engenharia economica aula03

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AULA 03 
MATEMÁTICA FINANCEIRA/ 
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA/ ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS 
• SÉRIE GRADIENTE 
 
• MÉT. DE ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS VAUE 
 
• MÉT. DE ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS VPL 
 
 
 
 
Séries em Gradiente 
• Valor presente de uma série em gradiente 
pode ser calculada por: 
 
 
• A série uniforme equivalente à uma série em 
gradiente é dada por: 
 
Exemplo 
• Qual o valor presente do seguinte fluxo de 
caixa a uma taxa de 5% a.p.? 
 0 1 7 2 3 4 
150 
200 
250 
400 
100 
Observe que o fluxo de caixa é composto por uma série uniforme 100 UM, mais 
uma série em gradiente de 50 a qual inicia no período dois. 
 
Exemplo 2 
• Diante do fluxo de caixa determine o Valor 
presente equivalente a taxa de 10% a.p. e a 
série uniforme equivalente a uma taxa de 20% 
a.p. 
0 1 5 2 3 4 
200 
400 
600 
100 
6 7 8 
300 
100 
700 800 
Solução 
P= uma série de A de 100 + uma série G de 100 
c/ 8 períodos – um valor futuro de 400 no 5º 
período. 
 
Portanto: 
 
a)P=100(P/A;10%;8) +100(P/G;10%;8) – 400(P/F;10%;5) 
b)A= 100+100 (A/G;20%;8)-400(P/F;20%;5).(A/P;20%;8) 
 
Análise de Alternativas Econômicas 
• Quando temos diversas alternativas 
econômicas, há a necessidade de compará-las, 
a fim de selecionar a mais conveniente. 
 
• Ao analisar um possível investimento, este, 
para se tornar atrativo, deverá ao menos 
render a taxa de juros equivalente à 
rentabilidade das aplicações correntes e de 
pouco risco. 
Análise de Alternativas Econômicas 
Método do Valor Anual Uniforme Equivalente 
(VAUE) 
 
O método propõe achar a série uniforme 
equivalente a todos os custos e receitas para 
cada projeto utilizando-se da TMA. O melhor 
projeto de investimento será aquele que obtiver 
o maior saldo positivo. 
 
VAUE 
• Para pessoas físicas pode-se considerar a taxa mínima de 
atratividade igual a rentabilidade da caderneta de poupança. 
 
• Para pessoas jurídicas, investimentos de curto prazo utiliza-se 
geralmente a rentabilidade dos títulos bancários. A médio 
prazo (até seis meses), usa-se a média ponderada dos 
rendimentos das contas do capital de giro, ou seja, aplicações 
de caixa, valorização dos estoques ou taxas de juros 
embutidas em vendas a prazo. 
 
• O método é adequado para análises que envolvam atividades 
operacionais da empresa, com investimento que possam 
repetir-se, apurados normalmente a cada ano. 
VAUE 
• Dispõe-se de 18 mil para investimento, e conta-se com 
duas alternativas: 
 
A. Exige um investimento inicial de 14 mil e proporciona 
um retorno anual de 5 mil por sete anos. 
B. Exige um investimento inicial de 18 mil e saldo anual 
de 6 mil e 500 por sete anos. 
 
• Qual a alternativa mais econômica, considerando-se a 
TMA de 30% a.a. 
VAUE 
• Para alternativa A temos o valor da série 
uniforme equivalente das receitas e despesas: 
 
VAUE= -14000(A/P;0,3;7)+5000 
VAUE=3,76 
 
Considera-se negativo os desembolsos e positivas as 
entradas. 
VAUE 
• Para alternativa B temos o valor da série 
uniforme equivalente das receitas e despesas: 
 
VAUE= -18000(A/P;0,3;7)+6500 
VAUE= 76,27 
 
Considera-se negativo os desembolsos e positivas as 
entradas. 
Considerações... 
• Se levarmos em conta a diferença de investimento de 4 
mil da alternativa A, o qual poderia ser aplicado à TMA, 
teríamos um fluxo de caixa incremental, onde: 
 
VAUE= -4000(A/P;0,3;7)+4000 
VAUE= 0,0 
 
Desta forma tem-se que o VAUE da alternativa A 
representa 0,027% do investimento e o VAUE da 
alternativa B 0,424% do investimento, diante do fator 
TMA 30% a.a. 
 
 
• Considerando o exercício anterior, imaginemos que 
tem-se apenas 16 mil para investir, ao invés de 18 
mil. Deste modo a alternativa A não sofreria 
alteração, mas a alternativa B faltaria 2 mil para o 
investimento. Neste caso pode-se fazer um 
empréstimo. 
 
