Calculo Varias Variaveis - Sequencia e Series

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UFRPE – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
EXERCI´CIO EXTRA PARA 1a AVALIAC¸A˜O de CA´LCULO A VA´RIAS VARIAA´VEIS – BSI
out/2014 – 2014.2
Prof a Ma´rcia P. Dantas – SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
1. O movimento de um objeto de massa m em queda na atmosfera e´ retardado pela resisteˆncia do
ar. A forc¸a de resisteˆncia do ar depende da velocidade do corpo e do seu formato podendo ser
considerada proporcional a esta, ou seja FR = −cv, onde
v(t) = e−ct/m(v0 +
mg
c
)− mg
c
,
sendo v0 a velocidade inicial, c uma constante de proporcionalidade associada ao formato do objeto
e ao ar, e g a acelerac¸a˜o devida a` gravidade. Fac¸a um desenho para representar este modelo
destacando as forc¸as envolvidas e em seguida resolva as questo˜es abaixo.
(a) Use a se´rie de McLaurin para ex (consultar livros) para obter a se´rie de McLaurin para a
velocidade de um corpo em queda considerando a resisteˆncia do ar, usando, para isso, uma
substituic¸a˜o adequada.
(b) Use a se´rie de Mclaurin do item anterior para mostrar que se ct/m ≈ 0, a velocidade pode ser
aproximada por
v(t) ≈ v0 − (cv0
m
+ g)t.
(c) Melhore a aproximac¸a˜o do item anterior para treˆs termos e quatro termos.
(d) Aplique o problema para um modelo de um objeto de sua escolha (pesquise algum modelo onde
se conhec¸a o valor de c). Use um CAS para trac¸ar os gra´ficos da velocidade e das aproximac¸o˜es
linear e quadra´tica para o modelo escolhido e compare os resultados obtidos.
2. Um peˆndulo simples consiste numa haste r´ıgida inflex´ıvel de massa nula cuja extremidade superior
esta´ presa a um anteparo fixo com um peso na extremidade inferior sujeito a` ac¸a˜o da gravidde. Se
a um peˆndulo simples de comprimento L = 1m for dado um deslocamento inicial de θ0 em relac¸a˜o
a` vertical, ele comec¸a a oscilar com um per´ıodo,
T = 4
√
L
g
∫ pi/2
0
1√
1− k2 sin2 φ
dφ,
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e k = sin(θ0/2). Fac¸a um desenho de um peˆndulo simples
destacando os elemetos citados e depois resolva as questo˜es abaixo.
(a) Use a se´rie binomial para 1/
√
1 + x (consultar livros) para obter a se´rie de McLaurin para o
integrando na expressa˜o de T usando uma substituic¸a˜o adequada.
1
(b) Quando o deslocamento θ0 e´ pequeno, podemos considerar k ≈ 0 (justifique essa afirmac¸a˜o).
Com essa considerac¸a˜o obtenha a expressa˜o para o peˆncdulo,
T = 2pi
√
L
g
,
que e´ chamado de modelo de primeira ordem de T , ou modelo para pequenas vibrac¸o˜es.
(c) Melhore a aproximac¸a˜o do item anterior obtendo um modelo de segunda ordem e de quarta
ordem em k.
(d) Suponha que a um peˆncdulo simples com um comprimento de L = 1m seja dado um desloca-
mento de θ0 = 5
◦ em relac¸a˜o a` vertical. Aproxime o per´ıodo do peˆndulo usando um modelo
de primeira ordem e de segunda ordem. Em seguida compare os resultados obtidos com o
resultado encontrado usando a integrac¸a˜o nume´rica de um CAS para calcular a expressa˜o da
integral.
3. A forc¸a da gravidade exercida pela terra sobre um objeto e´ chamada peso do objeto. Se um objeto
de massa m estiver na superf´ıcie da terra (n´ıvel me´dio do mar), enta˜o a magnitude de seu peso e´
dada por mg onde g e´ a aclerac¸a˜o devida a` gravidade na superf´ıcie da terra. Uma fo´rmula mais
geral para a magnitude da forc¸a gravitacional que a terra exerce sobre um objeto de massa m e´,
F =
mgR2
(R+ h)2
,
onde R e´ o raio da terra e h e´ a altura que o objeto esta´ em relac¸a˜o a` supef´ıcie da terra.
(a) Use a se´rie binomial para 1/(1 + x)2 (consulte os livros) para expressar F como uma se´rie de
McLaurin em poteˆncias de h/R.
(b) Mostre que se h = 0, enta˜o F = mg.
(c) Mostre que se h/R ≈ 0, enta˜o F = mg − 2mg hR . este segundo termo e´ considerado uma
correc¸a˜o para o peso quando se leva em conta a altura do objeto em relac¸a˜o a` superf´ıcie da
terra.
(d) Supondo que a terra seja uma esfera de raio 6371Km em me´dia ao n´ıvel do mar, calcule a
percentagem aproximada na mudanc¸a do peso de uma pessoa calculado ao n´ıvel do mar e no
topo do Monte Evereste (8848 metros).
4. Para construir uma rodovia em uma regia˜o acidentada, um topo´grafo mede as diferenc¸as nas
elevac¸o˜es dos terrenos sendo necessa´rio fazer correc¸o˜es devido a` curvatura da terra.
(a) Se R e´ o raio da terra e L comprimento da rodovia, mostre que a correc¸a˜o a ser feita e´ dada
pela equac¸a˜o
C = R sec
L
R
−R
(ver desenho no livro do Stewart sessa˜o 11.11, ex 37, pa´g 720, 6a ed.).
2
(b) Use um polinoˆmio de Taylor para mostrar que
C ≈ L
2
2R
+
5L4
24R3
.
