1. TORÇÃO

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TORÇÃO
Prof. Esp. Antônio de F. M. Júnior.
Antônio de Fátima Matos Júnior. Esp.
➢Possui graduação em Engenharia Civil pela ULBRA (2015);
➢MBA – Estruturas e fundações IPOG 2015 - 2017
➢Sócio diretor da empresa de projetos Akx-Engenharia LTDA;
➢Tem experiência na área de Engenharia Civil, com ênfase em projeto e execução de
edifícios em Concreto Armado e Construção civil.
➢Calculista Concreto Armado e Estruturas Metálicas.
ENCONTROS CONTEÚDOS E AULAS
1
8/03
Apresentação da disciplina, Importância dos conhecimentos de resistência dos materiais para a 
engenharia e especialmente o engenheiro de estruturas. Breve revisão dos conceitos de REMA I.
2
15/03
Conceito de torção e aplicações na engenharia. Torção simples. Torção em eixos maciços, torção 
e eixos vazados,
3
22/03
Torção em Prismas e seções de paredes finas. Flambagem em colunas. 
4
29/03
Transformação de tensão, conceito e exemplos.
5
05/04
Círculo de morh, tensões principais e exemplos.
6
12/04
Resolução de exercícios extras e revisão para P1.
7
19/04
PROVA – P1
8
26/04
Entrega P1 e esclarecimentos de dúvidas. Introdução aos métodos de Energia. Energia de 
deformação em peças estruturais.
9
03/05
Teorema dos trabalhos virtuais e exemplos.
10
10/05
Teorema de Castigliano. Deflexão em vigas. Aplicação do teorema em estruturas usuais da 
engenharia civil.
11
17/05
Teorema de Castigliano outras aplicações. Introdução à teoria da Elasticidade e MEF, conceitos 
básicos.
12
24/05
PROVA – P2
13
31/05
Entrega e correção 
14
07/05
PROVA FINAL
C
ro
n
o
g
ra
m
a
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
Serão realizadas duas provas individuais no semestre. P1 e P2, cada componente representará 80% da nota.
Os 20% (P0-1 e P0-2) restantes será composta de várias atividades individuais aplicadas diariamente.
P1 = (0,8 x 1ª PE) + (0,2 x P0-1);
P2 = (0,8 x 2ª PE) + (0,2 x P0-2);
A média final será calculada como:
MF = (P1 + P2) / 2
Onde:
PE = Prova Escrita,
OBSERVAÇÕES:
Importância da Disciplina de Resistência 
dos Materiais Para o Projeto Estrutural.
• Análise Estrutural
• Base para o Cálculo Estrutural
• Desenvolver a Sensibilidade Estrutural
- Esforços em peças estruturais
- Distribuição de tensões em peças estruturais
• Avaliar deformações em peças estruturais.
Revisão de REMA I
• Tensões Normais;
• Análise das Deformações Axiais.
• Tensões Cisalhantes ou Cortantes;
• Flexão Pura;
• Lei de Hooke e Lei de hooke
generalizada;
• Flexão composta e Obliqua;
Torção em peças
• Tração
• Compressão
• Flexão 
• Torção
• Flambagem Instabilidade 
Lateral
• Cortante
Torção em peças
• Existe torção quando um momento
é aplicado em torno de um eixo.
Esse eixo é chamado eixo de torção.
Torção em peças
• Transmissão de potência  Torque
- Industria mecânica
• Estruturas gerais.
- Construção civil 
- Industrias
Onde surge esforços de torção?
Transmissão de torque
Torção em peças
• Motor de carro popular
Transmissão de torque
Torção em peças
Transmissão de torque
Transmissão de
automóvel.
Sistema de
engrenagens
conhecido
como marchas
Torção em peças
Transmissão de torque
Torção em peças
• Tomada de força em máquinas 
pesadas.
• Tratores, caminhões, bombas de 
grande porte.
• Todos os motores possuem eixos 
submetidos a torção.
Transmissão de torque
Torção em peças
Transmissão de torque
Torção em peças
Torção na construção civil
Torção em peças
Torção na construção civil
Torção em peças
• Cuidado com alteração na
concepção estrutural do
calculista.
Torção na construção civil
Torção em peças
• Os conjugados são chamados de momentos de torção, momentos
torcionais ou torque T , ' T , e que têm a mesma intensidade T e
sentidos opostos (Nash,1982).
Torção em peças
• CENTRO DE TORÇÃO (o): É o ponto em torno do qual a seção
transversal gira. Para seções simétricas, coincide como o centro de
gravidade.
• EIXO DE TORÇÃO: É o lugar geométrico dos centros de torção
Torção em peças
• DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES: Um eixo circular está fixado a um
suporte por uma de suas extremidades e aplicando-se à extremidade
livre um momento de torção T , o eixo gira, e a seção transversal da
extremidade apresenta uma rotação representada pelo ângulo φ ,
chamado ângulo de torção (Beer and Johnston, 1989).