• Supondo que o empréstimo seja de 40% a.a. pagável 
no final do ano, temos o seguinte fluxo de caixa: 
• Para tanto teremos: 
 
Cálculo do Valor futuro do empréstimo: 
(F/P;0,4;1)=2800 
 
Cálculo do valor presente do empréstimo, correspondente ao período 
de aplicação: 
(P/F; 0,3;1)=2153,846 
 
Cálculo do VAUE a partir do valor total de aplicação: 
VAUE= -16000+(P/F; 0,3;1)x(A/P; 0,3;7)+6500 
VAUE=21,37 
 
Alternativa B continua sendo a mais atrativa 
 
VAUE- Alternativas de vidas diferentes 
• As alternativas de vidas diferentes podem ser do 
tipo de investimento com repetição – onde os 
mesmos possam repetir-se indefinidamente - 
como no caso de substituição de equipamentos 
normais de produção. 
 
• Ou do tipo sem repetição, ou seja, investimentos 
isolados, como a compra de um equipamento 
provisório. 
• Considere as seguintes alternativas de 
investimentos com vidas diferentes: 
A. 
 
 
 
B. 
0 1 2 
260 
180 180 
TMA=10% a.p 
0 1 3 
200 
120 120 
TMA=10% a.p 
2 
120 
• Se os investimentos podem se repetir temos: 
A. 
 
 
 
B. 
0 1 2 
260 
180 
TMA=10% a.p 
0 1 3 
200 
120 
TMA=10% a.p 
2 
3 4 
260 
4 6 
200 
5 
Portanto: 
A. VAUE= -260 (A/P;0,10;6) -
260(P/F;0,10;2)(A/P;0,10;6) -
260(P/F;0,10;4)(A/P;0,10;6)+190 = 40,1904 
 
B. VAUE=-200 (A/P;0,10;6) -
200(P/F;0,10;3)(A/P;0,10;6) + 120 =39,5770 
 
C. Calcule direto. 
 
• Se os investimentos não tem previsão de repetir: 
A. 
 
 
 
 
Redistribuição do valor de retorno em 3 períodos: 
180(P/A;0,10;2)=312,3966 
312,3966(A/P;0,10,3)=125,62 
 
0 1 2 
260 
125,62 
TMA=10% a.p 
2 3 
260 
180 180 
= 1 
125,62 125,62 
• Calculando-se então o VAE para A em 3 
períodos, temos: 
VAUE= -260(A/P;0,10;3)+125,62 
VAUE= 21,070 
 
• Comparando com o VAUE da alternativa B, 
VAUE=39,57, sobre essa condição o 
investimento B passa a ser mais vantajoso. 
 
 
Análise de Alternativas Econômicas 
Método do Valor Presente Líquido (VPL) 
 
O método propõe achar O valor Presente do 
fluxo de caixa, somando os investimentos inicial 
de cada alternativa. O melhor projeto de 
investimento será aquele apresentar o melhor 
valor presente líquido. 
 
VPL 
• O método VPL geralmente é utilizado em projetos 
que tenham baixo número de períodos, onde um 
valor anual teria pouco significado prático numa 
tomada de decisão. 
 
• No caso de investimentos com repetição, o VAUE é 
mais prático, uma vez que no caso do VPL, é 
necessário extrair o mínimo múltiplo comum das 
vidas das alternativas. 
VPL 
• Dispõe-se de 150 mil para investimento, e conta-se 
com duas alternativas: 
 
A. Exige um investimento inicial de 150 mil e 
proporciona um retorno anual de 73 mil por três 
anos. 
B. Exige um investimento inicial de 130 mil e saldo anual 
de 52 mil por três anos. 
 
• Qual a alternativa mais econômica, considerando-se a 
TMA de 10% a.a. 
VPL 
• Para alternativa A temos o valor da série 
uniforme equivalente das receitas e despesas: 
 
VPL= 73.000(P/A;0,10;3)-150.000 
VPL=31.540,19 
 
Considera-se negativo os desembolsos e positivas as 
entradas. 
VAUE 
• Para alternativa B temos o valor da série 
uniforme equivalente das receitas e despesas: 
 
VAUE= 52.000(P/A;0,10;3)-130.000 
VAUE= -683,69 
 
Considera-se negativo os desembolsos e positivas as 
entradas. 
Considerações... 
• A alternativa A é a mais vantajosa, pois oferece omaior 
valor presente, enquanto a alternativa “B” é pior que 
deixar o investimento sobre à TMA onde: 
 
TMA 130000(F/P;0,1;3) 
TMA F= 173.030 
 
Desta forma, calcule o valor do retorno da série uniforme 
para que seja possível alcançar pelo menos o valor da 
TMA desejada de 10%a.p. 
 
