Mecânica: Momento de uma Força

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Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
Centro de Educação Superior de Brasília 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves 
 Disciplina: Mecânica 
Resultante de um Sistema de Forças 
 
Momento de uma Força – Formulação Escalar 
Quando uma força não central é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação do corpo 
em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência de rotação algumas vezes é 
chamada de torque, mas normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente momento.
 
 
 
 Nas figuras acima podemos observar os seguintes aspectos: 
 - Na figura (a) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é diferente de 90º , dessa forma 
será mais difícil provocar o giro uma vez que o braço do momento será menor que a distância 
d. 
 - Na figura (b) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é de 90º, dessa forma a chave 
tende a girar em torno do ponto O ( ou eixo z), e a intensidade desse momento é proporcional a intensidade da 
força F e a distância perpendicular do momento d. ou seja quanto maior for a força e quanto maior for o braço, 
maior será o efeito do momento ou o efeito de rotação. 
 - Na figura (c) a força foi aplicada ao longo do braço ou seja o ângulo formado entre a força e o braço 
é de 0º, dessa forma o momento dessa força será zero, ou seja não provoca nenhum momento. 
Intensidade do Momento 
A intensidade do momento ( MO) é dada pela relação: onde F representa a força que está 
sendo aplicada e d representa o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha 
de ação da força. 
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 Direção do Momento 
 A direção de MO é definida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao plano que contém a 
força F e seu braço do momento d. Utilizando a regra da mão direita podemos estabelecer o sentido da 
direção de MO. de acordo com essa regra a curva natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados 
em direção a palma da mão representa a tendência da rotação causada pelo momento e o polegar nos dá a o 
sentido direcional de MO. 
 
Momento Resultante 
 No problemas bidimensionais, onde todas as forças estão no mesmo eixo x~y, o momento resultante 
(MR)O em relação ao ponto O ( o eixo z) pode ser determinado pela adição algébrica dos momentos causado 
no sistema por todas as forças. Por convenção definimos que o momento é positivo quando o giro é no sentido 
anti-horário e o momento é negativo quando a tendência de giro é no sentido horário. 
 
 
 
 
 
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Exemplos de aplicação 
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso. 
a) 
 
Solução: ( ) ( ) 
 
 
 
b) 
Solução: ( ) ( ) 
 
 
 
 
2) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: A força de 20N deve ser considerada fazendo a sua 
decomposição nos eixos x e y. 
 
 y 
 
 
 
 
 x 
 
 20N 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Produto vetorial 
 
O momento de uma força será formulado com o uso de vetores cartesianos assim veremos alguns 
conceitos para futuras aplicações. 
 
 Produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito: C = A x B. 
 
Intensidade 
A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo entre 
eles ( ). Logo, C = AB sen . 
 
Direção 
 O vetor C possui uma direção perpendicular ao plano que contém A e B, de modo que C é 
determinado pela regra da mão direita; ou seja dobrando-se os dedos da mão direita a partir do vetor A até o 
vetor B, o polegar aponta na direção de C, como mostra a figura. 
 
Para conhecer a direção e a intensidade de C, podemos escrever: 
 
C = A × B = (AB sen ) uC 
 
Onde o escalar AB sen define a intensidade de C e o vetor 
unitário uC define sua direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do produto vetorial 
 
A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B B x A. Em vez disso temos:A x B = -B x A. 
 
 
 
 
 
 
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Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa; 
 
a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a 
 
O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição, 
 
A × (B + D) = (A × B) + (A × D) 
 
Formulação Vetorial Cartesiana 
 
 
 
 
 
 
Maneira prática de obter esses resultados. 
 
 Construímos um círculo como o da figura abaixo, então ‘ o produto vetorial’ de dois vetores 
unitários no sentido anti-horário do círculo produz o terceiro vetor unitário positivo; por exemplo: K x i = J. 
fazendo o produto vetorial no sentido horário do círculo, um vetor unitário negativo é obtido; por exemplo: i x 
K = - J. 
 
