Power point algebra linear - aula 1

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 1- MATRIZES - DETERMINANTES
Tema da Apresentação
MATRIZES - DETERMINANTES– AULA 1
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
I.As Matrizes: Definição,elementos e tipos.
 Representação genérica de uma matriz de ordem mxn.
 Operações: Adição e Subtração,Multiplicação por escalar
 e Produto de Matrizes.
II.Os Determinantes: Definição.Determinação de um determinante de 2ª e de 3ª ordem- A Regra de Sarrus.
 Menor complementar e Cofator. Teorema de Laplace.Combinações Lineares. Propriedades dos Determinantes.
Exercícios.
 
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I.MATRIZES
DEFINIÇÃO
 Uma MATRIZ é um agrupamento retangular de elementos dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais). Os elementos são também chamados de ENTRADAS da matriz.
 A ORDEM ou TIPO de uma matriz é dado pelo número de linhas seguido do número de colunas. De modo geral denotamos as matrizes por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas. 
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EXEMPLOS DE MATRIZES
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 Quando representamos a ordem ou tipo ou tamanho de uma matriz o primeiro número sempre representa o número de linhas da matriz e o segundo o número de colunas da matriz.
TIPOS DE MATRIZES
 1.MATRIZ COLUNA (OU VETOR COLUNA) é uma matriz com somente uma coluna.
 2.MATRIZ LINHA (OU VETOR LINHA) é uma matriz com somente uma linha.
 OBS.:Note que a matriz 1x1 é tanto uma matriz coluna quanto uma matriz linha.
 
 
 
 
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3.MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n é uma matriz com n linhas e n colunas.
 Numa matriz quadrada A chama-se DIAGONAL PRINCIPAL à diagonal formada pelos termos aij em que i=j. A outra diagonal é denominada DIAGONAL SECUNDÁRIA.
 Se A é uma matriz quadrada, denomina-se TRAÇO DE A (tr A), a soma dos elementos da diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada.
4.MATRIZ NULA é a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero.
5.MATRIZ UNIDADE OU MATRIZ IDENTIDADE é a matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um) e os demais elementos são iguais a 0 (zero).
 
 
 
 
 
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 Representa-se a matriz identidade por In.
Exs.:
 I2= 1 0 1 0 0
 0 1 I3 = 0 1 0
 0 0 1
 6.IGUALDADE DE MATRIZES são duas matrizes A e B de mesma ordem que possuem os elementos correspondentes iguais. Um elemento de A é correspondente de B, quando ocupa, em A, a mesma posição que o outro ocupa em B.
7.MATRIZ TRANSPOSTA
 Uma matriz B é a matriz transposta da matriz A, se as linhas de B forem ordenadamente as colunas de A. Indica-se B por 
 At.
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8.MATRIZ OPOSTA
 Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A. Ex.: A = 1 -2 - A = -1 2
 -4 5 4 -5 
9.MATRIZ DIAGONAL é toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
 Ex.: a) A2x2 = 2 0 b) 4 0 0
 0 2 B3x3 = 0 5 0
 0 0 7
10.MATRIZ SIMÉTRICA é uma matriz quadrada onde A = At.
 Ex.: A = 2 0 => At = 2 0 => A = At
 0 2 0 2
 
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REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ A DE ORDEM mxn
 a11 a12 a13 ... a1n
 a21 a22 a23 ... a2n
 a31 a32 a33 ... a3n
 A = . . . . .
 . . . . .
 . . . . .
 am1 am2 am3 ... amn , com m , n *
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
1.ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
 A adição e a subtração de matrizes só pode ser feita entre matrizes de mesmo tipo. É feita somando-se ou subtraindo-se os elementos correspondentes das matrizes.
Exs.:
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2.MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR (REAL) POR UMA MATRIZ
 O produto de um número real k por uma matriz A é igual a matriz kA, que se obtém multiplicando por k todos os elementos de A.
Exs.:
 
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3.PRODUTO DE MATRIZES
 Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)nxp, define-se como produto de A por B a matriz C=(cij)mxp tal que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B. 
Exs.: Determine, se possível, o produto entre cada uma das
 matrizes:
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Obs.: 
Só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
 b) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA .
 c) Se ocorrer AB=BA dizemos que as matrizes A e B comutam, isto é, as matrizes A e B são comutáveis.
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II.DETERMINANTES
 O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2ª ORDEM
 Denomina-se determinante associado à matriz quadrada de 2ª ordem ao número obtido pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.
Ex.: Calcule o determinante em cada caso: 
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 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 3ªORDEM
 (REGRA DE SARRUS)
 Obs.: Esta regra só se aplica a determinantes de 3ª ordem
 Exs.: Calcule o valor dos determinantes a seguir:
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MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR(COMPLEMENTO ALGÉBRICO)
 Seja uma matriz M de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Chama-se MENOR COMPLEMENTAR do elemento aij, que se indica por Dij, ao determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.
Exs.:
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 Seja uma matriz M de ordem n≥2 e seja aij um elemento de M. Chama-se COFATOR (OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO) DO ELEMENTO aij que se indica por Aij , ao número (-1)i+j . Dij.
Exs.: 0 3 -5
 Sendo M = -1 7 2 calcule A11, A12 e A31 .
 4 8 1
 
 
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TEOREMA DE LAPLACE
 O determinante de uma matrizquadrada de ordem n , n≥2, é igual à soma dos produtos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Assim considerando a matriz quadrada de ordem n a seguir:
 a11 a12 ... a1n
 a21 a22 ... a2n
 M = a31 a32 ... a3n 
 . . .
 . . .
 an1 an2 ... ann , temos que:
det M = a11A11 + a12A12 + a13A13 + ... + a1nA1n
 
 
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Exs.: Calcular o determinante da matriz a seguir usando
 Laplace:
 1 2 3 1
 M = -2 1 4 5
 4 0 0 2
 5 -6 3 2 
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COMBINAÇÕES LINEARES
 Estamos efetuando uma COMBINAÇÃO LINEAR quando tomamos duas ou mais filas (linhas ou colunas) paralelas de um determinante e, por exemplo, somamos essas filas multiplicadas, respectivamente,por dois ou mais números reais.
Exs.:
 m m-x x
 n n-y y Observe que C2 = C1 – C3 , isto é,
 p p-z z C2 é combinação linear de C1 e C3.
 
 m+1 m+2 m+5
 m+3 m+6 m+9 Observe que 
 m+2 m+4 m+7 
 
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1°) Casos em que um determinante é igual a zero.
 a) Quando todos os elementos de uma fila são nulos.
 b) Quando possui duas filas paralelas proporcionais ou iguais.
 c) Quando uma de suas filas é uma combinação linear de
 outras filas paralelas.
2º) Transformações que não alteram um determinante.
 a) Um determinante não se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas.
 b) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma fila os correspondentes elementos de uma fila paralela multiplicados por uma constante. 
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3º) Transformações que alteram um determinante.
 a) Um determinante muda de sinal quando se trocam as posições de duas filas paralelas.
 b) Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
4º) Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então:
 det (A . B) = det A . det B 
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Na aula de hoje estudamos:
 
I. As Matrizes: Definição,elementos,tipos e representação genérica.
 Operações: Adição,subtração,multiplicação por escalar e produto de matrizes.
II. Os Determinantes: Definição, determinação de um determinante de 2ª e de 3ª ordem- A Regra de Sarrus.
 Menor complementar e cofator. Teorema de Laplace. Combinações Lineares. Propriedades dos Determinantes.
III. Exercícios.
 
 
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