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Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) 
= (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o 
intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no 
instante t = 0. 
 
 
 
 
3 
2. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
3. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, 
indique a única resposta correta para o limite da função: 
 i + j + k 
4. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule 
a aceleração em t=2s. 
 
12i+2j 
 
5. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 (1-cost,sent,0) 
6. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
a 
7. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
0 e 0 
8. 
 
 
Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -
1+6t〉. 
 
x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 
1a Questão 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
2a Questão 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
4a Questão 
 
 
A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k para t [0,2] é: 
 
〈6,8,4 〉 
5a Questão 
 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
(0, -1, 1) 
6a Questão 
 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
7a Questão 
 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é 
dado por: 
 
〈4,0,10〉 
8a Questão 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana 
para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
y = 2x - 4 
 
1. 
 
 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
4,47 
2. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 9((rcos(θ))2+16r2=400 
3. 
 
 
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
 
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
4. 
 
 
A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordenadas polares é dada por: 
 
r = 3 
5. 
 
 
Transformando a coordenada polar (-4, \({ \pi\over 6}\)) em coordenada cartesiana, 
obtemos: 
 
\((-2\sqrt{3},-2)\) 
6. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
7. 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
0 
8. 
 
 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
0,25i + 7j + 1,5k 
1. 
 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto 
do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 I,III e IV 
2. 
 
 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada 
em t = 0? 
 
2 
3. 
 
 
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do 
caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2? 
 
-1 
4. 
 
 
Determine a única resposta correta para a equação paramética para a 
reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k. 
 
 
x=3+t; y=-4+t; z=-1+t 
6. 
 
 
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x 
= at, y = senbt e z = cost. 
 2/t + 2bcotgt + tgt 
7. 
 
 
Uma partícula tem vetor posição dado por r(t) = 
(cost, sent, t). O seu vetor velocidade v(t) é 
dado por: 
 
(-sent, cost, 1) 
8. 
 
 
Sabendo que r'(t) = v(t), determine 
v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
r'(t) = v(t) = 12i - j 
1. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -
4xy + 2y2 , onde x(t) = t e y (t) = t ? 
 
-8t 
2. 
 
 
Usando a técnica da integral 
dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela 
expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy 
para os intervalos R=[-1,1] 
x[-2,1]. 
 
8(u.v.) 
3. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy 
- y3 , onde x(t) = -t e y (t) = t ? 
 
18t -3t² 
4. 
 
 
O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 
 
9x -6y 
5. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -
4xy - 2y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t 
 -8t 
6. 
 
 
Se \(z = x^2y+3xy^4\), onde x = sen(2t) e y = 
cos(t), o valor de \({dz \over dt}\), quando t = 
0, equivale a: 
 
6 
7. 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da 
função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado 
pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 125 
8. 
 
 
Sendo f(x,y)=5xy+10y, as derivadas parciais 
de f em relação a x e em relação a y são, 
respectivamente 
 
5y e 5x+10 
1. 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é 
o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 0 
3. 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
2π 
4. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, 
y) = (5x4 - y)i + (6x.y.z 
- 3y2)j no ponto (0,1,1). 
 
-6 
5. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
6. 
 
 
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o 
produto seja máximo. 
 
10 e 10 
7. 
 
 
 
 
 9/2 u.v 
8. 
 
 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três 
variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x, y e z são funções de outra 
variável t. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt
. 
Diz-se que dwdt é a derivada total de w com 
relação a t e representa a taxa de variação 
de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etco
st, z= 2e2t, calcule dwdt para t=0, 
encontre dwdt. 
 
dwdt=18 
1. 
 
 
Dadas as expressões paramétricas: x=e-
2t e y=6e4t indique a única expressão correta na 
forma y=f(x): 
 
y=6x2, x>0 
2. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a 
única resposta correta. 
 
 
(0,-1,2) 
3. 
 
 
Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a: 
 
2 
4. 
 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² 
+ y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 
 
 
15r/4 
5. 
 
 
Calculando por integral dupla a área entre o eixo x e a curva y=cos x, com x variando 
de 0 a pi/2, obtemos: 
 
1,0 
6. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
70/3 
7. 
 
 
Calcular a área da região limitada pelas curvas : y = 1 - x² e y = -3, queinterceptam-se nos 
pontos de abscissas -2 e 2. 
 
 
32/3 u.a. 
8. 
 
 
Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
1. 
 
 
 
 
189/10 
2. 
 
 
Calcule a integral dupla ∬(x-3y²) dA, onde R = { (x,y)/ 0 ≤x ≤2 ; 1≤y ≤2} 
 
- 12 
3. 
 
 
Qual é o resultado da integral dupla \(\int_{-1}^{0}\int_{-
1}^{0}xydxdy\) 
 
1/4 
4. 
 
 
Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a 
 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
5. 
 
 
Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa 
de variação da função custo total em um ponto apropriado. Dessa 
forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada 
da função custo total correspondente. Em outras palavras, se C é 
a função custo total, então a função custo marginal é definida 
como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo 
total diário para produzir calculadoras é dado por C(x)=0,0001x3-
0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras 
produzidas. Determine a função custo marginal. 
 C´(x)=0,0003x2-0,16x+40 
6. 
 
 
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado 
da outra seja máximo. 
 
80 e 40 
7. 
 
 
Qual o resultado da integral dupla \(\int_{-1}^{0}\int_{-1}^{0}2xydxdy\)? 
 
1/2 
8. 
 
 
Calcule a integral dupla: ∬_R▒〖(1+4xy)〗 ) dA , onde R = { (x,y)/ 1 ≤y ≤3; 0≤x ≤ 1 } 
 
10 
1. 
 
 
Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 
ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 
 
28/9 
2. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos 
(1,2) e (0,-1). 
 
-7/2 
3. 
 
 
Apresente a expressão do operador rotacional do campo 
vetorial: 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x.z -ey)j+(x.y+z2)k no ponto P(0,0,1). 
 j+k 
4. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra 
submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em 
metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
60PI 
5. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
6. 
 
 
Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k?Lembre das 
leis de newton F=MA 
 F = 18t i + 6 j + 18t k 
7. 
 
 
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + 
z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
 64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
8. 
 
 
Qual é o gradiente ∇f no ponto (1,1,1) para a função f(x,y,z)=x2+y2-2z2+senx ? 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-4k 
1. 
 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
8π2 
2. 
 
 
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em 
t0=2 são: 
 
 
v = (4; 16) 
3. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = 
t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
3t2 i + 2t j 
4. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y 
- y3)j no ponto (1,1). 
 
2 
5. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a 
curva representada pela fronteira . 
 
 
-6 
6. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções 
harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
1,3,4 
7. 
 
 
 
 
25, 33 
8. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no 
intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
1. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
(c) 
2. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 
 
cos t 
3. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y 
 
fx=e3y e fy=3xe3y 
4. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua 
posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
2j 
5. 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos 
obter: 
 
( 2, π/6) 
6. 
 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso 
seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela 
ao vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: 
T= v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é 
dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
7. 
 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 
 
6 
8. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja \(\int(costi + 3t^2j)dt\), qual 
a única resposta correta? 
 
(sent)i + t³j 
1. 
 
 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
y = 7 + 2x + 0,25x² 
2. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
3. 
 
 
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada 
por 
 
r =3 tg θ . sec θ 
4. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 (-sent, cost,1) 
5. 
 
 
Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -
1+6t〉. 
 
x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 
6. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
(1-cost,sent,0) 
7. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
a 
 
 
8. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 0 e 0

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