 
 
Portanto teremos: 
 
173.030 (A/F;0,10,3)=52.274,92 
 
Desta forma: 
VPL=0 
VPL- Alternativas de vidas diferentes 
• O método VPL é aplicável de forma direta nos 
casos de vidas iguais, com e sem repetição, e 
nos casos de vidas diferentes, quando não 
houver repetição. 
 
• Para os demais casos deve-se igualar as vidas 
dos fluxos, através do MMC. 
• Dado os dados, obtenha por VPL a alternativa 
mais econômica, suponhamos repetições. O 
valores são representados em mil reais. 
VPL- Alternativas de vidas diferentes 
Itens A B 
Custo Inicial 400 400 
Vida útil 4 anos 8 anos 
Valor residual 40 80 
Custos de operação 10 20 
TMA 10% 10% 
• Considere as seguintes alternativas de 
investimentos com vidas diferentes: 
A. 
 
 
 
B. 
0 1 2 
400 
TMA=10% a.p. 
0 1 ... 
600 
TMA=10% a.p. 
2 
3 4 
40 
10 
8 
80 
20 
• Supondo que haja repetição igualamos 
transforma-se diante do MMC: 
A. 
 
 
 
 MMC 8, 4 4 
 2, 1 2 
 1, 1 4X2=8 
 
0 1 3 
400 
TMA=10% a.p. 
2 8 
40 
10 
4 ... 
40 
400 
5 
10 
VPL 
• Para alternativa A temos o valor presente 
equivalente das receitas e despesas: 
 
VPL= 400 +10 (P/A;0,10;8)- 40 (P/F;0,1;4)+ 400 
(P/F;0,1;4)- 40 (P/F;0,1;8) 
VPL=680,57 
 
Considera-se positivo os investimentos e negativas as 
depreciações. 
Considera-se negativo as aplicações e positivo as receitas. 
VPL 
• Para alternativa B temos o valor presente 
equivalente das receitas e despesas: 
 
VPL= 600 +20 (P/A;0,10;8)- 80 (P/F;0,1;8) 
VPL=669,378 
 
A alternativa B é mais econômica pois é menor o VPL. 
• Se os investimentos não tem previsão de repetir 
A. 
 
 
 
B. 
0 1 2 
400 
TMA=10% a.p. 
0 1 ... 
600 
TMA=10% a.p. 
2 
3 4 
40 
10 
8 
80 
20 
VPL 
• Para A: 
 
VPL= 400 +10 (P/A;0,10;4)- 40 (P/F;0,1;4) 
VPL=404,37 
• Para B: 
 
VPL= 600 +20 (P/A;0,10;8)- 80 (P/F;0,1;8) 
VPL=669,378 
 
Neste caso a alternativa A é mais econômica pois é menor o VPL. 
Resumo/ Macete 
COM REPETIÇÃO SEM REPETIÇÃO 
Vidas iguais VAUE direto / VPL direto VAUE direto/VPL direto 
Vidas 
diferentes 
VAUE direto/ VPL transformando VAUE transformando/VPL Direto 
Método Macete Tipo 
VAUE Redistribui o fluxo de vida menor em um fluxo de vida 
igual a do fluxo de vida maior 
SEM REPETIÇÃO 
VPL Iguala as vidas dos investimentos pela redistribuição do 
fluxo original em novo fluxo com vida igual ao mínimo 
múltiplo comum das vidas dos investimentos 
COM REPETIÇÃO 
Referências 
• Para elaboração da aula foram consultados e utilizados dos 
exemplos dos seguintes materiais: 
 
• HUMMEL, Paulo Roberto Vampré; TASCHNER, Mauro Roberto 
Black. Análise e decisão sobre investimentos e financiamentos: 
engenharia econômica: teoria e prática. 4. ed. São Paulo, SP: Atlas, 
1995. 216 p. ISBN 82-224-1220-0. 
• 
• HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia econômica e análise de custos: 
aplicações práticas para economistas, engenheiros, analistas de 
investimentos e administradores. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 519 
p. ISBN 9788522426621. 
 
• Notas de aula. Engenharia Econômica, Prof. Cesar Augusto Seidler. 
EXERCÍCIOS....