exerc_fourier_gabarito calc 4

Prévia do material em texto

GABARITO DA LISTA DE S
�
ERIE DE FOURIER
1:
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 1:
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y
x
Figura 1
(b)
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
1
2
Z
2
�2
f (x)dx =) a
0
=
1
2
Z
2
0
dx =) a
0
=
1
2
[x]
2
0
=)
a
0
= 1:
((1))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
=
1
2
Z
2
�2
f (x) cos
n�x
2
dx =) a
n
=
1
2
Z
2
0
cos
n�x
2
dx =) a
n
=
1
n�
h
sin
n�x
2
i
2
0
=)
a
n
= 0:
((2))
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
=
1
2
Z
2
�2
f (x) sin
n�x
2
dx =) b
n
=
1
2
Z
2
0
sin
n�x
2
dx =) b
n
= �
1
n�
h
cos
n�x
2
i
2
0
:
Logo:
b
n
=
1
n�
[1� (�1)
n
] :
((3))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
1
2
+
1
�
1
P
n=1
[1� (�1)
n
]
n
sin
n�x
2
:
((4))
1
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((5))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [�2; 2] e T = 4:
A fun�c~ao f �e descont��nua em x = �2; x = 0 e x = 2: Ent~ao, pelo Terema de Fourier
temos que se:
(i) x = �2 =) a s�erie de Fourier converge para
f (�2+) + f (�2�)
2
=
0 + 1
2
=
1
2
;
(ii) x = 0 =) a s�erie de Fourier converge para
f (0+) + f (0�)
2
=
1 + 0
2
=
1
2
;
(iii) x = 2 =) a s�erie de Fourier converge para
f (2+) + f (2�)
2
=
0 + 1
2
=
1
2
:
Por outro lado, nos pontos onde f �e cont��nua pelo Terema de Fourier temos que a s�erie
converge para f (x):
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 2:
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y
x
Figura 2
2:
(a) O gr�a�co da f �e esbo�cado na Figura 3:
2
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
Figura 3
(b) A fun�c~ao f �e par. Portanto:
b
n
= 0:
((6))
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
= 2
Z
1
0
f (x)dx =) a
0
= 2
Z
1
0
(1� x)dx =) a
0
= 2
�
[x]
1
0
�
1
2
�
x
2
�
1
0
ff
=)
a
0
= 1:
((7))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
= 2
Z
1
0
f (x) cosn�xdx =) a
n
= 2
Z
1
0
(1� x) cosn�xdx: ((8))
� C�alculo da
R
1
0
(1� x) cosn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = 1� x =) du = �dx;
dv = cosn�xdx =) v =
1
n�
sinn�x:
Logo:
Z
1
0
(1� x) cosn�xdx =
1
n�
[(1� x) sinn�x]
1
0
+
1
n�
Z
1
0
sinn�xdx;
ou equivalentemente,
Z
1
0
(1 + x) cosn�xdx = �
1
n
2
�
2
[cosn�x]
1
0
=
1
n
2
�
2
[1� (�1)
n
] ((9))
Substituindo (9) em (8) resulta que:
3
a
n
=
2
n
2
�
2
[1� (�1)
n
] :
((10))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
1
2
+
2
�
2
1
P
n=1
[1� (�1)
n
]
n
2
cosn�x:
((11))
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((12))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f �e cont��nua e f
0
�e cont��nua por partes no intervalo [�1; 1] e T = 2:
Como f em �e cont��nua [�1; 1] segue pelo Terema de Fourier que a s�erie converge para
f (x); ou seja:
f (x) =
3
2
+
2
�
2
1
P
n=1
[1� (�1)
n
]
n
2
cosn�x:
((13))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 4.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
Figura 4
3:
(a) O gr�a�co da f �e esbo�cado na Figura 5:
4
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 5
(b)
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
1
�
Z
�
��
f (x)dx =) a
0
=
1
�
Z
�=2
0
dx =) a
0
=
1
�
[x]
�=2
0
=)
a
0
=
1
2
:
((14))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) cosnxdx =) a
n
=
1
�
Z
�=2
0
cosnxdx =) a
n
=
1
n�
[sinnx]
�=2
0
=) a
n
=
1
n�
sin
n�
2
:
Logo:
a
2n�1
=
(�1)
n+1
(2n� 1)�
:
((15))
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) sinnxdx =) b
n
=
1
�
Z
�=2
0
sinnxdx =) b
n
= �
1
n�
[cosnx]
�=2
0
:
Logo:
b
n
=
[1� cosn�=2]
n� ((16))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
1
4
+
1
�
1
P
n=1
(�1)
n+1
(2n� 1)
cosnx+
1
�
1
P
n=1
[1� cosn�=2]
n
sinnx:
((17))
5
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((18))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [��; �] e T = 2�:
A fun�c~ao f �e descont��nua em x = 0 e x =
�
2
: Ent~ao, pelo Terema de Fourier temos que
se:
(i) x = 0 =) a s�erie de Fourier converge para
f (0+) + f (0�)
2
=
1 + 0
2
=
1
2
;
(ii) x =
�
2
=) a s�erie de Fourier converge para
f (�=2+) + f (�=2�)
2
=
0 + 1
2
=
1
2
:
Por outro lado, nos pontos onde f �e cont��nua pelo Terema de Fourier temos que a s�erie
converge para f (x):
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 6:
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 6
4:
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 7.
