Função exponencial

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Funções 
exponenciais
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A operação potenciação
 Se a, b e x são números reais, define-se a
operação potenciação, expressa pela
igualdade:
ax = b 
a é a base
x é o expoente
b é a potência
 De acordo com o tipo de expoente, a potenciação 
apresenta restrições quanto ao valor da base.
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A operação potenciação
 Potência de expoente natural
Se a é real e n é natural, definimos:
 a0 = 1 (a ≠ 0)
 a1 = a
 an = a.a.a. ... .a (n ≥ 2)
n fatores
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 (√5)1 = √5
Exemplos 
 60 = 1
 (–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32
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A operação potenciação
 Potência de expoente inteiro negativo
Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se:
a–n =
1
a
n 
=
1
an
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Exemplos 
 5–1 =
1
51
=
1
5
. 
–8
3
-1 
=
–3
8
1 
=
–3
8
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A operação potenciação
 Potência de expoente inteiro fracionário
racional
Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, 
define-se:
a =
m
n
n 
√am
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√4
Exemplos 
 41/2 =

√25 251/2 = = 5
√16 161/3 = = 2√2
3 3 
= 2
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Propriedades da 
potenciação
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ay
b
Propriedades operatórias
ax . ay = ax+y
ax
= ax–y
(ax)y = ax.y
(a.b)x = ax.bx
a
x 
bx
ax
=
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√3
33.32
Exemplos 
 40,3. 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2
 32x – 1 =
32x
31
=
(3x)2
3
=
31/2
33.32
= 33 + 2 – 1/2 = 39/2
5x
2x.32x
=
5x
2x.(32)x
=
5x
2x.9x
=
5
2.9
x 
=
5
18
x 