 
Desenvolvimento do produto vetorial em forma de vetores cartesianos 
 
Considere agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, expressos na forma de vetores 
cartesianos, temos. 
 
Efetuando as operações de produto vetorial e combinando os termos resultantes, 
 
 
 
 
 
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 Essa equação também pode ser escrita de uma forma mais compacta de um determinante como: 
 
 
 
 A solução através do determinante é feita usando o teorema de Laplace que diz: “O 
determinante de uma matriz quadrada 
   2m aM
m x mij

 pode ser obtido pela soma dos produtos dos 
elementos de uma filaqualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.” 
 Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento 
ija
 de uma matriz 
quadrada de ordem n o número 
ijA
, tal que 
ij
ji
ij MC)1(A 

. 
 
 Assim temos: 
 
 
Momento de uma força – formulação vetorial 
 
Momento de uma foça F em relação ao eixo de momento que passa por O ou mais exatamente em 
relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de O e F pode ser expresso na forma 
de produto vetorial: 
 
 
 
MO = r x F 
N 
Nesse caso, r representa um vetor posição de dirigido de O até algum 
ponto sobre a linha de ação de F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Intensidade 
 A intensidade do produto vetorial é definida por onde o ângulo é medido a 
partir do encontro de r e F. 
 
 
 Assim podemos escrever: ( ) 
 
 
A direção e o sentido são determinados pela regra da mão direita. 
 
 
 
 
Principio da Transmissibilidade 
 
 Esse princípio define que F (vetor deslizante) pode agir em qualquer ponto sobre a sua linha de ação e 
ainda produzir o mesmo momento em relação ao ponto O. 
 
 
 
Formulação do Vetor cartesiano 
 
 Se estabelecemos os eixos coordenados x , y , z , então o vetor posição r e a força F podem ser 
expressos como vetores cartesianos. Essa relação é utilizada quando for necessário fazer o cálculo do 
momento de corpos tridimensionais na forma cartesiana. 
 
 |
 
 
 
| 
 
Onde: 
- representam as componentes x, y, z do vetor posição definido no ponto O até qualquer ponto sobre 
a linha de ação da força. 
- representam as componentes x, y , z do vetor força. 
- Se o determinante for expandido, então , teremos: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
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Momento resultante de um Sistema de Forças 
 
 Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças o momento resultante das forças em relação 
ao ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do momento de cada força. Essa resultante pode ser 
escrita na forma de: 
 
 ∑( ) 
 
Exemplo de aplicação. 
 
Determine o momento produzido pela força F na figura abaixo em relação ao ponto O. Expresse o resultado 
como um vetor cartesiano. 
 
Solução: 
 
Como mostra a figura tanto rA como rB podem ser usados para determinar 
o momento em relação ao ponto O. Esses vetores são: 
 
 { } { } 
 
Veja essas forças na figura ao lado 
 
 
Dessa forma podemos expressar a 
força F como um vetor cartesiano . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora que já conhecemos as componentes cartesianas da força F , podemos calcular o momento em relação 
ao ponto O. Para isso usamos a relação do determinante. 
 
 
Cálculo do momento em relação a 
RA. 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo do momento em relação a RB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O princípio dos momentos 
Como F = F1 + F2, temos: 
 
MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2 
 
_ O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação 
 a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em 
relação ao mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
Para os problemas bidimensionais podemos usar o princípio dos 
momentos decompondo a força em suas componentes retangulares e 
depois determinar o momento usando uma análise escalar. Logo temos: 
 
MO = Fxy – Fyx 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
1) Determine o momento da força na figura abaixo em relação ao ponto O. 
 Solução: 
 Podemos calcular esse momento de duas maneiras, uma seria usando a 
forma escalar e a outra usando o princípio dos momentos, vejamos. 
Solução I ( forma escalar ) 
1º ) encontramos o valor do braço (d) através da trigonometria 
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Agora aplicamos a definição de momento na forma escalar. 
 