6
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 7
(b) A fun�c~ao f �e ��mpar a menos da origem. Portanto:
a
0
= a
n
= 0:
((19))
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
=
2
�
Z
�
0
f (x) sinnxdx =) b
n
=
1
2
Z
�
0
sinnxdx =) b
n
= �
1
2n
[cosnx]
�
0
;
ou equivalentemente,
b
n
=
[1� (�1)
n
]
2n
: ((20))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
1
2
1
P
n=1
[1� (�1)
n
]
n
sinnx:
((21))
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((22))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [��; �] e T = 2�:
A fun�c~ao f �e descont��nua em x = 0; x = �� e x = �: Ent~ao, pelo Terema de Fourier
7
temos que se:
(i) x = �� =) a s�erie de Fourier converge para
f (��+) + f (���)
2
=
��=4 + �=4
2
= 0;
(ii) x = 0 =) a s�erie de Fourier converge para
f (0+) + f (0�)
2
=
�=4� �=4
2
= 0;
(iii) x = � =) a s�erie de Fourier converge para
f (�+) + f (��)
2
=
��=4 + �=4
2
= 0:
Por outro lado, nos pontos onde f �e cont��nua pelo Terema de Fourier temos que a s�erie
converge para f (x):
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 8:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 8
5:
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 9:
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 9
(b)
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
1
�
Z
�
��
f (x)dx =) a
0
=
1
�
�
��
Z
0
��
dx+
Z
�
0
xdx
ff
;
ou equivalentemente,8
a
0
=
1
�
�
�� [x]
0
��
+
1
2
�
x
2
�
�
0
ff
=)
a
0
= �
�
2
:
((23))
� C�alculo de a
n
:
a
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) cosnxdx =) a
n
=
1
�
�
��
Z
0
��
cosnxdx+
Z
�
0
x cosnxdx
ff
;
ou equivalentemente,
a
n
=
1
�
�
�
�
n
[sinnx]
0
��
+
Z
�
0
x cosnxdx
ff
=) a
n
=
1
�
Z
�
0
x cosnxdx: ((24))
� C�alculo da
R
�
0
x cosnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�
0
x cosnxdx =
1
n
[x sinnx]
�
0
+
1
n
Z
�
0
sinnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
x cosnxdx = �
1
n
2
[cosnx]
�
0
=
1
n
2
[1� (�1)
n
] ((25))
Substituindo (25) em (24) resulta que:
a
n
=
1
n
2
�
[1� (�1)
n
] :
((26))
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) sinnxdx =) b
n
=
1
�
�
��
Z
0
��
sinnxdx+
Z
�
0
x sinnxdx
ff
;
ou equivalentemente,
b
n
=
1
�
�
�
n
[cosnx]
0
��
+
Z
�
0
x sinnxdx
ff
=) b
n
=
1
�
�
� [1� (�1)
n
]
n
+
Z
�
0
x sinnxdx:
ff
((27))
9
� C�alculo da
R
�
0
x sinnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = sinnxdx =) v = �
1
n
cosnx:
Logo:
Z
�
0
x sinnxdx = �
1
n
[x cosnx]
�
0
+
1
n
Z
�
0
cosnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
x sinnxdx =
�(�1)
n+1
n
+
1
n
2
[sinnx]
�
0
=
�(�1)
n+1
n
((28))
Substituindo (28) em (27) resulta que:
b
n
=
[1� (�1)
n
] + (�1)
n+1
n
:
((29))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
�
�
4
+
1
�
1
P
n=1
[1� (�1)
n
]
n
2
cosnx+
1
P
n=1
�
[1� (�1)
n
] + (�1)
n+1
n
ff
sinnx:
((30))
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((31))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [��; �] e T = 2�:
A fun�c~ao f �e descont��nua em x = ��; x = 0 e x = �: Ent~ao, pelo Terema de Fourier
temos que se:
(i) x = �� =) a s�erie de Fourier converge para
f (��+) + f (���)
2
=
�� + �
2
= 0;
10
(ii) x = 0 =) a s�erie de Fourier converge para
f (0+) + f (0�)
2
=
0� �
2
= �
�
2
;
(iii) x = � =) a s�erie de Fourier converge para
f (�+) + f (��)
2
=
�� + �
2
= 0:
Por outro lado, nos pontos onde f �e cont��nua pelo Terema de Fourier temos que a s�erie
converge para f (x):
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 10.
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 10
6:
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 11.
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 12
 14
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 11
(b)
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
1
�
Z
�
��
f (x)dx =) a
0
=
1
�
Z
�
0
x
2
dx;
ou equivalentemente,
a
0
=
1
3�
�
x
3
�
�
0
=)
a
0
=
�
2
3
:
((32))
11
� C�alculo de a
n
:
a
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) cosnxdx =) a
n
=
1
�
Z
�
0
x
2
cosnxdx: ((33))
� C�alculo da
R
�
0
x
2
cosnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x
2
=) du = 2xdx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�
0
x
2
cosnxdx =
1
n
�
x
2
sinnx
�
�
0
�
2
n
Z
�
0
x sinnxdx =)
Z
�
0
x
2
cosnxdx = �
2
n
Z
�
0
x sinnxdx ((34))
� C�alculo da
R
�
0
x sinnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = sinnxdx =) v = �
1
n
cosnx:
Portanto:
Z
�
0
x sinnxdx = �
1
n
[x cosnx]
�
0
+
1
n
Z
�
0
cosnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
x sinnxdx =
�(�1)
n+1
n
+
1
n
2
[sinnx]
�
0
=
�(�1)
n+1
n
: ((35))
Substituindo (35) em (34) resulta que:
Z
�
0
x
2
cosnxdx =
2�(�1)
n+2
n
2
: ((36))
Substituindo (36) em (33) resulta que:
a
n
=
2(�1)
n+2
n
2
:
((37))
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
12
b
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) sinnxdx =) b
n
=
1
�
Z
�
0
x
2
sinnxdx: ((38))
� C�alculo da
R
�
0
x
2
sinnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x
2
=) du = 2xdx;
dv = sinnxdx =) v = �
1
n
cosnx:
Logo:
Z
�
0
x
2
sinnxdx = �
1
n
�
x
2
cosnx
�
�
0
+
2
n
Z
�
0
x cosnxdx =
�
2
(�1)
n+1
n
+
2
n
Z
�
0
x cosnxdx: ((39))
� C�alculo da
R
�
0
x cosnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�
0
x cosnxdx =
1
n
[x sinnx]
�
0
�
1
n
Z
�
0
sinnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
x cosnxdx =
1
n
2
[cosnx]
�
0
=
[(�1)
n
� 1]
n
2
((40))
Substituindo (40) em (39) resulta que:
Z
�
0
x
2
sinnxdx =
�
2
(�1)
n+1
n
+
2 [(�1)
n
� 1]
n
3
: ((41))
Portanto:
b
n
=
�(�1)
n+1
n
+
2 [(�1)
n
� 1]
�n
3
:
((42))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
�
2
6
+ 2
1
P
n=1
(�1)
n+2
n
2
cosnx+
1
P
n=1
�
�(�1)
n+1
n
+
2 [(�1)
n
� 1]
�n
3
ff
sinnx:
((43))
13
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((44))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [��; �] e T = 2�:
A fun�c~ao f �e descont��nua em x = �� e x = �: Ent~ao, pelo Terema de Fourier
temos que se:
(i) x = �� =) a s�erie de Fourier converge para
f (��+) + f (���)
2
=
0 + �
2
2
=
�
2
2
;
(ii) x = � =) a s�erie de Fourier converge para
f (�+) + f (��)
2
=
0 + �
2
2
=
�
2
2
:
Por outro lado, nos pontos onde f �e cont��nua pelo Terema de Fourier temos que a s�erie
converge para f (x):
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 12.
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 12
 14
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 12
7:
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 13.
14
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
Figura 13
(b) A fun�c~ao f �e par. Portanto:
b
n
= 0:
((45))
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
3
�
Z
�=3
��=3
f (x)dx =) a
0
=
6
�
Z
�=3
0
cos 2xdx;
ou equivalentemente,
a
0
=
3
�
[sin 2x]
�=3
0
=)
a
0
=
3
p
3
2�
:
((46))
� C�alculo de a
n
:
a
n
=
3
�
Z
�=3
��=3
f (x) cos
n�x
�=3
dx =) a
n
=
6
�
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx: ((47))
� C�alculo da
R
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = cos 2x =) du = �2 sin 2xdx;
dv = cos 3nxdx =) v =
1
3n
sin 3nx:
Logo:
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx =
1
3n
[cos 2x sin 3nx]
�=3
0
+
2
3n
Z
�=3
0
sin 2x sin 3nxdx;
ou equivalentemente,
15
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx =
2
3n
Z
�=3
0
sin 2x sin 3nxdxdx: ((48))
� C�alculo da
R
�=3
0
sin 2x sin 3nxdxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = sin 2x =) du = 2 cos 2xdx;
dv = sin 3nxdx =) v = �
1
3n
cos 3nx:
Logo:
Z
�=3
0
sin 2x sin 3nxdxdx = �
1
3n
[sin 2x cos 3nx]
�=3
0
+
2
3n
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=3
0
sin 2x sin 3nxdxdx =
(�1)
n+1
p
3
6n
+
2
3n
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx: ((49))
Substituindo (49) em (48) resulta que:
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx =
2
3n
(
(�1)
n+1
p
3
6n
+
2
3n
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx
)
;
ou equivalentemente,
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx�
2
3n
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx =
(�1)
n+1
p
3
9n
2
;
ou equivalentemente,
Z
�=3
0
cos 2x cos 3nxdx =
(�1)
n+1
p
3
3n(3n� 2)
: ((50))
Substituindo (50) em (47) resulta que:
a
n
=
2(�1)
n+1
p
3
n�(3n� 2)
:
((51))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:3
p
3
4�
+
2
p
3
�
1
P
n=1
(�1)
n+1
n(3n� 2)
cos 3nx:
((52))
16
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((53))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [��=3; �=3] e
T = 2�=3: A fun�c~ao f �e cont��nua em todos os pontos. Ent~ao, pelo Terema de Fourier
temos:
cos 2x =
3
p
3
4�
+
2
p
3
�
1
P
n=1
(�1)
n+1
n(3n� 2)
cos 3nx:
((54))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 14.
