = (1/λ).60 = 2,5 minutos 
O valor zero para o sexto cliente (linha intervalo) significa que ele
chegou junto com o quinto cliente.
A linha momento significa o instante da chegada do novo cliente,
obtido a partir da acumulação da linha intervalo acrescido de 1, para
significar o início do próximo intervalo de tempo. Assim, o primeiro
cliente chegou no início de 3º minuto, o segundo cliente chegou no
início do 6º minuto, etc.
Atendimento:
Por outro lado, os dados anotados para cada atendimento são os seguintes
(em minutos):
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
µ= 30 clientes/hora
TA = 2,0 minutos
O valor médio dos dados acima é de 2,0 minutos e, portanto, podemos dizer que
o servidor tem uma capacidade de atender 30 clientes por hora. Ou seja:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
tempo: 1 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
tempo: 2 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
tempo: 3 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
tempo: 4 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
tempo: 5 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2
tempo: 6 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2
tempo: 7 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2
tempo: 8 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3
tempo: 9 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3
tempo: 10 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3
tempo: 11 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4
tempo: 12 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4
tempo: 13 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4
tempo: 14 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4
tempo: 15 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4
tempo: 16 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4 5
6
tempo: 17 momento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4 5
6
tempo: 18 momento
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4 5
6
tempo: 19 momento
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4 5
6
tempo: 20 momento
7
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
1
Gráfico da dinâmica do funcionamento da fila 
Chegada:
Atendimento:
2 3 4 5
6
tempo: 21 momento
7
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
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11
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Segundo o gráfico acima, os tempos de fila foram:
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T. na fila 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2
Podemos concluir:
•Total de clientes atendidos: 12
•Tempo Médio na fila (TF) = (3+4+3+1+3+2)/12 = 1,33 minuto
•Numero Médio na fila (NF) = (3+4+3+1+3+2)/35 = 0,46 cliente
Observe que com os dados do modelo do banco, temos:
λ = 24 clientes/hora (ou IC = 2,5 minutos)
µ = 30 clientes/hora (ou TA = 2,0 minutos)
Ou seja, a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ). Mesmo assim,
tivemos a formação de filas.
Variáveis Randômicas Fundamentais 
λ = Ritmo médio de chegada 
µ = Ritmo médio de atendimento
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes
Variáveis Randômicas Fundamentais 
Variáveis Referentes ao Sistema
TS = Tempo médio de permanência no sistema
NS = Numero médio de Clientes no sistema
Variáveis Referentes ao Processo de Chegada
λ = Ritmo médio de chegada
IC = intervalo médio entre chegadas
Variáveis Referentes à Fila
TF = Tempo médio de permanência na fila
NF = Numero médio de clientes na fila
Variáveis Referentes ao Atendimento
TA = Tempo médio de Atendimento ou Serviço
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes
NA = Numero médio de clientes que estão sendo
atendidos
μ = Ritmo médio de Atendimento por atendente
por definição: TA = 1/ μ
Postulados Básicos 
Relações Básicas
NS = NF +NA
TS = TF + TA
NA = λ/ µ
NS = NF + NA = NF + (λ/ µ ) = NF + (TA/IC)
Taxa de utilização dos atendentes
Para o caso de uma fila / um atendente, chamamos de utilização do
atendente a expressão
ρ = λ / µ
λ = Ritmo médio de chegada
µ = Ritmo médio de atendimento
No caso de uma fila/vários atendentes, a expressão se torna:
ρ = λ / cµ
em que c é o número de atendentes
Assim, ρ representa a fração média de tempo em que cada servidor
está ocupado.
Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes 
i = | λ / µ | = | TA/IC |
λ = Ritmo médio de chegada
µ = Ritmo médio de atendimento