Solução II ( Princípio dos momentos ) 
1) Fazemos a decomposição da força F. 
2) considerando o sentido anti-horário como positivo e 
aplicando o princípio dos momentos temos: 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
3) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura abaixo. Determine o momento 
da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução I ( Análise Escalar): 
 
Fazemos a decomposição da força nas componentes x e y. conforme figura abaixo e depois calculamos o 
momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução II ( Análise Vetorial ) 
 
Empregando a abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e posição podem ser escritos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 Desta forma o momento pode ser calculado. 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine o momento da força em relação ao ponto O . Despreze a espessura do membro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Se o momento produzido pela força de 4 KN em relação ao ponto A é 10 KN.m no sentido horário, 
determine o ângulo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) O cabo do martelo está sujeito à força deF = 100 N. Determine o momento dessa força em relação ao 
ponto A. 
; 
 
 
 
 
 
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7) Dois homens exercem forças de F = 400N e P = 250N sobre as cordas, determine o momento de cada 
força em relação a A. Em que sentido o poste irá girar, horário ou anti-horário? 
 
O poste irá girar no sentido horário 
 
 
 
 
 
8) De acordo com a figura da questão 7 , se o homem B exerce uma força P = 150N sobre sua corda, 
determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire; 
ou seja para que o momento resultante em relação a A devido as duas forças seja zero. 
 
 
9) Se as pinças são usadas para prender as extremidades do tubo de perfuração P . Se um torque ( 
momento) Mp = 1200 N.m é necessário em P para girar o tubo, determine a força que precisa ser 
aplicada no cabo da pinça F. considere º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Determine o momento mínimo produzido pela força F em relação ao ponto A. Especifique o ângulo Ɵ 
( ) 
Resp: Mmin= 0 e Ɵ = 146,31º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Se FB = 150N e FC = 225N, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A. 
 
Resp: M = 291,9 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) A barra do mecanismo de controle de potência de um jato comercial está sujeita a uma força de 80N. 
determine o momento dessa força em relação ao mancal em A. 
 
 Resp: M = 7,71 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Momento em Relação a um Eixo Específico 
 
Determina-se o momento da força em relação a um ponto do sistema e depois se realiza a projeção 
sobre eixo que se deseja a partir do produto escalar. 
O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser determinado desde que a 
distância perpendicular da a partir da linha de ação da força até o eixo possa ser determinada. . 
Devemos usar uma análise vetorial, ( ) onde Ua define a direção do eixo e r é 
definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. 
Se o valor de Ma calculado é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de Ma é 
oposto a Ua. 
 
Exemplos de aplicação. 
1) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa força em relação ao 
eixo x. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
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2) Determine o momento resultante das três forças na figura abaixo em relação ao eixo x, ao eixo y e 
ao eixo z. 
 Solução: 
 
 Lembrando que uma força paralela a um eixo ou na mesma 
linha de ação do eixo não produz qualquer momento temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de um Binário 
 
 Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas, 
e são separadas por uma distância perpendicular d ( conforme figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação 
em uma direção específica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Formulação Escalar 
 
 O momento de um binário M conforme a figura abaixo é definido como tendo uma intensidade de: 
 
 
 
 
 
 
 
Formulação Vetorial 
 
 O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando a seguinte 
equação. . A aplicação dessa equação deve ser usada quando calculamos o momento de duas 
forças em relação a um ponto situado na linha de ação de uma das forças. 
 Se por exemplo os momentos são tomados em relação ao ponto A da figura abaixo, o momento da 
força –F é zero e o momento da F deve ser calculado usando a equação . 
 
Binários Equivalentes 
 
Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois 
binários é obtido pela soma dos binários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos de aplicação 
 
1) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um 
equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B. 
 Solução: 
 
 
 Ou então: 
 
∑ 
 
 O momento é positivo pois ambas as forças produzem giro 
no sentido anti-horário. 
 
2) Determine a intensidade e a direção do momento de binário agindo sobre a engrenagem. 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrada na figura abaixo. O segmento AB está 
direcionado 30º abaixo do palno x~y. 
 Solução: 
O momento das duas forças pode ser calculado em relação a qualquer 
ponto, então vamos calcular em relação ao ponto O. 
 