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
Figura 14
8.
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 15.
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 15
17
(b) A fun�c~ao f �e par. Portanto:
b
n
= 0:
((55))
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
1
�
Z
�
��
f (x)dx =) a
0
=
2
�
(
Z
�=2
0
cosxdx�
Z
�
�=2
cosxdx
)
;
ou equivalentemente,
a
0
=
2
�
[sinx]
�=2
0
�
2
�
[sinx]
�
�=2
=)
a
0
=
4
�
:
((56))
� C�alculo de a
n
; para n 6= 1:
Temos que:
a
n
=
1
�
Z
�
��
f (x) cosnxdx =) a
n
=
2
�
(
Z
�=2
0
cosx cosnxdx�
Z
�
�=2
cosx cosnxdx
)
: ((57))
� C�alculo da
R
�=2
0
cosx cosnxdx; para n 6= 1:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = cosx =) du = � sinxdx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�=2
0
cosx cosnxdx =
1
n
[cosx sinnx]
�=2
0
+
1
n
Z
�=2
0
sinx sinnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cosx cosnxdx =
1
n
Z
�=2
0
sinx sinnxdx: ((58))
� C�alculo da
R
�=2
0
sinx sinnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = sinx =) du = cosxdx;
dv = sinnxdx =) v = �
1
n
cosnx:
18
Logo:
Z
�=2
0
sinx sinnxdx = �
1
n
[sinx cosnx]
�=2
0
+
1
n
Z
�=2
0
cosx cosnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
sinx sinnxdx = �
1
n
cos
n�
2
+
1
n
Z
�=2
0
cosx cosnxdx: ((59))
Substituindo (59) em (58) resulta que:
Z
�=2
0
cosx cosnxdx = �
1
n
2
cos
n�
2
+
1
n
2
Z
�=2
0
cosx cosnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cosx cosnxdx�
1
n
2
Z
�=2
0
cosx cosnxdx = �
1
n
2
cos
n�
2
;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cosx cosnxdx =
n
2
(n
2
� 1)
�
�
1
n
2
cos
n�
2
�
;
ou equivalentemente,
R
�=2
0
cosx cosnxdx = �
1
(n
2
� 1)
cos
n�
2
:
((60))
� C�alculo da
R
�
�=2
cosx cosnxdx; para n 6= 1:
Do que foi exposto obtemos:
Z
�
�=2
cosx cosnxdx =
1
n
[cosx sinnx]
�
�=2
+
1
n
Z
�
�=2
sinx sinnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
�=2
cosx cosnxdx =
1
n
Z
�
�=2
sinx sinnxdx: ((61))
� C�alculo da
R
�
�=2
sinx sinnxdx:
Do que foi exposto resulta que:
Z
�
�=2
sinx sinnxdx = �
1
n
[sinx cosnx]
�
�=2
+
1
n
Z
�
�=2
cosx cosnxdx;
19
ou equivalentemente,
Z
�
�=2
sinx sinnxdx =
1
n
cos
n�
2
+
1
n
Z
�
�=2
cosx cosnxdx: ((62))
Substituindo (62) em (61) resulta que:
Z
�
�=2
cosx cosnxdx =
1
n
2
cos
n�
2
+
1
n
2
Z
�
�=2
cosx cosnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
�=2
cosx cosnxdx�
1
n
2
Z
�
�=2
cosx cosnxdx =
1
n
2
cos
n�
2
;
ou equivalentemente,
R
�
�=2
cosx cosnxdx =
1
(n
2
� 1)
cos
n�
2
:
((63))
Substituindo (60) e (63) em (57) resulta que:
a
n
=
2
�
�
�
1
(n
2
� 1)
cos
n�
2
�
1
(n
2
� 1)
cos
n�
2
ff
;
ou equivalentemente,
a
n
= �
4
�(n
2
� 1)
cos
n�
2
; n = 2; 3; :::
((64))
� C�alculo de a
1
:
Temos que:
a
1
=
Z
�=2
0
cos
2
xdx�
Z
�
�=2
cos
2
xdx: ((65))
� C�alculo da
R
�=2
0
cos
2
xdx:
Temos que:
Z
�=2
0
cos
2
xdx =
1
2
(
Z
�=2
0
dx+
Z
�=2
0
cos 2xdx
)
;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cos
2
xdx =
1
2
�
[x]
�=2
0
+
1
2
[sin 2x]
�=2
0
ff
;
20
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cos
2
xdx =
�
4
: ((66))
� C�alculo da
R
�
�=2
cos
2
xdx:
Temos que:
Z
�
�=2
cos
2
xdx =
1
2
�
[x]
�
�=2
+
1
2
[sin 2x]
�
�=2
ff
;
ou equivalentemente,
Z
�
�=2
cos
2
xdx =
�
4
: ((67))
Substituindo (66) e (67) em (65) resulta que:
a
1
=
�
4
�
�
4
= 0:
((68))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
2
�
+
4
�
1
P
n=1
(�1)
n+1
4n
2
� 1
cos 2nx:
((69))
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((70))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [��; �] e T = 2�:
A fun�c~ao f �e cont��nua em todos os pontos. Ent~ao, pelo Teorema de Fourier temos:
jcosxj =
2
�
+
4
�
1
P
n=1
(�1)
n+1
4n
2
� 1
cos 2nx:
((71))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 16.
21
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 16
9.
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 17.