Torção em peças
• O ângulo de torção, para uma certa faixa de variação de T, é
proporcional tanto a T como ao comprimento do eixo L. Um prisma de
seção circular, tendo uma de suas extremidades fixas, submetido a um
momento de torção T.
Torção em peças
Torção em peças
• A) As geratrizes deixam de ser retas e
passam a ser arcos.
• B) A malha distorce e passa a a ser
formada por losangos.
• C) As seções transversais permanecem
planas e perpendiculares ao eixo de
torção.
• D) Para haver o equilíbrio surgem
tensões de cisalhamento.
Torção em peças
• As tensões de cisalhamento
ocorrem em seus valores máximos
nas extremidades dos eixos.
Torção em peças
𝜏 =
𝑇. 𝑝
𝐽
𝜏 = Tensão de cisalhamento no eixo.
T = Torque interno resultante que atua na 
seção transversal.
J = Momento de inércia polar da área da 
seção transversal c = Raio externo do eixo.
ρ = Raio medido a partir do centro do eixo.
Torção em peças
Torção em peças
J=
𝜋.𝑑4
32
Eixo maciço
J=
𝜋.(𝐷𝑒4− 𝐷𝑖4)
32
Eixo Vazado
Torção em peças
𝑡 ≪ 𝐷𝑖  J = 
𝜋.𝐷3.𝑡
4
Dm
𝑡
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇. 𝑝
𝐽
Torção em peças
𝜃 𝑥 = 𝜃0 +෍
𝑀𝑡. 𝐿
𝐺. 𝐽
𝜏 =
𝑇.𝑝
𝐽
 𝜏max ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜃 ≤ 𝜃𝑎𝑑𝑚
𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜𝑠
Limites de deformações
Ex-1
Ex-2
Ex-3
Você é o engenheiro residente de uma ETA, e uma das bombas sob sua
responsabilidade apresentou ruptura do seu eixo de transmissão
durante uma parada brusca. Como a bomba em questão trata-se de
um modelo muito antigo, não há peças originais no mercado para
reposição, seu eixo era maciço. Diante da situação, sua única solução
é solicitar a confecção de uma peça semelhante à um torneiro
mecânico. O mesmo informou que o aço disponível para o serviço é o
ASTM-A36 (tensão de escoamento = 360Mpa). Adotando um fator de
segurança de 15%, qual o diâmetro do eixo que você deve solicitar ao
torneiro mecânico?
Torque produzido pelo motor da bomba = 5000 Kgf.m
Ex-4 – Faça você mesmo
Ex-5 – Faça você mesmo
Ex-6 – Faça você mesmo
Torção em Prismas
Torção em Prismas
A seção transversal não simétrica após deformação
Torção em Prismas
T = Momento Torçor
L = comprimento
a e b = dimensões dos lados
G = Modulo de elasticidade 
Transversal
c1 e c2 = depende apenas 
da relação entre os lados.
Torção em Prismas
• Tensão max. sempre ocorrerá
na face de maior dimensão
• As tensões nas arestas do
retângulo ou quadrado serão
nulas.
Torção em Prismas
• a e b  Faces do prisma.
• a  Maior face
• b  Menor face
• c1 e c2  constantes oriundos
da teoria da elasticidade.
• OBS: Equações válidas apenas
para o regime ELÁSTICO.
Torção em Prismas
• Tensão max. de cisalhamento que um
momento de torção exerce pode ser
calculada pelas expressões ao lado. Assim
como o ângulo de torção.
Torção em Prismas
• 𝜏 =
𝑇
2.𝑡.𝐴𝑚
𝐴𝑚= Área média
Ex-7 
T = 6.4mm 
G= 80Gpa
L = 2m
Calcular o ângulo de torção para esse torque.
2m
Ex-8 
Ex-9 
Ex-10 
Respostas: 
a) 69,8Mpa
b) AB = AC = 93,0Mpa
BD = CD = 55,8Mpa
Ex-11 
Respostas: 
Ex-12– Faça você mesmo
Ex-13 – Faça você mesmo
Ex-14 – Faça você mesmo
Calcular ângulo de torção no Ex-4 nos trechos AB, BC, CD. E o ângulo relativo 
entre A e D.
G = 80Gpa
Ex-15 – Faça você mesmo
Ex-16 – Faça você mesmo
BIBLIOGRAFIA
• HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010
• BEER, F.P. e JOHNSTON Jr., E.R. Resistência dos Materiais. Editora McGraw-Hill Ltda. 1982
• https://drive.google.com/drive/folders/0BwHtE7kCGtPPWk
YySXRkUm1jUkE?usp=sharing
MATERIAL DÍDÁTICO