A força aplicada no ponto A exerce momento só em relação ao eixo y. 
 
A forção aplicada em B exerce momento nos três eixos. 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) () ( ) fazemos o produto vetorial e 
temos: 
Força aplicada no ponto A 
 
Força aplicada no ponto B 
( ) ( ) 
Assim temos que o momento resultante é igual a: 
 
 
Exercícios de Aplicação. 
 
13) Determine o momento produzido pela força F em relação a diagonal AF do bloco retangular. Expresse 
o resultado na forma de vetor cartesiano. 
 
 
: 
 
 [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14) Determine o momento da força F em relação ao eixo que se estende entre A e C. expresse o resultado 
como um vetor cartesiano. 
 Resp : (11,51 i + 8,64 j) KN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Determine o momento produzido pela força F com relação ao segmento AB do encanamento. Expresse 
o resultado como um vetor cartesiano. 
 Resp : (-52,8 i – 70,4 j) N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Determine o momento de binário resultante que age sobre a viga. 
 
Resp : - 740 N.m 
 
 
 
 
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17) Um homem de peso 600 N caminha numa viga de madeira simplesmente apoiada em A e articulada 
em C. A distância entre A e C é de 4,0 m. O peso da viga é de 900 N e seu comprimento é de 6,0 m. 
Determine a máxima distância x, indicada na figura, que o homem pode caminhar sobre a viga para 
que ela permaneça em equilíbrio? 
 
 
 
 
18) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado como um vetor 
cartesiano. 
 
Resp : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do ventilador criam um momento de binário MO = 6,0 N.m 
sobre as mesmas. Determine a intensidade das forças de binário na base do ventilador de modo que o 
momento de binário resultante no ventilador seja zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20) Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário que age sobre a viga seja 1,5 KN.m 
no sentido horário. 
Resp : F = 2,33 KN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Determine a intensidade necessária dos momentos de M2 e M3 de modo que o momento de binário 
resultante seja zero. 
 
Resp: M2 = 424,26 N e M3 = 300 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificação de um sistema de forças e binários 
 
Um sistema é equivalente se os efeitos externos que ele produz sobre um corpo são iguais aos 
causados pelo sistema de forças e momentos binários originais. 
Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se referem ao movimento de rotação e translação do 
corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às forças reativas nos suportes se o corpo é mantido fixo. 
Vamos considerar que uma pessoa está segurando o bastão da figura abaixo que está sujeito a uma 
força F. 
 
 
 
 
 
 
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 Se aplicarmos um par de forças F e –F iguais e opostas, no ponto B, onde se encontra a linha 
de ação da força F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que –F em B e F em A se cancelam, deixando apenas a força F em B, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que a força F foi movida de A para B sem modificar os efeitos externos sobre o 
bastão, ou seja a reação na empunhadura permanece a mesma. Isso mostra o princípio da transmissibilidade, 
que afirma que uma força agindo sobre um corpo ( bastão) é um vetor deslizante, já que pode ser aplicado em 
qualquer ponto ao longo da sua linha de ação. 
 
 Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura (a), então podemos aplicar um par de 
forças F e –F iguais e opostas no ponto B (b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em 
A e –F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (c). 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
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Podemos generalizar esse método de reduzir um sistema de forças e binários a uma força resultante FR 
equivalente agindo no ponto O e um momento de binário resultante (MR)O (decorrente do deslocamento das 
forças na figura b) usando as duas equações a seguir: 
 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 
 
 Onde a primeira equação estabelece que a força resultante do sistema seja equivalente à soma 
de todas forças; 
 A segunda equação estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja 
equivalente à soma de todos os momentos de binários ∑ , mais os momentos de todas as forças ∑ em 
relação ao ponto O. 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Substitua o sistema de forças e binários na figura abaixo por um sistema de forças e momento 
de binário resultante equivalente agindo no ponto O. 
 
 
 
Solução: 
 
Primeiro fazemos as decomposições das forças de 3KN e de 5KN. 
 