 0
 5
 10
 15
 20
 25
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 17
(b)
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
1
3
Z
3
�3
f (x)dx =) a
0
=
1
3
Z
3
�3
e
x
dx;
ou equivalentemente,
a
0
=
1
3
[e
x
]
3
�3
=)
a
0
=
e
3
� e
�3
3
:
((72))
� C�alculo de a
n
:
a
n
=
1
3
Z
3
�3
f (x) cos
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
a
n
=
1
3
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx ((73))
22
� C�alculo da
R
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = e
x
=) du = e
x
dx;
dv = cos
n�x
3
dx =) v =
3
n�
sin
n�x
3
:
Logo:
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx =
3
n�
h
e
x
sin
n�x
3
i
3
�3
�
3
n�
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx = �
3
n�
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx: ((74))
� C�alculo da
R
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = e
x
=) du = e
x
dx;
dv = sin
n�x
3
dx =) v = �
3
n�
cos
n�x
3
:
Logo:
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx = �
3
n�
h
e
x
cos
n�x
3
i
3
�3
+
3
n�
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx =
3(�1)
n
n�
�
e
�3
� e
3
�
+
3
n�
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx: ((75))
Substituindo (75) em (74) resulta que:
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx = �
3
n�
�
3(�1)
n
n�
�
e
�3
� e
3
�
+
3
n�
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx
ff
;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx+
9
n
2
�
2
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx =
9(�1)
n+1
n
2
�
2
�
e
�3
� e
3
�
;
ou equivalentemente,
23
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx =
9(�1)
n+1
(n
2
�
2
+ 9)
�
e
�3
� e
3
�
: ((76))
Substituindo (76) em (73) resulta que:
a
n
=
3(�1)
n+1
(n
2
�
2
+ 9)
�
e
�3
� e
3
�
:
((77))
� C�alculo de b
n
:
b
n
=
1
3
Z
3
�3
f (x) sin
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
b
n
=
1
3
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx ((78))
� C�alculo da
R
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = e
x
=) du = e
x
dx;
dv = sin
n�x
3
dx =) v = �
3
n�
cos
n�x
3
:
Logo:
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx = �
3
n�
h
e
x
cos
n�x
3
i
3
�3
+
3
n�
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx =
3(�1)
n
n�
�
e
�3
� e
3
�
+
3
n�
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx ((79))
� C�alculo da
R
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = e
x
=) du = e
x
dx;
dv = cos
n�x
3
dx =) v =
3
n�
sin
n�x
3
:
Logo:
24Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx =
3
n�
h
e
x
sin
n�x
3
i
3
�3
�
3
n�
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
cos
n�x
3
dx = �
3
n�
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx: ((80))
Substituindo (80) em (79) resulta que:
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx =
3(�1)
n
n�
�
e
�3
� e
3
�
�
9
n
2
�
2
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx+
9
n
2
�
2
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx =
3(�1)
n
n�
�
e
�3
� e
3
�
;
ou equivalentemente,
Z
3
�3
e
x
sin
n�x
3
dx =
3n�(�1)
n
(n
2
�
2
+ 9)
�
e
�3
� e
3
�
: ((81))
Substituindo (81) em (78) resulta que:
b
n
=
n�(�1)
n+1
(n
2
�
2
+ 9)
�
e
�3
� e
3
�
:
((82))
Portanto, a s�erie de Fourier da fun�c~ao f �e da forma:
e
3
� e
�3
�
1
6
� 3
1
P
n=1
(�1)
n+1
(n
2
�
2
+ 9)
cos
n�
3
x� �
1
P
n=1
n(�1)
n+1
(n
2
�
2
+ 9)
sin
n�
3
x
ff
:
((83))
(c)
Teorema de Fourier: Suponha que f e f
0
s~ao cont��nuas por partes no intervalo [�L;L] :
Suponha tamb�em que f est�a de�nida fora do intervalo [�L;L] ; de modo a ser peri�odica
com per��odo T = 2L: Ent~ao, f tem uma s�erie de Fourier
a
0
2
+
1
X
n=1
a
n
cos
n�x
L
+
1
X
n=1
b
n
sin
n�x
L
: ((84))
Al�em disso, a s�erie de Fourier converge para f (x) em todos os pontos onde f �e
cont��nua e converge para
f (x+) + f (x�)
2
em todos os pontos onde f �e descont��nua.
25
No nosso caso f e f
0
satisfazem as hip�oteses do teorema no intervalo [�3; 3] e T = 6:
A fun�c~ao f �e descont��nua em x = �3 e x = 3: Ent~ao, pelo Terema de Fourier temos que
se:
(i) x = �3 =) a s�erie de Fourier converge para
f (�3+) + f (�3�)
2
=
e
�3
+ e
3
2
;
(ii) x = 3 =) a s�erie de Fourier converge para
f (3+) + f (3�)
2
=
e
�3
+ e
3
2
:
Por outro lado, nos pontos onde f �e cont��nua pelo Terema de Fourier temos que a s�erie
converge para f (x):
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 18.
 0
 5
 10
 15
 20
 25
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 18
10.
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 19.
-10
-5
 0
 5
 10
-2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 19
(b) A fun�c~ao f �e ��mpar. Portanto:
a
0
= a
n
= 0:
((85))
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
26
b
n
=
1
�
Z
�
��
f(x) sinnxdx;
ou equivalentemente,
b
n
= �
7
�
Z
�
��
sin 15x sinnxdx: ((86))
Temos o seguinte resultado (ver Boyce-Diprima - se�c~ao 10:2):
Z
L
�L
sin
m�x
L
sin
n�x
L
dx =
�
�
�
�
0; se m 6= n;
L; se m = n:
((87))
No nosso caso m = n = 15 e L = �: Disto e de (87) resulta que:
b
15
= �7 e b
1
= b
2
= ::: = b
14
= b
16
= ::: = 0 ((88))
Portanto, s�o o termo b
15
�e diferente de zero. A s�erie �e igual a pr�opria fun�c~ao.
11.
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 20.
-4
-2
 0
 2
 4
-1 0 1 2 3 4
y
x
Figura 20
(b) A fun�c~ao f �e par. Portanto:
b
n
= 0:
((89))
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
2
�
Z
�=2
��=2
f(x)dx;
ou equivalentemente,
27
a
0
=
8
�
Z
�=2
0
cos 2xdx; ((90))
ou equivalentemente ,
a
0
=
4
�
[sin 2x]
�=2
0
=)
a
0
= 0:
((91))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
=
2
�
Z
�=2
��=2
f(x) cos 2nxdx;
ou equivalentemente,
a
n
=
4
�
Z
�=2
��=2
cos 2x cos 2nxdx: ((92))
Temos o seguinte resultado (ver Boyce-Diprima - se�c~ao 10:2):
Z
L
�L
cos
m�x
L
cos
n�x
L
dx =
�
�
�
�
0; se m 6= n;
L; se m = n:
((93))
No nosso caso m = n = 1 e L = �=2: Disto e de (93) resulta que:
a
1
= 4 e a
2
= a
3
= a
4
= ::: = a
n
= ::: = 0 ((94))
Portanto, s�o o termo a
1
�e diferente de zero. A s�erie �e igual a pr�opria fun�c~ao.
12.
(a) O gr�a�co de f �e esbo�cado na Figura 21.
