Lista_9_Transformações lineares

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Lista 9
Transformac¸o˜es Lineares
1. Encontre a matriz associada a cada uma das transformac¸o˜es lineares (matriz padra˜o) defi-
nidas pelas equac¸o˜es.
(a)
{
w1 = 2x1 − x2 + x4
w2 = 3x1 + 5x2 − x4 (b)

w1 = 7x1 + 2x2 − 8x3
w2 = − x2 + 5x3
w3 = 4x1 + 7x2 − x3
(c)

w1 = −x1 + x2
w2 = 3x1 − 2x2
w3 = 5x1 − 7x2
(d)

w1 = x1
w2 = x1 + x2
w3 = x1 + x2 + x3
w4 = x1 + x2 + x3 + x4
2. Encontre a matriz padra˜o para a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por

w1 = 3x1 + 5x2 − x3
w2 = 4x1 − x2 + x3
w3 = 3x1 + 2x2 − x3
e calcule T (−1, 2, 4).
3. Encontre a matriz padra˜o para o operador linear T definido pela fo´rmula.
(a) T (x1, x2) = (2x1 − x2, x1 + x2) (b) T (x1, x2) = (x1, x2)
(c) T (x1, x2, x3) = (4x1, 7x2,−8x3) (d) T (x1, x2, x3) = (0, 0, 0, 0, 0)
(e) T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + x3, x1 + 5x2, x3)
(f) T (x1, x2) = (x2,−x1, x1 + 3x2, x1 − x2)
(g) T (x1, x2, x3, x4) = (7x1 + 2x2 − x3 + x4, x2 + x3,−x1)
(h) T (x1, x2, x3, x4) = (x4, x1, x3, x2, x1 − x3)
4. Utilize em cada um dos casos a matriz padra˜o [T ], para determinar T (x).
(a) [T ] =
[
1 2
3 4
]
; x =
[
3
−2
]
(b) [T ] =
[ −1 2 0
3 1 5
]
; x =
 −11
3

(c) [T ] =
 −2 1 43 5 7
6 0 −1
 ; x =
 x1x2
x3

5. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a reflexa˜o de (2,-5,3) em torno
(a) do plano xy (b) do plano xz (c) do plano yz
1
6. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a projec¸a˜o ortogonal de (2,5)
(a) no eixo-x (b) no eixo-y
7. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a projec¸a˜o ortogonal de (-2,1,3)
(a) no plano xy (b) no plano xz (c) no plano yz
8. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a imagem do vector (-2,1,2) quando rodado.
(a) 30o em torno do eixo do x no sentido negativo.
(a) 30o em torno do eixo do x no sentido positivo.
(b) 45o em torno do eixo do y no sentido negativo.
(c) 90o em torno do eixo do z no sentido negativo.
9. Encontre a matriz padra˜o para as seguintes composic¸o˜es de operadores lineares em R2.
(a) Uma rotac¸a˜o de 90o no sentido positivo, seguida de uma reflexa˜o em torno da linha
y = x.
(b) Uma projec¸a˜o ortogonal no eixo-y, seguida de uma contrac¸a˜o com um fator k = 1
2
.
(c) Uma rotac¸a˜o de 60o no sentido positivo, seguida de uma projec¸a˜o ortogonal no eixo-x,
seguida de uma reflexa˜o em torno da linha y = x.
(d) Uma dilatac¸a˜o de um fator k = 2, seguida de uma rotac¸a˜o de 45o, seguida de uma
reflexa˜o em torno do eixo-y.
(e) Uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 15o, seguida de uma rotac¸a˜o no sentido positivo de
105o, seguida de uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 60o.
10. Encontre a matriz padra˜o para as seguintes composic¸o˜es de operadores lineares em R3.
(a) A reflexa˜o em torno do plano-yz, seguida da projec¸a˜o ortogonal no plano-xz.
(b) Uma rotac¸a˜o de 45o no sentido positivo em torno do eixo-y, seguida de uma dilatac¸a˜o
com fator k =
√
2.
(c) Uma projec¸a˜o ortogonal no plano-xy, seguida de uma reflexa˜o em torno do plano-yz.
(d) Uma rotac¸a˜o de 30o no sentido positivo em torno do eixo-x, seguida de uma rotac¸a˜o de
30o em torno do eixo-z, seguida de uma contracc¸a˜o com fator k = 1
4
.
(e) Uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 270o em torno do eixo-x, seguida de uma rotac¸a˜o
no sentido positivo de 90o em torno do eixo-y, seguida de uma rotac¸a˜o de 180o em torno do
eixo-z.
11. Considere
A =
[ −1/√2 −1/√2
1/
√
2 −1/√2
]
verifique que a matriz A e´ a matriz padra˜o de uma rotac¸a˜o em R2 e determine o aˆngulo
dessa rotac¸a˜o.
12. Mostre que a imagem do operador linear definido pelas equac¸o˜es
w1 = x1 − 2x2 + x3
w2 = 5x1 − x2 + 3x3
w3 = 4x1 + x2 + 2x3
na˜o e´ R3, e encontre um vector de R3 que na˜o se encontre na imagem do operador.
2
13. Verfique se o operador linear T : R2 → R2 definido pelas equac¸o˜es e´ de um em um (injetor),
caso seja, encontre a matriz padra˜o do operador inverso, e encontre T−1(w1, w2).
(a)
{
w1 = x1 + 2x2
w2 = −x1 + x2 (b)
{
w1 = 4x1 − 6x2
w2 = −2x1 + 3x2
14. Verfique se o operador linear T : R3 → R3 definido pelas equac¸o˜es e´ de um em um (injetor),
caso seja, encontre a matriz padra˜o do operador inverso, e encontre T−1(w1, w2, w3).
(a)

w1 = x1 − 2x2 + 2x3
w2 = 2x1 + x2 + x3
w3 = x1 + x2
(b)

w1 = x1 + 2x2 + x3
w2 = −2x1 + x2 + 4x3
w3 = 7x1 + 4x2 − 5x3
15. Determine sem fazer ca´lculos os operadores inversos dos operadores de um em um (injetores)
, seguintes.
(a) reflexa˜o em torno do eixo-x em R2.
(b) rotac¸a˜o de um aˆngulo pi/4 em R2.
(c) dilatac¸a˜o de um fator 3 em R2.
(d) reflexa˜o em torno do eixo-yz em R3.
(e) contrac¸a˜o por um fator 1
6
em R3.
16. Utilize os teoremas estudados na aula teo´rica para verificar se T : R2 → R2 e´ um operador
linear.
(a) T (x, y) = (2x, y) (b) T (x, y) = (x2, y) (c) T (x, y) = (x, 0)
(d) T (x, y) = (2x− y, x− y) (e) T (x, y) = (x+ 1, y)
17. Utilize os teoremas estudados na aula teo´rica para verificar se T : R3 → R2 e´ uma trans-
formac¸a˜o linear.
(a) T (x, y, z) = (x, x− y − z) (b) T (x, y, z) = (1, 1)
(c) T (x, y, z) = (0, 0) (b) T (x, y, z) = (3x− 4y, 2x− 5z)
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