 Assim temos: 
 
Eixo Y : 
3KN . sen 30º = 1,5 KN ( para cima) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Mais a força de 4KN para baixo. 
 
Eixo X 
 
 
 
 
 ( ) 
 
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Usando o teorema de pitágoras encontramos a força resultante; 
 
 √( ) ( ) √ 
 
Sua direção Ɵ é dada pelo arc tangente. 
 
 (
 
 
) 
Agora substituímos os momentos de binário por o momento resultante. 
 
Os momentos de 3KN e 5KNem relação ao ponto O serão determinados usando as componentes x e y. 
 
 ( ) ∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
 
 
) ( ) ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aplicação. 
 
22) Substitua o sistema de forças que agesobre a treliça por um força e momento de binário resultante no 
ponto C. 
 
 Resp : FR = 4250N , direção 61,9º , M = 9,6 KN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23) Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por uma força e momento de binário equivalente no 
ponto B. 
 Resp: FR = 5,93 KN , direção 77,8º , M = -11,6KN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Substitua as duas forças por uma força e momento de binário resultante equivalente no ponto C. 
Considere F = 100N 
 
 Resp: FR = 149,6 N, direção 78,4º , M = 26,41N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) Substitua o sistema de forças que age sobre o poste por uma força e momento de binário resultante no 
ponto A. 
 
 Resp: FR = 542N , direção 10,6º , M = 441 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Redução de um carregamento distribuído simples 
 
 Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua 
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro 
exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque. 
 O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente 
uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão 
que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função 
 ( ) 
 
A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no sistema e em 
muitos casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema. 
 A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura. 
 
 
 
 
 
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Solução 
 
 
 
 
 
 
 
Localização da força resultante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( Intensidade e localização da força resultante ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Intensidade da Força Resultante de Formas Geométricas mais Simples 
 Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua 
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro 
exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque. 
 O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente 
uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão 
que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função 
 ( ) 
 
Intensidade da Força Resultante 
 
 A força resultante de um carregamento distribuído é equivalente à área sob o diagrama do 
carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área. 
 Dessa forma temos: 
 
 
 
 
 
 
 
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Posição de uma Carga Uniformemente Distribuída 
 
 - Carga Retangularmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a 
carga resultante se encontra no meio do retângulo. 
 
 - Carga triangularmente Distribuída: Para essa tipo de carregamento a 
carga resultante se encontra a 1/3 da extremidade que possui maior carga. 
 
 Carga Trapezoidalmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a 
carga resultante se encontra através da relação: 
 
 
(
 
 
) 
 
Exemplos de aplicação 
1) Calcule as reações RA e RB nos esquemas abaixo 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aplicação. 
 
26) Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga , medindo a 
partir do ponto A. Para cada caso. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp : FR = 40,5 KN ; Posição = 1,25m 
Posição da carga pontual é sempre igual 
a 1/3 da base do triângulo do lado da 
maior concentração de carga. 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp : FR = 9,9 KN ; Posição = 2,51m 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
Resp : FR = 27 KN ; Posição = 1m 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp : FR 30 KN ; Posição = 3,4 m 
 
 
 
 
 
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27)Um carregamento distribuído com p = (800x) Pa atua no topo de uma superfície de uma viga como mostra 
a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente. 
 
 Resp: FR = 6,48 KN , x = 6m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na 
viga medindo a partir de A. 
 
 Resp: FR = 75 KN ; x =1,2m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalentee especifique sua posição na 
viga medindo a partir de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30) O vento soprou a areia sobre uma plataforma de modo que a intensidade da carga pode ser 
aproximada pela função w = (0,5x
3
) N/m. simplifique esse carregamento distribuído para uma força resultante 
equivalente e especifique sua intensidade e posição medida a partir de A. 
 
Resp: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTEVES, Douglas. Resultante de um sistema de forças: Momento. 13-14 de mar de 2014. 34 p. Notas de Aula. 
Material retirado do livro: mecânica para engenheiros ( estática) 12ª ed do Hibbeler.. .