Arranjos, Permutação e Combinação

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Aula 5: Contagem
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Arranjos, Permutação e Combinação
AULA 5: Contagem
Arranjo, Permutação e Combinação
 combinação: conjunto com p elementos da n-upla original.
 arranjo: p-upla com os elementos da n-upla original.
 combinação apenas escolhemos os p elementos.
 arranjo além da escolha temos que permutar os elementos escolhidos.
Usaremos:
 arranjo ou permutação quando a ordem for importante. 
 combinação quando a ordem não for importante.
Ref: shutterstock
Arranjo, permutação ou Combinação?
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Arranjo, Permutação e Combinação
1- (UFOP) – No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
Ref: shutterstock
Arranjo ou Combinação ?
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Senhas: a ordem de cada número é muito importante.
 primeiro dígito é o número 5.
 número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos.
A ordem é importante ?
unati.no.comunidades.ne
Ordem importa
Arranjo
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1º Caso (6 no segundo dígito):
5
6
8 possibilidades
7 possibilidades
A 8,2
5
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2º Caso (6 no terceiro dígito):
5
6
8 possibilidades
7 possibilidades
A 8,2
6
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3º Caso (6 no quarto dígito):
5
6
8 possibilidades
7 possibilidades
A 8,2
Teremos: A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2
3.A8,2 = 168 possibilidades
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2- (UERJ) – Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
Tipos de pão: 
 calabresa,
 orégano, 
 queijo;
Tamanhos: 
 pequeno, 
 grande;
Recheio: 
 sardinha,
 atum, 
 queijo, 
 presunto 
 salame;
sem possibilidade de repetição de recheio em um mesmo sanduíche. Quantos sanduíches distintos 
podem ser montados?
comida.colorir.com
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http://loja.premiumemarketing.com.br
Combinação
cada elemento é de natureza diferente.
Combinação do pão x combinação do tamanho x combinação do recheio.
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caso 1 : um item no recheio
		C 3,1 . C 2,1, C 5,1 = 3.2.5 = 30
caso 2 : dois itens no recheio
		C 3,1 . C 2,1, C 5,2 = 3.2.10 = 60
caso 3 : três itens no recheio
		C 3,1 . C 2,1, C 5,3 = 3.2.10 = 60
caso 4 : quatro itens no recheio
		C 3,1 . C 2,1, C 5,4 = 3.2.5 = 30
caso 5 : cinco itens no recheio
		C 3,1 . C 2,1, C 5,5 = 3.2.1 = 6
30+60 + 60 +30+6 =186 sanduíches diferentes.
Tipos de pão: 
 calabresa,
 orégano, 
 queijo;
Tamanhos: 
 pequeno, 
 grande;
Recheio:
 sardinha,
 atum, 
 queijo, 
 presunto, 
 salame;
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3- O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
Tipos de pão: 
 calabresa,
 orégano 
 queijo;
Tamanhos: 
 pequeno 
 grande;
Recheio:
 sardinha,
 atum, 
 queijo, 
 presunto 
 salame;
C 2,1 . C 1,1, C 5,2
20 opções
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4- Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade de federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato ?
Número de permutações possíveis entre as unidades da federação de RS, RJ, RS e SP.
Temos:
		P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
No entanto a Unidade de Federação do RS ocorre 2 vezes, devemos, portanto, eliminar as duas permutações referentes a ela: 24 / 2! = 12 maneiras diferentes de poder terminar o campeonato.
Outra maneira: P4 (2): 12 maneiras diferentes.
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5- Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões?
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Combinação
ordem em que os elementos aparecerão não será importante.
Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes. C 6, 3 = 20
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6- Resolver a equação C x,2 = 3.
Logo V = {3}
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7- Em um grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher 4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota entre os escolhidos?
 Se entre os 4 membros escolhidos há uma garota: C 7, 2 . C 2, 1 maneiras distintas.
 Se entre os 4 membros escolhidos há duas garotas: C 7, 2 . C 2, 2 maneiras distintas. 
Portanto: C 7, 2 . C 2, 1 + C 7, 2 . C 2, 2 = 91
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2.3.1. Aplicação de Arranjo, Permutação e Combinação
Arranjo Simples
Podemos calcular a quantidade possível de agrupamentos com elementos distintos de um determinado conjunto.
Exemplo: conjunto A= {1,2,3}, tomados 2 a 2. 
Que arranjos seriam possíveis? (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Graficamente: Árvore de Possibilidades.
Temos 3 x 2 = 6 arranjos. Assim de acordo com a notação padrão, A 3,2 = 6 .
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Material referente ao conteúdo de Arranjo.
Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf
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Material referente ao conteúdo de Arranjo.
Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf
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Arranjos, Permutação e Combinação
AULA 5: Contagem
http://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedag%C3%B3gicos/Matem%C3%A1tica/tabid/428/la
nguage/pt-BR/Default.aspx
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Software "Combinat”: Arranjos, Combinações e Permutações.
http://www.somatematica.com.br/emedio.php
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
1- Em um plano são marcados 5 pontos distintos, não alinhados. 
Quantos triângulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vértice?
Solução: C 5,3 = 10
Exercícios Propostos
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
2- No congresso Nacional, uma comissão de 5 membros será formada a partir de 8 senadores e 6 deputados, sendo que pelo menos um deputado deverá pertencer à comissão. Calcule o número de comissões que poderão ser formadas.
Solução: A comissãopoderá ser formada por:
4 senadores e 1 deputado: C 8,4 . C6,1 = 70 . 6 = 420
3 senadores e 2 deputados: C8,3 . C6,2 = 56 . 15 = 840
2 senadores e 3 deputados: C8,2 . C6,3 = 28 . 20 = 560
1 senador e 4 deputados: C8,1 . C6,4 = 8 . 15 = 120
5 deputados: C6,5 = 6
Logo, poderão ser formadas 1.946 comissões.
Exercícios Propostos
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3- Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início 
do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Solução: Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. 
Como a ordem não faz diferença, temos:
Escolhas do levantador:
Escolhas dos 5 atacantes:
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.
Exercícios Propostos
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4- Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?
5- Se tivermos um conjunto com 4 termos e quisermos formar arranjos de 3 a 3:
		A 4,3 = (4! ) / (4-3)! 1!
		 = 4 x 3 x 2 x 1! / 1! = 24
Exercícios Propostos
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Indicação de Leitura Específica
 Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático.
 Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis.
Recomendação de leitura no material didático:
Matemática Discreta - Juliano Minelli - 1ª edição, SESES – Rio de Janeiro 2015 – Estácio, p: 11-19
Sugestão de material:
http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte08.pdf
http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte08.pdf
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
Indicação de Leitura
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Indicação de Leitura Específica
Sugestão de leitura: Contagem
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
Indicação de Leitura
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Unidade 3 – Relações
3.1. Pares Ordenados.
	3.1.2. Produto Cartesiano;
	3.1.3. Relação;
	3.1.4. Contradomínio, Domínio e Imagem.
3.2. Relações Binárias. Propriedades e Fechos.
3.3. Ordens Parciais.
3.4. Relações de Equivalência.
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