Aula 9 Sistemas Lineares

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Solução de Sistemas Lineares 
 Sistemas Lineares 
 
Forma geral: 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 ⋮ + ⋮ + ⋱ + ⋮ = ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
em que 
 
 
 
 
com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. 
 
• 𝑎𝑖𝑗 são os coeficientes 
• 𝑥𝑗 são as variáveis 
• 𝑏𝑖 são as constantes 
 
 Sistemas Lineares 
 
Forma matricial: 
𝐴𝒙 = 𝑏 
em que, 
 
𝐴 =
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22
⋯
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋱
⋯
⋮
𝑎𝑚𝑛
 
 
 matriz dos 
coeficientes 
𝒙 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 
 
vetor de 
 variáveis 
𝑏 =
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
 
vetor das 
constantes 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
a) 
2𝑥1 + 𝑥2 = 3
𝑥1 − 3𝑥2 = −2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas Lineares 
 
Única solução! 𝒙 =
1
1
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
b) 
2𝑥1 + 𝑥2 = 3
4𝑥1 + 2𝑥2 = 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas Lineares 
 
Infinitas 
Soluções! 
𝑆 = { 𝑥1, 3 − 2𝑥1 , 𝑥1 ∈ ℝ} 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
b) 
2𝑥1 + 𝑥2 = 3
4𝑥1 + 2𝑥2 = 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas Lineares 
 
Nenhuma 
solução! 
𝑆 = ∅ 
 Sistemas Lineares 
 
No caso geral, um sistema pode apresentar: 
 
• Uma única solução 
• Infinitas soluções 
• Nenhuma solução 
 
Para resolver um sistema do tipo 𝐴𝒙 = 𝑏, devemos analisar 
 
• O sistema possui solução? 
• A solução é única? 
• Como calcular a solução? 
 
 
 Solução de Sistemas Lineares 
 
• Métodos Diretos: Fornece a solução exata do sistema linear, 
caso ela exista, a menos de erros de arredondamento, após um 
número finito de operações. 
 
 
• Métodos iterativos: Geram uma sequência de vetores {𝒙𝑘}, a 
partir de uma aproximação inicial 𝒙0 que converge sob certas 
condições. 
 
 
 Solução de Sistemas Lineares (Métodos Diretos) 
 
Solução de Sistemas Diagonais 
 
 
 
 
𝑎11 0 0
0 𝑎22 0
0 0 𝑎33
⋯ 0
⋯ 0
⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮
0 0 0
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑥1
𝑥2 
𝑥3
⋮
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2 
𝑏3
⋮
𝑏𝑛
 
𝑥𝑗 =
𝑏𝑗
𝑎𝑗𝑗
, 𝑗 = 1, … , 𝑛 
 Solução de Sistemas Lineares (Métodos Diretos) 
 
Solução de Sistemas Triangulares 
 
Sistema triangular superior 
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
 ⋱ + ⋮ = ⋮
 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22 𝑎23
0 0 𝑎33
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮
0 0 0
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
 Solução de Sistemas Lineares (Métodos Diretos) 
 
Solução de Sistemas Triangulares 
 
Sistema triangular inferior 
 
 
 
 𝐴 =
𝑎11 0 0
𝑎21 𝑎22 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33
⋯ 0
⋯ 0
⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
2 0 0
1 1 0
1 1 2
0
0
0
0 1 2 2
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
2
0
0
1
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas Lineares 
 
𝒙 =
1
−1
0
1
 
 Solução de Sistemas Lineares (Métodos Diretos) 
 
No caso geral, a solução de um sistema triangular inferior é dada 
por 
 
 
 
 
 
𝑎11 0 0
𝑎21 𝑎22 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33
⋯ 0
⋯ 0
⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑥1
𝑥2 
𝑥3
⋮
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2 
𝑏3
⋮
𝑏𝑛
 
𝑥1 =
𝑏1
𝑎11
, 𝑥𝑗 =
1
𝑎𝑗𝑗
𝑏𝑗 − 𝑎𝑗𝑖𝑥𝑖
𝑗−1
𝑖=1
, 𝑗 = 1, … , 𝑛 
 
 Referências Bibliográficas 
• Vera Lopes e Márcia Ruggiero. Cálculo Numérico - Aspectos 
Teóricos e Computacionais. 2. Pearson. 2000 
• Neide Franco. Cálculo Numérico. 1. Pearson Prentice Hall. 
2006 
• Selma Arenales, Artur Darezzo. Cálculo numérico : 
aprendizagem com apoio de software. 1. Thomson Learning. 
2008 
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis. 9. 
Cengage Learning. 2011 
• José Vargas, Luciano Araki. Cálculo Numérico Aplicado. 1. 
Manoele. 2016 
 
Profa. Dra. Julianna Pinele 
julianna.pinele@ufrb.edu.br