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1 0 1 2 3 4
y
x
Figura 21
28
(b)
Os coe�cientes de Fourier de uma fun�c~ao de�nida em um intervalo [a; b] s~ao dados por:
a
0
=
2
b� a
Z
b
a
f(x)dx; ((95))
a
n
=
2
b� a
Z
b
a
f(x) cos
2n�x
b� a
dx; ((96))
b
n
=
2
b� a
Z
b
a
f(x) sin
2n�x
b� a
dx ((97))
No nosso caso o per��odo T = b� a = � =) L =
�
2
: A seguir calcularemos cada coe�ciente de
Fourier utilizando as f�ormulas (95); (96) e (97):
� C�alculo de a
0
:
De (95) temos que:
a
0
=
2
�
Z
�
0
sin
2
xdx;
ou equivalentemente,
a
0
=
1
�
�
Z
�
0
dx�
Z
�
0
cos 2xdx
ff
;
ou equivalentemente,
a
0
=
1
�
�
[x]
�
0
�
1
2
[sin 2x]
�
0
ff
=)
a
0
= 1:
((98))
� C�alculo de a
n
; para n 6= 1:
De (96) temos que:
a
n
=
2
�
Z
�
0
sin
2
x cos 2nxdx;
ou equivalentemente,
a
n
=
1
�
�
Z
�
0
cos 2nxdx�
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx
ff
;
ou equivalentemente,
29
a
n
=
1
�
�
1
2n
[sin 2nx]
�
0
�
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx
ff
;
ou equivalentemente,
a
n
= �
1
�
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx: ((99))
� C�alculo da
R
�
0
cos 2x cos 2nxdx; para n 6= 1:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = cos 2x =) du = �2 sin 2xdx;
dv = cos 2nxdx =) v =
1
2n
sin 2nx:
Logo:
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx =
1
2n
[cos 2x sin 2nx]
�
0
+
1
n
Z
�
0
sin 2x sin 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx =
1
n
Z
�
0
sin 2x sin 2nxdx: ((100))
� C�alculo da
R
�
0
sin 2x sin 2nxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = sin 2x =) du = 2 cos 2xdx;
dv = sin 2nxdx =) v = �
1
2n
cos 2nx:
Logo:
Z
�
0
sin 2x sin 2nxdx = �
1
2n
[sin 2x cos 2nx]
�
0
+
1
n
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
sin 2x sin 2nxdx =
1
n
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx: ((101))
Substituindo (101) em (100) resulta que:
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx =
1
n
2
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx;
30
ou equivalentemente,
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx�
1
n
2
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx = 0;
ou equivalentemente,
Z
�
0
cos 2x cos 2nxdx = 0: ((102))
Substituindo (102) em (99) resulta que:
a
n
= 0; para n 6= 1:
((103))
� C�alculo de a
1
:
Temos que:
a
1
=
2
�
Z
�
0
sin
2
x cos 2xdx;
ou equivalentemente,
a
1
=
1
�
�
Z
�
0
cos 2xdx�
Z
�
0
cos
2
2xdx
ff
;
ou equivalentemente,
a
1
=
1
�
�
1
2
[sin 2x]
�
0
�
1
2
Z
�
0
[1 + cos 4x] dx
ff
;
ou equivalentemente,
a
1
= �
1
2�
�
[x]
�
0
+
1
4
[sin 4x]
�
0
ff
;
ou equivalentemente,
a
1
= �
1
2
:
((104))
� C�alculo de b
n
; para n 6= 1:
De (97) temos que:
b
n
=
2
�
Z
�
0
sin
2
x sin 2nxdx;
ou equivalentemente,
31
b
n
=
1
�
�
Z
�
0
sin 2nxdx�
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx
ff
;
ou equivalentemente,
b
n
=
1
�
�
�
1
2n
[cos 2nx]
�
0
�
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx:
ff
; ((105))
ou equivalentemente,
b
n
= �
1
�
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx:; ((106))
� C�alculo da
R
�
0
cos 2x sin 2nxdx; para n 6= 1:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = cos 2x =) du = �2 sin 2xdx;
dv = sin 2nxdx =) v = �
1
2n
cos 2nx:
Logo:
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx = �
1
2n
[cos 2x cos 2nx]
�
0
+
1
n
Z
�
0
sin 2x cos 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx =
1
n
Z
�
0
sin 2x cos 2nxdx: ((107))
� C�alculo da
R
�
0
sin 2x cos 2nxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = sin 2x =) du = 2 cos 2xdx;
dv = cos 2nxdx =) v =
1
2n
sin 2nx sin 2nx:
Logo:
Z
�
0
sin 2x cos 2nxdx =
1
2n
[sin 2x sin 2nx]
�
0
�
1
n
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
sin 2x cos 2nxdx = �
1
n
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx: ((108))
32
Substituindo (108) em (107) resulta que:
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx = �
1
n
2
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx; ((109))
ou equivalentemente,
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx�
1
n
2
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx = 0;
ou equivalentemente,
Z
�
0
cos 2x sin 2nxdx = 0: ((110))
Substituindo (110) em (106) resulta que:
b
n
= 0; para n 6= 1:
((111))
� C�alculo de b
1
:
Temos que:
b
1
=
2
�
Z
�
0
sin
2
x sin 2xdx;
ou equivalentemente,
b
1
=
1
�
�
Z
�
0
sin 2xdx�
Z
�
0
cos 2x sin 2xdx
ff
;
ou equivalentemente,
b
1
=
1
�
�
�
1
2
[cos 2x]
�
0
+
1
2
�
sin
2
2x
�
�
0
ff
;
ouequivalentemente,
b
1
= 0:
Portanto, o gr�a�co da s�erie �e igual a pr�opria fun�c~ao, ou seja:
sin
2
x =
1
2
�
1
2
cos 2x:
((112))
13.
33
(a)
Temos pelo problema 4 que a s�erie de Fourier �e da forma:
1
2
1
X
n=1
�
1� (�1)
n
n
�
sinnx: ((113))
� Considere x =
�
2
: Ent~ao pelo teorema de Fourier e de (113) obtemos que:
�
4
=
1
2
1
X
n=1
�
1� (�1)
n
n
�
sin
n�
2
;
ou equivalentemente,
�
4
=
1
2
1
X
n=1
2(�1)
n
(2n� 1)
;
ou equivalentemente,
�
4
=
1
X
n=1
(�1)
n
(2n� 1)
= 1�
1
3
+
1
5
�
1
7
+
1
9
�
1
11
:::+
(�1)
n+1
(2n� 1)
: ((114))
(b)
� Considere x =
�
6
: Ent~ao pelo teorema de Fourier e de (113) obtemos que:
�
4
=
1
2
1
X
n=1
�
1� (�1)
n
n
�
sin
n�
6
;
ou equivalentemente,
�
4
=
1
2
1
X
n=1
2
(2n� 1)
sin
(2n� 1)�
6
ou equivalentemente,
�
4
= sin
�
6
+
1
3
sin
3�
6
+
1
5
sin
5�
6
+
1
7
sin
7�
6
+
1
9
sin
9�
6
+
1
11
sin
11�
6
:::;
ou equivalentemente,
�
4
=
1
2
+
1
3
+
1
2:5
�
1
2:7
�
1
9
�
1
2:11
+ ::: ((115))
Adicionando (115) �a (114) resulta que:
34
2�
4
=
3
2
+
3
2:5
�
3
2:11
+
3
2:13
+
3
2:17
� :::;
ou equivalentemente,
� = 3
�
1 +
1
5
�
1
11
+
1
13
+
1
17
� :::;
�
ou equivalentemente,
�
3
=
�
1 +
1
5
�
1
11
+
1
13
+
1
17
� :::
�
((116))
(c)
� Considere x =
�
3
: Ent~ao pelo teorema de Fourier e de (113) obtemos que:
�
4
=
1
2
1
X
n=1
�
1� (�1)
n
n
�
sin
n�
3
;
ou equivalentemente,
�
4
=
1
2
1
X
n=1
2
(2n� 1)
sin
(2n� 1)�
3
;
ou equivalentemente,
�
4
= sin
�
3
+
1
3
sin
3�
3
+
1
5
sin
5�
3
+
1
7
sin
7�
3
+
1
9
sin
9�
3
+
1
11
sin
11�
3
:::;
ou equivalentemente,
�
4
=
p
3
2
�
p
3
2:5
+
p
3
2:7
�
p
3
2:11
+
p
3
2:13
�
p
3
2:17
:::; ((117))
ou equivalentemente,
�
2
p
3
= 1�
1
5
+
1
7
�
1
11
+
1
13
�
1
17
:::;
ou equivalentemente,
�
p
3
6
= 1�
1
5
+
1
7
�
1
11
+
1
13
�
1
17
::: ((118))
14.