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Crescimento e 
decrescimento exponencial
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Crescimento exponencial
 Vamos imaginar o seguinte experimento.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC,
aumenta em 30% a cada minuto.
 Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é 
multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).
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Crescimento exponencial
 Vamos obter as temperaturas em oC, em
alguns instantes do experimento.
 Temperatura inicial: T0 = 10
 1 minuto: T1 = 10.(1,3)
1 = 10.(1,3)
 2 minutos: T2 = 10.(1,3)
2 = 10.(1,69)
= 13
= 16,9
 3 minutos: T3 = 10.(1,3)
3 = 10.(2,2) = 22
 4 minutos: T4 = 10.(1,3)
4 = 10.(2,86) = 28,6
 6 minutos: T6 = 10.(1,3)
6 = 10.(4,83) = 48,3
 t minutos: T = 10.(1,3)t
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Crescimento exponencial
 Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5 6
t(min) T(oC)
0 10
1 13
2 16,9
3 22
4 28,6
6 48,3
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Decrescimento exponencial
 Vamos supor agora a seguinte situação.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC,
diminui em 20% a cada minuto.
 Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é 
multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).
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Decrescimento exponencial
 Vamos obter as temperaturas em oC, em
alguns instantes do experimento.
 Temperatura inicial: T0 = 70
 1 minuto: T1 = 70.(0,8)
1 = 70.(0,8)
 2 minutos: T2 = 70.(0,8)
2 = 70.(0,64)
= 56
= 44,8
 3 minutos: T3 = 70.(0,8)
3 = 70.(0,512) = 35,8
 4 minutos: T4 = 70.(0,8)
4 = 70.(0,41) = 28,7
 6 minutos: T6 = 70.(0,8)
6 = 70.(0,262) = 18,3
 t minutos: T = 70.(0,8)t
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Decrescimento exponencial
 Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5 6
t(min) T(oC)
0 70
1 56
2 44,8
3 35,8
4 28,7
6 18,3
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Funções exponenciais
 Funções como a que acabamos de analisar
são chamadas de funções exponenciais.
 Nos dois casos a variável t é expoente de uma 
potência de base constante.
T = 10.(1,3)t
T = 70.(0,8)t
 base (1,3) ⇒ Crescente.
 base (0,8) ⇒ Decrescente.
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Funções exponenciais 
elementares
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Funções exponenciais
 De modo geral, se a é uma constante real (a > 0
e a ≠ 1), chamamos de função exponencial
elementar de base a, a função definida por:
y = f(x) = ax
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Exemplos 
 y = 5x → base 5
 y = (0,3)x → base 0,3
 y = 2–x ou y =
1
2
x 
→ base 1/2
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x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
 Traçar o gráfico da função exponencial 
elementar y = f(x) = 2x.
Exemplos 
42
21
10
½–1
¼–2
y = 2xx
D = R e Im = R+
*
→ função é crescente
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x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Exemplos 
 Traçar o gráfico da função exponencial 
elementar y = f(x) = (1/2)x.
¼2
½1
10
2–1
4–2
y = (1/2)xx
D = R e Im = R+
*
→ função é decrescente
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Funções exponenciais - Resumo
 Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos
algumas conclusões sobre a função
exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1):
O domínio é os Reais;
O conjunto imagem é os Reais positivos;
 Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.
 Ela é decrescente em todo o seu domínio para
0 < a < 1.
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Propriedades da função 
exponencial elementar
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Propriedades operatórias
 A função exponencial y = ax (a > 0 e a ≠ 1), é
injetora. Isso significa que potências de mesma
base só são iguais se os expoentes forem iguais.
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
am = an ⇔ m = n
y = 2x
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Exemplos 
 5x = 53 ⇔ x = 3
 3x – 1 = 32 ⇔ x – 1 = 2 ⇒ x = 3
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x
y
0
1
Propriedades operatórias
 Os gráficos de todas as função exponenciais têm
apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa
que potências de bases diferentes só são iguais
apenas se o expoente comum é 0.
am = bm ⇔ m = 0
y = 2xy = 4xy = 2–x
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Exemplos 
 3x = 7x ⇔ x = 0
 2x + 1 = 5x + 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1
 53x – 6 = 7x – 2 ⇒ (53)x – 2 = 7x – 2
⇒ 125x – 2 = 7x – 2 ⇒ x – 2 = 0
⇒ x = 2
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am > an ⇔ m > n
Propriedades operatórias
 A função exponencial y = ax é crescente em todo
o seu domínio, se a > 1.
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Quanto maior o expoente 
x maior é a potência ax.
Mesmo sentido
y = 2x
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am > an ⇔ m < n
Propriedades operatórias
 A função exponencial y = ax é decrescente em
todo o seu domínio, se 0 < a < 1.
Quanto maior o expoente 
x menor é a potência ax.
Sentidos contrários
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
y = 2–x
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Exemplos 
 32 < 35 ⇔ 2 < 5
 (0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2
base > 1, sinal mantido
0 < a < 1, sinal invertido
 2x > 2–3 ⇒ x > –3
a > 1, sinal mantido
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Equações e inequações 
exponenciais
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Equacões exponenciais
 Chama-se equação exponencial toda equação
cuja incognita aparece no expoente.
 A resolução de uma equação exponencial se
baseia nas propriedades abaixo.
am = an ⇔ m = n
am = bm ⇔ m = 0
P1
P2
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Exemplos 
 Resolver as equações exponenciais.
a) 3x = 27
3x = 27 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 3
b) 52x – 1 = 125
52x – 1 = 125 ⇒ 52x – 1 = 53
⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
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Exemplos 
 Resolver as equações exponenciais.
c)
22x.2x+7
23 – x
= 1
22x.2x+7
23 – x
= 1 ⇒ 22x + x + 7 – (3 – x) = 20
⇒ 24x + 4 = 20 ⇒ 4x + 4 = 0
⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1
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Exemplos 
 Resolver as equações exponenciais.
d)
2
3
x + 1 
=
9
4
2
3
x + 1 
=
3
2
2
⇒
2
3
x + 1 
=
2
3
–2
⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3
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Inequações exponenciais
 Chama-se inequação exponencial todainequação cuja incognita aparece no expoente.
 A resolução de uma inequação exponencial se
baseia nas propriedades abaixo.
P3
P4
am > an ⇔ m > n
Mesmo sentido
am > an ⇔ m < n
Sentidos contrários
⇒ para a > 1
⇒ para 0 < a < 1
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Exemplos 
 Resolver as inequações exponenciais.
a) 53x – 1 > 25x + 2
53x – 1 > (52)x + 2
⇒ 53x – 1 > 52x + 4 ⇒ 3x – 1 > 2x + 4
base > 1, mantém-se o sentido
⇒ 3x – 2x > 4 + 1 ⇒ x > 5
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Exemplos 
 Resolver as inequações exponenciais.
b) (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 3
(0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 3 ⇒ 2x – 1 ≥ x + 3
base < 1, inverte-se o sentido
⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4