Lista exercício linear

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina:Álgebra Linear Data: 10 06 2013
Professor:____________________Turno: Noite
Aluno(a):____________________
1a Lista de Exercícios
1. a) Dada uma matriz A =
(
1 2
1/2 1
)
mostre que A2 = 2A.
b) Dada uma matriz A =
(
1 a
1/a 1
)
, com a 6= 0 mostre que A2 = 2A.
c) Generalize o item b) mostrando que An = 2n−1A.
2. Dizemos que uma matriz A é idempotente quando existe n ∈ N tal que An = A.
a) Mostre que
(
1 2
−1
2
0
)
é idempotente.
b) Mostre que se a 6= 0, então
(
1 a
−1
a
0
)
é idempotente.
Dica: Em ambas calcule A7
3. Mostre que se A é uma matriz quadrada idempotente então A é invertível.
4. Determine os valores de k para os quais a matriz
 k 2 20 k 1
1 1 1
 é invertível.
5. Determine o valor de k no sistema

x +2y +0z = 8
−x −y +0z = −5
−2x −3y (k2 − k − 2)z = k − 12
tenha:
a) Uma ùnica solução;
b) Infinitas soluções;
c) Nenhuma solução.
6. Calcule o determinante da seguinte matriz:

1 2 0 3 4
0 4 1 1 0
−1 1 0 0 6
2 3 −2 3 2
3 0 0 0 1

1
7. Calcule, se existir, a inversa da matriz

2 1 0 0
1 1 1 3
4 −2 2 −1
−2 0 4 0

8. Uma matriz quadrada A é ortogonal quando A.AT = AT .A = I. Verifique que
A =
 1 0 00 cosx senx
0 −senx cosx
 é uma matriz ortogonal.
9. Dadas as matrizes A =
 a b c1 d −1
2 f e
 e B =
 1 h 2−1 2 0
g i 4
. Sabendo-se que A é
antissimétrica e que B é simétrica. Calcule (A+B)2.
10. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, invertíveis. Mostre que:
a) (ABA−1)2 = AB2A−1
b) (ABA−1)−1 = AB−1A−1
2