Lista 4 analise vetorial

Prévia do material em texto

Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Disciplina: Ana´lise Vetorial
Professora: Rosiane Soares Cesar
4a Lista de Exerc´ıcios
(1) Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.
(a)
∮
C
y2dx+ x2dy; C e´ a fronteira do quadrado D = [−1, 1]× [−1, 1].
(b)
∮
C
(ex − 3y) dx+ (ey − 6x) dy; C e´ a elipse de equac¸a˜o x2 + 4y2 = 1.
(c)
∮
C
x−1eydx + (ey lnx+ 2x) dy; C e´ a fronteira da regia˜o limitada por x = y4 + 1 e
x = 2.
(d)
∮
C
(x+ y) dx+ (y − x) dy; C e´ a circunfereˆncia x2 + y2 − 2ax = 0.
(e)
∮
C
(
2x− y3) dx− xydy; C e´ a fronteira da regia˜o limitada pelas curvas x2 + y2 = 4
e x2 + y2 = 9.
(2) (a) Mostre que a a´rea de uma regia˜o fechada e limitada D do plano xy pode ser obtida
atrave´s da seguinte integral de linha:
area(D) =
∮
∂D
xdy.
(b) Use (a) para calcular a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo y, pelas retas y = 1, y = 3
e pela curva x = y2.
(3) Seja F = (F1, F2) um campo vetorial de C
1 no R2, exceto em (0, 0) tal que
∂F2
∂x
(x, y) =
∂F1
∂y
(x, y) + 4 para todo (x, y) 6= (0, 0). Sabendo que
∮
γ
F1dx + F2dy = 6pi, onde γ e´
a circunfereˆncia x2 + y2 = 1, orientada no sentido anti-hora´rio, calcule
∮
C
F1dx+ F2dy,
onde C e´ a elipse
x2
4
+
y2
25
= 1, orientada no sentido anti-hora´rio.
(4) Calcule
∫
C
(
3x2 − 8y2) dx + (4y − 6xy) dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o limitada por
x = y2 e y = x2 orientada no sentido hora´rio.
(5) Calcule
∫
C
(ex sen y − y) dx + (ex cos y) dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o definida por
y = x, y = 3 e x = 0, orientada no sentido anti-hora´rio.
(6) Calcule
∮
C
exdx+xydy, onde C e´ a curva definida por |x|+ |y| = 2, orientada no sentido
hora´rio.
1
(7) Calcule
∫
C
(
x ln
(
1 + y2
)− x2 (y + 1)) dx+( x2y
1 + y2
+ y2 (x+ 1)
)
dy e C e´ a porc¸a˜o da
circunfereˆncia x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante orientada de (1, 0) para (0, 1).
(8) Usando o Teorema de Green, calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelas para´bolas y = x2
e x = y2.
RESPOSTAS
1. (a) zero
(b) −3pi
2
(c)
16
5
(d) −2pia2
(e)
195pi
4
2. (b)
26
3
3. 42pi
4. −3
2
.
5.
9
2
6. 0
7.
pi
8
+
2
3
8.
1
3
u.a.
2