Estudo dirigido Estatística Básica UFRRJ

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO - UFRRJ
Departamento de Matemática - Professor: Renato Nunes
2o Estudo dirigido
Parte 1: Probabilidade
Para todos nós, noções de probabilidade ou respostas intuitivas a questões de probabilidade são comuns desde
a mais tenra idade. Qualquer pessoa, por menos conhecimento estatístico que tenha é capaz de responder a per-
gunta: Qual a probabilidade de se retirar uma carta de ouros de um baralho honesto?
Fazemos intuitivamente: "Se um baralho honesto tem 13 cartas do naipe ouros e o total de cartas do baralho é 52,
então a chance de uma carta de ouros ser tirada ao acaso é 1352 =
1
4 ou 25%."
Formalizando o que foi feito intuitivamente, temos
P (A) =
n(A)
n(Ω)
)
em que n(A) = número de elementos de A e n(Ω) = número de elementos de Ω
Lei dos Grandes Números: a lei dos grandes números é um conceito fundamental em Estatística e probabili-
dade que descreve como a média de uma amostra, suficientemente grande e selecionada aleatoriamente, se torna
provável de estar perto da média da popualação. Uma definição e trazida pelo site wikipédia(2011): "Se um evento
de probabilidade p for observado repetidamente ao longo de realizações independentes, a relação da frequência
observada desse evento ao número total das repetições converge para p enquanto o número das repetições se torna
arbitrariamente grande". Dizemos com outras palavras e colocando no contexto da construção de histogramas,
pode-se entender que quando n→∞, as frequências das classes tendem a se estabilizar.
Considere o seguinte exemplo: no lançamento de uma moeda qual a probabilidade de sair cara? Resp.: 50%.
Isto é intuitivo devido a lei dos grandes números.
A figura a seguir, traz a simulação de 1000 lançamentos de uma moeda honesta, a contagem do número de caras
obtidas em cada lançamento e a plotagem de frequência relativa de caras(número de caras/números de lançamen-
tos). Note que, quanto mais n(número de lançamentos) aumenta, mas a frequência relativa tende a se estabilizar
em 50%, o que corrobora a afirmação intuitiva anterior.(Fonte:Intodução à estatísica básica: FERREIRA & OLI-
VEIRA.)
0 200 400 600 800 1000
0.
5
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1.
0
número de lançamentos
Fr
eq
uê
nc
ia
 R
el
at
iva
1
Praticando
Q1. Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3
ou po 5. (R.: 7/15)
Q2. Um torneio é disputado por 4 times A, B, C e D. É 3 vezes mais provável que A vença do que B, 2 ve-
zes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades
de ganhar para cada um dos times? R.: P(A) = 18/28; P(B) = 6/28; P(C) = 3/28 e P(D) = 1/28.
Q3. Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:
12 000 lêem A;
8 000 lêem B;
7 000 lêem A e B;
6 000 lêem C;
4 500 lêem A e C;
1 000 lêem B e C;
500 lêem A, B e C.
Qual é a probabilidade de que um habitante leia:
(a) pelo menos um jornal; R.: 7/15
(b) Só um jornal; R.: 1/12
Q4. Os algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição)
aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número
de cinco algarismos.
(a) Calcular a probabilidade de que o número escrito seja par. R.: 2/5
(b) Se a escolha fosse com reposição qual seria a probabilidade? R.: 2/5
Q5. Sejam A e B eventos tais que
P (A) =
1
2
P (B) =
1
4
P (A ∩B) = 1
5
Calcular:
(a) P(A ∪ B); R.: 11/20
(b) P(Ac) R.: 1/2
(c) P(B c); R.: 3/4
(d) P(A∩Bc) R.: 3/10
(e) P(Ac∩ B); R.: 1/20
(f) P(Ac ∩Bc) R.: 9/20
(g) P(A c ∪Bc); R.: 4/5
2
Q6. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um
jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se
que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia? R.: 1/2
Q7. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta,
um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um
estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a proba-
bilidade de que a adivinhou? R.: 7/16
Q8. Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao
passo que se ocorre o evento CRC temos três sequências. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número
de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X (CCR) = 1 e Y (CRR) = 2. Obtenha as distribuições de
X e Y. Calcule E(X), E(Y), Var(X) e Var(Y). E(X) = 1,5; E(Y) = 2; Var(X) = 0,75 e Var(Y) = 0,5
Q9. Numa cidade do interior do Rio de Janeiro, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de
alergia. Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é
de 40%. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
(a)Não praticar esporte.(R.:0.58)
(b)Ser alérgico dado que não pratica esportes.(R.:0.172)
Q10.Três alunos estão tentando independentemente resolver um problema. A probabilidade de que o aluno A
resolva o problema é de 4/5, de B resolver é de 2/3 e de C resolver é de 3/7. Seja X o número de soluções corretas
apresentadas para este problema.
(a)Construa a distribuição de probabilidade de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476; 0,228).
(b)Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630).
Parte 2: A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou su-
cessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando:
(1) existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos;
(2) as n tentativas são independentes, e
(3) a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa.
P (X = x) =
n!
x!(n− x)!p
xqn−x, x = 0, 1, 2, ..., n
em que, q(a probabilidade de fracasso) é definida como 1-p.
Praticando
Baseado no que foi descrito acima, determine:
Q11. Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?0,3125
Q12. Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?0,5
Q13. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja 14 . Se houverem 6 crian-
ças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros?0,13
Q14. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 dispa-
ros o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes?0,0837
Q15. Um teste de estatística consiste em 10 questões do tipo múltipla escolha, cada uma com 5 respostas pos-
síveis. Para alguém que responda aleatoriamente (por palpite) todas as questões, determine a probabilidade de
passar, se o percentual mínimo para aprovação é de 60%. A probabilidade é suficientemente elevada para justificar
o risco de passar por palpite em lugar de estudar?
3
Parte 3: Distribuição de Poisson
(1)Dê alguns exemplos de quando podemos aplicar a distribuição de Poisson.
A distribuição de Poisson é frequentemente usada em pesquisa operacional na solução de problemas administrati-
vos. Alguns exemplos são o número de chamadas telefônicas para a polícia por hora, o número de clientes chegando
a uma bomba de gasolina por hora, e o número de acidentes de tráfego num cruzamento por semana.
(2)Dê a fórmula da distribuição de Poisson e o significado dos vários símbolos.
A probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo, P(X), pode ser encontrada por:
P (X = x) =
e−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
em que X:número designado de sucessos;
λ: o número médio de sucessos num intervalo específico
e: A base do logaritmonatural, ou 2,71828
Dado o valor de λ, podemos encontrar e−λ , substituindo na fórmula, e encontrar P(X). Note que λ é a média e a
variância da distribuição de Poisson.
Praticando
Baseado no que foi descrito acima, determine:
Q16. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um determinado soro,
é 0,001. Determinar a probabilidade de, entre 2 000 indivíduos:
(a)exatamente 3 sofrerem reação;0,180
(b)mais do que 2, sofrerem aquela reação.0,323
Q17.O número de chegadas a um ponto de informações turísticas é modelado por Poisson com taxa de 2 pes-
soas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade de ocorrer:
(a)Pelo menos uma chegada?0,8647
(b)Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?0,2857
4