(c) Compare as correc¸o˜es dadas nos itens acima considerando uma rodovia com 100km de percurso,
considerando o raio da terra 6371Km.
5. A resistividade de um fio condutor e´ o rec´ıproco da condutividade e e´ medida em unidades de
ohm-metros (Ω−−m). A resistividade de um dado metal depende da sua temperatura t (dada em
◦ Celsius) de acordo com a equac¸a˜o,
ρ(t) = ρ20e
α(t− 20),
onde α e´ o coeficiente de temperatura e ρ20 e´ a resistividade, do metal.
(a) Use o polinoˆmio de Taylor da func¸a˜o ex (consulte um livro) para obter o polinoˆmio de Taylor
para a expressa˜o da resistividade, usando uma substituic¸a˜o adequada.
(b) Aproxime o per´ıodo do peˆndulo usando um modelo de primeira ordem (aproximac¸a˜o linaear)
e de segunda ordem (aproximac¸a˜o quadra´tica).
(c) Use um CAS para trac¸ar os gra´ficos da resistividade e das aproximac¸o˜es linear, quadra´tica
para o cobre no intervalo −250 ≤ t ≤ 1.000 e compare os resultados obtidos. Dados: α =
0, 0039/◦Celsius e ρ20 = 1, 7× 10−8Ω−−m
6. Um dipolo ele´trico consiste em duas cargas ele´tricas de mo´dulos iguais e sinais opostos. Se as cargas
forem q e −q e estiverem localizadas a uma distaˆncia d, onde −q esta´ a` direita de q, enta˜o o campo
ele´trico E no ponto a uma distaˆncia D a` esquerda de q e´ dado pela expressa˜o,
E =
q
D2
− q
(D + d)2
.
(a) Reescreva a expressa˜o acima de modo a aparecer no denominador d/D. Em seguida use a
expansa˜o de 1/(1 +x)2 em se´rie de poteˆncias com uma substituic¸a˜o adequada para obter uma
expressa˜o para a se´rie de poteˆncias de E, em termos de d/D.
(b) Mostre que para P muito distante do dipolo, o campo ele´trico E e´ proporcional ao inverso do
cubo da distaˆncia D.
(c) Obtenha modelos de primeira aproximac¸a˜o e segunda aproximac¸a˜o para E.
(d) Use um CAS para fazer um gra´fico de E que revele a dependeˆncia de E em relac¸a˜o a` distaˆncia
D, fixando d = 1 e q = 1. Compare com os modelos de primeira aproximac¸a˜o e segunda
aproximac¸a˜o.
3
7. Uma onde de comprimento L se movendo em um volume de a´gua com profundidade L tem sua
velocidade dada pela expressa˜o,
v2 =
gl
2pi
tanh
2pid
L
.
(Ver figura no exerc´ıcio 35, pa´g. 719, sessa˜o 11.11 da 6a Ed do Stewart).
(a) Verifique que se a a´gua for profunda, v ≈ √gL/2pi.
(b) Use a se´rie de McLaurin para a tanh (consulte livros) para obter a se´rie de McLaurin de v2
usando uma substituic¸a˜o adequada.
(c) Use a expansa˜o do item anterior para mostrar que se a a´gua for rasa, v ≈ √gd. Interprete
esse resultado.
8. Esse problema e´ sobre uma ponte suspensa, e sugerimos fazer uma breve pesquisa sobre elas,
verificando se existe alguma em sua cidade.
Considerando os paraˆmetros envolvidos extensa˜o (a) e altura relativa a` pro´pria ponte (b), o com-
primento Ldo cabo que suporta a ponte e´ dado pela expressa˜o,
L = 2
∫ a/2
0
(
1 +
64b2
a4
x2
)1/2
dx.
(a) Use a se´rie binomial para
√
1 + x (consultar livros) para obter a se´rie de McLaurin para o
integrando na expressa˜o de L usando uma substituic¸a˜o adequada.
(b) Use o teorema para integrac¸a˜o de se´ries para mostrar que
L ≈ a
[
1 +
8
3
b2
a2
− 32
5
b4
a4
]
(c) Use a aproximac¸a˜o obtidaacima para encontrar um valor aproximado para o cmprimento do
cabo de uma ponte de extensa˜o 100m e altura 10m.
(d) Use um CAS para comparar os resultados obtidos com a aproximac¸a˜o e pela integrac¸a˜o
nume´rica da expressa˜o para L.
9. Usando uma se´rie adequada, integrando termo a termo, e tomando o valor de xx em 0 igual a 1,
mostre que ∫ 1
0
xxdx = Σ∞n=1
(−1)n−1
nn
.
10. (a) Diferencie a se´rie de McLaurin para 1/(1− x) e use o resultado para mostrar que
Σ∞n=1nx
n =
x
(1− x)2 ,
para −1 < x < 1.
4
(b) Integre a se´rie de McLaurin para 1/(1− x) e use o resultado para mostrar que
Σ∞n=1nx
n = ln(1− x),
para −1 < x < 1.
(c) Use o resultado do item anterior para mostrar que
Σ∞n=1(−1)n+1
xn
n
= ln(1 + x),
para −1 < x < 1.
11. Esta questa˜o e´ sobre uma forma de se encontrar um valor aproximado para o arcoseno hiperbo´lico
(arcsinh que e´ a func¸a˜o inversa do seno hiperbo´lico, sin).
(a) Use a relac¸a˜o ∫
1√
1 + x2
dx = arcsinhx+ C,
para determinar os quatro primeiros termos diferentes de zero da se´rie de McLaurin para
arcsinh.
(b) Expresse a se´rie em notac¸a˜o de somato´rio.
(c) Qual o raio de convergeˆncia?
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