35
Temos pelo problema 5 que a s�erie de Fourier �e da forma:
�
�
4
+
1
�
1
X
n=1
[1� (�1)
n
]
n
2
cosnx+
1
X
n=1
�
[1� (�1)
n
] + (�1)
n+1
n
ff
sinnx: ((119))
� Considere x = 0: Ent~ao pelo teorema de Fourier e de (119) obtemos que:
0 = �
�
4
+
1
�
1
X
n=1
[1� (�1)
n
]
n
2
;
ou equivalentemente,
�
4
=
1
�
1
X
n=1
2
(2n� 1)
2
;
ou equivalentemente,
�
2
8
=
1
X
n=1
1
(2n� 1)
2
: ((120))
15.
Temos pelo problema 6 que a s�erie de Fourier �e da forma:
�
2
6
+ 2
1
X
n=1
(�1)
n+2
n
2
cosnx+
1
X
n=1
�
�(�1)
n+1
n
+
2 [(�1)
n
� 1]
n
3
�
ff
sinnx: ((121))
� Considere x = �: Ent~ao pelo teorema de Fourier e de (121) obtemos que:
�
2
2
=
�
2
6
+ 2
1
X
n=1
(�1)
n+2
(�1)
n
n
2
;
ou equivalentemente,
�
2
2
�
�
2
6
= 2
1
X
n=1
(�1)
2n+2
n
2
;
ou equivalentemente,
�
2
6
=
1
X
n=1
1
n
2
: ((122))
36
16.
A fun�c~ao g(x) = x
2
�e par e a fun�c~ao h(x) = sinx �e ��mpar. Logo, por um resultado conhecido a fun�c~ao
f(x) = g(x)h(x) = x
2
sinx �e ��mpar.
17. A fun�c~ao g(x) = sin
2
x �e par e a fun�c~ao h(x) = sinx �e ��mpar. Logo, por um resultado
conhecido a fun�c~ao f(x) = g(x)h(x) = (sinx)
3
�e ��mpar.
18. Seja f(x) = x+ x
2
+ x
3
=) f(�x) = �x+ (�x)
2
+ (�x)
3
=) f(�x) = �x+ x
2
� x
3
: Por
outro lado temos que �f(�x) = x� x
2
+ x
3
: Como, f(x) 6= f(�x) e f(x) 6= �f(�x); ent~ao
a fun�c~ao f n~ao �e par e nem ��mpar.
19. Seja f(x) = sinx
2
=) f(�x) = sin(�x)
2
= sinx
2
: Como, f(x) = f(�x) a fun�c~ao f �e par.
20. Seja f(x) = ln
1 + x
1� x
=) f(x) = ln(1 + x)� ln(1� x) =) f(�x) = ln(1� x)� ln(1 + x) =)
=) f(x) = �f(�x): Logo, a fun�c~ao f �e ��mpar.
21. Seja f(x) = e
x
=) f(�x) = e
�x
: Como, f(x) 6= f(�x) e f(x) 6= �f(�x); ent~ao a fun�c~ao f
n~ao �e par e nem ��mpar.
22.
Denotemos por g(x) a extens~ao par e peri�odica de�nida por:
g(x) =
�
�
�
�
f(x); 0 < x 6 2;
f(�x); � 2 < x < 0:
; g(x+ 4) = g(x)
Logo :
g(x) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2; 0 < x 6 1;
0; 1 < x 6 2;
2; � 1 6 x < 0;
0; � 2 < x < �1:
; g(x+ 4) = g(x) ((123))
O gr�a�co de g(x) �e esbo�cado na Figura 22.
37
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Figura 22
Denotemos por h(x) a extens~ao ��mpar e peri�odica de�nida por:
h(x) =
�
�
�
�
�
�
f(x); 0 < x < 2;
0; x = 0 e x = 2;
� f(�x); � 2 < x < 0:
; h(x+ 4) = h(x)
Logo :
h(x) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2; 0 < x 6 1;
0; 1 < x < 2;
0; x = 0 e x = 2;
�2; � 1 < x < 0;
0; � 2 < x < �1:
; h(x+ 4) = h(x) ((124))
O gr�a�co de h(x) �e esbo�cado na Figura 23.
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Figura 23
23.
Denotemos por g(x) a extens~ao par e peri�odica de�nida por:
g(x) =
�
�
�
�
f(x); 0 6 x 6 1;
f(�x); � 1 < x < 0:
; g(x+ 2) = g(x)
Logo :
38
g(x) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�x+ 1=4; 0 < x < 1=2;
x� 3=4; 1=2 6 x 6 1;
x+ 1=4; � 1=2 < x < 0
�x� 3=4; � 1 < x 6 �1=2:
; g(x+ 2) = g(x): ((125))
O gr�a�co de g(x) �e esbo�cado na Figura 24.
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Figura 24
24.
Denotemos por h(x) a extens~ao ��mpar e peri�odica de�nida por:
h(x) =
�
�
�
�
�
�
f(x); 0 < x < �;
0; x = 0 e x = �;
� f(�x); � � < x < 0:
; h(x+ 2�) = h(x)
Logo :
h(x) =
�
�
�
�
�
�
e
x
; 0 < x < �;
0; x = 0 e x = �;
�e
�x
; � � < x < 0:
;h(x+ 2�) = g(x): ((128))
O gr�a�co de h(x) �e esbo�cado na Figura 25.
-20
-10
 0
 10
 20
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 25
25.
39
Denotemos por g(x) a extens~ao par e peri�odica de�nida por:
g(x) =
�
�
�
�
f(x); 0 6 x 6 1;
f(�x); � 1 < x < 0:
; g(x+ 2) = g(x)
Logo:
g(x) =
�
�
�
�
x
2
� x+ 1=6; 0 6 x 6 1;
x
2
+ x+ 1=6; � 1 < x < 0:
; g(x+ 2) = g(x) ((129))
O gr�a�co de g(x) �e esbo�cado na Figura 26.
-0.2
-0.1
 0
 0.1
 0.2
 0.3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Figura 26
26.
Denotemos por g(x) a extens~ao par e peri�odica de�nida por:
g(x) =
�
�
�
�
f(x); 0 < x < �;
f(�x); � � < x < 0:
; g(x+ 2�) = g(x)
Logo:
g(x) =
�
�
�
�
�
�
�
�
x; 0 < x 6 �=2;
� � x; �=2 < x < �;
�x; � �=2 6 x < 0;
� + x; � � < x < ��=2:
; g(x+ 2�) = g(x) ((131))
O gr�a�co de g(x) �e esbo�cado na Figura 27.
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 27
40
Denotemos por h(x) a extens~ao ��mpar e peri�odica de�nida por:
h(x) =
�
�
�
�
�
�
f(x); 0 < x < �;
0; x = 0 e x = �;
� f(�x); � � < x < 0:
; h(x+ 2�) = h(x)
Logo:
h(x) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x; 0 < x 6 �=2;
� � x; �=2 < x < �;
0; x = 0 e x = �;
x; � �=2 6 x < 0;
�� � x; � � < x < ��=2:
; h(x+ 2�) = h(x) ((132))
O gr�a�co de h(x) �e esbo�cado na Figura 28.
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 28
27.
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
Z
2
0
f(x)dx =) a
0
= 2
Z
1
0
dx =) a
0
= 2 [x]
1
0
=)
a
0
= 2:
((133))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
=
Z
2
0
f(x) cos
n�x
2
dx =) a
n
= 2
Z
1
0
cos
n�x
2
dx;
ou equivalentemente,
a
n
=
4
n�
h
sin
n�x
2
i
1
0
=)
a
n
=
4
n�
sin
n�
2 ((134))
41
De (133) e (134) resulta que a s�erie de cossenos da fun�c~ao f �e da forma:
1 +
4
�
1
P
n=1
sin
n�
2
n
:
((135))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 29.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Figura 29
28.
