Apostila - Parábola

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor / CÔNICAS - PARÁBOLA - 2009 
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
Cônicas - Parábola 
Consideremos um plano, uma reta d e um ponto F não pertencente a d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se P eqüidista de F e d, isto é, d(F,P)=d(P,d), P pertence à parábola. 
 Logo, parábola é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de F e d, sendo F ∉ d. 
 
Acesse, Atividade 1: Cônicas – Parábola, para visualizar o conceito descrito acima. 
 
 
Elementos da Parábola: 
 
 
• F : foco 
• d : reta diretriz 
• V: vértice ⇒ o ponto mais baixo, ou mais alto, mais à esquerda, ou mais à direita. 
• e : eixo de simetria ⇒ reta que passa pelo foco e pelo vértice e é perpendicular a d. 
 
 
 
 
Eixo de simetria vertical – paralelo ao 
eixo y 
Eixo de simetria horizontal – paralelo ao 
eixo x 
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Dedução da equação da parábola de vértice na origem do sistema cartesiano 
 
 
1o caso: Eixo de simetria da parábola coincide com o eixo Oy. 
 
 
 
Considere P = (x, y), F = (0, p/2) e P’ = (x, -p/2). 
 
 
FP = PP´
p p
FP P - F = (x,y) - 0, = x,y-
2 2
p p
PP` P`- P = x,- - (x,y) = 0,- -y
2 2
p p
x,y 0,- -y
2 2
   
=    
   
   
=    
   
   
− =   
   
��������
���
����
 
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
p p
x y - -y
2 2
p p p
x y 2y py y
2 4 4
x 2py
   
      + − =         
   
+ − + = + +// /
=
 
 
 
 
 
 
 Equação da parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo dos y. 
 
 
 
Acesse, Atividade 2: Parábola - Eixo de Simetria coincidente com o eixo Oy, para exercitar este conteúdo. 
 
 
 
Após estes dois exercícios, podemos concluir sobre o sinal do parâmetro p que: 
 
 
p 0 : ___________________
p 0 : ___________________
>

<
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x =2py
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2o caso: Eixo de simetria da parábola coincide com o eixo Ox. 
 
 
 
 
Considere P = (x, y), F = (p/2, 0) e P’=(-p/2,y). 
 
 
FP = PP´
p p
FP P - F = (x,y) - ,0 = x- ,y
2 2
p p
PP` P`- P = - ,y - (x,y) = - -x,0
2 2
p p
x ,y - -x,0
2 2
   
=    
   
   
=    
   
   
− =   
   
��������
���
����
 
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
p p
x y - -x
2 2
p p p
x 2x y px x
2 4 4
y 2px
   
      
− + =         
   
− + + = + +//
=
 
 
 
 
 
 Equação da parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo dos x. 
 
 
 Acesse, Atividade 3: Parábola - Eixo de Simetria coincidente com o eixo Ox, para exercitar este conteúdo. 
 
 
Após estes dois exercícios, podemos concluir sobre o sinal do parâmetro p que: 
 
p 0 : ________________________
p 0 : ________________________
>

<
 
 
 
TRANSLAÇÃO DE EIXOS: 
 
A translação de eixos será feita para a obtenção das equações da parábola quando o eixo de simetria não 
coincide com um dos eixos cartesianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2y 2px=
Na situação inicial é representada no plano 
cartesiano XOY a nova origem cujas coordenadas 
são (h,k). 
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Temos como objetivo encontrar as coordenadas de P, representadas por (x`,y`) neste sistema de eixos 
transladados, em função de O` e de (x,y). 
Agora, basta colocarmos o vértice da parábola coincidindo com O’ e seu eixo de simetria coincidindo com um 
dos novos eixos coordenados. 
 
Se O` é o vértice da parábola, então: x’ = x – h e y’ = y – k 
 
 
Logo, as equações da parábola com vértice fora da origem são: 
 
 
 Eixo Paralelo a OY: ( x’ )2 = 2py’ → ( x – h )2 = 2p ( y – k ) 
 
 Eixo Paralelo a OX: ( y’ )2 = 2px’ → ( y – k )2 = 2p ( x – h ) 
 
 
 
 
Exemplo: Esboce o gráfico, descubra o vértice, o foco e a diretriz da parábola y2 + 6y – 8x + 1 = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na situação final são representados os 
novos eixos x` e y` com origem em O`, 
paralelos, respectivamente, aos eixos x e y . 
 
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
d
F
V
V
e
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
y 6y 8x 1 0
y 6y 9 8x 1 9
y 3 8x 8
y 3 8 x 1
y 3 2.4 x 1
+ − + =//
+ + = − +
+ = +
+ = +
+ = +
R: V = (-1, -3), F = (1, -3) e d: x = -3.