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Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 3 2. Encontrando Derivadas. Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 3. O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: i + j + k 4. O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s. 12i+2j 5. Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. (1-cost,sent,0) 6. Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 a 7. Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 0 e 0 8. Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, - 1+6t〉. x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 1a Questão Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 2a Questão Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 2sent i - cost j + t2 k + C 4a Questão A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k para t [0,2] é: 〈6,8,4 〉 5a Questão O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: (0, -1, 1) 6a Questão Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. r'(t)=v(t)=12i - j 7a Questão Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por: 〈4,0,10〉 8a Questão Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ y = 2x - 4 1. Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 4,47 2. Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 9((rcos(θ))2+16r2=400 3. Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 4. A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordenadas polares é dada por: r = 3 5. Transformando a coordenada polar (-4, \({ \pi\over 6}\)) em coordenada cartesiana, obtemos: \((-2\sqrt{3},-2)\) 6. Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 9((rcos(θ))2+16r2=400 7. Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 0 8. Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 0,25i + 7j + 1,5k 1. Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo. III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. Estão corretas apenas as afirmações: I,III e IV 2. Encontre dwdt se: w = x.y + z, x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 2 3. Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2? -1 4. Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k. x=3+t; y=-4+t; z=-1+t 6. Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 2/t + 2bcotgt + tgt 7. Uma partícula tem vetor posição dado por r(t) = (cost, sent, t). O seu vetor velocidade v(t) é dado por: (-sent, cost, 1) 8. Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. r'(t) = v(t) = 12i - j 1. Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 - 4xy + 2y2 , onde x(t) = t e y (t) = t ? -8t 2. Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 8(u.v.) 3. Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = -t e y (t) = t ? 18t -3t² 4. O divergente de F(x, y) = (4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 9x -6y 5. Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 - 4xy - 2y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t -8t 6. Se \(z = x^2y+3xy^4\), onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor de \({dz \over dt}\), quando t = 0, equivale a: 6 7. Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 125 8. Sendo f(x,y)=5xy+10y, as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y são, respectivamente 5y e 5x+10 1. Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 0 3. Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 2π 4. Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i + (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1). -6 5. ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy xy cos xy + sen xy 6. Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 10 e 10 7. 9/2 u.v 8. Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x, y e z são funções de outra variável t. Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt . Diz-se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia. Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etco st, z= 2e2t, calcule dwdt para t=0, encontre dwdt. dwdt=18 1. Dadas as expressões paramétricas: x=e- 2t e y=6e4t indique a única expressão correta na forma y=f(x): y=6x2, x>0 2. Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. (0,-1,2) 3. Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a: 2 4. Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 15r/4 5. Calculando por integral dupla a área entre o eixo x e a curva y=cos x, com x variando de 0 a pi/2, obtemos: 1,0 6. Calcule a integral dupla: ∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 70/3 7. Calcular a área da região limitada pelas curvas : y = 1 - x² e y = -3, queinterceptam-se nos pontos de abscissas -2 e 2. 32/3 u.a. 8. Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) (3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 1. 189/10 2. Calcule a integral dupla ∬(x-3y²) dA, onde R = { (x,y)/ 0 ≤x ≤2 ; 1≤y ≤2} - 12 3. Qual é o resultado da integral dupla \(\int_{-1}^{0}\int_{- 1}^{0}xydxdy\) 1/4 4. Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 5. Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Dessa forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da função custo total correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total diário para produzir calculadoras é dado por C(x)=0,0001x3- 0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras produzidas. Determine a função custo marginal. C´(x)=0,0003x2-0,16x+40 6. Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo. 80 e 40 7. Qual o resultado da integral dupla \(\int_{-1}^{0}\int_{-1}^{0}2xydxdy\)? 1/2 8. Calcule a integral dupla: ∬_R▒〖(1+4xy)〗 ) dA , onde R = { (x,y)/ 1 ≤y ≤3; 0≤x ≤ 1 } 10 1. Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 28/9 2. Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). -7/2 3. Apresente a expressão do operador rotacional do campo vetorial: V→=(ex+z.cosy)i+(x.z -ey)j+(x.y+z2)k no ponto P(0,0,1). j+k 4. Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 60PI 5. Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 9((rcos(θ))2+16r2=400 6. Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k?Lembre das leis de newton F=MA F = 18t i + 6 j + 18t k 7. Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 8. Qual é o gradiente ∇f no ponto (1,1,1) para a função f(x,y,z)=x2+y2-2z2+senx ? ∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-4k 1. Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 8π2 2. As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são: v = (4; 16) 3. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 3t2 i + 2t j 4. Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y - y3)j no ponto (1,1). 2 5. Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira . -6 6. A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Considere as funções: 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas: 1,3,4 7. 25, 33 8. Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 1. Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k Podemos concluir que a) as aeronaves não colidem. b) as aeronaves colidem no instante t=2 c) as aeronaves colidem no instante t=5 d) as aeronaves colidem no instante t=3 e) as trajetórias não se interceptam (c) 2. Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 cos t 3. Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y fx=e3y e fy=3xe3y 4. Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 2j 5. Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: ( 2, π/6) 6. Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: T= v(t)|v(t)|. 4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 7. Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 6 8. Encontrando Primitivas. Seja \(\int(costi + 3t^2j)dt\), qual a única resposta correta? (sent)i + t³j 1. Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). y = 7 + 2x + 0,25x² 2. Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 3. Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por r =3 tg θ . sec θ 4. Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. (-sent, cost,1) 5. Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, - 1+6t〉. x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 6. Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. (1-cost,sent,0) 7. Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 a 8. Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 0 e 0
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