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
= 2
Z
1
0
f(x) sinn�xdx =) b
n
= 2
(
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
sinn�xdx+
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
sinn�xdx
)
: ((136))
� C�alculo da
R
1=2
0
�
1
4
� x
�
sinn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
�
�
u =
1
4
� x =) du = �dx;
dv = sinn�xdx =) v = �
1
n�
cosn�x:
Logo:
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
sinn�xdx = �
1
n�
��
1
4
� x
�
cosn�x
�
1=2
0
�
1
n�
Z
1=2
0
cosn�xdx;
ou equivalentemente,42
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
sinn�xdx =
1
4n
cos
n�
2
+
1
4n�
�
1
n
2
�
2
[sinn�x]
1=2
0
;
ou equivalentemente,
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
sinn�xdx =
1
4n�
cos
n�
2
+
1
4n�
�
1
n
2
�
2
sin
n�
2
: ((137))
� C�alculo da
R
1
1=2
�
x�
3
4
�
sinn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
�
�
u = x�
3
4
=) du = dx;
dv = sinn�xdx =) v = �
1
n�
cosn�x:
Logo:
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
sinn�xdx = �
1
n�
��
x�
3
4
�
cosn�x
�
1
1=2
+
1
n�
Z
1
1=2
cosn�xdx;
ou equivalentemente,
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
sinn�xdx =
1
4n�
(�1)
n+1
�
1
4n�
cos
n�
2
+
1
n
2
�
2
[sinn�x]
1
1=2
;
ou equivalentemente,
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
sinn�xdx =
1
4n�
(�1)
n+1
�
1
4n�
cos
n�
2
�
1
n
2
�
2
sin
n�
2
: ((138))
Substituindo (137) e (138) em (136) resulta que:
b
n
= 2
�
1
4n�
cos
n�
2
+
1
4n�
�
1
n
2
�
2
sin
n�
2
+
1
4n�
(�1)
n+1
�
1
4n�
cos
n�
2
�
1
n
2
�
2
sin
n�
2
ff
;
ou equivalentemente,
b
n
=
�
1 + (�1)
n+1
�
2n�
�
4
n
2
�
2
sin
n�
2
:
((139))
De (139) resulta que a s�erie de senos da fun�c~ao f �e da forma:
43
1
P
n=1
(
�
1 + (�1)
n+1
�
2n�
�
4
n
2
�
2
sin
n�
2
)
sinn�x:
((140))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 30.
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Figura 30
29.
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
= 2
Z
1
0
f(x)dx =) a
0
= 2
(
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
dx+
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
dx;
)
ou equivalentemente,
a
0
= 2
8
<
:
�
1
2
"
�
1
4
� x
�
2
#
1=2
0
+
1
2
"
�
x�
3
4
�
2
#
1
1=2
9
=
;
=)
a
0
= 0:
((141))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
= 2
Z
1
0
f(x) cosn�xdx =) a
n
= 2
(
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
cosn�xdx+
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
cosn�xdx
)
:
((142))
� C�alculo da
R
1=2
0
�
1
4
� x
�
cosn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
�
�
u =
1
4
� x =) du = �dx;
dv = cosn�xdx =) v =
1
n�
sinn�x:
44
Logo:
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
cosn�xdx =
1
n�
��
1
4
� x
�
sinn�x
�
1=2
0
+
1
n�
Z
1=2
0
sinn�xdx;
ou equivalentemente,
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
cosn�xdx = �
1
4n�
sin
n�
2
�
1
n
2
�
2
[cosn�x]
1=2
0
;
ou equivalentemente,
Z
1=2
0
�
1
4
� x
�
cosn�xdx = �
1
4n�
sin
n�
2
�
1
n
2
�
2
cos
n�
2
+
1
n
2
�
2
: ((143))
� C�alculo da
R
1
1=2
�
x�
3
4
�
cosn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
�
�
u = x�
3
4
=) du = dx;
dv = cosn�xdx =) v =
1
n�
sinn�x:
Logo:
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
cosn�xdx =
1
n�
��
x�
3
4
�
sinn�x
�
1
1=2
�
1
n�
Z
1
1=2
sinn�xdx;
ou equivalentemente,
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
cosn�xdx =
1
4n�
sin
n�
2
+
1
n
2
�
2
[cosn�x]
1
1=2
;
ou equivalentemente,
Z
1
1=2
�
x�
3
4
�
cosn�xdx =
1
4n�
sin
n�
2
+
(�1)
n
n
2
�
2
�
1
n
2
�
2
cos
n�
2
: ((144))
Substituindo (143) e (144) em (142) resulta que:
a
n
= 2
�
�
1
4n�
sin
n�
2
�
1
n
2
�
2
cos
n�
2
+
1
n
2
�
2
+
1
4n�
sin
n�
2
+
(�1)
n
n
2
�
2
�
1
n
2
�
2
cos
n�
2
ff
;
ou equivalentemente,
45
a
n
=
�
�
4
n
2
�
2
cos
n�
2
+
2 [1 + (�1)
n
]
n
2
�
2
�
:
((145))
De (141) e (145) resulta que a s�erie de cossenos da fun�c~ao f �e da forma:
1
P
n=1
��
�
4
n
2
�
2
cos
n�
2
+
2 [1 + (�1)
n
]
n
2
�
2
�ff
cosn�x:
((146))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 31.
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Figura 31
30.
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
=
4
�
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx: ((147))
� C�alculo da
R
�=2
0
cosx sin 2nxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = cosx =) du = � sinxdx;
dv = sin 2nxdx =) v = �
1
2n
cos 2nx:
Logo:
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx = �
1
2n
[cosx cos 2nx]
�=2
0
�
1
2n
Z
�=2
0
sinx cos 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx =
1
2n
�
1
2n
Z
�=2
0
sinx cos 2nxdx: ((148))
46
� C�alculo da
R
�=2
0
sinx cos 2nxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = sinx =) du = cosxdx;
dv = cos 2nxdx =) v =
1
2n
sin 2nx:
Logo:
Z
�=2
0
sinx cos 2nxdx =
1
2n
[sinx sin 2nx]
�=2
0
�
1
2n
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
sinx cos 2nxdx = �
1
2n
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx: ((149))
Substituindo (149) em (148) resulta que:
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx =
1
2n
+
1
4n
2
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx�
1
4n
2
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx =
1
2n
;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
cosx sin 2nxdx =
2n
4n
2
� 1
: ((150))
Substituindo (150) em (147) resulta que:
b
n
=
8n
�(4n
2
� 1)
:
((151))
De (151) resulta que a s�erie de senos da fun�c~ao f �e da forma:
8
�
1
P
n=1
n
(4n
2
� 1)
sin 2nx:
((152))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 32.
47
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
Figura 32
31.
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
= 2
Z
�
0
f(x)dx =) a
0
= 2
(
Z
�=2
0
xdx+
Z
�
�=2
(� � x)dx;
)
ou equivalentemente,
a
0
=
�
x
2
�
�=2
0
�
�
(� � x)
2
�
�
�=2
ou equivalentemente,
a
0
=
�
2
2
:
((153))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
= 2
Z
�
0
f(x) cosnxdx =) a
n
= 2
(
Z
�=2
0
x cosnxdx+
Z
1
1=2
(� � x) cosnxdx
)
: ((154))
� C�alculo da
R
�=2
0
x cosnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�=2
0
x cosnxdx =
1
n
[x sinnx]
�=2
0
�
1
n
Z
�=2
0
sinnxdx;
48
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
x cosnxdx =
�
2n
sin
n�
2
+
1
n
2
[cosnx]
�=2
0
;
ou equivalentemente,
Z
�=2
0
x cosnxdx =
�
2n
sin
n�
2
+
1
n
2
h
cos
n�
2
� 1
i
: ((155))
� C�alculo da
R
�
�=2
(� � x) cosnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = � � x =) du = �dx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�
�=2
(� � x) cosnxdx =
1
n
[(� � x) sinnx]
�
�=2
+
1
n
Z
�
�=2
sinnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
�=2
(� � x) cosnxdx = �
�
2n
sin
n�
2
�
1
n
2
[cosnx]
�
�=2
;
ou equivalentemente,
Z
�
�=2
(� � x) cosnxdx = �
�
2n
sin
n�
2
�
1
n
2
h
(�1)
n
� cos
n�
2
i
: ((156))
Substituindo (155) e (156) em (154) resulta que:
a
n
= 2
Z
�
0
f(x) cosnxdx =)
a
n
=
4
n
2
cos
n�
2
�
2 [1� (�1)
n
]
n
2
:
((157))
De (153) e (157) resulta que a s�erie de cossenos da fun�c~ao f �e da forma:
1
P
n=1
�
4
n
2
cos
n�
2
�
2 [1� (�1)
n
]
n
2
�
cosnx:
((158))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 33.
49
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 33
32.
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
= 2
Z
1
0
f(x) sinn�xdx =) b
n
= 2
Z
1
0
x sinn�xdx: ((159))
� C�alculo da
R
1
0
x sinn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = sinn�xdx =) v = �
1
n�
cosn�x:
Logo:
Z
1
0
x sinn�xdx = �
1
n�
[x cosn�x]
1
0
+
1
n�
Z
1
0
cosn�xdx;
ou equivalentemente,
Z
1
0
x sinn�xdx =
(�1)
n+1
n�
+
1
n
2
�
2
[sinn�x]
1
0
;
ou equivalentemente,
Z
1
0
x sinn�xdx =
(�1)
n+1
n�
: ((160))
Substituindo (160) em (159) resulta que:
b
n
=
2(�1)
n+1
n�
:
((161))
50
De (161) resulta que a s�erie de senos da fun�c~ao f �e da forma:
2
�
1
P
n=1
(�1)
n+1
n
sinn�x:
((162))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 34.
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Figura 34
33.
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
= 2
Z
1
0
f(x)dx =) a
0
= 2
Z
1
0
xdx =) a
0
=
�
x
2
�
1
0
=)
a
0
= 1:
((163))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
= 2
Z
1
0
f(x) cosn�xdx =) a
n
= 2
Z
1
0
x cosn�xdx: ((164))
� C�alculo da
R
1
0
x cosn�xdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = x =) du = dx;
dv = cosn�xdx =) v =
1
n�
sinn�x:
Logo:
Z
1
0
x cosn�xdx =
1
n�
[x sinn�x]
1
0
�
1
n�
Z
1
0
sinn�xdx;
ou equivalentemente,51
Z
1
0
x cosn�xdx = �
1
n
2
�
2
[cosn�x]
1
0
;
ou equivalentemente,
Z
1
0
x cosn�xdx =
[1� (�1)
n
]
n
2
�
2
: ((165))
Substituindo (165) em (164) resulta que:
a
n
=
2 [1� (�1)
n
]
n
2
�
2
:
((166))
De (163) e (166) resulta que a s�erie de cossenos da fun�c~ao f �e da forma:
1
2
+
2
�
2
1
P
n=1
[1� (�1)
n
]
n
2
cosn�x:
((167))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 35.
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Figura 35
34.
� C�alculo de b
n
:
Temos que:
b
n
=
2
�
Z
�
0
f(x) sinnxdx =) b
n
=
2
�
Z
�
0
(2x+ 1) sinnxdx: ((168))
� C�alculo da
R
�
0
(2x+ 1) sinnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = (2x+ 1) =) du = 2dx;
dv = sinnxdx =) v = �
1
n
cosnx:
52
Logo:
Z
�
0
(2x+ 1) sinnxdx = �
1
n
[(2x+ 1) cosnx]
�
0
+
2
n
Z
1
0
cosnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
(2x+ 1) sinnxdx =
1� (2� + 1)(�1)
n
n
+
2
n
2
[sinnx]
�
0
;
ou equivalentemente,
Z
�
0
(2x+ 1) sinnxdx =
1� (2� + 1)(�1)
n
n
((169))
Substituindo (169) em (168) resulta que:
b
n
=
2 [1� (2� + 1)(�1)
n
]
n�
:
((170))
De (170) resulta que a s�erie de senos da fun�c~ao f �e da forma:
2
�
1
P
n=1
[1� (2� + 1)(�1)
n
]
n
sinnx:
((171))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 36.
-10
-5
 0
 5
 10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 36
35.
� C�alculo de a
0
:
Temos que:
a
0
=
2
�
Z
�
0
f(x)dx =) a
0
=
2
�
Z
�
0
(2x+ 1)dx;
53
ou equivalentemente,
a
0
=
1
2�
�
(2x+ 1)
2
�
�
0
=)
a
0
= 2� + 2:
((172))
� C�alculo de a
n
:
Temos que:
a
n
=
2
�
Z
�
0
f(x) cosnxdx =) a
n
=
2
�
Z
�
0
(2x+ 1) cosnxdx: ((173))
� C�alculo da
R
�
0
(2x+ 1) cosnxdx:
Sejam:
�
�
�
�
�
u = (2x+ 1) =) du = 2dx;
dv = cosnxdx =) v =
1
n
sinnx:
Logo:
Z
�
0
(2x+ 1) cosnxdx =
1
n
[(2x+ 1) sinnx]
�
0
�
2
n
Z
1
0
sinnxdx;
ou equivalentemente,
Z
�
0
(2x+ 1) cosnxdx =
2
n
2
[cosnx]
�
0
;
ou equivalentemente,
Z
�
0
(2x+ 1) cosnxdx =
2 [(�1)
n
� 1]
n
2
: ((174))
Substituindo (174) em (173) resulta que:
a
n
=
4 [(�1)
n
� 1]
�n
2
:
((175))
De (172) e (175) resulta que a s�erie de cossenos da fun�c~ao f �e da forma:
� + 1 +
4
�
1
P
n=1
[(�1)
n
� 1]
n
2
cosnx:
((176))
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 37.
54
 0
 2
 4
 6
 8
 10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 37
36.:
A express~ao para a S�erie de Fourier em senos de uma fun�c~ao peri�odica com per��odo 2� �e dada por
P
1
n=1
b
n
sinnx. Como sinx �e uma fun�c~ao cont��nua com derivada cont��nua temos, pelo Teorema de
Fourier, que a sua S�erie de Fourier coincide com a fun�c~ao em todos os pontos. Comparando sinx com
a sua representa�c~ao como S�erie de Fourier em senos obtemos que c
1
= 1 e c
n
= 0 para todo n > 1.
Portanto, a S�erie de Fourier em senos de sinx �e a pr�opria fun�c~ao.
O gr�a�co da soma da s�erie �e esbo�cado na Figura 38:
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
Figura 38
Observe que se a fun�c~ao fosse, por exemplo, sin
x
2
a argumenta�c~ao acima n~ao se aplica e dever��amos
calcular os coe�cientes de Fourier realizando integra�c~oes similares �as dos exerc��os anteriores.
55